Descomposición en estado aditivo

La descomposición de estado aditivo ocurre cuando un sistema se descompone en dos o más subsistemas con la misma dimensión que la del sistema original. Una descomposición comúnmente utilizada en el campo de control es descomponer un sistema en dos o más subsistemas de orden inferior, lo que aquí se denomina descomposición de subsistemas de orden inferior. Por el contrario, la descomposición de estado aditiva consiste en descomponer un sistema en dos o más subsistemas con la misma dimensión que la del sistema original.

Tomando un sistema P, por ejemplo, se descompone en dos subsistemas: P p y P s, donde dim ( P p) = n p y dim ( P s) = n s, respectivamente. La descomposición del subsistema de orden inferior satisface

$$norte= norte pags+ norte s  y PAGS= PAGS pags⊕ PAGS s {\ Displaystyle n = n_ {p} + n_ {s} {\ text {y}} P = P_ {p} \ oplus P_ {s}}

Por el contrario, la descomposición en estado aditivo satisface

$$norte= norte pags= norte s  y PAGS= PAGS pags+ PAGS s {\ Displaystyle n = n_ {p} = n_ {s} {\ text {y}} P = P_ {p} + P_ {s}}

• 1 En un sistema de control dinámico
• 2 Ejemplos
  • 2.1 Ejemplo 1
  • 2.2 Ejemplo 2
  • 2.3 Ejemplo 3
• 3 Comparación con el principio de superposición
• 4 aplicaciones
• 5 referencias
• 6 Lecturas adicionales

En un sistema de control dinámico

Considere un sistema 'original' de la siguiente manera:

$$ X ˙=F(t,X,tu),X(0)= X 0 {\ Displaystyle {\ dot {x}} = f (t, x, u), x (0) = x_ {0}}

( 1)

donde. $$

Primero, se introduce un sistema 'primario', que tiene la misma dimensión que el sistema original:

$$ X ˙ pags= F pags(t, X pags, tu pags), {\ Displaystyle {\ dot {x}} _ {p} = f_ {p} (t, x_ {p}, u_ {p}),} $$ X pags(0)= X pags , 0 {\ Displaystyle x_ {p} (0) = x_ {p, 0}}

( 2)

dónde $$

Del sistema original y del sistema primario, se deriva el siguiente sistema 'secundario':

$$ X ˙- X ˙ pags=F(t,X,tu)- F pags(t, X pags, tu pags),X(0)= X 0 {\ Displaystyle {\ dot {x}} - {\ dot {x}} _ {p} = f (t, x, u) -f_ {p} (t, x_ {p}, u_ {p}), x (0) = x_ {0}}

Las nuevas variables se definen de la siguiente manera: $$

$$ X s=X- X pags, {\ Displaystyle x_ {s} = x-x_ {p},} $$ tu s=tu- tu pags. {\ Displaystyle u_ {s} = u-u_ {p}.}

( 3)

Entonces, el sistema secundario se puede escribir de la siguiente manera:

$$ X ˙ s=F(t, X pags+ X s, tu pags+ tu s) {\ Displaystyle {\ dot {x}} _ {s} = f (t, x_ {p} + x_ {s}, u_ {p} + u_ {s})} $$- F pags(t, X pags, tu pags), X s(0)= X 0- X pags , 0, {\ Displaystyle -f_ {p} (t, x_ {p}, u_ {p}), x_ {s} (0) = x_ {0} -x_ {p, 0},}

( 4)

De la definición ( 3), se sigue

$$X(t)= X pags(t)+ X s(t), {\ Displaystyle x (t) = x_ {p} (t) + x_ {s} (t),} $$t≥0. {\ Displaystyle t \ geq 0.}

El proceso se muestra en esta imagen:

Ejemplos

Ejemplo 1

De hecho, la idea de la descomposición de estados aditivos se ha mencionado implícitamente en la literatura existente. Un ejemplo existente es el diseño del controlador de seguimiento, que a menudo requiere un sistema de referencia para derivar la dinámica de error. Se supone que el sistema de referencia (sistema primario) se da como sigue:

$$ X ˙ r=F(t, X r, tu r), {\ Displaystyle {\ dot {x}} _ {r} = f (t, x_ {r}, u_ {r}),} $$ X r(0)= X r , 0 {\ Displaystyle x_ {r} (0) = x_ {r, 0}}

Basándose en el sistema de referencia, la dinámica de error (sistema secundario) se deriva de la siguiente manera:

$$ X ˙ mi {\ Displaystyle {\ dot {x}} _ {e}} $$=F(t, X mi+ X r,tu)-F(t, X r, tu r), {\ Displaystyle = f (t, x_ {e} + x_ {r}, u) -f (t, x_ {r}, u_ {r}),} $$ X mi(0)= X 0- X r , 0 {\ Displaystyle x_ {e} (0) = x_ {0} -x_ {r, 0}}

dónde $$

Este es un paso comúnmente utilizado para transformar un problema de rastreo en un problema de estabilización cuando se usa el control adaptativo.

