Aceleración angular

Radianes por segundo al cuadrado
Unidad de sistema	Unidad derivada del SI
Unidad de	Aceleración angular
Símbolo	rad / s 2

Parte de una serie sobre
Mecanica clasica
$$ F= D D t(metro v) {\ Displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (m {\ textbf {v}})} Segunda ley del movimiento
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En física, la aceleración angular se refiere a la tasa de cambio en el tiempo de la velocidad angular. Como hay dos tipos de velocidad angular, a saber, la velocidad angular de giro y la velocidad angular orbital, naturalmente también hay dos tipos de aceleración angular, llamadas aceleración angular de giro y aceleración angular orbital, respectivamente. La aceleración angular de giro se refiere a la aceleración angular de un cuerpo rígido alrededor de su centro de rotación, y la aceleración angular orbital se refiere a la aceleración angular de una partícula puntual alrededor de un origen fijo.

La aceleración angular se mide en unidades de ángulo por unidad de tiempo al cuadrado (que en unidades del SI son radianes por segundo al cuadrado) y generalmente se representa con el símbolo alfa ( α). En dos dimensiones, la aceleración angular es un pseudoescalar cuyo signo se toma como positivo si la velocidad angular aumenta en sentido antihorario o disminuye en sentido horario, y se toma como negativo si la velocidad angular aumenta en sentido horario o disminuye en sentido antihorario. En tres dimensiones, la aceleración angular es un pseudovector.

Para cuerpos rígidos, la aceleración angular debe ser causada por un par externo neto. Sin embargo, esto no es así para los cuerpos no rígidos: por ejemplo, una patinadora artística puede acelerar su rotación (obteniendo así una aceleración angular) simplemente contrayendo sus brazos y piernas hacia adentro, lo que no implica un torque externo.

• 1 Aceleración angular orbital de una partícula puntual
  • 1.1 Partícula en dos dimensiones
  • 1.2 Partícula en tres dimensiones
  • 1.3 Relación con el par
• 2 Ver también
• 3 referencias

Aceleración angular orbital de una partícula puntual

Partícula en dos dimensiones

En dos dimensiones, la aceleración angular orbital es la tasa a la que cambia la velocidad angular orbital bidimensional de la partícula alrededor del origen. La velocidad angular instantánea ω en cualquier momento está dada por

$$ω= v ⊥ r {\ Displaystyle \ omega = {\ frac {v _ {\ perp}} {r}}},

donde es la distancia desde el origen y es la componente radial cruzada de la velocidad instantánea (es decir, la componente perpendicular al vector de posición), que por convención es positiva para el movimiento en sentido antihorario y negativa para el movimiento en sentido horario. $$

r {\ Displaystyle r}$$ v ⊥ {\ Displaystyle v _ {\ perp}}

Por lo tanto, la aceleración angular instantánea α de la partícula viene dada por

$$α= D D t( v ⊥ r) {\ Displaystyle \ alpha = {\ frac {d} {dt}} ({\ frac {v _ {\ perp}} {r}})}.

Expandiendo el lado derecho usando la regla del producto del cálculo diferencial, esto se convierte en

$$α= 1 r D v ⊥ D t- v ⊥ r 2 D r D t {\ Displaystyle \ alpha = {\ frac {1} {r}} {\ frac {dv _ {\ perp}} {dt}} - {\ frac {v _ {\ perp}} {r ^ {2}}} { \ frac {dr} {dt}}}.

En el caso especial en el que la partícula experimenta un movimiento circular alrededor del origen, se convierte solo en la aceleración tangencial y desaparece (ya que la distancia desde el origen permanece constante), por lo que la ecuación anterior se simplifica a $$

D v ⊥ D t {\ Displaystyle {\ frac {dv _ {\ perp}} {dt}}}$$ a ⊥ {\ Displaystyle a _ {\ perp}}$$ D r D t {\ displaystyle {\ frac {dr} {dt}}}

$$α= a ⊥ r {\ Displaystyle \ alpha = {\ frac {a _ {\ perp}} {r}}}.

En dos dimensiones, la aceleración angular es un número con un signo más o menos que indica la orientación, pero que no apunta en una dirección. El signo se toma convencionalmente como positivo si la velocidad angular aumenta en sentido antihorario o disminuye en sentido horario, y el signo se toma negativo si la velocidad angular aumenta en sentido horario o disminuye en sentido antihorario. La aceleración angular puede denominarse pseudoescalar, una cantidad numérica que cambia de signo bajo una inversión de paridad, como invertir un eje o cambiar los dos ejes.

Partícula en tres dimensiones

En tres dimensiones, la aceleración angular orbital es la tasa a la que el vector de velocidad angular orbital tridimensional cambia con el tiempo. El vector de velocidad angular instantánea en cualquier momento está dado por $$

ω {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}

$$ ω= r × v r 2 {\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}} {r ^ {2}}}},

donde es el vector de posición de la partícula, su distancia desde el origen y su vector de velocidad. $$

r {\ Displaystyle \ mathbf {r}}$$r {\ Displaystyle r}$$ v {\ Displaystyle \ mathbf {v}}

Por tanto, la aceleración angular orbital es el vector definido por $$

α {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}

$$ α= D D t( r × v r 2) {\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}} = {\ frac {d} {dt}} ({\ frac {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}} {r ^ {2}}})}.

