El cálculo, originalmente llamado cálculo infinitesimal o "el cálculo de infinitesimales ", es el estudio matemático del cambio continuo, de la misma manera que la geometría es el estudio de la forma y el álgebra es el estudio de las generalizaciones de las operaciones aritméticas.
Tiene dos ramas principales, cálculo diferencial y cálculo integral ; el primero se refiere a las tasas de cambio instantáneas y las pendientes de las curvas, mientras que el cálculo integral se refiere a la acumulación de cantidades y áreas debajo o entre las curvas. Estas dos ramas están relacionadas entre sí por el teorema fundamental del cálculo, y hacen uso de las nociones fundamentales de convergencia de sucesionesinfinitas y series infinitas hasta un límite bien definido.
En la educación matemática, el cálculo denota cursos de análisis matemático elemental, que se dedican principalmente al estudio de funciones y límites. La palabra cálculo (plural cálculos) es una América palabra, que originalmente significa "pequeña piedra" (este significado se mantiene en la medicina - ver Cálculo (medicina) ). Debido a que tales guijarros se usaban para contar (o medir) una distancia recorrida por los dispositivos de transporte que se usaban en la antigua Roma, el significado de la palabra ha evolucionado y hoy en día generalmente significa un método de cálculo. Por lo tanto, se utiliza para nombrar métodos específicos de cálculo y teorías relacionadas, como el cálculo proposicional, el cálculo de Ricci, el cálculo de variaciones, el cálculo lambda y el cálculo de procesos.
El cálculo moderno fue desarrollado en la Europa del siglo XVII por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz (independientemente el uno del otro, publicando por primera vez aproximadamente al mismo tiempo), pero algunos elementos aparecieron en la antigua Grecia, luego en China y Oriente Medio, y aún más tarde. en la Europa medieval y en la India.
El período antiguo introdujo algunas de las ideas que llevaron al cálculo integral, pero no parece haberlas desarrollado de manera rigurosa y sistemática. Los cálculos de volumen y área, uno de los objetivos del cálculo integral, se pueden encontrar en el papiroegipcio deMoscú ( dinastía XIII, c. 1820 aC); pero las fórmulas son instrucciones simples, sin indicación del método, y algunas de ellas carecen de componentes importantes.
El método de agotamiento fue descubierto más tarde de forma independiente en China por Liu Hui en el siglo III d.C. para encontrar el área de un círculo. En el siglo V d.C., Zu Gengzhi, hijo de Zu Chongzhi, estableció un método que más tarde se llamaría el principio de Cavalieri para encontrar el volumen de una esfera.
Medieval
Oriente Medio
Alhazen, matemático y físico árabe del siglo XI
En el Medio Oriente, Hasan Ibn al-Haytham, latinizado como Alhazen ( c. 965 - c. 1040 EC) derivó una fórmula para la suma de cuartos poderes. Utilizó los resultados para realizar lo que ahora se llamaría una integración de esta función, donde las fórmulas para las sumas de cuadrados integrales y cuartas potencias le permitieron calcular el volumen de un paraboloide.
India
En el siglo XIV, los matemáticos indios dieron un método no riguroso, parecido a la diferenciación, aplicable a algunas funciones trigonométricas. Madhava de Sangamagrama y la Escuela de Astronomía y Matemáticas de Kerala establecieron componentes del cálculo. Una teoría completa que abarca estos componentes es ahora bien conocida en el mundo occidental como la serie de Taylor o aproximaciones de series infinitas. Sin embargo, no fueron capaces de "combinar muchas ideas diferentes bajo los dos temas unificadores de la derivada y la integral, mostrar la conexión entre los dos y convertir el cálculo en la gran herramienta de resolución de problemas que tenemos hoy".
Moderno
El cálculo fue el primer logro de las matemáticas modernas y es difícil sobreestimar su importancia. Creo que define de manera más inequívoca que cualquier otra cosa el inicio de las matemáticas modernas, y el sistema de análisis matemático, que es su desarrollo lógico, sigue constituyendo el mayor avance técnico en el pensamiento exacto.
Johannes Kepler 's de trabajo Stereometrica doliorum formó la base del cálculo integral. Kepler desarrolló un método de "suma de los radios" para calcular el área de una elipse.
Un trabajo significativo fue un tratado, cuyo origen fueron los métodos de Kepler, escritos por Bonaventura Cavalieri, quien argumentó que los volúmenes y áreas deben calcularse como las sumas de los volúmenes y áreas de secciones transversales infinitesimalmente delgadas. Las ideas eran similares a las de Arquímedes en El método, pero se cree que este tratado se perdió en el siglo XIII y solo fue redescubierto a principios del siglo XX, por lo que Cavalieri lo desconocía. El trabajo de Cavalieri no fue muy respetado ya que sus métodos podían conducir a resultados erróneos, y las cantidades infinitesimales que introdujo eran de mala reputación al principio.
La regla del producto y regla de la cadena, las nociones de derivadas de orden superior y la serie de Taylor, y de funciones analíticas fueron utilizados por Isaac Newton en una notación idiosincrásica que aplicó para resolver los problemas de la física matemática. En sus obras, Newton reformuló sus ideas para adaptarlas al lenguaje matemático de la época, reemplazando los cálculos con infinitesimales por argumentos geométricos equivalentes que se consideraron irreprochables. Usó los métodos del cálculo para resolver el problema del movimiento planetario, la forma de la superficie de un fluido en rotación, la achatamiento de la tierra, el movimiento de un peso que se desliza sobre una cicloide y muchos otros problemas discutidos en su Principia Mathematica ( 1687). En otro trabajo, desarrolló expansiones de series para funciones, incluidos poderes fraccionarios e irracionales, y estaba claro que entendía los principios de la serie de Taylor. No publicó todos estos descubrimientos, y en ese momento los métodos infinitesimales todavía se consideraban de mala reputación.
Estas ideas fueron organizadas en un verdadero cálculo de infinitesimales por Gottfried Wilhelm Leibniz, quien originalmente fue acusado de plagio por Newton. Ahora se le considera un inventor independiente y contribuyente al cálculo. Su contribución fue proporcionar un conjunto claro de reglas para trabajar con cantidades infinitesimales, permitiendo el cálculo de derivadas segundas y superiores, y proporcionando la regla del producto y la regla de la cadena, en sus formas diferencial e integral. A diferencia de Newton, Leibniz prestó mucha atención al formalismo y, a menudo, pasó días determinando los símbolos apropiados para los conceptos.
Hoy en día, a Leibniz y Newton se les suele atribuir el mérito de haber inventado y desarrollado el cálculo de forma independiente. Newton fue el primero en aplicar el cálculo a la física general y Leibniz desarrolló gran parte de la notación que se usa en el cálculo en la actualidad. Las ideas básicas que proporcionaron Newton y Leibniz fueron las leyes de diferenciación e integración, derivadas segundas y superiores, y la noción de una serie polinómica aproximada. En la época de Newton, se conocía el teorema fundamental del cálculo.
Cuando Newton y Leibniz publicaron por primera vez sus resultados, hubo una gran controversia sobre qué matemático (y, por lo tanto, qué país) merecía crédito. Newton obtuvo sus resultados primero (que luego se publicarán en su Método de fluxiones ), pero Leibniz publicó primero su " Nova Methodus pro Maximis et Minimis ". Newton afirmó que Leibniz robó ideas de sus notas inéditas, que Newton había compartido con algunos miembros de la Royal Society. Esta controversia dividió a los matemáticos de habla inglesa de los matemáticos de Europa continental durante muchos años, en detrimento de las matemáticas inglesas. Un examen cuidadoso de los artículos de Leibniz y Newton muestra que llegaron a sus resultados de forma independiente, con Leibniz comenzando primero con la integración y Newton con la diferenciación. Sin embargo, fue Leibniz quien dio nombre a la nueva disciplina. Newton llamó a su cálculo " la ciencia de las fluxiones ".
Desde la época de Leibniz y Newton, muchos matemáticos han contribuido al continuo desarrollo del cálculo. Una de las primeras y más completas obras sobre cálculo infinitesimal e integral fue escrita en 1748 por Maria Gaetana Agnesi.
En cálculo, fundamentos se refiere al desarrollo riguroso del tema a partir de axiomas y definiciones. En el cálculo temprano, se pensaba que el uso de cantidades infinitesimales no era riguroso y varios autores, en particular Michel Rolle y el obispo Berkeley, lo criticaron ferozmente. Berkeley describió a los infinitesimales como los fantasmas de cantidades que partieron en su libro The Analyst en 1734. La elaboración de una base rigurosa para el cálculo ocupó a los matemáticos durante gran parte del siglo que siguió a Newton y Leibniz, y hasta cierto punto sigue siendo un área activa de investigación en la actualidad.
Varios matemáticos, incluido Maclaurin, intentaron probar la solidez de utilizar infinitesimales, pero no sería hasta 150 años después cuando, gracias al trabajo de Cauchy y Weierstrass, finalmente se encontró una forma de evitar meras "nociones" de cantidades infinitamente pequeñas.. Se han sentado las bases del cálculo diferencial e integral. En el Cours d'Analyse de Cauchy, encontramos una amplia gama de enfoques fundamentales, incluida una definición de continuidad en términos de infinitesimales y un prototipo (algo impreciso) de una definición de límite (ε, δ) en la definición de diferenciación. En su obra, Weierstrass formalizó el concepto de límite y eliminó los infinitesimales (aunque su definición realmente puede validar los infinitesimales nilcuadrados ). Siguiendo el trabajo de Weierstrass, eventualmente se hizo común basar el cálculo en límites en lugar de cantidades infinitesimales, aunque el tema todavía se llama ocasionalmente "cálculo infinitesimal". Bernhard Riemann utilizó estas ideas para dar una definición precisa de la integral. También fue durante este período que las ideas del cálculo se generalizaron al espacio euclidiano y al plano complejo.
En las matemáticas modernas, los fundamentos del cálculo se incluyen en el campo del análisis real, que contiene definiciones completas y pruebas de los teoremas del cálculo. El alcance del cálculo también se ha ampliado enormemente. Henri Lebesgue inventó la teoría de la medida y la usó para definir integrales de todas las funciones menos las más patológicas. Laurent Schwartz introdujo distribuciones, que pueden usarse para tomar la derivada de cualquier función.
Los límites no son el único enfoque riguroso de la base del cálculo. Otra forma es utilizar Abraham Robinson 's análisis no estándar. El enfoque de Robinson, desarrollado en la década de 1960, utiliza maquinaria técnica de la lógica matemática para aumentar el sistema de números reales con números infinitesimales e infinitos, como en la concepción original de Newton-Leibniz. Los números resultantes se denominan números hiperreales y se pueden usar para dar un desarrollo similar al de Leibniz de las reglas habituales del cálculo. También hay un análisis infinitesimal suave, que se diferencia del análisis no estándar en que obliga a descuidar los infinitesimales de mayor potencia durante las derivaciones.
Significado
Si bien muchas de las ideas del cálculo se habían desarrollado anteriormente en Grecia, China, India, Irak, Persia y Japón, el uso del cálculo comenzó en Europa, durante el siglo XVII, cuando Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz se basaron en el trabajo de matemáticos anteriores para presentar sus principios básicos. El desarrollo del cálculo se basó en conceptos anteriores de movimiento instantáneo y área debajo de las curvas.
El cálculo también se utiliza para obtener una comprensión más precisa de la naturaleza del espacio, el tiempo y el movimiento. Durante siglos, matemáticos y filósofos lucharon con paradojas que implicaban la división por cero o la suma de infinitos números. Estas preguntas surgen en el estudio del movimiento y el área. El antiguo filósofo griegoZenón de Elea dio varios ejemplos famosos de tales paradojas. El cálculo proporciona herramientas, especialmente el límite y la serie infinita, que resuelven las paradojas.
El cálculo generalmente se desarrolla trabajando con cantidades muy pequeñas. Históricamente, el primer método para hacerlo fue por infinitesimales. Se trata de objetos que pueden tratarse como números reales pero que, en cierto sentido, son "infinitamente pequeños". Por ejemplo, un número infinitesimal podría ser mayor que 0, pero menor que cualquier número en la secuencia 1, 1/2, 1/3,... y por lo tanto menor que cualquier número real positivo. Desde este punto de vista, el cálculo es una colección de técnicas para manipular infinitesimales. Los símbolos y se tomaron como infinitesimales, y la derivada era simplemente su proporción.
El enfoque infinitesimal cayó en desgracia en el siglo XIX porque era difícil precisar la noción de infinitesimal. Sin embargo, el concepto revivió en el siglo XX con la introducción del análisis no estándar y el análisis infinitesimal suave, que proporcionó bases sólidas para la manipulación de infinitesimales.
A finales del siglo XIX, los infinitesimales fueron reemplazados dentro de la academia por el enfoque épsilon, delta, de los límites. Los límites describen el valor de una función en una determinada entrada en términos de sus valores en entradas cercanas. Capturan el comportamiento a pequeña escala en el contexto del sistema de números reales. En este tratamiento, el cálculo es una colección de técnicas para manipular ciertos límites. Los infinitesimales se reemplazan por números muy pequeños, y el comportamiento infinitamente pequeño de la función se encuentra tomando el comportamiento limitante para números cada vez más pequeños. Se pensaba que los límites proporcionaban una base más rigurosa para el cálculo y, por esta razón, se convirtieron en el enfoque estándar durante el siglo XX.
Calculo diferencial
Artículo principal: cálculo diferencial Recta tangente en ( x 0, f ( x 0)). La derivada f ′ ( x) de una curva en un punto es la pendiente (subida sobre la carrera) de la línea tangente a esa curva en ese punto.
El cálculo diferencial es el estudio de la definición, propiedades y aplicaciones de la derivada de una función. El proceso de encontrar la derivada se llama diferenciación. Dada una función y un punto en el dominio, la derivada en ese punto es una forma de codificar el comportamiento a pequeña escala de la función cerca de ese punto. Al encontrar la derivada de una función en cada punto de su dominio, es posible producir una nueva función, llamada función derivada o simplemente derivada de la función original. En términos formales, la derivada es un operador lineal que toma una función como entrada y produce una segunda función como salida. Esto es más abstracto que muchos de los procesos estudiados en álgebra elemental, donde las funciones generalmente ingresan un número y dan salida a otro número. Por ejemplo, si a la función de duplicación se le da la entrada tres, entonces da como resultado seis, y si a la función de cuadratura se le da la entrada tres, entonces da como resultado nueve. Sin embargo, la derivada puede tomar la función de cuadratura como entrada. Esto significa que la derivada toma toda la información de la función de elevación al cuadrado, como que dos se envía a cuatro, tres se envía a nueve, cuatro se envía a dieciséis, y así sucesivamente, y usa esta información para producir otra función. La función producida al derivar la función de cuadratura resulta ser la función de duplicación.
En términos más explícitos, la "función de duplicación" puede ser denotada por g ( x) = 2 x y la "función de elevación al cuadrado" por f ( x) = x 2. La "derivada" ahora toma la función f ( x), definida por la expresión " x 2 ", como entrada, es decir, toda la información, como que dos se envían a cuatro, tres se envían a nueve, cuatro se envían a dieciséis, y así sucesivamente, y utiliza esta información para generar otra función, la función g ( x) = 2 x, como resultará.
El símbolo más común para un derivado es una marca similar a un apóstrofo llamada prima. Así, la derivada de una función llamada f se denota por f ′, que se pronuncia "f prima". Por ejemplo, si f ( x) = x 2 es la función de elevación al cuadrado, entonces f ′ ( x) = 2 x es su derivada (la función de duplicación g de arriba). Esta notación se conoce como notación de Lagrange.
Si la entrada de la función representa el tiempo, entonces la derivada representa el cambio con respecto al tiempo. Por ejemplo, si f es una función que toma un tiempo como entrada y da la posición de una bola en ese momento como salida, entonces la derivada de f es cómo cambia la posición en el tiempo, es decir, es la velocidad de la bola.
Si una función es lineal (es decir, si la gráfica de la función es una línea recta), entonces la función se puede escribir como y = mx + b, donde x es la variable independiente, y es la variable dependiente, b es la intercepción y, y:
Esto da un valor exacto para la pendiente de una línea recta. Sin embargo, si la gráfica de la función no es una línea recta, entonces el cambio en y dividido por el cambio en x varía. Las derivadas dan un significado exacto a la noción de cambio en la producción con respecto al cambio en la entrada. Para ser concreto, sea f una función y fije un punto a en el dominio de f. ( a, f ( a)) es un punto en la gráfica de la función. Si h es un número cercano a cero, entonces a + h es un número cercano a a. Por lo tanto, ( a + h, f ( a + h)) está cerca de ( a, f ( a)). La pendiente entre estos dos puntos es
Esta expresión se llama cociente de diferencias. Una línea que pasa por dos puntos en una curva se llama línea secante, por lo que m es la pendiente de la línea secante entre ( a, f ( a)) y ( a + h, f ( a + h)). La línea secante es sólo una aproximación al comportamiento de la función en el punto a, ya que no da cuenta de lo que ocurre entre una y un + h. No es posible descubrir el comportamiento en a estableciendo h en cero porque esto requeriría dividir por cero, que no está definido. La derivada se define tomando el límite cuando h tiende a cero, lo que significa que considera el comportamiento de f para todos los valores pequeños de hy extrae un valor consistente para el caso en que h es igual a cero:
Geométricamente, la derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en a. La recta tangente es un límite de rectas secantes al igual que la derivada es un límite de cocientes en diferencias. Por esta razón, la derivada a veces se llama pendiente de la función f.
Aquí hay un ejemplo particular, la derivada de la función de cuadratura en la entrada 3. Sea f ( x) = x 2 la función de cuadratura.
La derivada f ′ ( x) de una curva en un punto es la pendiente de la recta tangente a esa curva en ese punto. Esta pendiente se determina considerando el valor límite de las pendientes de las líneas secantes. Aquí la función involucrada (dibujada en rojo) es f ( x) = x 3 - x. La recta tangente (en verde) que pasa por el punto (−3/2, −15/8) tiene una pendiente de 23/4. Tenga en cuenta que las escalas vertical y horizontal en esta imagen son diferentes.
Arquímedes utilizó el método del agotamiento para calcular el área bajo una parábola. 
Alhazen, matemático y físico árabe del siglo XI 
Isaac Newton desarrolló el uso del cálculo en sus leyes del movimiento y la gravitación. 
Gottfried Wilhelm Leibniz fue el primero en enunciar claramente las reglas del cálculo. 
Maria Gaetana Agnesi 
Recta tangente en ( x 0, f ( x 0)). La derivada f ′ ( x) de una curva en un punto es la pendiente (subida sobre la carrera) de la línea tangente a esa curva en ese punto. 
La derivada f ′ ( x) de una curva en un punto es la pendiente de la recta tangente a esa curva en ese punto. Esta pendiente se determina considerando el valor límite de las pendientes de las líneas secantes. Aquí la función involucrada (dibujada en rojo) es f ( x) = x 3 - x. La recta tangente (en verde) que pasa por el punto (−3/2, −15/8) tiene una pendiente de 23/4. Tenga en cuenta que las escalas vertical y horizontal en esta imagen son diferentes.