Doble factorial

El factorial doble no debe confundirse con la función factorial iterada dos veces (secuencia A000197 en la OEIS ), que se escribe como y no.$$(norte!)! {\ displaystyle (¡n!)!}$$norte!! {\ Displaystyle n !!} Los quince diagramas de acordes diferentes en seis puntos, o lo que es lo mismo, las quince combinaciones perfectas diferentes en un gráfico completo de seis vértices. Estos son contados por los dobles factoriales 15 = (6 - 1)!.

En matemáticas, el doble factorial o semifactorial de un número n, denotado por n ‼, es el producto de todos los números enteros desde 1 hasta n que tienen la misma paridad (par o impar) que n. Es decir,

$$norte!!= ∏ k = 0 ⌈ norte 2 ⌉ - 1(norte-2k)=norte(norte-2)(norte-4)⋯. {\ Displaystyle n !! = \ prod _ {k = 0} ^ {\ left \ lceil {\ frac {n} {2}} \ right \ rceil -1} (n-2k) = n (n-2) (n-4) \ cdots.}

Para n pares, el factorial doble es

$$norte!!= ∏ k = 1 norte 2(2k)=norte(norte-2)(norte-4)⋯4⋅2, {\ Displaystyle n !! = \ prod _ {k = 1} ^ {\ frac {n} {2}} (2k) = n (n-2) (n-4) \ cdots 4 \ cdot 2 \,, }

y por extraño n es

$$norte!!= ∏ k = 1 norte + 1 2(2k-1)=norte(norte-2)(norte-4)⋯3⋅1. {\ Displaystyle n !! = \ prod _ {k = 1} ^ {\ frac {n + 1} {2}} (2k-1) = n (n-2) (n-4) \ cdots 3 \ cdot 1 \,.}

Por ejemplo, 9‼ = 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945. El cero doble factorial 0‼ = 1 como un producto vacío.

La secuencia de factoriales dobles para n = 0, 2, 4, 6, 8,... comienza como

1, 2, 8, 48, 384, 3840, 46080, 645120,... (secuencia A000165 en la OEIS )

La secuencia de factoriales dobles para n impares = 1, 3, 5, 7, 9,... comienza como

1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135,... (secuencia A001147 en la OEIS )

El término factorial impar se usa a veces para el factorial doble de un número impar.

• 1 Historia y uso
• 2 Relación con el factorial
• 3 Aplicaciones en combinatoria enumerativa
• 4 extensiones
  • 4.1 Argumentos negativos
  • 4.2 Argumentos complejos
• 5 identidades adicionales
• 6 Generalizaciones
  • 6.1 Definiciones
  • 6.2 Extensión alternativa de lo multifactorial
  • 6.3 Números de Stirling generalizados que amplían las funciones multifactoriales
  • 6.4 Sumas finitas exactas que involucran múltiples funciones factoriales
• 7 referencias

Historia y uso

En un artículo de 1902, el físico Arthur Schuster escribió:

La representación simbólica de los resultados de este artículo se ve mucho más facilitada por la introducción de un símbolo separado para el producto de factores alternativos, si es impar, o si es impar [sic]. Propongo escribir para tales productos, y si se requiere un nombre para el producto, llamarlo "factorial alternativo" o "factorial doble".$$

norte⋅norte-2⋅norte-4⋯1 {\ Displaystyle n \ cdot n-2 \ cdot n-4 \ cdots 1}$$norte {\ Displaystyle n}$$norte⋅norte-2⋯2 {\ Displaystyle n \ cdot n-2 \ cdots 2}$$norte {\ Displaystyle n}$$norte!! {\ Displaystyle n !!}

Meserve (1948) afirma que el doble factorial se introdujo originalmente para simplificar la expresión de ciertas integrales trigonométricas que surgen en la derivación del producto de Wallis. Los factoriales dobles también surgen al expresar el volumen de una hiperesfera, y tienen muchas aplicaciones en la combinatoria enumerativa. Ocurren en la distribución t de Student (1908), aunque Gosset no utilizó la notación de doble signo de exclamación.

