Ecuaciones de movimiento

Parte de una serie sobre
Mecanica clasica
$$ F= D D t(metro v) {\ Displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (m {\ textbf {v}})} Segunda ley del movimiento
Historia Cronología Libros de texto
Sucursales Aplicado Celestial Continuum Dinámica Cinemática Cinética Estática Estadístico
Fundamentos Aceleración Momento angular Pareja Principio de D'Alembert Energía cinético potencial Fuerza Marco de referencia Marco de referencia inercial Impulso Inercia  / Momento de inercia Masa Potencia mecánica Trabajo mecánico Momento Impulso Espacio Velocidad Tiempo Esfuerzo de torsión Velocidad Trabajo virtual
Formulaciones Leyes del movimiento de Newton Mecánica analítica Mecánica lagrangiana Mecánica hamiltoniana Mecánica routhiana Ecuación de Hamilton-Jacobi Ecuación de movimiento de Appell Mecánica de Koopman – von Neumann
Temas centrales Relación de amortiguación Desplazamiento Ecuaciones de movimiento Leyes del movimiento de Euler Fuerza ficticia Fricción Oscilador armónico Marco de referencia inercial  / no inercial Mecánica del movimiento de partículas planas Movimiento  ( lineal ) Ley de Newton de la gravitación universal Leyes del movimiento de Newton Velocidad relativa Cuerpo rígido dinámica Ecuaciones de Euler Movimiento armónico simple Vibración
Rotación Movimiento circular Marco de referencia giratorio Fuerza centrípeta Fuerza centrífuga reactivo fuerza Coriolis Péndulo Velocidad tangencial Velocidad rotacional Aceleración angular  / desplazamiento  / frecuencia  / velocidad
Científicos Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton Poisson Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
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v t mi

$$v {\ Displaystyle v}vs gráfico para una partícula en movimiento bajo una aceleración no uniforme.$$t {\ Displaystyle t}$$a {\ Displaystyle a}

En física, las ecuaciones de movimiento son ecuaciones que describen el comportamiento de un sistema físico en términos de su movimiento en función del tiempo. Más específicamente, las ecuaciones de movimiento describen el comportamiento de un sistema físico como un conjunto de funciones matemáticas en términos de variables dinámicas. Estas variables suelen ser coordenadas espaciales y tiempo, pero pueden incluir componentes de impulso. La elección más general son las coordenadas generalizadas que pueden ser cualquier variable conveniente característica del sistema físico. Las funciones se definen en un espacio euclidiano en la mecánica clásica, pero se reemplazan por espacios curvos en la relatividad. Si se conoce la dinámica de un sistema, las ecuaciones son las soluciones para las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de la dinámica.

Hay dos descripciones principales de movimiento: dinámica y cinemática. La dinámica es general, ya que se tienen en cuenta los momentos, fuerzas y energía de las partículas. En este caso, a veces el término dinámica se refiere a las ecuaciones diferenciales que satisface el sistema (por ejemplo, la segunda ley de Newton o las ecuaciones de Euler-Lagrange ) y, a veces, a las soluciones de esas ecuaciones.

Sin embargo, la cinemática es más sencilla. Se trata únicamente de variables derivadas de las posiciones de los objetos y el tiempo. En circunstancias de aceleración constante, estas ecuaciones de movimiento más simples generalmente se denominan ecuaciones SUVAT, que surgen de las definiciones de cantidades cinemáticas: desplazamiento ( s), velocidad inicial ( u), velocidad final ( v), aceleración ( a), y tiempo ( t).

Por tanto, las ecuaciones de movimiento se pueden agrupar bajo estos principales clasificadores de movimiento. En todos los casos, los principales tipos de movimiento son traslaciones, rotaciones, oscilaciones o cualquier combinación de estos.

Una ecuación diferencial de movimiento, generalmente identificada como una ley física y aplicando definiciones de cantidades físicas, se usa para establecer una ecuación para el problema. Resolver la ecuación diferencial conducirá a una solución general con constantes arbitrarias, la arbitrariedad correspondiente a una familia de soluciones. Se puede obtener una solución particular estableciendo los valores iniciales, que fija los valores de las constantes.

Para afirmar esto formalmente, en general una ecuación de movimiento M es una función de la posición r del objeto, su velocidad (la primera derivada en el tiempo de r, v = d r/dt), y su aceleración (la segunda derivada de r, a =d ²r/dt ²) y tiempo t. Los vectores euclidianos en 3D se indican en negrita. Esto equivale a decir que una ecuación de movimiento en r es una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de segundo orden en r,

$$METRO [ r ( t ) , r ˙ ( t ) , r ¨ ( t ) , t ]=0, {\ Displaystyle M \ left [\ mathbf {r} (t), \ mathbf {\ dot {r}} (t), \ mathbf {\ ddot {r}} (t), t \ right] = 0 \,,}

donde t es el tiempo, y cada overdot denota una derivada de tiempo. Las condiciones iniciales están dadas por los valores constantes en t = 0,

$$ r(0), r ˙(0). {\ Displaystyle \ mathbf {r} (0) \,, \ quad \ mathbf {\ dot {r}} (0) \,.}

La solución r ( t) a la ecuación de movimiento, con valores iniciales especificados, describe el sistema para todos los tiempos t después de t = 0. Otras variables dinámicas como el momento p del objeto, o cantidades derivadas de r y p como el momento angular, se pueden usar en lugar de r como la cantidad a resolver a partir de alguna ecuación de movimiento, aunque la posición del objeto en el tiempo t es, con mucho, la cantidad más buscada.

A veces, la ecuación será lineal y es más probable que se pueda resolver con exactitud. En general, la ecuación no será lineal y no se puede resolver con exactitud, por lo que se deben utilizar varias aproximaciones. Las soluciones a ecuaciones no lineales pueden mostrar un comportamiento caótico dependiendo de qué tan sensible sea el sistema a las condiciones iniciales.

• 1 Historia
• 2 ecuaciones cinemáticas para una partícula
  • 2.1 Cantidades cinemáticas
  • 2.2 Aceleración uniforme
    • 2.2.1 Aceleración de traslación constante en línea recta
    • 2.2.2 Aceleración lineal constante en cualquier dirección
    • 2.2.3 Aplicaciones
    • 2.2.4 Aceleración circular constante
  • 2.3 Movimiento plano general
  • 2.4 Movimientos 3D generales
• 3 Ecuaciones dinámicas de movimiento
  • 3.1 Mecánica newtoniana
  • 3.2 Aplicaciones
• 4 Mecánica analítica
• 5 Electrodinámica
• 6 relatividad general
  • 6.1 Ecuación geodésica de movimiento
  • 6.2 Objetos giratorios
• 7 análogos para ondas y campos
  • 7.1 Ecuaciones de campo
  • 7.2 Ecuaciones de onda
  • 7.3 Teoría cuántica
• 8 Véase también
• 9 referencias

Historia

La cinemática, la dinámica y los modelos matemáticos del universo se desarrollaron de manera incremental durante tres milenios, gracias a muchos pensadores, solo algunos de cuyos nombres conocemos. En la antigüedad, sacerdotes, astrólogos y astrónomos predijeron los eclipses solares y lunares, los solsticios y equinoccios del Sol y el período de la Luna. Pero no tenían nada más que un conjunto de algoritmos para guiarlos. Las ecuaciones de movimiento no se escribieron durante otros mil años.

Los eruditos medievales del siglo XIII, por ejemplo en las universidades relativamente nuevas de Oxford y París, recurrieron a los antiguos matemáticos (Euclides y Arquímedes) y filósofos (Aristóteles) para desarrollar un nuevo cuerpo de conocimientos, ahora llamado física.

En Oxford, Merton College acogió a un grupo de académicos dedicados a las ciencias naturales, principalmente a la física, la astronomía y las matemáticas, que tenían una estatura similar a la de los intelectuales de la Universidad de París. Thomas Bradwardine amplió cantidades aristotélicas como la distancia y la velocidad, y les asignó intensidad y extensión. Bradwardine sugirió una ley exponencial que involucra fuerza, resistencia, distancia, velocidad y tiempo. Nicholas Oresme amplió aún más los argumentos de Bradwardine. La escuela de Merton demostró que la cantidad de movimiento de un cuerpo que experimenta un movimiento uniformemente acelerado es igual a la cantidad de un movimiento uniforme a la velocidad alcanzada a la mitad del movimiento acelerado.

Para los escritores de cinemática anteriores a Galileo, dado que no se podían medir pequeños intervalos de tiempo, la afinidad entre el tiempo y el movimiento era oscura. Utilizaron el tiempo en función de la distancia y, en caída libre, una mayor velocidad como resultado de una mayor elevación. Sólo Domingo de Soto, un teólogo español, en su comentario sobre la Física de Aristóteles publicado en 1545, después de definir el movimiento "uniforme difform" (que es un movimiento uniformemente acelerado) - no se usó la palabra velocidad - como proporcional al tiempo, declaró correctamente que este tipo de movimiento era identificable con cuerpos y proyectiles en caída libre, sin que él probara estas proposiciones o sugiriera una fórmula que relacione tiempo, velocidad y distancia. Los comentarios de De Soto son notablemente correctos con respecto a las definiciones de aceleración (la aceleración era una tasa de cambio de movimiento (velocidad) en el tiempo) y la observación de que la aceleración sería negativa durante el ascenso.

Discursos como estos se difundieron por toda Europa, dando forma a la obra de Galileo Galilei y otros, y ayudaron a sentar las bases de la cinemática. Galileo dedujo la ecuación s =1/2gt ² en su trabajo geométricamente, usando la regla de Merton, ahora conocida como un caso especial de una de las ecuaciones de la cinemática.

Galileo fue el primero en mostrar que la trayectoria de un proyectil es una parábola. Galileo entendió la fuerza centrífuga y dio una definición correcta de impulso. Este énfasis en el impulso como una cantidad fundamental en la dinámica es de primordial importancia. Midió el impulso por el producto de la velocidad y el peso; la masa es un concepto posterior, desarrollado por Huygens y Newton. En el balanceo de un péndulo simple, Galileo dice en Discursos que "cada impulso adquirido en el descenso a lo largo de un arco es igual al que hace que el mismo cuerpo en movimiento ascienda a través del mismo arco". Su análisis de los proyectiles indica que Galileo había comprendido la primera ley y la segunda ley del movimiento. No generalizó ni los hizo aplicables a los cuerpos que no están sujetos a la gravitación terrestre. Ese paso fue la contribución de Newton.

El término "inercia" fue utilizado por Kepler, quien lo aplicó a los cuerpos en reposo. (La primera ley del movimiento ahora se llama a menudo ley de inercia).

Galileo no comprendió completamente la tercera ley del movimiento, la ley de la igualdad de acción y reacción, aunque corrigió algunos errores de Aristóteles. Con Stevin y otros, Galileo también escribió sobre estática. Formuló el principio del paralelogramo de fuerzas, pero no reconoció completamente su alcance.

Galileo también se interesó por las leyes del péndulo, de las cuales sus primeras observaciones fueron cuando era joven. En 1583, mientras rezaba en la catedral de Pisa, su atención fue atraída por el movimiento de la gran lámpara encendida y balanceándose, haciendo referencia a su propio pulso para medir el tiempo. Para él, el período parecía el mismo, incluso después de que el movimiento había disminuido mucho, descubriendo el isocronismo del péndulo.

Experimentos más cuidadosos llevados a cabo por él más tarde, y descritos en sus Discursos, revelaron que el período de oscilación varía con la raíz cuadrada de la longitud, pero es independiente de la masa del péndulo.

Llegamos así a René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz, et al.; y las formas evolucionadas de las ecuaciones de movimiento que comienzan a reconocerse como las modernas.

Posteriormente las ecuaciones de movimiento también aparecieron en electrodinámica, al describir el movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos y magnéticos, la fuerza de Lorentz es la ecuación general que sirve como definición de lo que se entiende por campo eléctrico y campo magnético. Con el advenimiento de la relatividad especial y la relatividad general, las modificaciones teóricas del espacio-tiempo significaron que las ecuaciones clásicas del movimiento también se modificaron para tener en cuenta la velocidad finita de la luz y la curvatura del espacio-tiempo. En todos estos casos, las ecuaciones diferenciales fueron en términos de una función que describe la trayectoria de la partícula en términos de coordenadas espaciales y temporales, influenciada por fuerzas o transformaciones de energía.

Sin embargo, las ecuaciones de la mecánica cuántica también pueden considerarse "ecuaciones de movimiento", ya que son ecuaciones diferenciales de la función de onda, que describe cómo un estado cuántico se comporta de forma análoga utilizando las coordenadas espaciales y temporales de las partículas. Existen análogos de ecuaciones de movimiento en otras áreas de la física, para colecciones de fenómenos físicos que pueden considerarse ondas, fluidos o campos.

Ecuaciones cinemáticas para una partícula

Cantidades cinemáticas

Cantidades cinemáticas de una partícula clásica de masa m: posición r, velocidad v, aceleración a.

Desde la posición instantánea r = r ( t), significado instantáneo en un valor instantáneo de tiempo t, la velocidad instantánea v = v ( t) y la aceleración a = a ( t) tienen las definiciones generales independientes de las coordenadas;

$$ v= D r D t, a= D v D t= D 2 r D t 2 {\ Displaystyle \ mathbf {v} = {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} \,, \ quad \ mathbf {a} = {\ frac {d \ mathbf {v}} {dt}} = {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r}} {dt ^ {2}}} \, \!}

Observe que la velocidad siempre apunta en la dirección del movimiento, en otras palabras, para una trayectoria curva es el vector tangente. Hablando libremente, las derivadas de primer orden están relacionadas con tangentes de curvas. Aún en trayectos con curvas, la aceleración se dirige hacia el centro de curvatura del trayecto. Una vez más, hablando libremente, las derivadas de segundo orden están relacionadas con la curvatura.

Los análogos rotacionales son el "vector angular" (ángulo en el que la partícula gira alrededor de algún eje) θ = θ ( t), velocidad angular ω = ω ( t) y aceleración angular α = α ( t):

$$ θ=θ norte ^, ω= D θ D t, α= D ω D t, {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ theta}} = \ theta {\ hat {\ mathbf {n}}} \,, \ quad {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac {d {\ boldsymbol {\ theta }}} {dt}} \,, \ quad {\ boldsymbol {\ alpha}} = {\ frac {d {\ boldsymbol {\ omega}}} {dt}} \,,}

donde n̂ es un vector unitario en la dirección del eje de rotación, y θ es el ángulo en el que gira el objeto alrededor del eje.

La siguiente relación es válida para una partícula puntual que orbita alrededor de algún eje con velocidad angular ω:

$$ v= ω× r {\ Displaystyle \ mathbf {v} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} \, \!}

donde r es el vector de posición de la partícula (radial desde el eje de rotación) yv la velocidad tangencial de la partícula. Para un cuerpo rígido continuo giratorio, estas relaciones son válidas para cada punto del cuerpo rígido.

Aceleración uniforme

La ecuación diferencial de movimiento para una partícula de aceleración constante o uniforme en línea recta es simple: la aceleración es constante, por lo que la segunda derivada de la posición del objeto es constante. Los resultados de este caso se resumen a continuación.

Aceleración de traslación constante en línea recta

Estas ecuaciones se aplican a una partícula que se mueve linealmente, en tres dimensiones en línea recta con aceleración constante. Dado que la posición, la velocidad y la aceleración son colineales (paralelas y se encuentran en la misma línea), solo las magnitudes de estos vectores son necesarias, y debido a que el movimiento es a lo largo de una línea recta, el problema se reduce efectivamente de tres dimensiones a una.

$$ v = a t + v 0 [ 1 ] {\ displaystyle {\ begin {alineado} v amp; = en + v_ {0} \ quad [1] \\\ end {alineado}}}

$$ r = r 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 [ 2 ] {\ displaystyle {\ begin {alineado} r amp; = r_ {0} + v_ {0} t + {\ tfrac {1} {2}} {a} t ^ {2} \ quad [2] \\\ end {alineado }}}

$$ r = r 0 + 1 2 ( v + v 0 ) t [ 3 ] v 2 = v 0 2 + 2 a ( r - r 0 ) [ 4 ] r = r 0 + v t - 1 2 a t 2 [ 5 ] {\ displaystyle {\ begin {alineado} r amp; = r_ {0} + {\ tfrac {1} {2}} \ left (v + v_ {0} \ right) t \ quad [3] \\ v ^ {2 } amp; = v_ {0} ^ {2} + 2a \ left (r-r_ {0} \ right) \ quad [4] \\ r amp; = r_ {0} + vt - {\ tfrac {1} {2} } {a} t ^ {2} \ quad [5] \\\ end {alineado}}}

dónde:

• r 0 es la posición inicial de la partícula
• r es la posición final de la partícula
• v 0 es la velocidad inicial de la partícula
• v es la velocidad final de la partícula
• a es la aceleración de la partícula
• t es el intervalo de tiempo

Derivación

Las ecuaciones [1] y [2] son ​​de integrar las definiciones de velocidad y aceleración, sujeto a las condiciones iniciales r ( t 0) = r 0 y v ( t 0) = v 0 ;

$$ v = ∫ a D t = a t + v 0 , [ 1 ] r = ∫ ( a t + v 0 ) D t = a t 2 2 + v 0 t + r 0 , [ 2 ] {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {v} amp; = \ int \ mathbf {a} dt = \ mathbf {a} t + \ mathbf {v} _ {0} \,, \ quad [1] \\ \ mathbf {r} amp; = \ int (\ mathbf {a} t + \ mathbf {v} _ {0}) dt = {\ frac {\ mathbf {a} t ^ {2}} {2}} + \ mathbf {v} _ {0} t + \ mathbf {r} _ {0} \,, \ quad [2] \\\ end {alineado}}}

en magnitudes,

$$ v = a t + v 0 , [ 1 ] r = a t 2 2 + v 0 t + r 0 . [ 2 ] {\ Displaystyle {\ begin {alineado} v amp; = en + v_ {0} \,, \ quad [1] \\ r amp; = {\ frac {{a} t ^ {2}} {2}} + v_ {0 } t + r_ {0} \,. \ quad [2] \\\ end {alineado}}}

La ecuación [3] involucra la velocidad promedio v + v 0/2. Intuitivamente, la velocidad aumenta linealmente, así que la velocidad media multiplicada por el tiempo es la distancia recorrida mientras se incrementa la velocidad de v 0 a v, como se puede ilustrar gráficamente mediante el trazado de la velocidad contra el tiempo como un gráfico de línea recta. Algebraicamente, se sigue de resolver [1] para

$$ a= ( v - v 0 ) t {\ Displaystyle \ mathbf {a} = {\ frac {(\ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ {0})} {t}}}

y sustituyendo en [2]

$$ r= r 0+ v 0t+ t 2( v- v 0), {\ Displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {0} + \ mathbf {v} _ {0} t + {\ frac {t} {2}} (\ mathbf {v} - \ mathbf {v } _ {0}) \,,}

luego simplificando para obtener

$$ r= r 0+ t 2( v+ v 0) {\ Displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {0} + {\ frac {t} {2}} (\ mathbf {v} + \ mathbf {v} _ {0})}

o en magnitudes

$$r= r 0+ ( v + v 0 2 )t[3] {\ Displaystyle r = r_ {0} + \ left ({\ frac {v + v_ {0}} {2}} \ right) t \ quad [3]}

De [3],

$$t= ( r - r 0 ) ( 2 v + v 0 ) {\ Displaystyle t = \ left (r-r_ {0} \ right) \ left ({\ frac {2} {v + v_ {0}}} \ right)}

sustituyendo t en [1]:

$$ v = a ( r - r 0 ) ( 2 v + v 0 ) + v 0 v ( v + v 0 ) = 2 a ( r - r 0 ) + v 0 ( v + v 0 ) v 2 + v v 0 = 2 a ( r - r 0 ) + v 0 v + v 0 2 v 2 = v 0 2 + 2 a ( r - r 0 ) [ 4 ] {\ Displaystyle {\ begin {alineado} v amp; = a \ left (r-r_ {0} \ right) \ left ({\ frac {2} {v + v_ {0}}} \ right) + v_ {0} \\ v \ left (v + v_ {0} \ right) amp; = 2a \ left (r-r_ {0} \ right) + v_ {0} \ left (v + v_ {0} \ right) \\ v ^ {2} + vv_ {0} amp; = 2a \ left (r-r_ {0} \ right) + v_ {0} v + v_ {0} ^ {2} \\ v ^ {2} amp; = v_ { 0} ^ {2} + 2a \ left (r-r_ {0} \ right) \ quad [4] \\\ end {alineado}}}

De [3],

$$2 ( r - r 0 )-vt= v 0t {\ Displaystyle 2 \ left (r-r_ {0} \ right) -vt = v_ {0} t}

sustituyendo en [2]:

$$ r = a t 2 2 + 2 r - 2 r 0 - v t + r 0 0 = a t 2 2 + r - r 0 - v t r = r 0 + v t - a t 2 2 [ 5 ] {\ displaystyle {\ begin {align} r amp; = {\ frac {{a} t ^ {2}} {2}} + 2r-2r_ {0} -vt + r_ {0} \\ 0 amp; = {\ frac { {a} t ^ {2}} {2}} + r-r_ {0} -vt \\ r amp; = r_ {0} + vt - {\ frac {{a} t ^ {2}} {2}} \ quad [5] \ end {alineado}}}

Por lo general, solo se necesitan los primeros 4, el quinto es opcional.

Aquí a es una aceleración constante, o en el caso de cuerpos que se mueven bajo la influencia de la gravedad, se usa la gravedad estándar g. Tenga en cuenta que cada una de las ecuaciones contiene cuatro de las cinco variables, por lo que en esta situación es suficiente conocer tres de las cinco variables para calcular las dos restantes.

En física elemental, las mismas fórmulas se escriben con frecuencia en notación diferente como:

$$ v = tu + a t [ 1 ] s = tu t + 1 2 a t 2 [ 2 ] s = 1 2 ( tu + v ) t [ 3 ] v 2 = tu 2 + 2 a s [ 4 ] s = v t - 1 2 a t 2 [ 5 ] {\ Displaystyle {\ begin {alineado} v amp; = u + en \ quad [1] \\ s amp; = ut + {\ tfrac {1} {2}} en ^ {2} \ quad [2] \\ s amp; = {\ tfrac {1} {2}} (u + v) t \ quad [3] \\ v ^ {2} amp; = u ^ {2} + 2as \ quad [4] \\ s amp; = vt - {\ tfrac { 1} {2}} en ^ {2} \ quad [5] \\\ end {alineado}}}

donde u ha reemplazado a v 0, s reemplaza r - r 0. A menudo se les llama ecuaciones SUVAT, donde "SUVAT" es un acrónimo de las variables: s = desplazamiento, u = velocidad inicial, v = velocidad final, a = aceleración, t = tiempo.

Aceleración lineal constante en cualquier dirección

Trayectoria de una partícula con vector de posición inicial r 0 y velocidad v 0, sujeta a aceleración constante a, las tres cantidades en cualquier dirección, y la posición r ( t) y velocidad v ( t) después del tiempo t.

Los vectores de posición inicial, velocidad inicial y aceleración no necesitan ser colineales y toman una forma casi idéntica. La única diferencia es que las magnitudes cuadradas de las velocidades requieren el producto escalar. Las derivaciones son esencialmente las mismas que en el caso colineal,

$$ v = a t + v 0 [ 1 ] r = r 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 [ 2 ] r = r 0 + 1 2 ( v + v 0 ) t [ 3 ] v 2 = v 0 2 + 2 a ⋅ ( r - r 0 ) [ 4 ] r = r 0 + v t - 1 2 a t 2 [ 5 ] {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {v} amp; = \ mathbf {a} t + \ mathbf {v} _ {0} \ quad [1] \\\ mathbf {r} amp; = \ mathbf {r} _ {0} + \ mathbf {v} _ {0} t + {\ tfrac {1} {2}} \ mathbf {a} t ^ {2} \ quad [2] \\\ mathbf {r} amp; = \ mathbf {r} _ {0} + {\ tfrac {1} {2}} \ left (\ mathbf {v} + \ mathbf {v} _ {0} \ right) t \ quad [3] \\ v ^ {2} amp; = v_ {0} ^ {2} +2 \ mathbf {a} \ cdot \ left (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right) \ quad [4] \\ \ mathbf {r} amp; = \ mathbf {r} _ {0} + \ mathbf {v} t - {\ tfrac {1} {2}} \ mathbf {a} t ^ {2} \ quad [5] \ \\ end {alineado}}}

aunque la ecuación de Torricelli [4] se puede derivar usando la propiedad distributiva del producto escalar de la siguiente manera:

$$ v 2= v⋅ v=( v 0+ at)⋅( v 0+ at)= v 0 2+2t( a⋅ v 0)+ a 2 t 2 {\ Displaystyle v ^ {2} = \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} = (\ mathbf {v} _ {0} + \ mathbf {a} t) \ cdot (\ mathbf {v} _ { 0} + \ mathbf {a} t) = v_ {0} ^ {2} + 2t (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {v} _ {0}) + a ^ {2} t ^ {2} }

$$(2 a)⋅( r- r 0)=(2 a)⋅ ( v 0 t + 1 2 a t 2 ) = 2 t ( a ⋅ v 0 ) + a 2 t 2 = v 2 - v 0 2 {\ Displaystyle (2 \ mathbf {a}) \ cdot (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0}) = (2 \ mathbf {a}) \ cdot \ left (\ mathbf {v} _ {0} t + {\ tfrac {1} {2}} \ mathbf {a} t ^ {2} \ right) = 2t (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {v} _ {0}) + a ^ {2} t ^ {2} = v ^ {2} -v_ {0} ^ {2}}

$$∴ v 2= v 0 2+2( a⋅( r- r 0)) {\ Displaystyle \, por lo tanto, v ^ {2} = v_ {0} ^ {2} +2 (\ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0}))}

Aplicaciones

Los ejemplos elementales y frecuentes en cinemática involucran proyectiles, por ejemplo, una pelota lanzada hacia arriba en el aire. Dada la velocidad inicial u, se puede calcular qué tan alto viajará la bola antes de comenzar a caer. La aceleración es la aceleración local de la gravedad g. Si bien estas cantidades parecen ser escalares, la dirección del desplazamiento, la velocidad y la aceleración son importantes. De hecho, podrían considerarse vectores unidireccionales. Al elegir s para medir desde el suelo, la aceleración a debe ser de hecho −g, ya que la fuerza de la gravedad actúa hacia abajo y, por lo tanto, también la aceleración de la pelota debida a ella.

En el punto más alto, la bola estará en reposo: por lo tanto, v = 0. Usando la ecuación [4] en el conjunto anterior, tenemos:

$$s= v 2 - tu 2 - 2 gramo. {\ Displaystyle s = {\ frac {v ^ {2} -u ^ {2}} {- 2g}}.}

Sustituir y cancelar los signos negativos da:

$$s= tu 2 2 gramo. {\ Displaystyle s = {\ frac {u ^ {2}} {2g}}.}

Aceleración circular constante

Los análogos de las ecuaciones anteriores se pueden escribir para rotación. Nuevamente, estos vectores axiales deben ser todos paralelos al eje de rotación, por lo que solo son necesarias las magnitudes de los vectores,

$$ ω = ω 0 + α t θ = θ 0 + ω 0 t + 1 2 α t 2 θ = θ 0 + 1 2 ( ω 0 + ω ) t ω 2 = ω 0 2 + 2 α ( θ - θ 0 ) θ = θ 0 + ω t - 1 2 α t 2 {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ omega amp; = \ omega _ {0} + \ alpha t \\\ theta amp; = \ theta _ {0} + \ omega _ {0} t + {\ tfrac {1} { 2}} \ alpha t ^ {2} \\\ theta amp; = \ theta _ {0} + {\ tfrac {1} {2}} (\ omega _ {0} + \ omega) t \\\ omega ^ {2} amp; = \ omega _ {0} ^ {2} +2 \ alpha (\ theta - \ theta _ {0}) \\\ theta amp; = \ theta _ {0} + \ omega t - {\ tfrac {1} {2}} \ alpha t ^ {2} \\\ end {alineado}}}

donde α es la aceleración angular constante, ω es la velocidad angular, ω 0 es la velocidad angular inicial, θ es el ángulo girado ( desplazamiento angular ), θ 0 es el ángulo inicial y t es el tiempo que se tarda en girar desde el estado inicial al estado final.

Movimiento plano general

Artículo principal: movimiento plano general El vector de posición r, siempre apunta radialmente desde el origen. Vector de velocidad v, siempre tangente a la trayectoria del movimiento. Vector de aceleración a, no paralelo al movimiento radial pero compensado por las aceleraciones angular y de Coriolis, ni tangente a la trayectoria pero compensado por las aceleraciones centrípeta y radial. Vectores cinemáticos en coordenadas polares planas. Observe que la configuración no está restringida al espacio 2D, sino a un plano en cualquier dimensión superior.

Estas son las ecuaciones cinemáticas para una partícula que atraviesa una trayectoria en un plano, descritas por la posición r = r ( t). Son simplemente las derivadas del tiempo del vector de posición en coordenadas polares planas utilizando las definiciones de cantidades físicas anteriores para la velocidad angular ω y la aceleración angular α. Son cantidades instantáneas que cambian con el tiempo.

La posición de la partícula es

$$ r= r ( r ( t ) , θ ( t ) )=r mi ^ r {\ Displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} \ left (r (t), \ theta (t) \ right) = r \ mathbf {\ hat {e}} _ {r}}

donde ê r y ê θ son los vectores unitarios polares. Diferenciar con respecto al tiempo da la velocidad

$$ v= mi ^ r D r D t+rω mi ^ θ {\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {\ hat {e}} _ {r} {\ frac {dr} {dt}} + r \ omega \ mathbf {\ hat {e}} _ {\ theta} }

con componente radial Dr/dty un componente adicional rω debido a la rotación. Diferenciando con respecto al tiempo nuevamente se obtiene la aceleración

$$ a= ( D 2 r D t 2 - r ω 2 ) mi ^ r+ ( r α + 2 ω D r D t ) mi ^ θ {\ Displaystyle \ mathbf {a} = \ left ({\ frac {d ^ {2} r} {dt ^ {2}}} - r \ omega ^ {2} \ right) \ mathbf {\ hat {e} } _ {r} + \ left (r \ alpha +2 \ omega {\ frac {dr} {dt}} \ right) \ mathbf {\ hat {e}} _ {\ theta}}

que irrumpe en la aceleración radial d ²r/dt ², aceleración centrípeta - rω ², aceleración de Coriolis 2 ωDr/dty aceleración angular rα.

Los casos especiales de movimiento descritos en estas ecuaciones se resumen cualitativamente en la tabla siguiente. Ya se han discutido dos anteriormente, en los casos en que las componentes radiales o las componentes angulares son cero, y la componente distinta de cero del movimiento describe una aceleración uniforme.

Estado de movimiento	Constante r	r lineal en t	r cuadrática en t	r no lineal en t
Constante θ	Estacionario	Traslación uniforme (velocidad de traslación constante)	Aceleración de traslación uniforme	Traducción no uniforme
θ lineal en t	Movimiento angular uniforme en un círculo (velocidad angular constante)	Movimiento angular uniforme en espiral, velocidad radial constante	Movimiento angular en espiral, aceleración radial constante	Movimiento angular en espiral, aceleración radial variable
θ cuadrática en t	Aceleración angular uniforme en un círculo	Aceleración angular uniforme en espiral, velocidad radial constante	Aceleración angular uniforme en espiral, aceleración radial constante	Aceleración angular uniforme en espiral, aceleración radial variable
θ no lineal en t	Aceleración angular no uniforme en un círculo	Aceleración angular no uniforme en espiral, velocidad radial constante	Aceleración angular no uniforme en espiral, aceleración radial constante	Aceleración angular no uniforme en espiral, aceleración radial variable

Movimientos 3D generales

Artículo principal: sistema de coordenadas esféricas

En el espacio 3D, las ecuaciones en coordenadas esféricas ( r, θ, φ) con los vectores unitarios correspondientes ê r, ê θ y ê φ, la posición, la velocidad y la aceleración se generalizan respectivamente a

$$ r = r ( t ) = r mi ^ r v = v mi ^ r + r D θ D t mi ^ θ + r D φ D t pecado ⁡ θ mi ^ φ a = ( a - r ( D θ D t ) 2 - r ( D φ D t ) 2 pecado 2 ⁡ θ ) mi ^ r + ( r D 2 θ D t 2 + 2 v D θ D t - r ( D φ D t ) 2 pecado ⁡ θ porque ⁡ θ ) mi ^ θ + ( r D 2 φ D t 2 pecado ⁡ θ + 2 v D φ D t pecado ⁡ θ + 2 r D θ D t D φ D t porque ⁡ θ ) mi ^ φ {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {r} amp; = \ mathbf {r} \ left (t \ right) = r \ mathbf {\ hat {e}} _ {r} \\\ mathbf {v} amp; = v \ mathbf {\ hat {e}} _ {r} + r \, {\ frac {d \ theta} {dt}} \ mathbf {\ hat {e}} _ {\ theta} + r \, {\ frac {d \ varphi} {dt}} \, \ sin \ theta \ mathbf {\ hat {e}} _ {\ varphi} \\\ mathbf {a} amp; = \ left (ar \ left ({\ frac {d \ theta} {dt}} \ right) ^ {2} -r \ left ({\ frac {d \ varphi} {dt}} \ right) ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ derecha) \ mathbf {\ hat {e}} _ {r} \\ amp; + \ left (r {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} + 2v {\ frac {d \ theta} {dt}} - r \ left ({\ frac {d \ varphi} {dt}} \ right) ^ {2} \ sin \ theta \ cos \ theta \ right) \ mathbf {\ hat {e} } _ {\ theta} \\ amp; + \ left (r {\ frac {d ^ {2} \ varphi} {dt ^ {2}}} \, \ sin \ theta + 2v \, {\ frac {d \ varphi} {dt}} \, \ sin \ theta + 2r \, {\ frac {d \ theta} {dt}} \, {\ frac {d \ varphi} {dt}} \, \ cos \ theta \ right) \ mathbf {\ hat {e}} _ {\ varphi} \ end {alineado}} \, \!}

En el caso de una constante φ, esto se reduce a las ecuaciones planas anteriores.

Ecuaciones dinámicas de movimiento

Mecánica newtoniana

Artículo principal: mecánica newtoniana

La primera ecuación general de movimiento desarrollada fue la segunda ley de movimiento de Newton. En su forma más general, establece la tasa de cambio del momento p = p ( t) = m v ( t) de un objeto es igual a la fuerza F = F ( x ( t), v ( t), t) que actúa sobre él,

$$ F= D pag D t {\ Displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}}}

La fuerza en la ecuación no es la fuerza que ejerce el objeto. Reemplazando el impulso por la masa multiplicada por la velocidad, la ley también se escribe de manera más famosa como

$$ F=metro a {\ Displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {a}}

dado que m es una constante en la mecánica newtoniana.

La segunda ley de Newton se aplica a partículas puntuales y a todos los puntos de un cuerpo rígido. También se aplican a cada punto de un continuo de masas, como sólidos o fluidos deformables, pero se debe tener en cuenta el movimiento del sistema; ver material derivado. En el caso de que la masa no sea constante, no es suficiente usar la regla del producto para la derivada del tiempo sobre la masa y la velocidad, y la segunda ley de Newton requiere alguna modificación consistente con la conservación del momento ; ver sistema de masa variable.

Puede ser sencillo escribir las ecuaciones de movimiento en forma vectorial utilizando las leyes del movimiento de Newton, pero los componentes pueden variar de forma complicada con las coordenadas espaciales y el tiempo, y resolverlos no es fácil. A menudo hay un exceso de variables para resolver el problema por completo, por lo que las leyes de Newton no siempre son la forma más eficiente de determinar el movimiento de un sistema. En casos simples de geometría rectangular, las leyes de Newton funcionan bien en coordenadas cartesianas, pero en otros sistemas de coordenadas pueden volverse dramáticamente complejas.

Es preferible la forma de momento dado que se generaliza fácilmente a sistemas más complejos, como la relatividad especial y general (ver cuatro momentos ). También se puede utilizar con la conservación del impulso. Sin embargo, las leyes de Newton no son más fundamentales que la conservación del momento, porque las leyes de Newton son simplemente consistentes con el hecho de que la fuerza resultante cero que actúa sobre un objeto implica un momento constante, mientras que una fuerza resultante implica que el momento no es constante. La conservación de la cantidad de movimiento siempre es cierta para un sistema aislado que no está sujeto a las fuerzas resultantes.

Para un número de partículas (ver problema de muchos cuerpos ), la ecuación de movimiento para una partícula i influenciada por otras partículas es

$$ D pag I D t= F mi+ ∑ I ≠ j F I j {\ Displaystyle {\ frac {d \ mathbf {p} _ {i}} {dt}} = \ mathbf {F} _ {E} + \ sum _ {i \ neq j} \ mathbf {F} _ {ij } \, \!}

donde p i es el momento de la partícula i, F ij es la fuerza sobre la partícula i por la partícula j, y F E es la fuerza externa resultante debida a cualquier agente que no forme parte del sistema. La partícula i no ejerce una fuerza sobre sí misma.

Las leyes del movimiento de Euler son similares a las leyes de Newton, pero se aplican específicamente al movimiento de cuerpos rígidos. Las ecuaciones de Newton-Euler combinan las fuerzas y los momentos de torsión que actúan sobre un cuerpo rígido en una sola ecuación.

La segunda ley de Newton para la rotación toma una forma similar al caso de traslación,

$$ τ= D L D t, {\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = {\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}} \,,}

igualando la par que actúa sobre el cuerpo a la velocidad de cambio de su momento angular L. De manera análoga a la masa multiplicada por la aceleración, el tensor de momento de inercia I depende de la distribución de la masa alrededor del eje de rotación, y la aceleración angular es la tasa de cambio de la velocidad angular,

$$ τ= I⋅ α. {\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {I} \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha}}.}

Nuevamente, estas ecuaciones se aplican a partículas puntuales, o en cada punto de un cuerpo rígido.

Asimismo, para varias partículas, la ecuación de movimiento de una partícula i es

$$ D L I D t= τ mi+ ∑ I ≠ j τ I j, {\ Displaystyle {\ frac {d \ mathbf {L} _ {i}} {dt}} = {\ boldsymbol {\ tau}} _ {E} + \ sum _ {i \ neq j} {\ boldsymbol {\ tau}} _ {ij} \,,}

donde L i es el momento angular de la partícula i, τ ij el par en la partícula i por la partícula j, y τ E es el par externo resultante (debido a cualquier agente que no forma parte del sistema). La partícula i no ejerce un par sobre sí misma.

Aplicaciones

Algunos ejemplos de la ley de Newton incluyen describir el movimiento de un péndulo simple,

$$-metrogramopecado⁡θ=metro D 2 ( l θ ) D t 2⇒ D 2 θ D t 2=- gramo lpecado⁡θ, {\ Displaystyle -mg \ sin \ theta = m {\ frac {d ^ {2} (l \ theta)} {dt ^ {2}}} \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} = - {\ frac {g} {l}} \ sin \ theta \,,}

y un oscilador armónico amortiguado, impulsado sinusoidalmente,

$$ F 0pecado⁡(ωt)=metro ( D 2 X D t 2 + 2 ζ ω 0 D X D t + ω 0 2 X ). {\ Displaystyle F_ {0} \ sin (\ omega t) = m \ left ({\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + 2 \ zeta \ omega _ {0} {\ frac {dx} {dt}} + \ omega _ {0} ^ {2} x \ right) \,.}

Para describir el movimiento de masas debido a la gravedad, la ley de la gravedad de Newton se puede combinar con la segunda ley de Newton. Para dos ejemplos, una bola de masa m lanzada al aire, en corrientes de aire (como el viento) descrita por un campo vectorial de fuerzas resistivas R = R ( r, t),

$$- GRAMO metro METRO | r | 2 mi ^ r+ R=metro D 2 r D t 2+0⇒ D 2 r D t 2=- GRAMO METRO | r | 2 mi ^ r+ A {\ Displaystyle - {\ frac {GmM} {| \ mathbf {r} | ^ {2}}} \ mathbf {\ hat {e}} _ {r} + \ mathbf {R} = m {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r}} {dt ^ {2}}} + 0 \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r}} {dt ^ {2}}} = - {\ frac {GM} {| \ mathbf {r} | ^ {2}}} \ mathbf {\ hat {e}} _ {r} + \ mathbf {A} \, \!}

donde G es la constante gravitacional, M la masa de la Tierra y A =R/metroes la aceleración del proyectil debido a las corrientes de aire en la posición r y en el tiempo t.

El problema clásico de N cuerpos para N partículas que interactúan entre sí debido a la gravedad es un conjunto de N ODE de segundo orden acopladas no lineales,

$$ D 2 r I D t 2=GRAMO ∑ I ≠ j metro I metro j | r j - r I | 3( r j- r I) {\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r} _ {i}} {dt ^ {2}}} = G \ sum _ {i \ neq j} {\ frac {m_ {i} m_ {j}} {| \ mathbf {r} _ {j} - \ mathbf {r} _ {i} | ^ {3}}} (\ mathbf {r} _ {j} - \ mathbf {r} _ { I})}

donde i = 1, 2,…, N etiqueta las cantidades (masa, posición, etc.) asociadas con cada partícula.

Mecánica analítica

Artículos principales: Mecánica analítica, Mecánica lagrangiana y Mecánica hamiltoniana A medida que el sistema evoluciona, q traza un camino a través del espacio de configuración (solo se muestran algunos). El camino recorrido por el sistema (rojo) tiene una acción estacionaria ( δS = 0) ante pequeños cambios en la configuración del sistema ( δ q).

No es necesario utilizar las tres coordenadas del espacio 3D si existen limitaciones en el sistema. Si el sistema tiene N grados de libertad, entonces se puede usar un conjunto de N coordenadas generalizadas q ( t) = [ q 1 ( t), q 2 ( t)... q N ( t)], para definir la configuración del sistema. Pueden tener la forma de longitudes de arco o ángulos. Son una simplificación considerable para describir el movimiento, ya que aprovechan las restricciones intrínsecas que limitan el movimiento del sistema y el número de coordenadas se reduce al mínimo. Las derivadas de tiempo de las coordenadas generalizadas son las velocidades generalizadas

$$ q ˙= D q D t. {\ Displaystyle \ mathbf {\ dot {q}} = {\ frac {d \ mathbf {q}} {dt}} \,.}

Las ecuaciones de Euler-Lagrange son

$$ D D t ( ∂ L ∂ q ˙ )= ∂ L ∂ q, {\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ izquierda ({\ frac {\ L parcial} {\ parcial \ mathbf {\ punto {q}}}} \ derecha) = {\ frac {\ L parcial} {\ parcial \ mathbf {q}}} \,,}

donde el lagrangiano es una función de la configuración q y su tasa de cambio en el tiempod q/dt(y posiblemente tiempo t)

$$L=L [ q ( t ) , q ˙ ( t ) , t ]. {\ Displaystyle L = L \ left [\ mathbf {q} (t), \ mathbf {\ dot {q}} (t), t \ right] \,.}

Estableciendo el Lagrangiano del sistema, luego sustituyendo en las ecuaciones y evaluando las derivadas parciales y simplificando, se obtiene un conjunto de N ODE de segundo orden acopladas en las coordenadas.

Las ecuaciones de Hamilton son

$$ pag ˙=- ∂ H ∂ q, q ˙=+ ∂ H ∂ pag, {\ Displaystyle \ mathbf {\ dot {p}} = - {\ frac {\ parcial H} {\ parcial \ mathbf {q}}} \,, \ quad \ mathbf {\ dot {q}} = + {\ frac {\ parcial H} {\ parcial \ mathbf {p}}} \,,}

donde el hamiltoniano

$$H=H [ q ( t ) , pag ( t ) , t ], {\ Displaystyle H = H \ left [\ mathbf {q} (t), \ mathbf {p} (t), t \ right] \,,}

es una función de la configuración q y momentos conjugados "generalizados"

$$ pag= ∂ L ∂ q ˙, {\ Displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {\ parcial L} {\ parcial \ mathbf {\ dot {q}}}} \,,}

en el cual ∂/∂ q= (∂/∂ q 1, ∂/∂ q 2,…, ∂/∂ q N) es una notación abreviada para un vector de derivadas parciales con respecto a las variables indicadas (ver, por ejemplo , cálculo de matrices para esta notación de denominador), y posiblemente el tiempo t,

Estableciendo el hamiltoniano del sistema, luego sustituyendo en las ecuaciones y evaluando las derivadas parciales y simplificando, se obtiene un conjunto de EDO acopladas de primer orden de 2 N en las coordenadas q i y momentos p i.

La ecuación de Hamilton-Jacobi es

$$- ∂ S ( q , t ) ∂ t=H ( q , pag , t ). {\ Displaystyle - {\ frac {\ parcial S (\ mathbf {q}, t)} {\ parcial t}} = H \ left (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t \ right) \,.}

dónde

$$S[ q,t]= ∫ t 1 t 2L( q, q ˙,t)Dt, {\ Displaystyle S [\ mathbf {q}, t] = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}}, t) \, dt \,,}

es la función principal de Hamilton, también llamada la acción clásica es un funcional de L. En este caso, los momentos están dados por

$$ pag= ∂ S ∂ q. {\ Displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {\ parcial S} {\ parcial \ mathbf {q}}} \,.}

Aunque la ecuación tiene una forma general simple, para un hamiltoniano dado es en realidad una única PDE no lineal de primer orden, en N + 1 variables. La acción S permite la identificación de cantidades conservadas para sistemas mecánicos, incluso cuando el problema mecánico en sí no puede resolverse completamente, porque cualquier simetría diferenciable de la acción de un sistema físico tiene una ley de conservación correspondiente, un teorema debido a Emmy Noether.

Todas las ecuaciones clásicas de movimiento pueden derivarse del principio variacional conocido como principio de mínima acción de Hamilton.

$$δS=0, {\ Displaystyle \ delta S = 0 \,,}

indicando el camino que el sistema lleva a través del espacio de configuración es la que tiene la menor acción S.

Electrodinámica

Fuerza de Lorentz F sobre una partícula cargada (de carga q) en movimiento (velocidad instantánea v). La E de campo y B campo varían en el espacio y el tiempo.

En electrodinámica, la fuerza sobre una partícula cargada de carga q es la fuerza de Lorentz :

$$ F=q ( mi + v × B ) {\ Displaystyle \ mathbf {F} = q \ left (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ right) \, \!}

La combinación con la segunda ley de Newton da una ecuación diferencial de movimiento de primer orden, en términos de posición de la partícula:

$$metro D 2 r D t 2=q ( mi + D r D t × B ) {\ Displaystyle m {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r}} {dt ^ {2}}} = q \ left (\ mathbf {E} + {\ frac {d \ mathbf {r}} { dt}} \ times \ mathbf {B} \ right) \, \!}

o su impulso:

$$ D pag D t=q ( mi + pag × B metro ) {\ Displaystyle {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} = q \ left (\ mathbf {E} + {\ frac {\ mathbf {p} \ times \ mathbf {B}} {m}} \Derecha)\,\!}

La misma ecuación se puede obtener usando el Lagrangiano (y aplicando las ecuaciones de Lagrange anteriores) para una partícula cargada de masa my carga q:

$$L= 1 2 metro r ˙ ⋅ r ˙ + q A ⋅ r ˙ - q ϕ {\ Displaystyle L = {\ tfrac {1} {2}} m \ mathbf {\ dot {r}} \ cdot \ mathbf {\ dot {r}} + q \ mathbf {A} \ cdot {\ dot {\ mathbf {r}}} - q \ phi}

donde A y ϕ son los campos electromagnéticos de potencial escalar y vectorial. El lagrangiano indica un detalle adicional: el impulso canónico en la mecánica lagrangiana viene dado por:

$$ PAG= ∂ L ∂ r ˙=metro r ˙+q A {\ Displaystyle \ mathbf {P} = {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {\ mathbf {r}}}}} = m {\ dot {\ mathbf {r}}} + q \ mathbf {A} }

en lugar de solo m v, lo que implica que el movimiento de una partícula cargada está determinado fundamentalmente por la masa y la carga de la partícula. La expresión lagrangiana se utilizó por primera vez para derivar la ecuación de fuerza.

Alternativamente, el hamiltoniano (y sustituyendo en las ecuaciones):

$$H= ( PAG - q A ) 2 2 metro+qϕ {\ Displaystyle H = {\ frac {\ left (\ mathbf {P} -q \ mathbf {A} \ right) ^ {2}} {2m}} + q \ phi \, \!}

puede derivar la ecuación de fuerza de Lorentz.

Relatividad general

Ecuación geodésica de movimiento

Las geodésicas en una esfera son arcos de grandes círculos (curva amarilla). En un 2D - colector (tales como la esfera se muestra), la dirección de la línea geodésica aceleración se fija únicamente si la separación vector ξ es decir ortogonal a la "geodésica fiducial" (curva verde). Como el vector de separación ξ 0 cambia a ξ después de una distancia s, las geodésicas no son paralelas (desviación geodésica). Artículos principales: Geodésica en relatividad general y ecuación geodésica

Las ecuaciones anteriores son válidas en el espacio-tiempo plano. En el espacio-tiempo curvo, las cosas se vuelven matemáticamente más complicadas ya que no existe una línea recta; esto se generaliza y se reemplaza por una geodésica del espacio-tiempo curvo (la longitud más corta de la curva entre dos puntos). Para colectores curvos con un tensor métrico g, la métrica proporciona la noción de longitud de arco (consulte el elemento de línea para obtener más detalles). La longitud del arco diferencial viene dada por:

$$Ds= gramo α β D X α D X β {\ displaystyle ds = {\ sqrt {g _ {\ alpha \ beta} dx ^ {\ alpha} dx ^ {\ beta}}}}

y la ecuación geodésica es una ecuación diferencial de segundo orden en las coordenadas. La solución general es una familia de geodésicas:

$$ D 2 X μ D s 2=- Γ μ α β D X α D s D X β D s {\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} x ^ {\ mu}} {ds ^ {2}}} = - \ Gamma ^ {\ mu} {} _ {\ alpha \ beta} {\ frac {dx ^ {\ alpha}} {ds}} {\ frac {dx ^ {\ beta}} {ds}}}

donde Γ  ^μαβ es un símbolo de Christoffel del segundo tipo, que contiene la métrica (con respecto al sistema de coordenadas).