Ejemplo 2

Considere una clase de sistemas como sigue:

$$ X ˙(t)= ( UN + Δ UN ( t ) )X(t)+ UN reX(t-T)+segundor(t) {\ Displaystyle {\ dot {x}} (t) = \ left (A + \ Delta A (t) \ right) x (t) + A_ {d} x (tT) + Br (t)} $$ mi(t)=- ( C + Δ C ( t ) )X(t)+r(t) {\ Displaystyle e (t) = - \ left (C + \ Delta C (t) \ right) x (t) + r (t)} $$X(θ)=ϕ(θ),θ∈[-T,0] {\ Displaystyle x (\ theta) = \ phi (\ theta), \ theta \ in [-T, 0]}

( 5)

Elija ( 5) como sistema original y diseñe el sistema principal de la siguiente manera:

$$ X ˙ pags(t)=UN X pags(t)+ UN re X pags(t-T)+segundor(t) {\ Displaystyle {\ dot {x}} _ {p} (t) = Ax_ {p} (t) + A_ {d} x_ {p} (tT) + Br (t)} $$ mi pags(t)=-C X pags(t)+r(t) {\ Displaystyle e_ {p} (t) = - Cx_ {p} (t) + r (t)} $$ X pags(θ)=ϕ(θ),θ∈[-T,0] {\ Displaystyle x_ {p} (\ theta) = \ phi (\ theta), \ theta \ in [-T, 0]}

( 6)

Entonces, el sistema secundario está determinado por la regla ( 4):

$$ X ˙ s(t)= ( UN + Δ UN ( t ) ) X s(t)+ UN re X s(t-T)+ΔUN(t) X pags(t) {\ Displaystyle {\ dot {x}} _ {s} (t) = \ left (A + \ Delta A (t) \ right) x_ {s} (t) + A_ {d} x_ {s} (tT) + \ Delta A (t) x_ {p} (t)} $$ mi s(t)=- ( C + Δ C ( t ) ) X s(t)-ΔC(t) X pags(t) {\ Displaystyle e_ {s} (t) = - \ left (C + \ Delta C (t) \ right) x_ {s} (t) - \ Delta C (t) x_ {p} (t)} $$ X s(θ)=0,θ∈[-T,0] {\ Displaystyle x_ {s} (\ theta) = 0, \ theta \ in [-T, 0]}

( 7)

Por descomposición aditiva en estado

$$mi(t)= mi pags(t)+ mi s(t) {\ Displaystyle e (t) = e_ {p} (t) + e_ {s} (t)}

Ya que

$$‖mi(t)‖≤‖ mi pags(t)‖+‖ mi s(t)‖ {\ Displaystyle \ | e (t) \ | \ leq \ | e_ {p} (t) \ | + \ | e_ {s} (t) \ |}

el error de seguimiento e ( t) se puede analizar por e p ( t) y e s ( t) por separado. Si e p ( t) y e s ( t) son limitados y pequeños, entonces también lo es e ( t). Afortunadamente, tenga en cuenta que ( 6) es un sistema lineal invariante en el tiempo y es independiente del sistema secundario ( 7), para cuyo análisis se encuentran disponibles muchas herramientas como la función de transferencia. Por el contrario, la herramienta de función de transferencia no se puede aplicar directamente al sistema original ( 5) ya que varía en el tiempo.

Ejemplo 3

Considere una clase de sistemas no lineales como sigue:

$$ X ˙=UNX+segundotu+ϕ(y)+re,X(0)= X 0 {\ Displaystyle {\ dot {x}} = Ax + bu + \ phi (y) + d, x (0) = x_ {0}} $$y= C TX {\ Displaystyle y = c ^ {T} x}

( 8)

donde x, y, u representan el estado, la salida y la entrada, respectivamente; la función φ (•) no es lineal. El objetivo es diseñar u tal que y - r → 0 cuando t → ∞. Elija ( 8) como sistema original y diseñe el sistema principal de la siguiente manera:

$$ X ˙ pags=UN X pags+segundo tu pags+ϕ(r)+re, X pags(0)= X 0 {\ Displaystyle {\ dot {x}} _ {p} = Ax_ {p} + bu_ {p} + \ phi (r) + d, x_ {p} (0) = x_ {0}} $$ y pags= C T X pags {\ Displaystyle y_ {p} = c ^ {T} x_ {p}}

( 9)

Entonces, el sistema secundario está determinado por la regla ( 4):

$$ X ˙ s=UN X s+segundo tu s+ϕ ( C T X pags + C T X s )-ϕ(r), X s(0)=0 {\ Displaystyle {\ dot {x}} _ {s} = Ax_ {s} + bu_ {s} + \ phi \ left (c ^ {T} x_ {p} + c ^ {T} x_ {s} \ derecha) - \ phi (r), x_ {s} (0) = 0} $$ y s= C T X s {\ Displaystyle y_ {s} = c ^ {T} x_ {s}}

( 10)

donde u s = u p. Entonces x = x p + x s y y = y p + y s. Aquí, la tarea y p → 0 se asigna al sistema lineal invariante en el tiempo ( 9) (un sistema lineal invariante en el tiempo es más simple que uno no lineal). Por otro lado, la tarea x s → 0 se asigna al sistema no lineal ( 10) (un problema de control de estabilización es más simple que un problema de seguimiento). Si se cumplen las dos tareas, entonces y = y p + y s → 0. La idea básica es descomponer un sistema original en dos subsistemas encargados de subtareas más simples. Luego, uno diseña controladores para dos subtareas y finalmente los combina para lograr la tarea de control original. El proceso se muestra en esta imagen:

Comparación con el principio de superposición

Un ejemplo bien conocido que utiliza implícitamente la descomposición de estados aditivos es el principio de superposición, ampliamente utilizado en física e ingeniería. Principio de superposición : para todos los sistemas lineales, la respuesta neta en un lugar y momento determinados causada por dos o más estímulos es la suma de las respuestas que habrían sido causadas por cada estímulo individualmente. Para un sistema lineal simple:

$$ X ˙=UNX+segundo( tu 1+ tu 2) {\ Displaystyle {\ dot {x}} = Ax + B (u_ {1} + u_ {2})}, $$X(0)=0 {\ Displaystyle x (0) = 0}

el enunciado del principio de superposición significa x = x p + x s, donde

$$ X ˙ pags=UN X pags+segundo tu 1, X pags(0)=0 {\ Displaystyle {\ dot {x}} _ {p} = Ax_ {p} + Bu_ {1}, x_ {p} (0) = 0}

$$ X ˙ s=UN X s+segundo tu 2, X s(0)=0 {\ Displaystyle {\ dot {x}} _ {s} = Ax_ {s} + Bu_ {2}, x_ {s} (0) = 0}

Evidentemente, este resultado también puede derivarse de la descomposición en estado aditivo. Además, el principio de superposición y la descomposición en estado aditivo tienen la siguiente relación. De la Tabla 1, la descomposición de estados aditivos se puede aplicar no solo a sistemas lineales sino también a sistemas no lineales.

Aplicaciones

La descomposición en estado aditivo se usa para estabilizar el control y se puede extender a la descomposición de salida aditiva.

Referencias

Otras lecturas

• Quan, Quan y Kai-Yuan Cai (2009). "Descomposición aditiva y sus aplicaciones al seguimiento basado en modelos internos". 48ª Conferencia conjunta del IEEE sobre decisiones y control y 28ª Conferencia de control chino, Shanghai, China. 817–822.
• Quan Quan, Hai Lin, Kai-Yuan Cai (2014). "Control de seguimiento de retroalimentación de salida por descomposición de estado aditivo para una clase de sistemas inciertos", International Journal of Systems Science 45 (9): 1799-1813.
• Quan Quan, Kai-Yuan Cai, Hai Lin (2015). "Marco de control de seguimiento basado en la descomposición del estado aditivo para una clase de sistemas de fase no mínima con no linealidades medibles y perturbaciones desconocidas", International Journal of Robust and Nonlinear Control 25 (2): 163-178
• Quan Quan, Lu Jiang, Kai-Yuan Cai. "Control repetitivo robusto de retroalimentación de salida en tiempo discreto para una clase de sistemas no lineales por descomposición aditiva del estado"