Relación con el factorial

Debido a que el factorial doble solo involucra aproximadamente la mitad de los factores del factorial ordinario, ¡su valor no es sustancialmente mayor que la raíz cuadrada del factorial n !, y es mucho más pequeño que el factorial iterado ( ¡ n !)!.

El factorial de un n distinto de cero se puede escribir como el producto de dos factoriales dobles:

$$norte!=norte!!⋅(norte-1)!!, {\ Displaystyle n! = n !! \ cdot (n-1) !! \,,}

y por lo tanto

$$norte!!= norte ! ( norte - 1 ) ! != ( norte + 1 ) ! ( norte + 1 ) ! !, {\ Displaystyle n !! = {\ frac {n!} {(n-1) !!}} = {\ frac {(n + 1)!} {(n + 1) !!}} \,,}

donde el denominador cancela los factores no deseados en el numerador. (La última forma también se aplica cuando n = 0).

Para un número entero par no negativo n = 2 k con k ≥ 0, el factorial doble puede expresarse como

$$norte!!= 2 kk!. {\ Displaystyle n !! = 2 ^ {k} k! \,.}

Para n = 2 k - 1 impares con k ≥ 1, la combinación de las dos pantallas anteriores produce

$$norte!!= ( 2 k ) ! 2 k k != ( 2 k - 1 ) ! 2 k - 1 ( k - 1 ) !. {\ Displaystyle n !! = {\ frac {(2k)!} {2 ^ {k} k!}} = {\ frac {(2k-1)!} {2 ^ {k-1} (k-1)!}} \,.}

Para un entero positivo impar n = 2 k - 1 con k ≥ 1, el factorial doble puede expresarse en términos de k -permutaciones de 2 k como

$$(2k-1)!!= 2 k PAG k 2 k= ( 2 k ) k _ 2 k. {\ displaystyle (2k-1) !! = {\ frac {_ {2k} P_ {k}} {2 ^ {k}}} = {\ frac {(2k) ^ {\ underline {k}}} { 2 ^ {k}}} \,.}

Aplicaciones en combinatoria enumerativa

Los quince árboles binarios enraizados diferentes (con hijos desordenados) en un conjunto de cuatro hojas etiquetadas, que ilustran 15 = (2 × 4 - 3)‼ (ver texto del artículo).

Los factoriales dobles están motivados por el hecho de que ocurren con frecuencia en la combinatoria enumerativa y en otros entornos. Por ejemplo, n ‼ para valores impares de n recuentos

• Emparejamientos perfectos del gráfico completo K n + 1 para n impar. En un gráfico de este tipo, cualquier vértice v tiene n opciones posibles de vértice con el que se puede hacer coincidir, y una vez que se hace esta elección, el problema restante es seleccionar una coincidencia perfecta en un gráfico completo con dos vértices menos. Por ejemplo, un gráfico completo con cuatro vértices de un, b, c, y d tiene tres emparejamientos perfectos: ab y cd, ac y bd, y ad y bc. Los emparejamientos perfectos se pueden describir de varias otras formas equivalentes, incluidas involuciones sin puntos fijos en un conjunto de n + 1 elementos ( permutaciones en las que cada ciclo es un par) o diagramas de acordes (conjuntos de acordes de un conjunto de n + 1 puntos uniformemente espaciados en un círculo de modo que cada punto sea el punto final de exactamente una cuerda, también llamados diagramas de Brauer ). Los números de emparejamientos en gráficos completos, sin restringir los emparejamientos a ser perfectos, vienen dados en cambio por los números de teléfono, que pueden expresarse como una suma que involucra factoriales dobles.
• Permutaciones de Stirling, permutaciones del conjunto múltiple de números 1, 1, 2, 2,..., k, k en las que cada par de números iguales está separado solo por números más grandes, donde k = n + 1/2. Las dos copias de k deben ser adyacentes; eliminarlos de la permutación deja una permutación en la que el elemento máximo es k - 1, con n posiciones en las que se puede colocar el par adyacente de k valores. De esta construcción recursiva, se sigue por inducción una prueba de que las permutaciones de Stirling se cuentan por las permutaciones dobles. Alternativamente, en lugar de la restricción de que los valores entre un par pueden ser mayores que él, también se pueden considerar las permutaciones de este multiconjunto en el que las primeras copias de cada par aparecen en orden ordenado; tal permutación define una coincidencia en las 2 k posiciones de la permutación, por lo que nuevamente el número de permutaciones puede contarse por las permutaciones dobles.
• Árboles ordenados en montón, árboles con k + 1 nodos etiquetados como 0, 1, 2,... k, de modo que la raíz del árbol tenga la etiqueta 0, cada uno de los otros nodos tenga una etiqueta más grande que su padre, y de modo que los hijos de cada nodo tienen un orden fijo. Un recorrido de Euler por el árbol (con bordes doblados) da una permutación de Stirling, y cada permutación de Stirling representa un árbol de esta manera.
• Árboles binarios sin raíz conn + 5/2hojas etiquetadas. Cada uno de estos árboles puede formarse a partir de un árbol con una hoja menos, subdividiendo uno de los n bordes de los árboles y haciendo que el nuevo vértice sea el padre de una nueva hoja.
• Árboles binarios enraizados conn + 3/2hojas etiquetadas. Este caso es similar al caso sin raíz, pero el número de aristas que se pueden subdividir es par, y además de subdividir una arista es posible agregar un nodo a un árbol con una hoja menos agregando una nueva raíz cuyos dos hijos son el árbol más pequeño y la hoja nueva.

