Por el contrario, la mecánica analítica utiliza propiedades escalares de movimiento que representan el sistema como un todo, generalmente su energía cinética total y energía potencial, no las fuerzas vectoriales de Newton de partículas individuales. Un escalar es una cantidad, mientras que un vector está representado por cantidad y dirección. Las ecuaciones de movimiento se derivan de la cantidad escalar por algún principio subyacente sobre la variación del escalar.
La mecánica analítica aprovecha las limitaciones de un sistema para resolver problemas. Las restricciones limitan los grados de libertad que puede tener el sistema y pueden usarse para reducir el número de coordenadas necesarias para resolver el movimiento. El formalismo se adapta bien a elecciones arbitrarias de coordenadas, conocidas en el contexto como coordenadas generalizadas. Las energías cinética y potencial del sistema se expresan usando estas coordenadas o momentos generalizados, y las ecuaciones de movimiento pueden establecerse fácilmente, por lo que la mecánica analítica permite resolver numerosos problemas mecánicos con mayor eficiencia que los métodos completamente vectoriales. No siempre funciona para fuerzas no conservadoras o fuerzas disipativas como la fricción, en cuyo caso se puede volver a la mecánica newtoniana.
La mecánica analítica no introduce una nueva física y no es más general que la mecánica newtoniana. Más bien es una colección de formalismos equivalentes que tienen una amplia aplicación. De hecho, los mismos principios y formalismos se pueden usar en la mecánica relativista y la relatividad general, y con algunas modificaciones, la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos.
Los métodos de la mecánica analítica se aplican a partículas discretas, cada una con un número finito de grados de libertad. Pueden modificarse para describir campos o fluidos continuos, que tienen infinitos grados de libertad. Las definiciones y ecuaciones tienen una estrecha analogía con las de la mecánica.
Contenido
1 Asunto de la mecánica analítica
2 Movimiento intrínseco
2.1 Coordenadas y restricciones generalizadas
2.2 Diferencia entre coordenadas curvilíneas y generalizadas
2.3 Principio de D'Alembert
2.4 Restricciones holonómicas
3 mecánica lagrangiana
4 mecánica hamiltoniana
5 Propiedades de las funciones lagrangiana y hamiltoniana
6 Principio de mínima acción
7 mecánica hamiltoniana-jacobi
8 mecánicas rutianas
9 mecánica de Appellian
10 Extensiones a la teoría de campos clásica
11 Simetría, conservación y teorema de Noether
12 Véase también
13 Referencias y notas
Asunto de la mecánica analítica
El objetivo más obvio de la teoría mecánica es resolver problemas mecánicos que surgen en física o astronomía. A partir de un concepto físico, como un mecanismo o un sistema estelar, se desarrolla un concepto o modelo matemático en forma de ecuación o ecuaciones diferenciales y luego se intenta resolverlos.
El enfoque vectorial de la mecánica, tal como lo fundó Newton, se basa en las leyes de Newton que describen el movimiento con la ayuda de cantidades vectoriales como fuerza, velocidad, aceleración. Estas cantidades caracterizan el movimiento de un cuerpo que se idealiza como un "punto de masa" o una " partícula " entendida como un solo punto al que se une una masa. El método de Newton tuvo éxito y se aplicó a una amplia gama de problemas físicos, comenzando por el movimiento de una partícula en el campo gravitacional de la Tierra y luego se extendió al movimiento de los planetas bajo la acción del sol. En este enfoque, las leyes de Newton describen el movimiento mediante una ecuación diferencial y luego el problema se reduce a la resolución de esa ecuación.
Cuando la partícula es parte de un sistema de partículas, como un cuerpo sólido o un fluido, en el que las partículas no se mueven libremente sino que interactúan entre sí, el enfoque de Newton sigue siendo aplicable con las precauciones adecuadas, como aislar cada partícula de los demás, y determinando todas las fuerzas que actúan sobre él: las que actúan sobre el sistema en su conjunto, así como las fuerzas de interacción de cada partícula con todas las demás partículas del sistema. Este análisis puede resultar engorroso incluso en sistemas relativamente simples. Por regla general, las fuerzas de interacción son desconocidas o difíciles de determinar, por lo que es necesario introducir nuevos postulados. Newton pensó que su tercera ley, "la acción es igual a la reacción", se ocuparía de todas las complicaciones. Este no es el caso incluso para un sistema tan simple como las rotaciones de un cuerpo sólido. En sistemas más complicados, el enfoque vectorial no puede dar una descripción adecuada.
El enfoque analítico del problema del movimiento considera a la partícula no como una unidad aislada sino como parte de un sistema mecánico entendido como un conjunto de partículas que interactúan entre sí. A medida que todo el sistema entra en consideración, la partícula individual pierde su significado; el problema dinámico involucra a todo el sistema sin romperlo en partes. Esto simplifica significativamente el cálculo porque en el enfoque vectorial las fuerzas deben determinarse individualmente para cada partícula, mientras que en el enfoque analítico es suficiente conocer una única función que contiene implícitamente todas las fuerzas que actúan sobre y en el sistema. Esta simplificación se realiza a menudo utilizando determinadas condiciones cinemáticas que se establecen a priori; son preexistentes y se deben a la acción de algunas fuerzas poderosas. Sin embargo, el tratamiento analítico no requiere el conocimiento de estas fuerzas y da por sentadas estas condiciones cinemáticas. Considerando lo simples que son estas condiciones en comparación con la multitud de fuerzas que las mantienen, se hace evidente la superioridad del enfoque analítico sobre el vectorial.
