Velocidad angular

Velocidad angular
Símbolos comunes	ω
En unidades base SI	s −1
Extenso ?	sí
Intensiva ?	sí (solo para cuerpo rígido)
¿ Conservado ?	no
Comportamiento bajo transformación coord	pseudovector
Derivaciones de otras cantidades	ω = d θ / d t
Dimensión	$$ T - 1 {\ Displaystyle {\ mathsf {T}} ^ {- 1}}

Parte de una serie sobre
Mecanica clasica
$$ F= D D t(metro v) {\ Displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (m {\ textbf {v}})} Segunda ley del movimiento
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v t mi

En física, la velocidad angular o la velocidad de rotación ( o), también conocida como vector de frecuencia angular, es una medida vectorial de la velocidad de rotación, que se refiere a qué tan rápido gira o gira un objeto en relación con otro punto, es decir, qué tan rápido la posición u orientación angular de un objeto cambia con el tiempo. $$

ω {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$$ Ω {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}}}

Hay dos tipos de velocidad angular. La velocidad angular orbital se refiere a la rapidez con la que un objeto puntual gira alrededor de un origen fijo, es decir, la tasa de cambio en el tiempo de su posición angular con respecto al origen. La velocidad angular de giro se refiere a qué tan rápido gira un cuerpo rígido con respecto a su centro de rotación y es independiente de la elección del origen, en contraste con la velocidad angular orbital.

En general, la velocidad angular tiene una dimensión de ángulo por unidad de tiempo (ángulo que reemplaza la distancia de la velocidad lineal con el tiempo en común). La unidad SI de velocidad angular es radianes por segundo, siendo el radianes una cantidad adimensional, por lo que las unidades SI de velocidad angular pueden aparecer como s ⁻¹. La velocidad angular generalmente se representa con el símbolo omega ( ω, a veces Ω). Por convención, la velocidad angular positiva indica una rotación en sentido antihorario, mientras que la negativa es en el sentido de las agujas del reloj.

Por ejemplo, un satélite geoestacionario completa una órbita por día sobre el ecuador, o 360 grados cada 24 horas, y tiene una velocidad angular ω = (360 °) / (24 h) = 15 ° / h, o (2π rad) / ( 24 h) ≈ 0,26 rad / h. Si el ángulo se mide en radianes, la velocidad lineal es el radio por la velocidad angular,. Con un radio de órbita a 42 000 km del centro de la Tierra, la velocidad del satélite a través del espacio es, por tanto, v = 42 000 km × 0,26 / h ≈ 11 000 km / h. La velocidad angular es positiva ya que el satélite viaja hacia el este con la rotación de la Tierra (en sentido contrario a las agujas del reloj desde arriba del polo norte). $$

v=rω {\ Displaystyle v = r \ omega}

La velocidad angular es un pseudovector, cuya magnitud mide la velocidad angular, la velocidad a la que un objeto gira o gira y su dirección apunta perpendicular al plano instantáneo de rotación o desplazamiento angular. La orientación de la velocidad angular se especifica convencionalmente mediante la regla de la mano derecha.

• 1 Velocidad angular orbital de una partícula puntual
  • 1.1 Partícula en dos dimensiones
  • 1.2 Partícula en tres dimensiones
    • 1.2.1 Suma de vectores de velocidad angular
• 2 Velocidad angular de giro de un cuerpo rígido o marco de referencia
  • 2.1 Componentes de los vectores base de una estructura fija de cuerpo
  • 2.2 Componentes de los ángulos de Euler
• 3 Tensor
  • 3.1 Cálculo a partir de la matriz de orientación
• 4 propiedades
  • 4.1 Dualidad con respecto al vector velocidad
  • 4.2 Exponencial de W
  • 4.3 W es simétrico sesgado
  • 4.4 Descripción sin coordenadas
  • 4.5 Velocidad angular como campo vectorial
• 5 Consideraciones de carrocería rígida
  • 5.1 Coherencia
• 6 Véase también
• 7 referencias
• 8 Enlaces externos

Velocidad angular orbital de una partícula puntual

Partícula en dos dimensiones

La velocidad angular de la partícula en P con respecto al origen O está determinada por la componente perpendicular del vector velocidad v.

En el caso más simple de movimiento circular en el radio, con la posición dada por el desplazamiento angular del eje x, la velocidad angular orbital es la velocidad de cambio de ángulo con respecto al tiempo:. Si se mide en radianes, la longitud del arco desde el eje x positivo alrededor del círculo hasta la partícula es, y la velocidad lineal es, de modo que. $$

r {\ Displaystyle r}$$ϕ(t) {\ Displaystyle \ phi (t)}$$ω= D ϕ D t {\ textstyle \ omega = {\ frac {d \ phi} {dt}}}$$ϕ {\ Displaystyle \ phi} $$ℓ=rϕ {\ Displaystyle \ ell = r \ phi}$$v(t)= D ℓ D t=rω(t) {\ textstyle v (t) = {\ frac {d \ ell} {dt}} = r \ omega (t)}$$ω= v r {\ textstyle \ omega = {\ frac {v} {r}}}

