Pareja (mecánica)

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Aceleración angular / desplazamiento / frecuencia / velocidad

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En la mecánica, una pareja es un sistema de fuerzas con una resultante (también conocido como red o la suma) momento, pero sin fuerza resultante.

Un término mejor es fuerza par o momento puro. Su efecto es crear una rotación sin traslación, o más generalmente sin ninguna aceleración del centro de masa. En la mecánica de cuerpos rígidos, los pares de fuerzas son vectores libres, lo que significa que sus efectos sobre un cuerpo son independientes del punto de aplicación.

El momento resultante de un par se llama torque. Esto no debe confundirse con el término torque tal como se usa en física, donde es simplemente un sinónimo de momento. En cambio, el par es un caso especial de momento. El par tiene propiedades especiales que el momento no tiene, en particular la propiedad de ser independiente del punto de referencia, como se describe a continuación.

Contenido

1 Pareja simple
2 Independencia del punto de referencia
3 Fuerzas y parejas
4 aplicaciones
5 Véase también
6 referencias

Simple pareja

Definición

Un par es un par de fuerzas, de igual magnitud, dirigidas de manera opuesta y desplazadas por una distancia o momento perpendicular.

El tipo más simple de pareja consiste en dos fuerzas iguales y opuestas cuyas líneas de acción no coinciden. A esto se le llama "pareja simple". Las fuerzas tienen un efecto de giro o momento llamado torque alrededor de un eje que es normal (perpendicular) al plano de las fuerzas. La unidad SI para el par de torsión de la pareja es newton metro.

Si las dos fuerzas son F y -F, entonces la magnitud del par viene dada por la siguiente fórmula:

\tau =Fd\,

τ=FD

{\ Displaystyle \ tau = Fd \,}

\ tau = Fd \,

dónde

\tau

{\ Displaystyle \ tau}

\ tau

es el momento de la pareja

F es la magnitud de la fuerza

d es la distancia perpendicular (momento) entre las dos fuerzas paralelas

La magnitud del par es igual a F • d, con la dirección del par dada por el vector unitario, que es perpendicular al plano que contiene las dos fuerzas y positivo es un par en sentido antihorario. Cuando d es tomado como un vector entre los puntos de acción de las fuerzas, entonces el par es el producto vectorial de d y F, es decir, ${\hat {e}}$

mi ^

{\ Displaystyle {\ hat {e}}}

{\odio}}

\mathbf {\tau } =|\mathbf {d} \times \mathbf {F} |.

τ= | D× F |.

{\ Displaystyle \ mathbf {\ tau} = | \ mathbf {d} \ times \ mathbf {F} |.}

{\ Displaystyle \ mathbf {\ tau} = | \ mathbf {d} \ times \ mathbf {F} |.}

Independencia del punto de referencia

El momento de una fuerza sólo se define con respecto a un cierto punto P (se dice que es el "momento sobre P ") y, en general, cuando P cambia, el momento cambia. Sin embargo, el momento (torque) de un par es independiente del punto de referencia P: cualquier punto dará el mismo momento. En otras palabras, un vector de par, a diferencia de cualquier otro vector de momento, es un "vector libre". (Este hecho se llama Teorema del segundo momento de Varignon ).

La prueba de esta afirmación es la siguiente: suponga que hay un conjunto de vectores de fuerza F 1, F 2, etc. que forman un par, con vectores de posición (sobre algún origen P), r 1, r 2, etc., respectivamente.. El momento sobre P es

M=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\cdots

METRO= r 1× F 1+ r 2× F 2+⋯

{\ Displaystyle M = \ mathbf {r} _ {1} \ times \ mathbf {F} _ {1} + \ mathbf {r} _ {2} \ times \ mathbf {F} _ {2} + \ cdots}

M = {\ mathbf {r}} _ {1} \ times {\ mathbf {F}} _ {1} + {\ mathbf {r}} _ {2} \ times {\ mathbf {F}} _ {2 } + \ cdots

Ahora elegimos un nuevo punto de referencia P ' que difiere de P por el vector r. El nuevo momento es

M'=(\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r})\times \mathbf {F} _{1}+(\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r})\times \mathbf {F} _{2}+\cdots

METRO ′=( r 1+ r)× F 1+( r 2+ r)× F 2+⋯

{\ Displaystyle M '= (\ mathbf {r} _ {1} + \ mathbf {r}) \ times \ mathbf {F} _ {1} + (\ mathbf {r} _ {2} + \ mathbf {r }) \ times \ mathbf {F} _ {2} + \ cdots}

M '= ({\ mathbf {r}} _ {1} + {\ mathbf {r}}) \ times {\ mathbf {F}} _ {1} + ({\ mathbf {r}} _ {2} + {\ mathbf {r}}) \ times {\ mathbf {F}} _ {2} + \ cdots

Ahora, la propiedad distributiva del producto cruzado implica

M'=\left(\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\cdots \right)+\mathbf {r} \times \left(\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}+\cdots \right).

METRO ′= ( r 1 × F 1 + r 2 × F 2 + ⋯ )+ r× ( F 1 + F 2 + ⋯ ).

{\ Displaystyle M '= \ left (\ mathbf {r} _ {1} \ times \ mathbf {F} _ {1} + \ mathbf {r} _ {2} \ times \ mathbf {F} _ {2} + \ cdots \ right) + \ mathbf {r} \ times \ left (\ mathbf {F} _ {1} + \ mathbf {F} _ {2} + \ cdots \ right).}

M '= \ left ({\ mathbf {r}} _ {1} \ times {\ mathbf {F}} _ {1} + {\ mathbf {r}} _ {2} \ times {\ mathbf {F} } _ {2} + \ cdots \ right) + {\ mathbf {r}} \ times \ left ({\ mathbf {F}} _ {1} + {\ mathbf {F}} _ {2} + \ cdots \Derecha).

Sin embargo, la definición de un par de fuerzas significa que

\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}+\cdots =0.

F 1+ F 2+⋯=0.

{\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {1} + \ mathbf {F} _ {2} + \ cdots = 0.}

{\ mathbf {F}} _ {1} + {\ mathbf {F}} _ {2} + \ cdots = 0.

Por lo tanto,

M'=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\cdots =M

METRO ′= r 1× F 1+ r 2× F 2+⋯=METRO

{\ Displaystyle M '= \ mathbf {r} _ {1} \ times \ mathbf {F} _ {1} + \ mathbf {r} _ {2} \ times \ mathbf {F} _ {2} + \ cdots = M}

M '= {\ mathbf {r}} _ {1} \ times {\ mathbf {F}} _ {1} + {\ mathbf {r}} _ {2} \ times {\ mathbf {F}} _ { 2} + \ cdots = M

Esto prueba que el momento es independiente del punto de referencia, lo que prueba que una pareja es un vector libre.

Fuerzas y parejas

Una fuerza F aplicada a un cuerpo rígido a una distancia d del centro de masa tiene el mismo efecto que la misma fuerza aplicada directamente al centro de masa y un par Cℓ = Fd. El par produce una aceleración angular del cuerpo rígido en ángulo recto con el plano del par. La fuerza en el centro de masa acelera el cuerpo en la dirección de la fuerza sin cambio de orientación. Los teoremas generales son:

Una sola fuerza que actúa en cualquier punto O ′ de un cuerpo rígido puede ser reemplazada por una fuerza igual y paralela F que actúa en cualquier punto dado O y un par con fuerzas paralelas a F cuyo momento es M = Fd, siendo d la separación de O y O ′. Por el contrario, un par y una fuerza en el plano del par pueden ser reemplazados por una sola fuerza, convenientemente ubicada.

Cualquier pareja puede ser reemplazada por otra en el mismo plano de la misma dirección y momento, teniendo cualquier fuerza deseada o cualquier brazo deseado.

Aplicaciones

Las parejas son muy importantes en la ingeniería mecánica y las ciencias físicas. Algunos ejemplos son:

Las fuerzas ejercidas por la mano sobre un destornillador.
Las fuerzas ejercidas por la punta de un destornillador sobre la cabeza de un tornillo.
Fuerzas de arrastre que actúan sobre una hélice giratoria.
Fuerzas sobre un dipolo eléctrico en un campo eléctrico uniforme.
El sistema de control de reacción en una nave espacial.
Fuerza ejercida por las manos sobre el volante.

En un cristal líquido, es la rotación de un eje óptico llamado director lo que produce la funcionalidad de estos compuestos. Como explicó Jerald Ericksen

A primera vista, puede parecer que se trata de la óptica o la electrónica, más que de la mecánica. En realidad, los cambios en el comportamiento óptico, etc. están asociados con cambios en la orientación. A su vez, estos son producidos por parejas. De manera muy aproximada, es similar a doblar un alambre aplicando pares.

Ver también

Referencias

HF Girvin (1938) Mecánica aplicada, §28 Parejas, págs. 33,4, Scranton Pennsylvania: Compañía internacional de libros de texto.