Sin embargo, las ecuaciones de movimiento de un sistema mecánico complicado requieren un gran número de ecuaciones diferenciales separadas que no pueden derivarse sin alguna base unificadora de la que se sigan. Esta base son los principios variacionales : detrás de cada conjunto de ecuaciones hay un principio que expresa el significado de todo el conjunto. Dada una cantidad fundamental y universal llamada 'acción', el principio de que esta acción sea estacionaria bajo una pequeña variación de alguna otra cantidad mecánica genera el conjunto requerido de ecuaciones diferenciales. La declaración del principio no requiere ningún sistema de coordenadas especial y todos los resultados se expresan en coordenadas generalizadas. Esto significa que las ecuaciones analíticas de movimiento no cambian con una transformación de coordenadas, una propiedad de invariancia que falta en las ecuaciones vectoriales de movimiento.
No está del todo claro qué se entiende por "resolver" un conjunto de ecuaciones diferenciales. Un problema se considera resuelto cuando las coordenadas de las partículas en el tiempo t se expresan como funciones simples de ty de parámetros que definen las posiciones y velocidades iniciales. Sin embargo, 'función simple' no es un concepto bien definido : hoy en día, una función f ( t ) no se considera una expresión formal en t ( función elemental ) como en el tiempo de Newton, sino más generalmente como una cantidad determinada por t, y no es posible trazar una línea clara entre funciones "simples" y "no simples". Si se habla meramente de "funciones", entonces todo problema mecánico se resuelve tan pronto como se ha expresado correctamente en las ecuaciones diferenciales, porque dadas las condiciones iniciales yt determinan las coordenadas en t. Este es un hecho especialmente en la actualidad con los métodos modernos de modelado por ordenador que proporcionan soluciones aritméticas a problemas mecánicos a cualquier grado deseado de exactitud, las ecuaciones diferenciales siendo reemplazados por ecuaciones de diferencia.
Sin embargo, aunque carece de definiciones precisas, es obvio que el problema de los dos cuerpos tiene una solución simple, mientras que el problema de los tres cuerpos no la tiene. El problema de los dos cuerpos se resuelve mediante fórmulas que incluyen parámetros; sus valores se pueden cambiar para estudiar la clase de todas las soluciones, es decir, la estructura matemática del problema. Además, se puede hacer una imagen mental o dibujada precisa del movimiento de dos cuerpos, y puede ser tan real y precisa como los cuerpos reales que se mueven e interactúan. En el problema de los tres cuerpos, a los parámetros también se les pueden asignar valores específicos; sin embargo, la solución a estos valores asignados o una colección de tales soluciones no revela la estructura matemática del problema. Como en muchos otros problemas, la estructura matemática sólo puede dilucidarse examinando las propias ecuaciones diferenciales.
La mecánica analítica apunta aún más: no a comprender la estructura matemática de un solo problema mecánico, sino a la de una clase de problemas tan amplia que abarcan la mayor parte de la mecánica. Se concentra en sistemas a los que son aplicables las ecuaciones de movimiento lagrangianas o hamiltonianas y que incluyen una gama muy amplia de problemas.
El desarrollo de la mecánica analítica tiene dos objetivos: (i) aumentar la gama de problemas solucionables mediante el desarrollo de técnicas estándar con una amplia gama de aplicabilidad, y (ii) comprender la estructura matemática de la mecánica. Sin embargo, a largo plazo, (ii) puede ayudar (i) más que una concentración en problemas específicos para los que ya se han diseñado métodos.
En la mecánica newtoniana, uno usa habitualmente las tres coordenadas cartesianas, u otro sistema de coordenadas 3D, para referirse a la posición de un cuerpo durante su movimiento. En los sistemas físicos, sin embargo, alguna estructura u otro sistema generalmente restringe el movimiento del cuerpo para que no tome ciertas direcciones y caminos. Por lo tanto, a menudo no se necesita un conjunto completo de coordenadas cartesianas, ya que las restricciones determinan las relaciones en evolución entre las coordenadas, relaciones que pueden modelarse mediante ecuaciones correspondientes a las restricciones. En los formalismos lagrangiano y hamiltoniano, las restricciones se incorporan a la geometría del movimiento, reduciendo el número de coordenadas al mínimo necesario para modelar el movimiento. Estas se conocen como coordenadas generalizadas, denotadas por q i ( i = 1, 2, 3...).
