Formalismo tetrad

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(Redirigido del formalismo de Cartan (física) ) Este artículo trata sobre tétradas generales. Para tétradas ortonormales, consulte Campos de marco en relatividad general.

El formalismo de la tétrada es un enfoque de la relatividad general que generaliza la elección de la base para el haz tangente desde una base de coordenadas a la elección menos restrictiva de una base local, es decir, un conjunto definido localmente de cuatro campos vectoriales linealmente independientes llamados tétrada.

En el formalismo de la tétrada, todos los tensores se representan en términos de una base elegida. (Cuando se generaliza a otras dimensiones que no sean cuatro, este enfoque recibe otros nombres.) Como formalismo más que como teoría, no hace predicciones diferentes, pero permite que las ecuaciones relevantes se expresen de manera diferente.

La ventaja del formalismo de la tétrada sobre el enfoque estándar basado en coordenadas de la relatividad general radica en la capacidad de elegir la base de la tétrada para reflejar aspectos físicos importantes del espacio-tiempo. La notación de índice abstracto denota tensores como si estuvieran representados por sus coeficientes con respecto a una tétrada local fija. En comparación con una notación libre completamente coordinada, que a menudo es conceptualmente más clara, permite una forma fácil y computacionalmente explícita de denotar contracciones.

Contenido

1 Formulación matemática
2 Relación con el formalismo estándar
- 2.1 Manipulación de índices
3 Ver también
4 notas
5 referencias
6 Enlaces externos

Formulación matemática

En el formalismo de la tétrada, se elige una base de tétrada: un conjunto de cuatro campos vectoriales independientes

e_{a}=e_{a}{}^{\mu }\partial _{\mu }

mi un= mi un μ ∂ μ

{\ Displaystyle e_ {a} = e_ {a} {} ^ {\ mu} \ parcial _ {\ mu}}

{\ Displaystyle e_ {a} = e_ {a} {} ^ {\ mu} \ parcial _ {\ mu}}

para que juntos abarcan el vector 4D espacio tangente en cada punto en el espacio-tiempo. Doblemente, una tétrada determina (y está determinada por) una doble co-tétrada: un conjunto de cuatro covectores independientes (formas 1) $a=1,\ldots,4$

un=1,...,4

{\ Displaystyle a = 1, \ ldots, 4}

{\ Displaystyle a = 1, \ ldots, 4}

e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }

mi un= mi un μre X μ

{\ Displaystyle e ^ {a} = e ^ {a} {} _ {\ mu} dx ^ {\ mu}}

{\ Displaystyle e ^ {a} = e ^ {a} {} _ {\ mu} dx ^ {\ mu}}

tal que

e^{a}(e_{b})=e^{a}{}_{\mu }e^{\mu }{}_{b}=\delta _{b}^{a},

mi un( mi segundo)= mi un μ mi μ segundo= δ segundo un,

{\ Displaystyle e ^ {a} (e_ {b}) = e ^ {a} {} _ {\ mu} e ^ {\ mu} {} _ {b} = \ delta _ {b} ^ {a},}

{\ Displaystyle e ^ {a} (e_ {b}) = e ^ {a} {} _ {\ mu} e ^ {\ mu} {} _ {b} = \ delta _ {b} ^ {a},}

¿Dónde está el delta de Kronecker ? Una tétrada generalmente se especifica por sus coeficientes con respecto a una base de coordenadas, a pesar de que la elección de un conjunto de coordenadas (locales) es innecesaria para la especificación de una tétrada. Cada covector es una forma de soldadura. $\delta _{b}^{a}$

δ segundo un

{\ Displaystyle \ delta _ {b} ^ {a}}

{\ Displaystyle \ delta _ {b} ^ {a}}

e^{\mu }{}_{a}

mi μ un

{\ Displaystyle e ^ {\ mu} {} _ {a}}

{\ Displaystyle e ^ {\ mu} {} _ {a}}

x^{\mu }

X μ

{\ displaystyle x ^ {\ mu}}

x ^ \ mu

Desde el punto de vista de la geometría diferencial de los haces de fibras, los cuatro campos vectoriales definen una sección del haz de cuadros, es decir, una paralelización del cual es equivalente a un isomorfismo. Dado que no todas las variedades son paralelizables, una tétrada generalmente solo se puede elegir localmente. $\{e_{a}\}_{a=1\dots 4}$

{ mi un } un = 1 ... 4

{\ Displaystyle \ {e_ {a} \} _ {a = 1 \ dots 4}}

{\ Displaystyle \ {e_ {a} \} _ {a = 1 \ dots 4}}

METRO

{\ Displaystyle M}

METRO

TM\cong M\times {\mathbb {R} ^{4}}

TMETRO≅METRO× R 4

{\ Displaystyle TM \ cong M \ times {\ mathbb {R} ^ {4}}}

{\ Displaystyle TM \ cong M \ times {\ mathbb {R} ^ {4}}}

Todos los tensores de la teoría se pueden expresar en la base del vector y el covector, expresándolos como combinaciones lineales de miembros de la (co) tétrada. Por ejemplo, el tensor métrico del espacio-tiempo puede transformarse de una base de coordenadas con la tétrada base.

Las bases de tétradas populares incluyen tétradas ortonormales y tétradas nulas. Las tétradas nulas están compuestas por cuatro vectores nulos, por lo que se utilizan con frecuencia en problemas relacionados con la radiación y son la base del formalismo de Newman-Penrose y del formalismo de GHP.

Relación con el formalismo estándar

El formalismo estándar de la geometría diferencial (y la relatividad general) consiste simplemente en usar la tétrada de coordenadas en el formalismo de la tétrada. La tétrada de coordenadas es el conjunto canónico de vectores asociados con el gráfico de coordenadas. La tétrada coordenada se denota comúnmente mientras que la cotetrada dual se denota. Estos vectores tangentes generalmente se definen como operadores de derivadas direccionales : dado un gráfico que mapea un subconjunto de la variedad en el espacio de coordenadas y cualquier campo escalar, los vectores de coordenadas son tales que: $\{\partial _{\mu }\}$

{ ∂ μ}

{\ Displaystyle \ {\ parcial _ {\ mu} \}}

{\ Displaystyle \ {\ parcial _ {\ mu} \}}

\{dx^{\mu }\}

{re X μ}

{\ Displaystyle \ {dx ^ {\ mu} \}}

\ {dx ^ \ mu \}

{\varphi =(\varphi ^{1},\ldots,\varphi ^{n})}

φ = ( φ 1 , ... , φ norte )

{\ Displaystyle {\ varphi = (\ varphi ^ {1}, \ ldots, \ varphi ^ {n})}}

{\ Displaystyle {\ varphi = (\ varphi ^ {1}, \ ldots, \ varphi ^ {n})}}

\mathbb {R} ^{n}

R norte

{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}

\ mathbb {R} ^ {n}

{\ Displaystyle f}

F

\partial _{\mu }[f]\equiv {\frac {\partial (f\circ \varphi ^{-1})}{\partial x^{\mu }}}.

∂ μ[F]≡ ∂ ( F ∘ φ - 1 ) ∂ X μ.

{\ estilo de exhibición \ parcial _ {\ mu} [f] \ equiv {\ frac {\ parcial (f \ circ \ varphi ^ {- 1})} {\ parcial x ^ {\ mu}}}.}

{\ estilo de exhibición \ parcial _ {\ mu} [f] \ equiv {\ frac {\ parcial (f \ circ \ varphi ^ {- 1})} {\ parcial x ^ {\ mu}}}.}

La definición de cotetrad utiliza el abuso habitual de notación para definir covectors (formas 1) en. La participación de la tétrada coordinada no suele hacerse explícita en el formalismo estándar. En el formalismo de la tétrada, en lugar de escribir las ecuaciones de los tensores completamente (incluidos los elementos de la tétrada y los productos del tensor como se indicó anteriormente), solo se mencionan los componentes de los tensores. Por ejemplo, la métrica se escribe como " ". Cuando la tétrada no se especifica, se trata de especificar el tipo de tensor llamado notación de índice abstracto. Permite especificar fácilmente la contracción entre tensores repitiendo índices como en la convención de suma de Einstein. $dx^{\mu }=d\varphi ^{\mu }$

re X μ=re φ μ

{\ Displaystyle dx ^ {\ mu} = d \ varphi ^ {\ mu}}

dx ^ \ mu = d \ varphi ^ \ mu

METRO

{\ Displaystyle M}

METRO

\otimes

⊗

{\ Displaystyle \ otimes}

\ otimes

g_{ab}

gramo un segundo

{\ Displaystyle g_ {ab}}

charla}

Cambiar tétradas es una operación de rutina en el formalismo estándar, ya que está involucrado en cada transformación de coordenadas (es decir, cambiar de una base de tétradas de coordenadas a otra). Es necesario cambiar entre varios gráficos de coordenadas porque, excepto en casos triviales, no es posible que un solo gráfico de coordenadas cubra toda la variedad. El cambio ay entre tétradas generales es muy similar e igualmente necesario (excepto para las variedades paralelizables ). Cualquier tensor puede escribirse localmente en términos de esta tétrada coordinada o una (co) tétrada general.

Por ejemplo, el tensor métrico se puede expresar como: $\mathbf {g}$

gramo

{\ Displaystyle \ mathbf {g}}

{\ Displaystyle \ mathbf {g}}

\mathbf {g} =g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }\qquad {\text{where}}~g_{\mu \nu }=\mathbf {g} (\partial _{\mu },\partial _{\nu }).

gramo= gramo μ νre X μre X ν dónde gramo μ ν= gramo( ∂ μ, ∂ ν).

{\ Displaystyle \ mathbf {g} = g _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu} \ qquad {\ text {donde}} ~ g _ {\ mu \ nu} = \ mathbf {g } (\ parcial _ {\ mu}, \ parcial _ {\ nu}).}

{\ Displaystyle \ mathbf {g} = g _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu} \ qquad {\ text {donde}} ~ g _ {\ mu \ nu} = \ mathbf {g } (\ parcial _ {\ mu}, \ parcial _ {\ nu}).}

(Aquí usamos la convención de suma de Einstein ). Asimismo, la métrica se puede expresar con respecto a una (co) tétrada arbitraria como

\mathbf {g} =g_{ab}e^{a}e^{b}\qquad {\text{where}}~g_{ab}=\mathbf {g} \left(e_{a},e_{b}\right).

gramo= gramo un segundo mi un mi segundo dónde gramo un segundo= gramo ( mi un , mi segundo ).

{\ Displaystyle \ mathbf {g} = g_ {ab} e ^ {a} e ^ {b} \ qquad {\ text {donde}} ~ g_ {ab} = \ mathbf {g} \ left (e_ {a}, e_ {b} \ right).}

{\ Displaystyle \ mathbf {g} = g_ {ab} e ^ {a} e ^ {b} \ qquad {\ text {donde}} ~ g_ {ab} = \ mathbf {g} \ left (e_ {a}, e_ {b} \ right).}

Aquí, utilizamos la elección del alfabeto ( latín y griego ) para las variables de índice para distinguir la base aplicable.

Podemos trasladar de una co-tétrada general a la co-tétrada de coordenadas expandiendo el covector. Entonces obtenemos $e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }$

mi un= mi un μre X μ

{\ Displaystyle e ^ {a} = e ^ {a} {} _ {\ mu} dx ^ {\ mu}}

{\ Displaystyle e ^ {a} = e ^ {a} {} _ {\ mu} dx ^ {\ mu}}

\mathbf {g} =g_{ab}e^{a}e^{b}=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }

gramo= gramo un segundo mi un mi segundo= gramo un segundo mi un μ mi segundo νre X μre X ν= gramo μ νre X μre X ν

{\ Displaystyle \ mathbf {g} = g_ {ab} e ^ {a} e ^ {b} = g_ {ab} e ^ {a} {} _ {\ mu} e ^ {b} {} _ {\ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu} = g _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu}}

{\ Displaystyle \ mathbf {g} = g_ {ab} e ^ {a} e ^ {b} = g_ {ab} e ^ {a} {} _ {\ mu} e ^ {b} {} _ {\ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu} = g _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu}}

de lo que se sigue eso. Asimismo, expandiendo con respecto a la tétrada general, obtenemos $g_{\mu \nu }=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }$

gramo μ ν= gramo un segundo mi un μ mi segundo ν

{\ Displaystyle g _ {\ mu \ nu} = g_ {ab} e ^ {a} {} _ {\ mu} e ^ {b} {} _ {\ nu}}

{\ Displaystyle g _ {\ mu \ nu} = g_ {ab} e ^ {a} {} _ {\ mu} e ^ {b} {} _ {\ nu}}

dx^{\mu }=e^{\mu }{}_{a}e^{a}

re X μ= mi μ un mi un

{\ Displaystyle dx ^ {\ mu} = e ^ {\ mu} {} _ {a} e ^ {a}}

{\ Displaystyle dx ^ {\ mu} = e ^ {\ mu} {} _ {a} e ^ {a}}

\mathbf {g} =g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}e^{a}e^{b}=g_{ab}e^{a}e^{b}

gramo= gramo μ νre X μre X ν= gramo μ ν mi μ un mi ν segundo mi un mi segundo= gramo un segundo mi un mi segundo

{\ Displaystyle \ mathbf {g} = g _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu} = g _ {\ mu \ nu} e ^ {\ mu} {} _ {a} e ^ {\ nu} {} _ {b} e ^ {a} e ^ {b} = g_ {ab} e ^ {a} e ^ {b}}

{\ Displaystyle \ mathbf {g} = g _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu} = g _ {\ mu \ nu} e ^ {\ mu} {} _ {a} e ^ {\ nu} {} _ {b} e ^ {a} e ^ {b} = g_ {ab} e ^ {a} e ^ {b}}

lo que demuestra eso. $g_{ab}=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}$

gramo un segundo= gramo μ ν mi μ un mi ν segundo

{\ Displaystyle g_ {ab} = g _ {\ mu \ nu} e ^ {\ mu} {} _ {a} e ^ {\ nu} {} _ {b}}

{\ Displaystyle g_ {ab} = g _ {\ mu \ nu} e ^ {\ mu} {} _ {a} e ^ {\ nu} {} _ {b}}

Manipulación de índices

La manipulación con coeficientes de tétrada muestra que las fórmulas de índice abstracto pueden, en principio, obtenerse a partir de fórmulas de tensores con respecto a una tétrada de coordenadas "reemplazando el griego por índices latinos". Sin embargo, se debe tener cuidado de que una fórmula de tétrada coordinada defina un tensor genuino cuando se trata de diferenciación. Dado que los campos del vector de coordenadas tienen un corchete de Lie que desaparece (es decir, conmutar:), las sustituciones ingenuas de fórmulas que calculan correctamente los coeficientes del tensor con respecto a una tétrada coordenada pueden no definir correctamente un tensor con respecto a una tétrada general porque el corchete de Lie no se desvanece:. Por tanto, a veces se dice que las coordenadas de la tétrada proporcionan una base no holonómica. $\partial _{\mu }\partial _{\nu }=\partial _{\nu }\partial _{\mu }$

∂ μ ∂ ν= ∂ ν ∂ μ

{\ estilo de exhibición \ parcial _ {\ mu} \ parcial _ {\ nu} = \ parcial _ {\ nu} \ parcial _ {\ mu}}

\ parcial_ \ mu \ parcial_ \ nu = \ parcial_ \ nu \ parcial_ \ mu

[e_{a},e_{b}]\neq 0

[ mi un, mi segundo]≠0

{\ Displaystyle [e_ {a}, e_ {b}] \ neq 0}

{\ Displaystyle [e_ {a}, e_ {b}] \ neq 0}

Por ejemplo, el tensor de curvatura de Riemann se define para campos vectoriales generales por

X,Y

{\ Displaystyle X, Y}

X, Y

R(X,Y)=\left(\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}\right)

R(X,Y)= ( ∇ X ∇ Y - ∇ Y ∇ X - ∇ [ X , Y ] )

{\ Displaystyle R (X, Y) = \ left (\ nabla _ {X} \ nabla _ {Y} - \ nabla _ {Y} \ nabla _ {X} - \ nabla _ {[X, Y]} \ derecho)}

{\ Displaystyle R (X, Y) = \ left (\ nabla _ {X} \ nabla _ {Y} - \ nabla _ {Y} \ nabla _ {X} - \ nabla _ {[X, Y]} \ derecho)}

En una tétrada de coordenadas esto da coeficientes tensoriales

R_{\ \nu \sigma \tau }^{\mu }=dx^{\mu }\left((\nabla _{\sigma }\nabla _{\tau }-\nabla _{\tau }\nabla _{\sigma })\partial _{\nu }\right).

R ν σ τ μ=re X μ ( ( ∇ σ ∇ τ - ∇ τ ∇ σ ) ∂ ν ).