En el caso general de una partícula que se mueve en el plano, la velocidad angular orbital es la tasa a la que el vector de posición relativo a un origen elegido "barre" el ángulo. El diagrama muestra el vector de posición desde el origen hasta una partícula, con sus coordenadas polares. (Todas las variables son funciones del tiempo). La partícula tiene una velocidad lineal que se divide como, con el componente radial paralelo al radio y el componente radial cruzado (o tangencial) perpendicular al radio. Cuando no hay componente radial, la partícula se mueve alrededor del origen en un círculo; pero cuando no hay componente radial transversal, se mueve en línea recta desde el origen. Dado que el movimiento radial deja el ángulo sin cambios, solo el componente radial transversal de la velocidad lineal contribuye a la velocidad angular. $$

r {\ Displaystyle \ mathbf {r}}$$O {\ Displaystyle O}$$PAG {\ Displaystyle P} $$(r,ϕ) {\ Displaystyle (r, \ phi)}$$t {\ Displaystyle t}$$ v= v ‖+ v ⊥ {\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {v} _ {\ |} + \ mathbf {v} _ {\ perp}}$$ v ‖ {\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {\ |}}$$ v ⊥ {\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {\ perp}}

La velocidad angular ω es la tasa de cambio de la posición angular con respecto al tiempo, que se puede calcular a partir de la velocidad radial transversal como:

$$ω= D ϕ D t= v ⊥ r. {\ Displaystyle \ omega = {\ frac {d \ phi} {dt}} = {\ frac {v _ {\ perp}} {r}}.}

Aquí la velocidad radial cruzada es la magnitud con signo de, positivo para el movimiento en sentido antihorario, negativo para el sentido de las agujas del reloj. Al tomar las coordenadas polares para la velocidad lineal se obtiene la magnitud (velocidad lineal) y el ángulo en relación con el vector de radio; en estos términos, para que $$

v ⊥ {\ Displaystyle v _ {\ perp}}$$ v ⊥ {\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {\ perp}}$$ v {\ Displaystyle \ mathbf {v}}$$v {\ Displaystyle v}$$θ {\ Displaystyle \ theta}$$ v ⊥=vpecado⁡(θ) {\ Displaystyle v _ {\ perp} = v \ sin (\ theta)}

$$ω= v pecado ⁡ ( θ ) r. {\ Displaystyle \ omega = {\ frac {v \ sin (\ theta)} {r}}.}

Estas fórmulas se pueden derivar haciendo, siendo una función de la distancia al origen con respecto al tiempo, y una función del ángulo entre el vector y el eje x. Entonces. Que es igual a. (Ver Vector unitario en coordenadas cilíndricas). Sabiendo, concluimos que la componente radial de la velocidad viene dada por, porque es un vector unitario radial; y la componente perpendicular viene dada por porque es un vector unitario perpendicular. $$

r=(rporque⁡(φ),rpecado⁡(φ)) {\ Displaystyle \ mathbf {r} = (r \ cos (\ varphi), r \ sin (\ varphi))}$$r {\ Displaystyle r}$$φ {\ Displaystyle \ varphi}$$ D r D t=( r ˙porque⁡(φ)-r φ ˙pecado⁡(φ), r ˙pecado⁡(φ)+r φ ˙porque⁡(φ)) {\ Displaystyle {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} = ({\ dot {r}} \ cos (\ varphi) -r {\ dot {\ varphi}} \ sin (\ varphi), {\ dot {r}} \ sin (\ varphi) + r {\ dot {\ varphi}} \ cos (\ varphi))}$$ r ˙(porque⁡(φ),pecado⁡(φ))+r φ ˙(-pecado⁡(φ),porque⁡(φ))= r ˙ r ^+r φ ˙ φ ^ {\ Displaystyle {\ dot {r}} (\ cos (\ varphi), \ sin (\ varphi)) + r {\ dot {\ varphi}} (- \ sin (\ varphi), \ cos (\ varphi)) = {\ dot {r}} {\ hat {r}} + r {\ dot {\ varphi}} {\ hat {\ varphi}}} $$ D r D t= v {\ Displaystyle {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} = \ mathbf {v}}$$ r ˙ {\ Displaystyle {\ dot {r}}}$$ r ^ {\ Displaystyle {\ hat {r}}}$$r φ ˙ {\ Displaystyle r {\ dot {\ varphi}}}$$ φ ^ {\ Displaystyle {\ hat {\ varphi}}}

En dos dimensiones, la velocidad angular es un número con un signo más o menos que indica la orientación, pero que no apunta en una dirección. El signo se toma convencionalmente como positivo si el vector de radio gira en sentido contrario a las agujas del reloj y negativo si en el sentido de las agujas del reloj. La velocidad angular puede denominarse pseudoescalar, una cantidad numérica que cambia de signo bajo una inversión de paridad, como invertir un eje o cambiar los dos ejes.