Las coordenadas generalizadas incorporan restricciones en el sistema. Hay una coordenada generalizada q i para cada grado de libertad (por conveniencia etiquetada con un índice i = 1, 2... N ), es decir, en cada forma en que el sistema puede cambiar su configuración ; como longitudes curvilíneas o ángulos de rotación. Las coordenadas generalizadas no son las mismas que las coordenadas curvilíneas. El número de coordenadas curvilíneas es igual a la dimensión del espacio de posición en cuestión (generalmente 3 para el espacio 3d), mientras que el número de coordenadas generalizadas no es necesariamente igual a esta dimensión; Las restricciones pueden reducir el número de grados de libertad (de ahí el número de coordenadas generalizadas necesarias para definir la configuración del sistema), siguiendo la regla general:
[ dimensión del espacio de posición (generalmente 3)] × [número de constituyentes del sistema ("partículas")] - (número de restricciones )
= (número de grados de libertad ) = (número de coordenadas generalizadas )
Para un sistema con N grados de libertad, las coordenadas generalizadas se pueden recopilar en una N - tupla :
y la derivada del tiempo (aquí denotada por un overdot) de esta tupla dan las velocidades generalizadas :
La base sobre la que se construye la asignatura es el principio de D'Alembert.
Este principio establece que el trabajo virtual infinitesimal realizado por una fuerza a través de desplazamientos reversibles es cero, que es el trabajo realizado por una fuerza consistente con las restricciones ideales del sistema. La idea de una restricción es útil, ya que limita lo que puede hacer el sistema y puede proporcionar pasos para resolver el movimiento del sistema. La ecuación del principio de D'Alembert es:
dónde
son las fuerzas generalizadas (el script Q en lugar de Q ordinario se usa aquí para evitar conflictos con las transformaciones canónicas a continuación) yq son las coordenadas generalizadas. Esto conduce a la forma generalizada de las leyes de Newton en el lenguaje de la mecánica analítica:
Si el sistema de coordenadas curvilíneas está definido por el vector de posición estándar r, y si el vector de posición se puede escribir en términos de las coordenadas generalizadas q y el tiempo t en la forma:
y esta relación se cumple para todos los tiempos t, entonces q se denominan restricciones holonómicas. El vector r depende explícitamente de t en los casos en que las restricciones varían con el tiempo, no solo por q ( t ). Para situaciones independientes del tiempo, las restricciones también se denominan escleronómicas, para los casos dependientes del tiempo se denominan reonómicas.
Esta formulación identifica la trayectoria real seguida por el movimiento como una selección de la trayectoria sobre la cual la integral de tiempo de la energía cinética es menor, asumiendo que la energía total es fija y sin imponer condiciones al tiempo de tránsito.
La formulación lagrangiana utiliza el espacio de configuración del sistema, el conjunto de todas las posibles coordenadas generalizadas:
donde es el espacio real N -dimensional (ver también la notación del constructor de conjuntos ). La solución particular de las ecuaciones de Euler-Lagrange se denomina trayectoria o trayectoria (de configuración), es decir, una q ( t) particular sujeta a las condiciones iniciales requeridas. Las soluciones generales forman un conjunto de posibles configuraciones en función del tiempo:
El espacio de configuración se puede definir de manera más general, y de hecho más profunda, en términos de variedades topológicas y el haz tangente.
La transformación de Legendre del Lagrangiano reemplaza las coordenadas y velocidades generalizadas ( q, q̇ ) por ( q, p ); las coordenadas generalizadas y los momentos generalizados se conjugan con las coordenadas generalizadas:
e introduce el hamiltoniano (que es en términos de coordenadas y momentos generalizados):
que ahora son un conjunto de 2 N ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, una para cada q i ( t ) y p i ( t ). Otro resultado de la transformación de Legendre relaciona las derivadas temporales del Lagrangiano y el Hamiltoniano:
que a menudo se considera una de las ecuaciones de movimiento de Hamilton además de las demás. Los momentos generalizados se pueden escribir en términos de las fuerzas generalizadas de la misma manera que la segunda ley de Newton:
De manera análoga al espacio de configuración, el conjunto de todos los momentos es el espacio de momento (técnicamente en este contexto; espacio de momento generalizado ):
"Momentum space" también se refiere a " k -space"; el conjunto de todos los vectores de onda (dado por las relaciones de De Broglie ) como se usa en la mecánica cuántica y la teoría de ondas : esto no se menciona en este contexto.
El conjunto de todas las posiciones y momentos forman el espacio de fase ;
es decir, el producto cartesiano × del espacio de configuración y el espacio de momento generalizado.
Una solución particular a las ecuaciones de Hamilton se llama trayectoria de fase, una curva particular ( q ( t ), p ( t )) sujeta a las condiciones iniciales requeridas. El conjunto de todos los caminos de fase, la solución general a las ecuaciones diferenciales, es el retrato de fase :
Todas las variables dinámicas pueden derivarse de la posición r, el momento p y el tiempo t, y escribirse en función de estos: A = A ( q, p, t ). Si A ( q, p, t ) y B ( q, p, t ) son dos variables dinámicas con valores escalares, el corchete de Poisson se define por las coordenadas y momentos generalizados: