En física, la velocidad angular o la velocidad de rotación ( o), también conocida como vector de frecuencia angular, es una medida vectorial de la velocidad de rotación, que se refiere a qué tan rápido gira o gira un objeto en relación con otro punto, es decir, qué tan rápido la posición u orientación angular de un objeto cambia con el tiempo.
Hay dos tipos de velocidad angular. La velocidad angular orbital se refiere a la rapidez con la que un objeto puntual gira alrededor de un origen fijo, es decir, la tasa de cambio en el tiempo de su posición angular con respecto al origen. La velocidad angular de giro se refiere a qué tan rápido gira un cuerpo rígido con respecto a su centro de rotación y es independiente de la elección del origen, en contraste con la velocidad angular orbital.
En general, la velocidad angular tiene una dimensión de ángulo por unidad de tiempo (ángulo que reemplaza la distancia de la velocidad lineal con el tiempo en común). La unidadSI de velocidad angular es radianes por segundo, siendo el radianes una cantidad adimensional, por lo que las unidades SI de velocidad angular pueden aparecer como s −1. La velocidad angular generalmente se representa con el símbolo omega ( ω, a veces Ω). Por convención, la velocidad angular positiva indica una rotación en sentido antihorario, mientras que la negativa es en el sentido de las agujas del reloj.
Por ejemplo, un satélite geoestacionario completa una órbita por día sobre el ecuador, o 360 grados cada 24 horas, y tiene una velocidad angular ω = (360 °) / (24 h) = 15 ° / h, o (2π rad) / ( 24 h) ≈ 0,26 rad / h. Si el ángulo se mide en radianes, la velocidad lineal es el radio por la velocidad angular,. Con un radio de órbita a 42 000 km del centro de la Tierra, la velocidad del satélite a través del espacio es, por tanto, v = 42 000 km × 0,26 / h ≈ 11 000 km / h. La velocidad angular es positiva ya que el satélite viaja hacia el este con la rotación de la Tierra (en sentido contrario a las agujas del reloj desde arriba del polo norte).
La velocidad angular es un pseudovector, cuya magnitud mide la velocidad angular, la velocidad a la que un objeto gira o gira y su dirección apunta perpendicular al plano instantáneo de rotación o desplazamiento angular. La orientación de la velocidad angular se especifica convencionalmente mediante la regla de la mano derecha.
Contenido
1 Velocidad angular orbital de una partícula puntual
1.1 Partícula en dos dimensiones
1.2 Partícula en tres dimensiones
1.2.1 Suma de vectores de velocidad angular
2 Velocidad angular de giro de un cuerpo rígido o marco de referencia
2.1 Componentes de los vectores base de una estructura fija de cuerpo
2.2 Componentes de los ángulos de Euler
3 Tensor
3.1 Cálculo a partir de la matriz de orientación
4 propiedades
4.1 Dualidad con respecto al vector velocidad
4.2 Exponencial de W
4.3 W es simétrico sesgado
4.4 Descripción sin coordenadas
4.5 Velocidad angular como campo vectorial
5 Consideraciones de carrocería rígida
5.1 Coherencia
6 Véase también
7 referencias
8 Enlaces externos
Velocidad angular orbital de una partícula puntual
Partícula en dos dimensiones
La velocidad angular de la partícula en P con respecto al origen O está determinada por la componente perpendicular del vector velocidad v.
En el caso más simple de movimiento circular en el radio, con la posición dada por el desplazamiento angular del eje x, la velocidad angular orbital es la velocidad de cambio de ángulo con respecto al tiempo:. Si se mide en radianes, la longitud del arco desde el eje x positivo alrededor del círculo hasta la partícula es, y la velocidad lineal es, de modo que.
En el caso general de una partícula que se mueve en el plano, la velocidad angular orbital es la tasa a la que el vector de posición relativo a un origen elegido "barre" el ángulo. El diagrama muestra el vector de posición desde el origen hasta una partícula, con sus coordenadas polares. (Todas las variables son funciones del tiempo). La partícula tiene una velocidad lineal que se divide como, con el componente radial paralelo al radio y el componente radial cruzado (o tangencial) perpendicular al radio. Cuando no hay componente radial, la partícula se mueve alrededor del origen en un círculo; pero cuando no hay componente radial transversal, se mueve en línea recta desde el origen. Dado que el movimiento radial deja el ángulo sin cambios, solo el componente radial transversal de la velocidad lineal contribuye a la velocidad angular.
La velocidad angular ω es la tasa de cambio de la posición angular con respecto al tiempo, que se puede calcular a partir de la velocidad radial transversal como:
Aquí la velocidad radial cruzada es la magnitud con signo de, positivo para el movimiento en sentido antihorario, negativo para el sentido de las agujas del reloj. Al tomar las coordenadas polares para la velocidad lineal se obtiene la magnitud (velocidad lineal) y el ángulo en relación con el vector de radio; en estos términos, para que
Estas fórmulas se pueden derivar haciendo, siendo una función de la distancia al origen con respecto al tiempo, y una función del ángulo entre el vector y el eje x. Entonces. Que es igual a. (Ver Vector unitario en coordenadas cilíndricas). Sabiendo, concluimos que la componente radial de la velocidad viene dada por, porque es un vector unitario radial; y la componente perpendicular viene dada por porque es un vector unitario perpendicular.
En dos dimensiones, la velocidad angular es un número con un signo más o menos que indica la orientación, pero que no apunta en una dirección. El signo se toma convencionalmente como positivo si el vector de radio gira en sentido contrario a las agujas del reloj y negativo si en el sentido de las agujas del reloj. La velocidad angular puede denominarse pseudoescalar, una cantidad numérica que cambia de signo bajo una inversión de paridad, como invertir un eje o cambiar los dos ejes.