Callan (2009) y Dale amp; Moon (1993) enumeran varios objetos adicionales con la misma secuencia de conteo, incluidas "palabras trapezoidales" ( números en un sistema de radix mixto con radix impares en aumento), caminos Dyck etiquetados en altura, árboles ordenados etiquetados en altura, "caminos de voladizo", y ciertos vectores que describen el descendiente de hoja con el número más bajo de cada nodo en un árbol binario enraizado. Para obtener pruebas biyectivas de que algunos de estos objetos son equinumeros, consulte Rubey (2008) y Marsh amp; Martin (2011).

Los factoriales pares dobles dan el número de elementos de los grupos hiperoctaédricos (permutaciones con signo o simetrías de un hipercubo )

Extensiones

Argumentos negativos

El factorial ordinario, cuando se extiende a la función gamma, tiene un polo en cada entero negativo, lo que evita que el factorial se defina en estos números. Sin embargo, el factorial doble de números impares puede extenderse a cualquier argumento entero impar negativo invirtiendo su relación de recurrencia

$$norte!!=norte×(norte-2)!! {\ Displaystyle n !! = n \ times (n-2) !!}

dar

$$norte!!= ( norte + 2 ) ! ! norte + 2. {\ Displaystyle n !! = {\ frac {(n + 2) !!} {n + 2}} \,.}

Usando esta recurrencia invertida, (−1)‼ = 1, (−3)‼ = −1 y (−5)‼ = 1/3; los números impares negativos con mayor magnitud tienen factoriales dobles fraccionales. En particular, esto da, cuando n es un número impar,

$$(-norte)!!×norte!!=(-1 ) norte - 1 2×norte. {\ Displaystyle (-n) !! \ times n !! = (- 1) ^ {\ frac {n-1} {2}} \ times n \,.}

Argumentos complejos

Sin tener en cuenta la definición anterior de n ‼ para valores pares de  n, el factorial doble para números enteros impares puede extenderse a la mayoría de los números reales y complejos z notando que cuando z es un entero impar positivo entonces

$$ z ! ! = z ( z - 2 ) ⋯ 3 ⋅ 1 = 2 z - 1 2 ( z 2 ) ( z - 2 2 ) ⋯ ( 3 2 ) = 2 z - 1 2 Γ ( z 2 + 1 ) Γ ( 1 2 + 1 ) = 2 z + 1 π Γ ( z 2 + 1 ) = ( z 2 ) ! 2 z + 1 π . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} z !! amp; = z (z-2) \ cdots 3 \ cdot 1 \\ amp; = 2 ^ {\ frac {z-1} {2}} \ left ({\ frac {z} {2}} \ right) \ left ({\ frac {z-2} {2}} \ right) \ cdots \ left ({\ frac {3} {2}} \ right) \\ amp; = 2 ^ {\ frac {z-1} {2}} {\ frac {\ Gamma \ left ({\ frac {z} {2}} + 1 \ right)} {\ Gamma \ left ({\ frac {1 } {2}} + 1 \ right)}} \\ amp; = {\ sqrt {\ frac {2 ^ {z + 1}} {\ pi}}} \ Gamma \ left ({\ frac {z} {2 }} + 1 \ right) = \ left ({\ frac {z} {2}} \ right)! {\ Sqrt {\ frac {2 ^ {z + 1}} {\ pi}}} \,. \ final {alineado}}}

De esto se puede derivar una definición alternativa de z ‼ para valores enteros pares no negativos de  z:

$$(2k)!!= 2 π ∏ I = 1 k(2I)= 2 kk! 2 π, {\ Displaystyle (2k) !! = {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} \ prod _ {i = 1} ^ {k} (2i) = 2 ^ {k} k! {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} \,,}

siendo el valor de 0‼ en este caso

$$0!!= 2 π≈0,7978845608.... {\ Displaystyle 0 !! = {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} \ approx 0.797 \, 884 \, 5608 \ dots \,.}

La expresión encontrada para z ‼ se define para todos los números complejos excepto los enteros pares negativos. Utilizándolo como definición, el volumen de una hiperesfera n - dimensional de radio R se puede expresar como

$$ V norte= 2 ( 2 π ) norte - 1 2 norte ! ! R norte. {\ Displaystyle V_ {n} = {\ frac {2 (2 \ pi) ^ {\ frac {n-1} {2}}} {n !!}} R ^ {n} \,.}

Identidades adicionales

Para valores enteros de n,

$$ ∫ 0 π 2 pecado norte⁡XDX= ∫ 0 π 2 porque norte⁡XDX= ( norte - 1 ) ! ! norte ! !× { 1 si  norte  es impar π 2 si  norte  incluso. {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ {n} x \, dx = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ cos ^ {n} x \, dx = {\ frac {(n-1) !!} {n !!}} \ times {\ begin {cases} 1 amp; {\ text {if}} n {\ text { es impar}} \\ {\ frac {\ pi} {2}} amp; {\ text {if}} n {\ text {es par.}} \ end {cases}}}

Usando en su lugar la extensión del factorial doble de números impares a números complejos, la fórmula es

$$ ∫ 0 π 2 pecado norte⁡XDX= ∫ 0 π 2 porque norte⁡XDX= ( norte - 1 ) ! ! norte ! ! π 2. {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ {n} x \, dx = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ cos ^ {n} x \, dx = {\ frac {(n-1) !!} {n !!}} {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} \,.}

Los factoriales dobles también se pueden utilizar para evaluar integrales de polinomios trigonométricos más complicados.

Los factoriales dobles de números impares están relacionados con la función gamma por la identidad:

$$(2norte-1)!!= 2 norte⋅ Γ ( 1 2 + norte ) π=(-2 ) norte⋅ π Γ ( 1 2 - norte ). {\ displaystyle (2n-1) !! = 2 ^ {n} \ cdot {\ frac {\ Gamma \ left ({\ frac {1} {2}} + n \ right)} {\ sqrt {\ pi} }} = (- 2) ^ {n} \ cdot {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {\ Gamma \ left ({\ frac {1} {2}} - n \ right)}} \,. }

Algunas identidades adicionales que involucran factoriales dobles de números impares son:

$$ ( 2 norte - 1 ) ! ! = ∑ k = 0 norte - 1 ( norte k + 1 ) ( 2 k - 1 ) ! ! ( 2 norte - 2 k - 3 ) ! ! = ∑ k = 1 norte ( norte k ) ( 2 k - 3 ) ! ! ( 2 ( norte - k ) - 1 ) ! ! , ( 2 norte - 1 ) ! ! = ∑ k = 0 norte ( 2 norte - k - 1 k - 1 ) ( 2 k - 1 ) ( 2 norte - k + 1 ) k + 1 ( 2 norte - 2 k - 3 ) ! ! , ( 2 norte - 1 ) ! ! = ∑ k = 1 norte ( norte - 1 ) ! ( k - 1 ) ! k ( 2 k - 3 ) ! ! . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} (2n-1) !! amp; = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} {\ binom {n} {k + 1}} (2k-1)! ! (2n-2k-3) !! = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ binom {n} {k}} (2k-3) !! (2 (nk) -1) !! \,, \\ (2n-1) !! amp; = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {2n-k-1} {k-1}} {\ frac {(2k-1) (2n-k + 1)} {k + 1}} (2n-2k-3) !! \,, \\ (2n-1) !! amp; = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {(n-1)!} {(k-1)!}} k (2k-3) !! \,. \ end {alineado}}}

Una aproximación de la razón del factorial doble de dos enteros consecutivos es

$$ ( 2 norte ) ! ! ( 2 norte - 1 ) ! !≈ π norte. {\ Displaystyle {\ frac {(2n) !!} {(2n-1) !!}} \ approx {\ sqrt {\ pi n}}.}

Esta aproximación se vuelve más precisa a medida que n aumenta.

Generalizaciones

Definiciones

De la misma manera que el factorial doble generaliza la noción de factorial único, la siguiente definición de las funciones factoriales múltiples con valores enteros ( multifactoriales ), o funciones factoriales α, amplía la noción de función factorial doble para α ∈ ℤ ⁺:

$$norte ! ( α )= { norte ⋅ ( norte - α ) ! ( α )  si  norte gt; 0 ; 1  si  - α lt; norte ≤ 0 ; 0  de lo contrario.  {\ Displaystyle n! _ {(\ alpha)} = {\ begin {cases} n \ cdot (n- \ alpha)! _ {(\ alpha)} amp; {\ text {if}} ngt; 0 \,; \\ 1 amp; {\ text {if}} - \ alpha lt;n \ leq 0 \,; \\ 0 amp; {\ text {de lo contrario. }} \ end {cases}}}

Extensión alternativa de lo multifactorial

Alternativamente, el multifactorial n ! ( α) se puede extender a la mayoría de los números reales y complejos n notando que cuando n es uno más que un múltiplo positivo de α entonces

$$ norte ! ( α ) = norte ( norte - α ) ⋯ ( α + 1 ) = α norte - 1 α ( norte α ) ( norte - α α ) ⋯ ( α + 1 α ) = α norte - 1 α Γ ( norte α + 1 ) Γ ( 1 α + 1 ) . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} n! _ {(\ alpha)} amp; = n (n- \ alpha) \ cdots (\ alpha +1) \\ amp; = \ alpha ^ {\ frac {n-1} {\ alpha}} \ left ({\ frac {n} {\ alpha}} \ right) \ left ({\ frac {n- \ alpha} {\ alpha}} \ right) \ cdots \ left ({\ frac {\ alpha +1} {\ alpha}} \ right) \\ amp; = \ alpha ^ {\ frac {n-1} {\ alpha}} {\ frac {\ Gamma \ left ({\ frac {n} { \ alpha}} + 1 \ right)} {\ Gamma \ left ({\ frac {1} {\ alpha}} + 1 \ right)}} \,. \ end {alineado}}}

Esta última expresión está definida de manera mucho más amplia que la original. De la misma forma que n ! no está definido para enteros negativos, y n ‼ no está definido para enteros pares negativos, n ! ( α) no está definido para múltiplos negativos de α. Sin embargo, está definido para todos los demás números complejos. Esta definición es consistente con la definición anterior solo para aquellos enteros n que satisfacen  n ≡ 1 mod α.

Además de ampliar n ! ( α) a la mayoría de los números complejos  n, esta definición tiene la característica de trabajar para todos los valores reales positivos de  α. Además, cuando α = 1, esta definición es matemáticamente equivalente a la función Π ( n), descrita anteriormente. Además, cuando α = 2, esta definición es matemáticamente equivalente a la extensión alternativa del doble factorial.

Números de Stirling generalizados que amplían las funciones multifactoriales

Una clase de números de Stirling generalizados del primer tipo se define para α gt; 0 mediante la siguiente relación de recurrencia triangular:

$$ [ norte k] α=(αnorte+1-2α) [ norte - 1 k] α+ [ norte - 1 k - 1] α+ δ norte , 0 δ k , 0. {\ Displaystyle \ left [{\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix}} \ right] _ {\ alpha} = (\ alpha n + 1-2 \ alpha) \ left [{\ begin {matrix } n-1 \\ k \ end {matriz}} \ derecha] _ {\ alpha} + \ izquierda [{\ begin {matriz} n-1 \\ k-1 \ end {matriz}} \ derecha] _ { \ alpha} + \ delta _ {n, 0} \ delta _ {k, 0} \,.}

Estos coeficientes α - factoriales generalizados generan los distintos productos polinomiales simbólicos que definen las funciones factoriales múltiples, o α - factoriales, ( x - 1). ( α), como

$$ ( X - 1 | α ) norte _ : = ∏ I = 0 norte - 1 ( X - 1 - I α ) = ( X - 1 ) ( X - 1 - α ) ⋯ ( X - 1 - ( norte - 1 ) α ) = ∑ k = 0 norte [ norte k](-α ) norte - k(X-1 ) k = ∑ k = 1 norte [ norte k] α(-1 ) norte - k X k - 1. {\ Displaystyle {\ begin {alineado} (x-1 | \ alpha) ^ {\ underline {n}} amp;: = \ prod _ {i = 0} ^ {n-1} \ left (x-1-i \ alpha \ right) = (x-1) (x-1- \ alpha) \ cdots {\ bigl (} x-1- (n-1) \ alpha {\ bigr)} \\ amp; = \ sum _ { k = 0} ^ {n} \ left [{\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix}} \ right] (- \ alpha) ^ {nk} (x-1) ^ {k} \\ amp; = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left [{\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix}} \ right] _ {\ alpha} (- 1) ^ {nk} x ^ {k-1} \,. \ end {alineado}}}

Las distintas expansiones de polinomios en las ecuaciones anteriores realmente definen los productos factoriales α para múltiples casos distintos de los residuos mínimos x ≡ n 0 mod α para n 0 ∈ {0, 1, 2,..., α - 1}.

Los polinomios factoriales α generalizados, σ^{( α)} _{n( x) donde σ⁽¹⁾ n( x) ≡ σ n ( x), que generalizan los polinomios de convolución de Stirling del caso factorial único a los casos multifactoriales, se definen por}

$$ σ norte ( α )(X): = [ X X - norte] ( α ) ( X - norte - 1 ) ! X ! {\ Displaystyle \ sigma _ {n} ^ {(\ alpha)} (x): = \ left [{\ begin {matrix} x \\ xn \ end {matrix}} \ right] _ {(\ alpha)} {\ frac {(xn-1)!} {x!}}}

para 0 ≤ n ≤ x. Estos polinomios tienen una función generadora ordinaria de forma cerrada particularmente agradable dada por

$$ ∑ norte ≥ 0X⋅ σ norte ( α )(X) z norte= mi ( 1 - α ) z ( α z mi α z mi α z - 1 ) X. {\ Displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} x \ cdot \ sigma _ {n} ^ {(\ alpha)} (x) z ^ {n} = e ^ {(1- \ alpha) z} \ left ({\ frac {\ alpha ze ^ {\ alpha z}} {e ^ {\ alpha z} -1}} \ right) ^ {x} \,.}

Otras propiedades combinatorias y expansiones de estos triángulos factoriales α generalizados y secuencias polinómicas se consideran en Schmidt (2010).

Sumas finitas exactas que involucran múltiples funciones factoriales

Suponga que n ≥ 1 y α ≥ 2 tienen valores enteros. ¡Entonces podemos expandir las siguientes sumas finitas simples que involucran las funciones multifactoriales o α - factoriales, ( αn - 1)! ( α), en términos del símbolo de Pochhammer y los coeficientes binomiales generalizados de valor racional como

