Bicommutante

En álgebra, el bicomutante de un subconjunto S de un semigrupo (como un álgebra o un grupo ) es el conmutador del conmutador de ese subconjunto. También se conoce como doble conmutador o segundo conmutador y está escrito. $$

El bicomutante es particularmente útil en la teoría de operadores, debido al teorema del doble conmutador de von Neumann, que relaciona las estructuras algebraicas y analíticas de las álgebras de operadores. Específicamente, muestra que si M es un álgebra de operador unital autoadjunto en el C * -álgebra B (H), para algún espacio de Hilbert H, entonces el cierre débil, el cierre fuerte y el bicomutante de M son iguales. Esto nos dice que un C * -subálgebra M unital de B (H) es un álgebra de von Neumann si, y solo si, y que si no, el álgebra de von Neumann que genera lo es. $$

El bicommutant de S siempre contiene S. Entonces. Por otro lado,. Así, es decir el commutant de la bicommutant de S es igual a la commutant de S. Por inducción, tenemos: $$

$$ S ′= S ′ ′ ′= S ′ ′ ′ ′ ′=...= S 2 norte - 1=... {\ Displaystyle S ^ {\ prime} = S ^ {\ prime \ prime \ prime} = S ^ {\ prime \ prime \ prime \ prime \ prime} = \ ldots = S ^ {2n-1} = \ ldots}

y

$$S⊆ S ′ ′= S ′ ′ ′ ′= S ′ ′ ′ ′ ′ ′=...= S 2 norte=... {\ Displaystyle S \ subseteq S ^ {\ prime \ prime} = S ^ {\ prime \ prime \ prime \ prime} = S ^ {\ prime \ prime \ prime \ prime \ prime \ prime} = \ ldots = S ^ {2n} = \ ldots}

para n gt; 1.

Está claro que, si S 1 y S 2 son subconjuntos de un semigrupo,

$$ ( S 1 ∪ S 2 ) ′= S 1 ′∩ S 2 ′. {\ Displaystyle \ left (S_ {1} \ cup S_ {2} \ right) '= S_ {1}' \ cap S_ {2} '.}

Si se supone que y (este es el caso, por ejemplo, de las álgebras de von Neumann ), entonces la igualdad anterior da $$

$$ ( S 1 ′ ∪ S 2 ′ ) ″= ( S 1 ″ ∩ S 2 ″ ) ′= ( S 1 ∩ S 2 ) ′. {\ Displaystyle \ left (S_ {1} '\ cup S_ {2}' \ right) '' = \ left (S_ {1} '' \ cap S_ {2} '' \ right) '= \ left (S_ {1} \ cap S_ {2} \ right) '.}

Ver también

• Teorema del doble conmutador de von Neumann