Partícula en tres dimensiones

El vector de velocidad angular orbital codifica la tasa de cambio de posición angular en el tiempo, así como el plano instantáneo de desplazamiento angular. En este caso (movimiento circular en sentido antihorario) el vector apunta hacia arriba.

En el espacio tridimensional, nuevamente tenemos el vector de posición r de una partícula en movimiento. Aquí, la velocidad angular orbital es un pseudovector cuya magnitud es la velocidad a la que r barre ángulo, y cuya dirección es perpendicular al plano instantáneo en el que r barre ángulo (es decir, el plano abarcado por r y v). Sin embargo, como hay dos direcciones perpendiculares a cualquier plano, es necesaria una condición adicional para especificar de forma única la dirección de la velocidad angular; convencionalmente, se utiliza la regla de la mano derecha.

Deje el pseudovector sea el vector unitario perpendicular al plano abarcado por r y v, de modo que la regla de la mano derecha está satisfecho (es decir, la dirección instantánea del desplazamiento angular es en sentido antihorario mirando desde la parte superior de). Tomando coordenadas polares en este plano, como en el caso bidimensional anterior, se puede definir el vector de velocidad angular orbital como: $$

tu {\ Displaystyle \ mathbf {u}}$$ tu {\ Displaystyle \ mathbf {u}}$$(r,ϕ) {\ Displaystyle (r, \ phi)}

$$ ω=ω tu= D ϕ D t tu= v pecado ⁡ ( θ ) r tu, {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = \ omega \ mathbf {u} = {\ frac {d \ phi} {dt}} \ mathbf {u} = {\ frac {v \ sin (\ theta)} {r}} \ mathbf {u},}

donde θ es el ángulo entre r y v. En términos del producto cruzado, esto es:

$$ ω= r × v r 2. {\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}} {r ^ {2}}}.}

De la ecuación anterior, se puede recuperar la velocidad tangencial como:

$$ v ⊥= ω× r {\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {\ perp} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}}

Suma de vectores de velocidad angular

Construcción esquemática para la adición de vectores de velocidad angular para marcos giratorios

Si un punto gira con velocidad angular orbital alrededor de su centro de rotación en un marco de coordenadas que a su vez gira con una velocidad angular de giro con respecto a un marco externo, podemos definirlo como el vector de velocidad angular orbital compuesto del punto alrededor de su centro de rotación con respecto a. Esta operación coincide con la adición habitual de vectores, y le da a la velocidad angular la estructura algebraica de un vector verdadero, en lugar de solo un pseudo-vector. $$

ω 1 {\ Displaystyle \ omega _ {1}} $$ F 1 {\ Displaystyle F_ {1}}$$ ω 2 {\ Displaystyle \ omega _ {2}}$$ F 2 {\ Displaystyle F_ {2}}$$ ω 1+ ω 2 {\ Displaystyle \ omega _ {1} + \ omega _ {2}}$$ F 2 {\ Displaystyle F_ {2}}

La única propiedad no obvia de la adición anterior es la conmutatividad. Esto se puede demostrar por el hecho de que el tensor de velocidad W (ver más abajo) es simétrico sesgado, por lo que es una matriz de rotación que se puede expandir como. La composición de las rotaciones no es conmutativa, sino conmutativa a primer orden, y por tanto. $$

R= mi W ⋅ D t {\ Displaystyle R = e ^ {W \ cdot dt}} $$R=I+W⋅Dt+ 1 2 ( W ⋅ D t ) 2 + ⋯ {\ Displaystyle R = I + W \ cdot dt + {\ tfrac {1} {2}} (W \ cdot dt) ^ {2} + \ cdots}$$(I+ W 1⋅Dt)(I+ W 2⋅Dt)=(I+ W 2⋅Dt)(I+ W 1⋅Dt) {\ Displaystyle (I + W_ {1} \ cdot dt) (I + W_ {2} \ cdot dt) = (I + W_ {2} \ cdot dt) (I + W_ {1} \ cdot dt)}$$ ω 1+ ω 2= ω 2+ ω 1 {\ Displaystyle \ omega _ {1} + \ omega _ {2} = \ omega _ {2} + \ omega _ {1}}

Observe que esto también define la resta como la suma de un vector negativo.

Velocidad angular de giro de un cuerpo rígido o marco de referencia

Dado un marco giratorio de tres vectores de coordenadas unitarias, los tres deben tener la misma velocidad angular en cada instante. En tal marco, cada vector puede considerarse como una partícula en movimiento con un radio escalar constante.

El marco giratorio aparece en el contexto de cuerpos rígidos, y se han desarrollado herramientas especiales para él: la velocidad angular de giro puede describirse como un vector o, de manera equivalente, como un tensor.

De acuerdo con la definición general, la velocidad angular de giro de un marco se define como la velocidad angular orbital de cualquiera de los tres vectores (igual para todos) con respecto a su propio centro de rotación. La adición de vectores de velocidad angular para cuadros también se define mediante la adición de vectores habitual (composición de movimientos lineales), y puede ser útil para descomponer la rotación como en un cardán. Todos los componentes del vector se pueden calcular como derivadas de los parámetros que definen los marcos móviles (ángulos de Euler o matrices de rotación). Como en el caso general, la adición es conmutativa:. $$

ω 1+ ω 2= ω 2+ ω 1 {\ Displaystyle \ omega _ {1} + \ omega _ {2} = \ omega _ {2} + \ omega _ {1}}

Según el teorema de la rotación de Euler, cualquier marco giratorio posee un eje de rotación instantáneo, que es la dirección del vector de velocidad angular, y la magnitud de la velocidad angular es consistente con el caso bidimensional.

Si elegimos un punto de referencia fijo en el cuerpo rígido, la velocidad de cualquier punto del cuerpo viene dada por $$

R {\ displaystyle {\ boldsymbol {R}}}$$ r ˙ {\ Displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {r}}}}

$$ r ˙= R ˙+( r- R)× ω {\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {r}}} = {\ dot {\ boldsymbol {R}}} + ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {R}}) \ times {\ boldsymbol { \ omega}}}

Componentes de los vectores base de un marco fijo a la carrocería

Considere un cuerpo rígido que gira alrededor de un punto fijo O. Construya un marco de referencia en el cuerpo que consista en un conjunto ortonormal de vectores fijos al cuerpo y con su origen común en O. El vector de velocidad angular tanto del marco como del cuerpo alrededor de O es entonces $$

mi 1, mi 2, mi 3 {\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2}, \ mathbf {e} _ {3}}

$$ ω= ( mi ˙ 1 ⋅ mi 2 ) mi 3+ ( mi ˙ 2 ⋅ mi 3 ) mi 1+ ( mi ˙ 3 ⋅ mi 1 ) mi 2, {\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = \ left ({\ dot {\ mathbf {e}}} _ {1} \ cdot \ mathbf {e} _ {2} \ right) \ mathbf {e} _ {3} + \ left ({\ dot {\ mathbf {e}}} _ {2} \ cdot \ mathbf {e} _ {3} \ right) \ mathbf {e} _ {1} + \ left ({ \ dot {\ mathbf {e}}} _ {3} \ cdot \ mathbf {e} _ {1} \ right) \ mathbf {e} _ {2},}

Aquí

$$ mi ˙ I= D mi I D t {\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {e}}} _ {i} = {\ frac {d \ mathbf {e} _ {i}} {dt}}}es la tasa de cambio de tiempo del vector de fotograma debido a la rotación.$$ mi I,I=1,2,3, {\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {i}, i = 1,2,3,}

Tenga en cuenta que esta fórmula es incompatible con la expresión

$$ ω= r × v r 2. {\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}} {r ^ {2}}}.}

ya que esa fórmula define solo la velocidad angular de un solo punto alrededor de O, mientras que la fórmula de esta sección se aplica a un marco o cuerpo rígido. En el caso de un cuerpo rígido, uno debe tener en cuenta el movimiento de todas las partículas del cuerpo. $$

ω {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}

Componentes de los ángulos de Euler

Diagrama que muestra el marco de Euler en verde

Leonhard Euler calculó primero los componentes del pseudovector de velocidad angular de espín usando sus ángulos de Euler y el uso de un marco intermedio:

• Un eje del marco de referencia (el eje de precesión)
• La línea de nodos del marco móvil con respecto al marco de referencia (eje de nutación)
• Un eje del marco móvil (el eje de rotación intrínseco)

Euler demostró que las proyecciones del pseudovector de velocidad angular en cada uno de estos tres ejes es la derivada de su ángulo asociado (que es equivalente a descomponer la rotación instantánea en tres rotaciones instantáneas de Euler ). Por lo tanto:

$$ ω= α ˙ tu 1+ β ˙ tu 2+ γ ˙ tu 3 {\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ dot {\ alpha}} \ mathbf {u} _ {1} + {\ dot {\ beta}} \ mathbf {u} _ {2} + {\ punto {\ gamma}} \ mathbf {u} _ {3}}

Esta base no es ortonormal y es difícil de usar, pero ahora el vector de velocidad se puede cambiar al marco fijo o al marco móvil con solo un cambio de bases. Por ejemplo, cambiando al marco móvil:

$$ ω=( α ˙pecado⁡βpecado⁡γ+ β ˙porque⁡γ) I ^+( α ˙pecado⁡βporque⁡γ- β ˙pecado⁡γ) j ^+( α ˙porque⁡β+ γ ˙) k ^ {\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = ({\ dot {\ alpha}} \ sin \ beta \ sin \ gamma + {\ dot {\ beta}} \ cos \ gamma) {\ hat {\ mathbf { i}}} + ({\ dot {\ alpha}} \ sin \ beta \ cos \ gamma - {\ dot {\ beta}} \ sin \ gamma) {\ hat {\ mathbf {j}}} + ({ \ dot {\ alpha}} \ cos \ beta + {\ dot {\ gamma}}) {\ hat {\ mathbf {k}}}}

donde están los vectores unitarios para el marco fijados en el cuerpo en movimiento. Este ejemplo se ha realizado utilizando la convención ZXZ para ángulos de Euler. $$

