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En física, las ecuaciones de movimiento son ecuaciones que describen el comportamiento de un sistema físico en términos de su movimiento en función del tiempo. Más específicamente, las ecuaciones de movimiento describen el comportamiento de un sistema físico como un conjunto de funciones matemáticas en términos de variables dinámicas. Estas variables suelen ser coordenadas espaciales y tiempo, pero pueden incluir componentes de impulso. La elección más general son las coordenadas generalizadas que pueden ser cualquier variable conveniente característica del sistema físico. Las funciones se definen en un espacio euclidiano en la mecánica clásica, pero se reemplazan por espacios curvos en la relatividad. Si se conoce la dinámica de un sistema, las ecuaciones son las soluciones para las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de la dinámica.
Hay dos descripciones principales de movimiento: dinámica y cinemática. La dinámica es general, ya que se tienen en cuenta los momentos, fuerzas y energía de las partículas. En este caso, a veces el término dinámica se refiere a las ecuaciones diferenciales que satisface el sistema (por ejemplo, la segunda ley de Newton o las ecuaciones de Euler-Lagrange ) y, a veces, a las soluciones de esas ecuaciones.
Sin embargo, la cinemática es más sencilla. Se trata únicamente de variables derivadas de las posiciones de los objetos y el tiempo. En circunstancias de aceleración constante, estas ecuaciones de movimiento más simples generalmente se denominan ecuaciones SUVAT, que surgen de las definiciones de cantidades cinemáticas: desplazamiento ( s), velocidad inicial ( u), velocidad final ( v), aceleración ( a), y tiempo ( t).
Por tanto, las ecuaciones de movimiento se pueden agrupar bajo estos principales clasificadores de movimiento. En todos los casos, los principales tipos de movimiento son traslaciones, rotaciones, oscilaciones o cualquier combinación de estos.
Una ecuación diferencial de movimiento, generalmente identificada como una ley física y aplicando definiciones de cantidades físicas, se usa para establecer una ecuación para el problema. Resolver la ecuación diferencial conducirá a una solución general con constantes arbitrarias, la arbitrariedad correspondiente a una familia de soluciones. Se puede obtener una solución particular estableciendo los valores iniciales, que fija los valores de las constantes.
Para afirmar esto formalmente, en general una ecuación de movimiento M es una función de la posición r del objeto, su velocidad (la primera derivada en el tiempo de r, v = d r/dt), y su aceleración (la segunda derivada de r, a =d 2r/dt 2) y tiempo t. Los vectores euclidianos en 3D se indican en negrita. Esto equivale a decir que una ecuación de movimiento en r es una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de segundo orden en r,
donde t es el tiempo, y cada overdot denota una derivada de tiempo. Las condiciones iniciales están dadas por los valores constantes en t = 0,
La solución r ( t) a la ecuación de movimiento, con valores iniciales especificados, describe el sistema para todos los tiempos t después de t = 0. Otras variables dinámicas como el momento p del objeto, o cantidades derivadas de r y p como el momento angular, se pueden usar en lugar de r como la cantidad a resolver a partir de alguna ecuación de movimiento, aunque la posición del objeto en el tiempo t es, con mucho, la cantidad más buscada.
A veces, la ecuación será lineal y es más probable que se pueda resolver con exactitud. En general, la ecuación no será lineal y no se puede resolver con exactitud, por lo que se deben utilizar varias aproximaciones. Las soluciones a ecuaciones no lineales pueden mostrar un comportamiento caótico dependiendo de qué tan sensible sea el sistema a las condiciones iniciales.
La cinemática, la dinámica y los modelos matemáticos del universo se desarrollaron de manera incremental durante tres milenios, gracias a muchos pensadores, solo algunos de cuyos nombres conocemos. En la antigüedad, sacerdotes, astrólogos y astrónomos predijeron los eclipses solares y lunares, los solsticios y equinoccios del Sol y el período de la Luna. Pero no tenían nada más que un conjunto de algoritmos para guiarlos. Las ecuaciones de movimiento no se escribieron durante otros mil años.
Los eruditos medievales del siglo XIII, por ejemplo en las universidades relativamente nuevas de Oxford y París, recurrieron a los antiguos matemáticos (Euclides y Arquímedes) y filósofos (Aristóteles) para desarrollar un nuevo cuerpo de conocimientos, ahora llamado física.
En Oxford, Merton College acogió a un grupo de académicos dedicados a las ciencias naturales, principalmente a la física, la astronomía y las matemáticas, que tenían una estatura similar a la de los intelectuales de la Universidad de París. Thomas Bradwardine amplió cantidades aristotélicas como la distancia y la velocidad, y les asignó intensidad y extensión. Bradwardine sugirió una ley exponencial que involucra fuerza, resistencia, distancia, velocidad y tiempo. Nicholas Oresme amplió aún más los argumentos de Bradwardine. La escuela de Merton demostró que la cantidad de movimiento de un cuerpo que experimenta un movimiento uniformemente acelerado es igual a la cantidad de un movimiento uniforme a la velocidad alcanzada a la mitad del movimiento acelerado.
Para los escritores de cinemática anteriores a Galileo, dado que no se podían medir pequeños intervalos de tiempo, la afinidad entre el tiempo y el movimiento era oscura. Utilizaron el tiempo en función de la distancia y, en caída libre, una mayor velocidad como resultado de una mayor elevación. Sólo Domingo de Soto, un teólogo español, en su comentario sobre la Física de Aristóteles publicado en 1545, después de definir el movimiento "uniforme difform" (que es un movimiento uniformemente acelerado) - no se usó la palabra velocidad - como proporcional al tiempo, declaró correctamente que este tipo de movimiento era identificable con cuerpos y proyectiles en caída libre, sin que él probara estas proposiciones o sugiriera una fórmula que relacione tiempo, velocidad y distancia. Los comentarios de De Soto son notablemente correctos con respecto a las definiciones de aceleración (la aceleración era una tasa de cambio de movimiento (velocidad) en el tiempo) y la observación de que la aceleración sería negativa durante el ascenso.
Discursos como estos se difundieron por toda Europa, dando forma a la obra de Galileo Galilei y otros, y ayudaron a sentar las bases de la cinemática. Galileo dedujo la ecuación s =1/2gt 2 en su trabajo geométricamente, usando la regla de Merton, ahora conocida como un caso especial de una de las ecuaciones de la cinemática.
Galileo fue el primero en mostrar que la trayectoria de un proyectil es una parábola. Galileo entendió la fuerza centrífuga y dio una definición correcta de impulso. Este énfasis en el impulso como una cantidad fundamental en la dinámica es de primordial importancia. Midió el impulso por el producto de la velocidad y el peso; la masa es un concepto posterior, desarrollado por Huygens y Newton. En el balanceo de un péndulo simple, Galileo dice en Discursos que "cada impulso adquirido en el descenso a lo largo de un arco es igual al que hace que el mismo cuerpo en movimiento ascienda a través del mismo arco". Su análisis de los proyectiles indica que Galileo había comprendido la primera ley y la segunda ley del movimiento. No generalizó ni los hizo aplicables a los cuerpos que no están sujetos a la gravitación terrestre. Ese paso fue la contribución de Newton.
El término "inercia" fue utilizado por Kepler, quien lo aplicó a los cuerpos en reposo. (La primera ley del movimiento ahora se llama a menudo ley de inercia).
Galileo no comprendió completamente la tercera ley del movimiento, la ley de la igualdad de acción y reacción, aunque corrigió algunos errores de Aristóteles. Con Stevin y otros, Galileo también escribió sobre estática. Formuló el principio del paralelogramo de fuerzas, pero no reconoció completamente su alcance.
