En álgebra, dado un anillo R, la categoría de módulos izquierdos sobre R es la categoría cuyos objetos son todos módulos izquierdos sobre R y cuyos morfismos son todos homomorfismos de módulo entre R -módulos izquierdos. Por ejemplo, cuando R es el anillo de números enteros Z, es lo mismo que la categoría de grupos abelianos. La categoría de módulos adecuados se define de forma similar.
Nota: algunos autores utilizan el término categoría de módulo para la categoría de módulos. Este término puede ser ambiguo ya que también podría referirse a una categoría con una acción de categoría monoidal.
Las categorías de módulos izquierdo y derecho son categorías abelianas. Estas categorías tienen suficientes proyectivos y suficientes inyectivos. El teorema de inclusión de Mitchell establece que cada categoría abeliana surge como una subcategoría completa de la categoría de módulos.
Los límites proyectivos y los límites inductivos existen en las categorías de módulos izquierdo y derecho.
Sobre un anillo conmutativo, junto con el producto tensorial de los módulos ⊗, la categoría de módulos es una categoría monoidal simétrica.
La categoría K - Vect (algunos autores usan Vect K) tiene todos los espacios vectoriales sobre un campo K como objetos y K -mapas lineales como morfismos. Dado que los espacios vectoriales sobre K (como campo) son lo mismo que los módulos sobre el anillo K, K - Vect es un caso especial de R - Mod, la categoría de módulos R izquierdos.
Gran parte del álgebra lineal se refiere a la descripción de K - Vect. Por ejemplo, el teorema de la dimensión para los espacios vectoriales dice que las clases de isomorfismo en K - Vect corresponden exactamente a los números cardinales, y que K - Vect es equivalente a la subcategoría de K - Vect que tiene como objetos los espacios vectoriales K n, donde n es cualquier número cardinal.
La categoría de haces de módulos sobre un espacio anillado también tiene suficientes inyecciones (aunque no siempre suficientes proyectivas).