I ^, j ^, k ^ {\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {i}}}, {\ hat {\ mathbf {j}}}, {\ hat {\ mathbf {k}}}}

Tensor

Ver también: Matriz simétrica sesgada

El vector de velocidad angular definido anteriormente puede expresarse de manera equivalente como un tensor de velocidad angular, la matriz (o mapeo lineal) W = W ( t) definida por: $$

ω=( ω X, ω y, ω z) {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = (\ omega _ {x}, \ omega _ {y}, \ omega _ {z})}

$$W= ( 0 - ω z ω y ω z 0 - ω X - ω y ω X 0) {\ displaystyle W = {\ begin {pmatrix} 0 amp; - \ omega _ {z} amp; \ omega _ {y} \\\ omega _ {z} amp; 0 amp; - \ omega _ {x} \\ - \ omega _ {y } amp; \ omega _ {x} amp; 0 \\\ end {pmatrix}}}

Esta es una matriz de rotación infinitesimal. El mapeo lineal W actúa como: $$

( ω×) {\ displaystyle ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times)}

$$ ω× r=W⋅ r. {\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} = W \ cdot \ mathbf {r}.}

Cálculo de la matriz de orientación

Un vector que experimenta un movimiento circular uniforme alrededor de un eje fijo satisface: $$

r {\ Displaystyle \ mathbf {r}}

$$ D r D t= ω× r=W⋅ r {\ Displaystyle {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} = W \ cdot \ mathbf {r}}

Dada la matriz de orientación A ( t) de un marco, cuyas columnas son los vectores de coordenadas ortonormales en movimiento, podemos obtener su tensor de velocidad angular W ( t) de la siguiente manera. La velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores, por lo que al organizar las tres ecuaciones vectoriales en columnas de una matriz, tenemos: $$

mi 1, mi 2, mi 3 {\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2}, \ mathbf {e} _ {3}}$$ r= mi I {\ Displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {e} _ {i}}

$$ D A D t=W⋅A. {\ Displaystyle {\ frac {dA} {dt}} = W \ cdot A.}

(Esto se mantiene incluso si A ( t) no gira uniformemente.) Por lo tanto, el tensor de velocidad angular es:

$$W= D A D t⋅ A - 1= D A D t⋅ A T, {\ Displaystyle W = {\ frac {dA} {dt}} \ cdot A ^ {- 1} = {\ frac {dA} {dt}} \ cdot A ^ {\ mathrm {T}},}

ya que la inversa de la matriz ortogonal es su transpuesta. $$

A {\ Displaystyle A}$$ A T {\ Displaystyle A ^ {\ mathrm {T}}}

Propiedades

Ver también: Rotación infinitesimal

En general, la velocidad angular en un espacio n -dimensional es la derivada temporal del tensor de desplazamiento angular, que es un tensor de simetría sesgada de segundo rango.

Este tensor W tendrá n ( n −1) / 2 componentes independientes, que es la dimensión del álgebra de Lie del grupo de rotaciones de Lie de un espacio de producto interno n- dimensional.

Dualidad con respecto al vector velocidad

En tres dimensiones, la velocidad angular se puede representar mediante un pseudovector porque los tensores de segundo rango son duales a los pseudovectores en tres dimensiones. Dado que el tensor de velocidad angular W = W ( t) es una matriz de simetría oblicua :

$$W= ( 0 - ω z ω y ω z 0 - ω X - ω y ω X 0), {\ displaystyle W = {\ begin {pmatrix} 0 amp; - \ omega _ {z} amp; \ omega _ {y} \\\ omega _ {z} amp; 0 amp; - \ omega _ {x} \\ - \ omega _ {y } amp; \ omega _ {x} amp; 0 \\\ end {pmatrix}},}

su dual de Hodge es un vector, que es precisamente el vector de velocidad angular anterior. $$

ω=[ ω X, ω y, ω z] {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = [\ omega _ {x}, \ omega _ {y}, \ omega _ {z}]}

Exponencial de W

Si conocemos un marco inicial A (0) y se nos da un tensor de velocidad angular constante W, podemos obtener A ( t) para cualquier t dado. Recuerde la ecuación diferencial matricial:

$$ D A D t=W⋅A. {\ Displaystyle {\ frac {dA} {dt}} = W \ cdot A.}

Esta ecuación se puede integrar para dar:

$$A(t)= mi W tA(0), {\ Displaystyle A (t) = e ^ {Wt} A (0),}

que muestra una conexión con el grupo de rotaciones de Lie.

W es simétrico sesgado

Demostramos que el tensor de velocidad angular es simétrico sesgado, es decir, satisface. $$

W= D A ( t ) D t⋅ A T {\ Displaystyle W = {\ frac {dA (t)} {dt}} \ cdot A ^ {\ text {T}}}$$ W T=-W {\ Displaystyle W ^ {\ text {T}} = - W}

Una matriz de rotación A es ortogonal, inversa a su transpuesta, por lo que tenemos. Para una matriz de cuadros, tomando la derivada de tiempo de la ecuación se obtiene: $$

I=A⋅ A T {\ Displaystyle I = A \ cdot A ^ {\ text {T}}}$$A=A(t) {\ Displaystyle A = A (t)}

$$0= D A D t A T+A D A T D t {\ Displaystyle 0 = {\ frac {dA} {dt}} A ^ {\ text {T}} + A {\ frac {dA ^ {\ text {T}}} {dt}}}

Aplicando la fórmula, $$

(AB ) T= B T A T {\ Displaystyle (AB) ^ {\ text {T}} = B ^ {\ text {T}} A ^ {\ text {T}}}

$$0= D A D t A T+ ( D A D t A T ) T=W+ W T {\ displaystyle 0 = {\ frac {dA} {dt}} A ^ {\ text {T}} + \ left ({\ frac {dA} {dt}} A ^ {\ text {T}} \ right) ^ {\ text {T}} = W + W ^ {\ text {T}}}

Por lo tanto, W es el negativo de su transposición, lo que implica que es simétrico sesgado.

Descripción sin coordenadas

En cualquier instante, el tensor de velocidad angular representa un mapa lineal entre el vector de posición y los vectores de velocidad de un punto en un cuerpo rígido que gira alrededor del origen: $$

t {\ Displaystyle t}$$ r(t) {\ Displaystyle \ mathbf {r} (t)}$$ v(t) {\ Displaystyle \ mathbf {v} (t)}

$$ v=W r. {\ Displaystyle \ mathbf {v} = W \ mathbf {r}.}

La relación entre este mapa lineal y el pseudovector de velocidad angular es la siguiente. $$

ω {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}

Como W es la derivada de una transformación ortogonal, la forma bilineal

$$B( r, s)=(W r)⋅ s {\ Displaystyle B (\ mathbf {r}, \ mathbf {s}) = (W \ mathbf {r}) \ cdot \ mathbf {s}}

es simétrica sesgada. Por tanto, podemos aplicar el hecho del álgebra exterior de que hay una forma lineal única en ese $$

L {\ Displaystyle L}$$ Λ 2V {\ Displaystyle \ Lambda ^ {2} V}

$$L( r∧ s)=B( r, s) {\ Displaystyle L (\ mathbf {r} \ wedge \ mathbf {s}) = B (\ mathbf {r}, \ mathbf {s})}

donde es el producto exterior de y. $$

r∧ s∈ Λ 2V {\ Displaystyle \ mathbf {r} \ wedge \ mathbf {s} \ in \ Lambda ^ {2} V} $$ r {\ Displaystyle \ mathbf {r}}$$ s {\ Displaystyle \ mathbf {s}}

Tomando la aguda L ^♯ de L obtenemos

$$(W r)⋅ s= L ♯⋅( r∧ s) {\ Displaystyle (W \ mathbf {r}) \ cdot \ mathbf {s} = L ^ {\ sharp} \ cdot (\ mathbf {r} \ wedge \ mathbf {s})}

Introduciendo, como el dual de Hodge de L ^♯, y aplicando la definición del dual de Hodge dos veces suponiendo que el 3-vector unitario preferido es$$

ω: = ⋆( L ♯) {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}: = {\ star} (L ^ {\ sharp})} $$⋆1 {\ Displaystyle \ star 1}

$$(W r)⋅ s= ⋆( ⋆( L ♯)∧ r∧ s)= ⋆( ω∧ r∧ s)= ⋆( ω∧ r)⋅ s=( ω× r)⋅ s, {\ Displaystyle (W \ mathbf {r}) \ cdot \ mathbf {s} = {\ star} ({\ star} (L ^ {\ sharp}) \ wedge \ mathbf {r} \ wedge \ mathbf {s}) = {\ estrella} ({\ boldsymbol {\ omega}} \ wedge \ mathbf {r} \ wedge \ mathbf {s}) = {\ star} ({\ boldsymbol {\ omega}} \ wedge \ mathbf {r }) \ cdot \ mathbf {s} = ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}) \ cdot \ mathbf {s},}

dónde

$$ ω× r: = ⋆( ω∧ r) {\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}: = {\ star} ({\ boldsymbol {\ omega}} \ wedge \ mathbf {r})}

por definición.

Debido a que es un vector arbitrario, de la no degeneración del producto escalar se sigue $$

s {\ Displaystyle \ mathbf {s}}

$$W r= ω× r {\ Displaystyle W \ mathbf {r} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}}

Velocidad angular como campo vectorial

Dado que el tensor de velocidad angular de giro de un cuerpo rígido (en su marco de reposo) es una transformación lineal que asigna posiciones a velocidades (dentro del cuerpo rígido), se puede considerar como un campo vectorial constante. En particular, la velocidad angular de giro es un campo vectorial Killing que pertenece a un elemento del álgebra de Lie SO (3) del grupo de rotación tridimensional SO (3).