Galileo también se interesó por las leyes del péndulo, de las cuales sus primeras observaciones fueron cuando era joven. En 1583, mientras rezaba en la catedral de Pisa, su atención fue atraída por el movimiento de la gran lámpara encendida y balanceándose, haciendo referencia a su propio pulso para medir el tiempo. Para él, el período parecía el mismo, incluso después de que el movimiento había disminuido mucho, descubriendo el isocronismo del péndulo.
Experimentos más cuidadosos llevados a cabo por él más tarde, y descritos en sus Discursos, revelaron que el período de oscilación varía con la raíz cuadrada de la longitud, pero es independiente de la masa del péndulo.
Llegamos así a René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz, et al.; y las formas evolucionadas de las ecuaciones de movimiento que comienzan a reconocerse como las modernas.
Posteriormente las ecuaciones de movimiento también aparecieron en electrodinámica, al describir el movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos y magnéticos, la fuerza de Lorentz es la ecuación general que sirve como definición de lo que se entiende por campo eléctrico y campo magnético. Con el advenimiento de la relatividad especial y la relatividad general, las modificaciones teóricas del espacio-tiempo significaron que las ecuaciones clásicas del movimiento también se modificaron para tener en cuenta la velocidad finita de la luz y la curvatura del espacio-tiempo. En todos estos casos, las ecuaciones diferenciales fueron en términos de una función que describe la trayectoria de la partícula en términos de coordenadas espaciales y temporales, influenciada por fuerzas o transformaciones de energía.
Sin embargo, las ecuaciones de la mecánica cuántica también pueden considerarse "ecuaciones de movimiento", ya que son ecuaciones diferenciales de la función de onda, que describe cómo un estado cuántico se comporta de forma análoga utilizando las coordenadas espaciales y temporales de las partículas. Existen análogos de ecuaciones de movimiento en otras áreas de la física, para colecciones de fenómenos físicos que pueden considerarse ondas, fluidos o campos.
Desde la posición instantánea r = r ( t), significado instantáneo en un valor instantáneo de tiempo t, la velocidad instantánea v = v ( t) y la aceleración a = a ( t) tienen las definiciones generales independientes de las coordenadas;
Observe que la velocidad siempre apunta en la dirección del movimiento, en otras palabras, para una trayectoria curva es el vector tangente. Hablando libremente, las derivadas de primer orden están relacionadas con tangentes de curvas. Aún en trayectos con curvas, la aceleración se dirige hacia el centro de curvatura del trayecto. Una vez más, hablando libremente, las derivadas de segundo orden están relacionadas con la curvatura.
Los análogos rotacionales son el "vector angular" (ángulo en el que la partícula gira alrededor de algún eje) θ = θ ( t), velocidad angular ω = ω ( t) y aceleración angular α = α ( t):
donde n̂ es un vector unitario en la dirección del eje de rotación, y θ es el ángulo en el que gira el objeto alrededor del eje.
La siguiente relación es válida para una partícula puntual que orbita alrededor de algún eje con velocidad angular ω:
donde r es el vector de posición de la partícula (radial desde el eje de rotación) yv la velocidad tangencial de la partícula. Para un cuerpo rígido continuo giratorio, estas relaciones son válidas para cada punto del cuerpo rígido.
La ecuación diferencial de movimiento para una partícula de aceleración constante o uniforme en línea recta es simple: la aceleración es constante, por lo que la segunda derivada de la posición del objeto es constante. Los resultados de este caso se resumen a continuación.
Estas ecuaciones se aplican a una partícula que se mueve linealmente, en tres dimensiones en línea recta con aceleración constante. Dado que la posición, la velocidad y la aceleración son colineales (paralelas y se encuentran en la misma línea), solo las magnitudes de estos vectores son necesarias, y debido a que el movimiento es a lo largo de una línea recta, el problema se reduce efectivamente de tres dimensiones a una.