Dada la distribución masa-energía proporcionada por el tensor esfuerzo-energía T  ^αβ, las ecuaciones de campo de Einstein son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden no lineales en la métrica, e implican que la curvatura del espacio-tiempo es equivalente a un campo gravitacional ( ver principio de equivalencia ). La masa que cae en el espacio-tiempo curvo es equivalente a una masa que cae en un campo gravitacional, porque la gravedad es una fuerza ficticia. La aceleración relativa de una geodésica a otra en el espacio-tiempo curvo viene dada por la ecuación de desviación geodésica :

$$ D 2 ξ α D s 2=- R α β γ δ D X α D s ξ γ D X δ D s {\ Displaystyle {\ frac {D ^ {2} \ xi ^ {\ alpha}} {ds ^ {2}}} = - R ^ {\ alpha} {} _ {\ beta \ gamma \ delta} {\ frac {dx ^ {\ alpha}} {ds}} \ xi ^ {\ gamma} {\ frac {dx ^ {\ delta}} {ds}}}

donde ξ ^α = x 2 ^α - x 1 ^α es el vector de separación entre dos geodésicas,D/ds( no soloD/ds) es la derivada covariante y R ^αβγδ es el tensor de curvatura de Riemann, que contiene los símbolos de Christoffel. En otras palabras, la ecuación de desviación geodésica es la ecuación de movimiento para masas en el espacio-tiempo curvo, análoga a la ecuación de fuerza de Lorentz para cargas en un campo electromagnético.

Para el espacio-tiempo plano, la métrica es un tensor constante, por lo que los símbolos de Christoffel desaparecen y la ecuación geodésica tiene las soluciones de las líneas rectas. Este es también el caso límite cuando las masas se mueven de acuerdo con la ley de gravedad de Newton.

Objetos giratorios

En relatividad general, el movimiento de rotación se describe mediante el tensor de momento angular relativista, incluido el tensor de espín, que ingresa a las ecuaciones de movimiento bajo derivadas covariantes con respecto al tiempo propio. Las ecuaciones de Mathisson-Papapetrou-Dixon describen el movimiento de objetos giratorios que se mueven en un campo gravitacional.

Análogos de ondas y campos

A diferencia de las ecuaciones de movimiento para describir la mecánica de partículas, que son sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas, las ecuaciones análogas que gobiernan la dinámica de ondas y campos son siempre ecuaciones diferenciales parciales, ya que las ondas o campos son funciones del espacio y el tiempo. Para una solución particular, es necesario especificar las condiciones de contorno junto con las condiciones iniciales.

A veces, en los siguientes contextos, las ecuaciones de campo o de onda también se denominan "ecuaciones de movimiento".

Ecuaciones de campo

Las ecuaciones que describen la dependencia espacial y la evolución temporal de los campos se denominan ecuaciones de campo. Éstos incluyen

• Ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético,
• Ecuación de Poisson para los potenciales de campo gravitacional o electrostático de Newton,
• la ecuación de campo de Einstein para la gravitación ( la ley de la gravedad de Newton es un caso especial para campos gravitacionales débiles y bajas velocidades de partículas).

Esta terminología no es universal: por ejemplo, aunque las ecuaciones de Navier-Stokes gobiernan el campo de velocidad de un fluido, no se las suele llamar "ecuaciones de campo", ya que en este contexto representan el momento del fluido y se denominan "ecuaciones de momento". " en lugar de.

Ecuaciones de onda

Las ecuaciones de movimiento ondulatorio se denominan ecuaciones ondulatorias. Las soluciones de una ecuación de onda dan la evolución temporal y la dependencia espacial de la amplitud. Las condiciones de contorno determinan si las soluciones describen ondas viajeras u ondas estacionarias.

De ecuaciones clásicas de movimiento y ecuaciones de campo; Se pueden derivar ecuaciones mecánicas, de ondas gravitacionales y de ondas electromagnéticas. La ecuación de onda lineal general en 3D es:

$$ 1 v 2 ∂ 2 X ∂ t 2= ∇ 2X {\ displaystyle {\ frac {1} {v ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} X} {\ parcial t ^ {2}}} = \ nabla ^ {2} X}

donde X = X ( r, t) es cualquier amplitud de campo mecánico o electromagnético, digamos:

• el desplazamiento transversal o longitudinal de una varilla vibratoria, alambre, cable, membrana, etc.
• la presión fluctuante de un medio, presión sonora,
• los campos eléctricos E o D, o los campos magnéticos B o H,
• el voltaje V o la corriente I en un circuito de corriente alterna,

y v es la velocidad de fase. Las ecuaciones no lineales modelan la dependencia de la velocidad de fase en la amplitud, reemplazando v por v ( X). Existen otras ecuaciones de onda lineales y no lineales para aplicaciones muy específicas, ver por ejemplo la ecuación de Korteweg – de Vries.

Teoría cuántica

En la teoría cuántica, aparecen los conceptos de onda y campo.

En la mecánica cuántica, en la que las partículas también tienen propiedades onduladas de acuerdo con la dualidad onda-partícula, el análogo de las ecuaciones clásicas de movimiento (ley de Newton, ecuación de Euler-Lagrange, ecuación de Hamilton-Jacobi, etc.) es la ecuación de Schrödinger en su forma más general:

$$Iℏ ∂ Ψ ∂ t= H ^Ψ, {\ Displaystyle i \ hbar {\ frac {\ parcial \ Psi} {\ parcial t}} = {\ hat {H}} \ Psi \,,}

donde Ψ es la función de onda del sistema, Ĥ es el operador cuántico hamiltoniano, en lugar de una función como en la mecánica clásica, y ħ es la constante de Planck dividida por 2 π. Configurar el hamiltoniano e insertarlo en la ecuación da como resultado una ecuación de onda, la solución es la función de onda en función del espacio y el tiempo. La ecuación de Schrödinger en sí se reduce a la ecuación de Hamilton-Jacobi cuando se considera el principio de correspondencia, en el límite en el que ħ se convierte en cero.

En todos los aspectos de la teoría cuántica, relativista o no relativista, existen varias formulaciones alternativas a la ecuación de Schrödinger que gobiernan la evolución en el tiempo y el comportamiento de un sistema cuántico, por ejemplo:

• la ecuación de movimiento de Heisenberg se asemeja a la evolución temporal de los observables clásicos como funciones de posición, momento y tiempo, si se reemplazan los observables dinámicos por sus operadores cuánticos y el corchete de Poisson clásico por el conmutador,
• la formulación del espacio de fase sigue de cerca la mecánica clásica de Hamilton, colocando la posición y el momento en pie de igualdad,
• La formulación integral de la trayectoria de Feynman extiende el principio de acción mínima a la mecánica cuántica y la teoría de campos, poniendo énfasis en el uso de lagrangianos en lugar de hamiltonianos.

Ver también

• Escalar (física)
• Vector
• Distancia
• Desplazamiento
• Velocidad
• Velocidad
• Aceleración
• Desplazamiento angular
• Velocidad angular
• Velocidad angular
• Aceleración angular
• Ecuaciones para un cuerpo que cae
• Trayectoria parabólica
• Coordenadas curvilíneas
• Coordenadas ortogonales
• Leyes del movimiento de Newton
• Ecuación de Torricelli
• Ecuación de Euler-Lagrange
• Fuerzas generalizadas
• Definición de ecuación (física)
• Leyes del movimiento de Newton-Euler para un cuerpo rígido

Referencias