Además, se puede demostrar que el campo del vector de velocidad angular de giro es exactamente la mitad del rizo del campo del vector de velocidad lineal v ( r) del cuerpo rígido. En símbolos,

$$ ω= 1 2∇× v {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac {1} {2}} \ nabla \ times \ mathbf {v}}

Consideraciones de carrocería rígida

Ver también: convenciones de ejes Posición del punto P ubicado en el cuerpo rígido (mostrado en azul). R i es la posición con respecto al marco del laboratorio, centrada en O y r i es la posición con respecto al marco del cuerpo rígido, centrada en O ′. El origen de la estructura del cuerpo rígido está en la posición del vector R desde la estructura del laboratorio.

Se pueden obtener las mismas ecuaciones para la velocidad angular razonando sobre un cuerpo rígido giratorio. Aquí no se supone que el cuerpo rígido gira alrededor del origen. En cambio, se puede suponer que gira alrededor de un punto arbitrario que se mueve con una velocidad lineal V ( t) en cada instante.

Para obtener las ecuaciones, es conveniente imaginar un cuerpo rígido unido a los marcos y considerar un sistema de coordenadas que sea fijo con respecto al cuerpo rígido. Luego estudiaremos las transformaciones de coordenadas entre esta coordenada y el sistema fijo de "laboratorio".

Como se muestra en la figura de la derecha, el origen del sistema de laboratorio está en el punto O, el origen del sistema de cuerpo rígido es en O ' y el vector de O a O ' es R. Una partícula ( i) en el cuerpo rígido está ubicada en el punto P y la posición del vector de esta partícula es R i en el marco del laboratorio, y en la posición r i en el marco del cuerpo. Se ve que la posición de la partícula se puede escribir:

$$ R I= R+ r I {\ Displaystyle \ mathbf {R} _ {i} = \ mathbf {R} + \ mathbf {r} _ {i}}

La característica definitoria de un cuerpo rígido es que la distancia entre dos puntos cualesquiera en un cuerpo rígido no cambia en el tiempo. Esto significa que la longitud del vector no cambia. Según el teorema de la rotación de Euler, podemos reemplazar el vector con donde es una matriz de rotación de 3 × 3 y es la posición de la partícula en algún punto fijo en el tiempo, digamos t = 0. Este reemplazo es útil, porque ahora es solo la matriz de rotación la que está cambiando en el tiempo y no el vector de referencia, ya que el cuerpo rígido gira alrededor del punto O ′. Además, dado que las tres columnas de la matriz de rotación representan los tres versores de un marco de referencia que gira junto con el cuerpo rígido, cualquier rotación alrededor de cualquier eje se vuelve ahora visible, mientras que el vector no rotaría si el eje de rotación fuera paralelo a él, y por lo tanto, solo describiría una rotación alrededor de un eje perpendicular a él (es decir, no vería la componente del pseudovector de velocidad angular paralela a él, y solo permitiría el cálculo de la componente perpendicular a él). La posición de la partícula ahora se escribe como: $$

r I {\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {i}} $$ r I {\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$$ R r I o {\ Displaystyle {\ mathcal {R}} \ mathbf {r} _ {io}}$$ R {\ Displaystyle {\ mathcal {R}}} $$ r I o {\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {io}}$$ R {\ Displaystyle {\ mathcal {R}}}$$ r I o {\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {io}} $$ r I {\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}

$$ R I= R+ R r I o {\ Displaystyle \ mathbf {R} _ {i} = \ mathbf {R} + {\ mathcal {R}} \ mathbf {r} _ {io}}

Tomando la derivada del tiempo se obtiene la velocidad de la partícula:

$$ V I= V+ D R D t r I o {\ Displaystyle \ mathbf {V} _ {i} = \ mathbf {V} + {\ frac {d {\ mathcal {R}}} {dt}} \ mathbf {r} _ {io}}

donde V i es la velocidad de la partícula (en el marco del laboratorio) y V es la velocidad de O ′ (el origen del marco del cuerpo rígido). Dado que es una matriz de rotación, su inversa es su transpuesta. Entonces sustituimos: $$

R {\ Displaystyle {\ mathcal {R}}}$$ I= R T R {\ Displaystyle {\ mathcal {I}} = {\ mathcal {R}} ^ {\ text {T}} {\ mathcal {R}}}

$$ V I= V+ D R D t I r I o {\ Displaystyle \ mathbf {V} _ {i} = \ mathbf {V} + {\ frac {d {\ mathcal {R}}} {dt}} {\ mathcal {I}} \ mathbf {r} _ { io}}

$$ V I= V+ D R D t R T R r I o {\ Displaystyle \ mathbf {V} _ {i} = \ mathbf {V} + {\ frac {d {\ mathcal {R}}} {dt}} {\ mathcal {R}} ^ {\ text {T} } {\ mathcal {R}} \ mathbf {r} _ {io}}

$$ V I= V+ D R D t R T r I {\ Displaystyle \ mathbf {V} _ {i} = \ mathbf {V} + {\ frac {d {\ mathcal {R}}} {dt}} {\ mathcal {R}} ^ {\ text {T} } \ mathbf {r} _ {i}}

o

$$ V I= V+W r I {\ Displaystyle \ mathbf {V} _ {i} = \ mathbf {V} + W \ mathbf {r} _ {i}}

donde es el tensor de velocidad angular anterior. $$

W= D R D t R T {\ Displaystyle W = {\ frac {d {\ mathcal {R}}} {dt}} {\ mathcal {R}} ^ {\ text {T}}}