$$ ( α norte - 1 ) ! ( α ) = ∑ k = 0 norte - 1 ( norte - 1 k + 1 ) ( - 1 ) k × ( 1 α ) - ( k + 1 ) ( 1 α - norte ) k + 1 × ( α ( k + 1 ) - 1 ) ! ( α ) ( α ( norte - k - 1 ) - 1 ) ! ( α ) = ∑ k = 0 norte - 1 ( norte - 1 k + 1 ) ( - 1 ) k × ( 1 α + k - norte k + 1 ) ( 1 α - 1 k + 1 ) × ( α ( k + 1 ) - 1 ) ! ( α ) ( α ( norte - k - 1 ) - 1 ) ! ( α ) , {\ Displaystyle {\ begin {alineado} (\ alpha n-1)! _ {(\ alpha)} amp; = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} {\ binom {n-1} {k +1}} (- 1) ^ {k} \ veces \ left ({\ frac {1} {\ alpha}} \ right) _ {- (k + 1)} \ left ({\ frac {1} { \ alpha}} - n \ right) _ {k + 1} \ times {\ bigl (} \ alpha (k + 1) -1 {\ bigr)}! _ {(\ alpha)} {\ bigl (} \ alpha (nk-1) -1 {\ bigr)}! _ {(\ alpha)} \\ amp; = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} {\ binom {n-1} {k + 1}} (- 1) ^ {k} \ times {\ binom {{\ frac {1} {\ alpha}} + kn} {k + 1}} {\ binom {{\ frac {1} {\ alpha }} - 1} {k + 1}} \ veces {\ bigl (} \ alpha (k + 1) -1 {\ bigr)}! _ {(\ Alpha)} {\ bigl (} \ alpha (nk- 1) -1 {\ bigr)}! _ {(\ Alpha)} \,, \ end {alineado}}}

y además, de manera similar tenemos expansiones de doble suma de estas funciones dadas por

$$ ( α norte - 1 ) ! ( α ) = ∑ k = 0 norte - 1 ∑ I = 0 k + 1 ( norte - 1 k + 1 ) ( k + 1 I ) ( - 1 ) k α k + 1 - I ( α I - 1 ) ! ( α ) ( α ( norte - 1 - k ) - 1 ) ! ( α ) × ( norte - 1 - k ) k + 1 - I = ∑ k = 0 norte - 1 ∑ I = 0 k + 1 ( norte - 1 k + 1 ) ( k + 1 I ) ( norte - 1 - I k + 1 - I ) ( - 1 ) k α k + 1 - I ( α I - 1 ) ! ( α ) ( α ( norte - 1 - k ) - 1 ) ! ( α ) × ( k + 1 - I ) ! . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} (\ alpha n-1)! _ {(\ alpha)} amp; = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ sum _ {i = 0} ^ { k + 1} {\ binom {n-1} {k + 1}} {\ binom {k + 1} {i}} (- 1) ^ {k} \ alpha ^ {k + 1-i} (\ alpha i-1)! _ {(\ alpha)} {\ bigl (} \ alpha (n-1-k) -1 {\ bigr)}! _ {(\ alpha)} \ veces (n-1-k) _ {k + 1-i} \\ amp; = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ sum _ {i = 0} ^ {k + 1} {\ binom {n-1} { k + 1}} {\ binom {k + 1} {i}} {\ binom {n-1-i} {k + 1-i}} (- 1) ^ {k} \ alpha ^ {k + 1 -i} (\ alpha i-1)! _ {(\ alpha)} {\ bigl (} \ alpha (n-1-k) -1 {\ bigr)}! _ {(\ alpha)} \ times ( k + 1-i)!. \ end {alineado}}}

Las dos primeras sumas anteriores son similares en forma a una identidad combinatoria no redonda conocida para la función factorial doble cuando α  : = 2 dada por Callan (2009).

$$(2norte-1)!!= ∑ k = 0 norte - 1 ( norte k + 1 )(2k-1)!!(2norte-2k-3)!!. {\ displaystyle (2n-1) !! = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} {\ binom {n} {k + 1}} (2k-1) !! (2n-2k-3) !!.}

¡ Expansiones adicionales de congruencias de suma finita para las funciones factoriales α, ( αn - d)! ( α), módulo cualquier entero prescrito h ≥ 2 para cualquier 0 ≤ d lt; α son dados por Schmidt (2018).

Referencias