Al expandir esta derivada usando la regla del producto para productos cruzados y la regla del cociente ordinario, se obtiene:

$$ α = 1 r 2 ( r × D v D t + D r D t × v ) - 2 r 3 D r D t ( r × v ) = 1 r 2 ( r × a + v × v ) - 2 r 3 D r D t ( r × v ) = r × a r 2 - 2 r 3 D r D t ( r × v ) . {\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ boldsymbol {\ alpha}} amp; = {\ frac {1} {r ^ {2}}} (\ mathbf {r} \ times {\ frac {d \ mathbf {v }} {dt}} + {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} \ times \ mathbf {v}) - {\ frac {2} {r ^ {3}}} {\ frac {dr } {dt}} (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}) \\\\ amp; = {\ frac {1} {r ^ {2}}} (\ mathbf {r} \ times \ mathbf { a} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {v}) - {\ frac {2} {r ^ {3}}} {\ frac {dr} {dt}} (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}) \\\\ amp; = {\ frac {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {a}} {r ^ {2}}} - {\ frac {2} {r ^ {3}} } {\ frac {dr} {dt}} (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}). \ end {alineado}}}

Como es justo, el segundo término puede reescribirse como. En el caso de que la distancia de la partícula desde el origen no cambie con el tiempo (que incluye el movimiento circular como un subcaso), el segundo término desaparece y la fórmula anterior se simplifica a $$

r× v {\ Displaystyle \ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}}$$ r 2 ω {\ displaystyle r ^ {2} {\ boldsymbol {\ omega}}}$$- 2 r D r D t ω {\ Displaystyle - {\ frac {2} {r}} {\ frac {dr} {dt}} {\ boldsymbol {\ omega}}}$$r {\ Displaystyle r}

$$ α= r × a r 2 {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}} = {\ frac {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {a}} {r ^ {2}}}}.

De la ecuación anterior, se puede recuperar la aceleración radial cruzada en este caso especial como:

$$ a ⊥= α× r {\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {\ perp} = {\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ mathbf {r}}.

A diferencia de dos dimensiones, la aceleración angular en tres dimensiones no necesita estar asociada con un cambio en la velocidad$$

ω= | ω | {\ Displaystyle \ omega = | {\ boldsymbol {\ omega}} |} angular: si el vector de posición de la partícula "gira" en el espacio, cambiando su plano instantáneo de desplazamiento angular, el cambio en la dirección del ángulo angular la velocidad seguirá produciendo una aceleración angular distinta de cero. Esto no puede ocurrir si el vector de posición está restringido a un plano fijo, en cuyo caso tiene una dirección fija perpendicular al plano. $$ ω {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$$ ω {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}

El vector de aceleración angular se llama más propiamente un pseudovector : tiene tres componentes que se transforman bajo rotaciones de la misma manera que lo hacen las coordenadas cartesianas de un punto, pero que no se transforman como coordenadas cartesianas bajo reflexiones.

Relación con el par

El par neto en una partícula puntual se define como el pseudovector

$$ τ= r× F {\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}},

donde es la fuerza neta sobre la partícula. $$

F {\ Displaystyle \ mathbf {F}}

El par es el análogo rotacional de la fuerza: induce un cambio en el estado rotacional de un sistema, al igual que la fuerza induce un cambio en el estado de traslación de un sistema. Como la fuerza sobre una partícula está relacionada con la aceleración por la ecuación, se puede escribir una ecuación similar que conecte el par de torsión en una partícula con la aceleración angular, aunque esta relación es necesariamente más complicada. $$

F=metro a {\ Displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {a}}

Primero, sustituyendo el par en la ecuación anterior, se obtiene $$

F=metro a {\ Displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {a}}

$$ τ=metro( r× a)=metro r 2( r × a r 2) {\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = m (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {a}) = mr ^ {2} ({\ frac {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {a} } {r ^ {2}}})}.

De la sección anterior:

$$ α= r × a r 2- 2 r D r D t ω {\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}} = {\ frac {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {a}} {r ^ {2}}} - {\ frac {2} {r}} {\ frac {dr} {dt}} {\ boldsymbol {\ omega}}},

donde es la aceleración angular orbital y la velocidad angular orbital. Por lo tanto: $$

α {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}$$ ω {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}

$$ τ=metro r 2( α+ 2 r D r D t ω)=metro r 2 α+2metror D r D t ω. {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = señor ^ {2} ({\ boldsymbol {\ alpha}} + {\ frac {2} {r}} {\ frac {dr} {dt}} {\ boldsymbol {\ omega}}) = señor ^ {2} {\ boldsymbol {\ alpha}} + 2mr {\ frac {dr} {dt}} {\ boldsymbol {\ omega}}.}

En el caso especial de la distancia constante de la partícula desde el origen (), el segundo término en la ecuación anterior desaparece y la ecuación anterior se simplifica a $$

r {\ Displaystyle r}$$ D r D t = 0 {\ displaystyle {\ tfrac {dr} {dt}} = 0}

$$ τ=metro r 2 α {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = señor ^ {2} {\ boldsymbol {\ alpha}}},

que se puede interpretar como un "análogo rotacional" de, donde la cantidad (conocida como el momento de inercia de la partícula) juega el papel de la masa. Sin embargo, a diferencia de esta ecuación, no se aplica a una trayectoria arbitraria, solo a una trayectoria contenida dentro de una capa esférica alrededor del origen. $$

F=metro a {\ Displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {a}}$$metro r 2 {\ Displaystyle mr ^ {2}} $$metro {\ Displaystyle m}$$ F=metro a {\ Displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {a}}

Ver también

• Esfuerzo de torsión
• Momento angular
• Velocidad angular
• Velocidad angular

Referencias