Se puede demostrar que esta es una matriz simétrica sesgada, por lo que podemos tomar su dual para obtener un pseudovector tridimensional que es precisamente el vector de velocidad angular anterior: $$

ω {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}

$$ ω=[ ω X, ω y, ω z] {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = [\ omega _ {x}, \ omega _ {y}, \ omega _ {z}]}

Sustituyendo ω por W en la expresión de velocidad anterior y reemplazando la multiplicación de matrices por un producto cruzado equivalente:

$$ V I= V+ ω× r I {\ Displaystyle \ mathbf {V} _ {i} = \ mathbf {V} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} _ {i}}

Se puede ver que la velocidad de un punto en un cuerpo rígido se puede dividir en dos términos: la velocidad de un punto de referencia fijo en el cuerpo rígido más el término del producto cruzado que involucra la velocidad angular orbital de la partícula con respecto a la referencia. punto. Esta velocidad angular es lo que los físicos llaman el "giro velocidad angular" del cuerpo rígido, en comparación con el orbital velocidad angular del punto de referencia O ' sobre el origen O.

Consistencia

Hemos supuesto que el cuerpo rígido gira alrededor de un punto arbitrario. Debemos demostrar que la velocidad angular de giro definida previamente es independiente de la elección del origen, lo que significa que la velocidad angular de giro es una propiedad intrínseca del cuerpo rígido giratorio. (Tenga en cuenta el marcado contraste de esto con el orbital velocidad angular de una partícula puntual, que ciertamente no depende de la elección de origen.)

Demostrar la independencia de la velocidad angular de giro de la elección del origen

Vea el gráfico de la derecha: el origen del marco de laboratorio es O, mientras que O 1 y O 2 son dos puntos fijos en el cuerpo rígido, cuya velocidad es y respectivamente. Suponga que la velocidad angular con respecto a O 1 y O 2 es y respectivamente. Dado que los puntos P y O 2 tienen una sola velocidad, $$

v 1 {\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1}}$$ v 2 {\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {2}}$$ ω 1 {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {1}}$$ ω 2 {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {2}}

$$ v 1+ ω 1× r 1= v 2+ ω 2× r 2 {\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1} + {\ boldsymbol {\ omega}} _ {1} \ times \ mathbf {r} _ {1} = \ mathbf {v} _ {2} + {\ boldsymbol {\ omega}} _ {2} \ times \ mathbf {r} _ {2}}

$$ v 2= v 1+ ω 1× r= v 1+ ω 1×( r 1- r 2) {\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {2} = \ mathbf {v} _ {1} + {\ boldsymbol {\ omega}} _ {1} \ times \ mathbf {r} = \ mathbf {v} _ { 1} + {\ boldsymbol {\ omega}} _ {1} \ times (\ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2})}

Los dos anteriores dan como resultado

$$( ω 2- ω 1)× r 2=0 {\ displaystyle ({\ boldsymbol {\ omega}} _ {2} - {\ boldsymbol {\ omega}} _ {1}) \ times \ mathbf {r} _ {2} = 0}

Dado que el punto P (y por tanto) es arbitrario, se sigue que $$

r 2 {\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {2}}

$$ ω 1= ω 2 {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {1} = {\ boldsymbol {\ omega}} _ {2}}

Si el punto de referencia es el eje de rotación instantáneo, la expresión de la velocidad de un punto en el cuerpo rígido tendrá solo el término de velocidad angular. Esto se debe a que la velocidad del eje de rotación instantáneo es cero. Un ejemplo de eje de rotación instantáneo es la bisagra de una puerta. Otro ejemplo es el punto de contacto de un cuerpo rígido esférico (o, más generalmente, convexo) puramente rodante.

Ver también

• Aceleración angular
• Frecuencia angular
• Momento angular
• Velocidad de área
• Isometria
• Grupo ortogonal
• Dinámica corporal rígida
• Vorticidad

Referencias

• Symon, Keith (1971). Mecánica. Addison-Wesley, Reading, MA. ISBN   978-0-201-07392-8.
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1997). Mecánica. Butterworth-Heinemann. ISBN   978-0-7506-2896-9.

enlaces externos

Busque la velocidad angular en Wiktionary, el diccionario gratuito.

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con la velocidad angular.

• Un libro de texto universitario de física por Arthur Lalanne Kimball ( Velocidad angular de una partícula)
• Pickering, Steve (2009). "ω Velocidad de rotación [Velocidad angular]". Sesenta símbolos. Brady Haran para la Universidad de Nottingham.