{\ Displaystyle R _ {\ \ nu \ sigma \ tau} ^ {\ mu} = dx ^ {\ mu} \ left ((\ nabla _ {\ sigma} \ nabla _ {\ tau} - \ nabla _ {\ tau } \ nabla _ {\ sigma}) \ parcial _ {\ nu} \ derecha).}

{\ Displaystyle R _ {\ \ nu \ sigma \ tau} ^ {\ mu} = dx ^ {\ mu} \ left ((\ nabla _ {\ sigma} \ nabla _ {\ tau} - \ nabla _ {\ tau } \ nabla _ {\ sigma}) \ parcial _ {\ nu} \ derecha).}

La ingenua sustitución del "griego al latín" de esta última expresión

R_{\ bcd}^{a}=e^{a}\left((\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c})e_{b}\right)\qquad {\text{(wrong!)}}

R segundo C re un= mi un ( ( ∇ C ∇ re - ∇ re ∇ C ) mi segundo ) (¡incorrecto!)

{\ Displaystyle R _ {\ bcd} ^ {a} = e ^ {a} \ left ((\ nabla _ {c} \ nabla _ {d} - \ nabla _ {d} \ nabla _ {c}) e_ { b} \ right) \ qquad {\ text {(¡incorrecto!)}}}

{\ Displaystyle R _ {\ bcd} ^ {a} = e ^ {a} \ left ((\ nabla _ {c} \ nabla _ {d} - \ nabla _ {d} \ nabla _ {c}) e_ { b} \ right) \ qquad {\ text {(¡incorrecto!)}}}

es incorrecta porque para c y d fijos, es, en general, un operador diferencial de primer orden en lugar de un operador de orden cero que define un coeficiente tensorial. Sustituyendo una base de tétrada general en la fórmula abstracta, encontramos la definición adecuada de la curvatura en notación de índice abstracto, sin embargo: $\left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}\right)$

( ∇ C ∇ re - ∇ re ∇ C )

{\ Displaystyle \ left (\ nabla _ {c} \ nabla _ {d} - \ nabla _ {d} \ nabla _ {c} \ right)}

{\ Displaystyle \ left (\ nabla _ {c} \ nabla _ {d} - \ nabla _ {d} \ nabla _ {c} \ right)}

R_{\ bcd}^{a}=e^{a}\left((\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}-f_{cd}{}^{e}\nabla _{e})e_{b}\right)

R segundo C re un= mi un ( ( ∇ C ∇ re - ∇ re ∇ C - F C re mi ∇ mi ) mi segundo )

{\ Displaystyle R _ {\ bcd} ^ {a} = e ^ {a} \ left ((\ nabla _ {c} \ nabla _ {d} - \ nabla _ {d} \ nabla _ {c} -f_ { cd} {} ^ {e} \ nabla _ {e}) e_ {b} \ right)}

{\ Displaystyle R _ {\ bcd} ^ {a} = e ^ {a} \ left ((\ nabla _ {c} \ nabla _ {d} - \ nabla _ {d} \ nabla _ {c} -f_ { cd} {} ^ {e} \ nabla _ {e}) e_ {b} \ right)}

donde. Tenga en cuenta que la expresión es de hecho un operador de orden cero, por lo tanto (el componente ( c d) de) un tensor. Dado que concuerda con la expresión de coordenadas para la curvatura cuando se especializa en una tétrada de coordenadas, está claro, incluso sin usar la definición abstracta de la curvatura, que define el mismo tensor que la expresión de base de coordenadas. $[e_{a},e_{b}]=f_{ab}{}^{c}e_{c}$

[ mi un, mi segundo]= F un segundo C mi C

{\ Displaystyle [e_ {a}, e_ {b}] = f_ {ab} {} ^ {c} e_ {c}}

{\ Displaystyle [e_ {a}, e_ {b}] = f_ {ab} {} ^ {c} e_ {c}}

\left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}-f_{cd}{}^{e}\nabla _{e}\right)

( ∇ C ∇ re - ∇ re ∇ C - F C re mi ∇ mi )

{\ Displaystyle \ left (\ nabla _ {c} \ nabla _ {d} - \ nabla _ {d} \ nabla _ {c} -f_ {cd} {} ^ {e} \ nabla _ {e} \ right)}

{\ Displaystyle \ left (\ nabla _ {c} \ nabla _ {d} - \ nabla _ {d} \ nabla _ {c} -f_ {cd} {} ^ {e} \ nabla _ {e} \ right)}

Ver también

Notas

Referencias

De Felice, F.; Clarke, CJS (1990), Relativity on Curved Manifolds (publicado por primera vez en 1990 ed.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-26639-4
Benn, MI; Tucker, RW (1987), Introducción a los espinores y la geometría con aplicaciones en física (publicado por primera vez en 1987, ed.), Adam Hilger, ISBN 0-85274-169-3

enlaces externos

Relatividad general con tétradas