Partícula en tres dimensiones
El vector de velocidad angular orbital codifica la tasa de cambio de posición angular en el tiempo, así como el plano instantáneo de desplazamiento angular. En este caso (movimiento circular en sentido antihorario) el vector apunta hacia arriba.
En el espacio tridimensional, nuevamente tenemos el vector de posición r de una partícula en movimiento. Aquí, la velocidad angular orbital es un pseudovector cuya magnitud es la velocidad a la que r barre ángulo, y cuya dirección es perpendicular al plano instantáneo en el que r barre ángulo (es decir, el plano abarcado por r y v). Sin embargo, como hay dos direcciones perpendiculares a cualquier plano, es necesaria una condición adicional para especificar de forma única la dirección de la velocidad angular; convencionalmente, se utiliza la regla de la mano derecha.
Deje el pseudovector sea el vector unitario perpendicular al plano abarcado por r y v, de modo que la regla de la mano derecha está satisfecho (es decir, la dirección instantánea del desplazamiento angular es en sentido antihorario mirando desde la parte superior de). Tomando coordenadas polares en este plano, como en el caso bidimensional anterior, se puede definir el vector de velocidad angular orbital como:
donde θ es el ángulo entre r y v. En términos del producto cruzado, esto es:
De la ecuación anterior, se puede recuperar la velocidad tangencial como:
Suma de vectores de velocidad angular
Construcción esquemática para la adición de vectores de velocidad angular para marcos giratorios
Si un punto gira con velocidad angular orbital alrededor de su centro de rotación en un marco de coordenadas que a su vez gira con una velocidad angular de giro con respecto a un marco externo, podemos definirlo como el vector de velocidad angular orbital compuesto del punto alrededor de su centro de rotación con respecto a. Esta operación coincide con la adición habitual de vectores, y le da a la velocidad angular la estructura algebraica de un vector verdadero, en lugar de solo un pseudo-vector.
La única propiedad no obvia de la adición anterior es la conmutatividad. Esto se puede demostrar por el hecho de que el tensor de velocidad W (ver más abajo) es simétrico sesgado, por lo que es una matriz de rotación que se puede expandir como. La composición de las rotaciones no es conmutativa, sino conmutativa a primer orden, y por tanto.
Observe que esto también define la resta como la suma de un vector negativo.
Velocidad angular de giro de un cuerpo rígido o marco de referencia
Dado un marco giratorio de tres vectores de coordenadas unitarias, los tres deben tener la misma velocidad angular en cada instante. En tal marco, cada vector puede considerarse como una partícula en movimiento con un radio escalar constante.
El marco giratorio aparece en el contexto de cuerpos rígidos, y se han desarrollado herramientas especiales para él: la velocidad angular de giro puede describirse como un vector o, de manera equivalente, como un tensor.
De acuerdo con la definición general, la velocidad angular de giro de un marco se define como la velocidad angular orbital de cualquiera de los tres vectores (igual para todos) con respecto a su propio centro de rotación. La adición de vectores de velocidad angular para cuadros también se define mediante la adición de vectores habitual (composición de movimientos lineales), y puede ser útil para descomponer la rotación como en un cardán. Todos los componentes del vector se pueden calcular como derivadas de los parámetros que definen los marcos móviles (ángulos de Euler o matrices de rotación). Como en el caso general, la adición es conmutativa:.
Si elegimos un punto de referencia fijo en el cuerpo rígido, la velocidad de cualquier punto del cuerpo viene dada por
Componentes de los vectores base de un marco fijo a la carrocería
Considere un cuerpo rígido que gira alrededor de un punto fijo O. Construya un marco de referencia en el cuerpo que consista en un conjunto ortonormal de vectores fijos al cuerpo y con su origen común en O. El vector de velocidad angular tanto del marco como del cuerpo alrededor de O es entonces
Aquí
es la tasa de cambio de tiempo del vector de fotograma debido a la rotación.
Tenga en cuenta que esta fórmula es incompatible con la expresión
ya que esa fórmula define solo la velocidad angular de un solo punto alrededor de O, mientras que la fórmula de esta sección se aplica a un marco o cuerpo rígido. En el caso de un cuerpo rígido, uno debe tener en cuenta el movimiento de todas las partículas del cuerpo.
Componentes de los ángulos de Euler
Diagrama que muestra el marco de Euler en verde
Leonhard Euler calculó primero los componentes del pseudovector de velocidad angular de espín usando sus ángulos de Euler y el uso de un marco intermedio:
Un eje del marco de referencia (el eje de precesión)
La línea de nodos del marco móvil con respecto al marco de referencia (eje de nutación)
Un eje del marco móvil (el eje de rotación intrínseco)
Euler demostró que las proyecciones del pseudovector de velocidad angular en cada uno de estos tres ejes es la derivada de su ángulo asociado (que es equivalente a descomponer la rotación instantánea en tres rotaciones instantáneas de Euler ). Por lo tanto:
Esta base no es ortonormal y es difícil de usar, pero ahora el vector de velocidad se puede cambiar al marco fijo o al marco móvil con solo un cambio de bases. Por ejemplo, cambiando al marco móvil:
donde están los vectores unitarios para el marco fijados en el cuerpo en movimiento. Este ejemplo se ha realizado utilizando la convención ZXZ para ángulos de Euler.
El vector de velocidad angular definido anteriormente puede expresarse de manera equivalente como un tensor de velocidad angular, la matriz (o mapeo lineal) W = W ( t) definida por: