Ecuaciones de Euler (dinámica de cuerpos rígidos)

Parte de una serie sobre
Mecanica clasica
$$ F= D D t(metro v) {\ Displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (m {\ textbf {v}})} Segunda ley del movimiento
Historia Cronología Libros de texto
Sucursales Aplicado Celestial Continuum Dinámica Cinemática Cinética Estática Estadístico
Fundamentos Aceleración Momento angular Pareja Principio de D'Alembert Energía cinético potencial Fuerza Marco de referencia Marco de referencia inercial Impulso Inercia  / Momento de inercia Masa Potencia mecánica Trabajo mecánico Momento Impulso Espacio Velocidad Hora Esfuerzo de torsión Velocidad Trabajo virtual
Formulaciones Leyes del movimiento de Newton Mecánica analítica Mecánica lagrangiana Mecánica hamiltoniana Mecánica routhiana Ecuación de Hamilton-Jacobi Ecuación de movimiento de Appell Mecánica de Koopman – von Neumann
Temas centrales Relación de amortiguación Desplazamiento Ecuaciones de movimiento Leyes del movimiento de Euler Fuerza ficticia Fricción Oscilador armónico Marco de referencia inercial  / no inercial Mecánica del movimiento de partículas planas Movimiento  ( lineal ) Ley de Newton de la gravitación universal Leyes del movimiento de Newton Velocidad relativa Cuerpo rígido dinámica Ecuaciones de Euler Movimiento armónico simple Vibración
Rotación Movimiento circular Marco de referencia giratorio Fuerza centrípeta Fuerza centrífuga reactivo fuerza Coriolis Péndulo Velocidad tangencial Velocidad rotacional Aceleración angular  / desplazamiento  / frecuencia  / velocidad
Científicos Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton Poisson Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
Categorías ► Mecánica clásica
v t mi

En la mecánica clásica, las ecuaciones de rotación de Euler son una ecuación diferencial ordinaria de primer orden cuasilineal vectorial que describe la rotación de un cuerpo rígido, utilizando un sistema de referencia giratorio con sus ejes fijos al cuerpo y paralelos a los ejes principales de inercia del cuerpo. Su forma general es:

$$ I ω ˙+ ω× ( I ω )= METRO. {\ Displaystyle \ mathbf {I} {\ dot {\ boldsymbol {\ omega}}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (\ mathbf {I} {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) = \ mathbf {M}.}

donde M son los pares aplicados, I es la matriz de inercia y ω es la velocidad angular alrededor de los ejes principales.

En coordenadas ortogonales principales tridimensionales, se convierten en:

$$ I 1 ω ˙ 1 + ( I 3 - I 2 ) ω 2 ω 3 = METRO 1 I 2 ω ˙ 2 + ( I 1 - I 3 ) ω 3 ω 1 = METRO 2 I 3 ω ˙ 3 + ( I 2 - I 1 ) ω 1 ω 2 = METRO 3 {\ Displaystyle {\ begin {alineado} I_ {1} {\ dot {\ omega}} _ {1} + (I_ {3} -I_ {2}) \ omega _ {2} \ omega _ {3} amp; = M_ {1} \\ I_ {2} {\ dot {\ omega}} _ {2} + (I_ {1} -I_ {3}) \ omega _ {3} \ omega _ {1} amp; = M_ {2} \\ I_ {3} {\ dot {\ omega}} _ {3} + (I_ {2} -I_ {1}) \ omega _ {1} \ omega _ {2} amp; = M_ {3 } \ end {alineado}}}

donde M k son las componentes de los pares aplicados, I k son los momentos de inercia principales y ω k son las componentes de la velocidad angular alrededor de los ejes principales.

• 1 Motivación y derivación
• 2 soluciones sin torque
• 3 Generalizaciones
• 4 Ver también
• 5 referencias

Motivación y derivación

A partir de la segunda ley de Newton, en un marco de referencia inercial (subindicado "en"), la derivada del tiempo del momento angular L es igual al par aplicado

$$ D L en D t  = D mi F  D D t ( I en ω )= METRO en {\ Displaystyle {\ frac {d \ mathbf {L} _ {\ text {in}}} {dt}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {d} {dt }} \ left (\ mathbf {I} _ {\ text {in}} {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) = \ mathbf {M} _ {\ text {in}}}

donde I in es el tensor del momento de inercia calculado en el marco de inercia. Aunque esta ley es universalmente cierta, no siempre es útil para resolver el movimiento de un cuerpo rígido giratorio general, ya que tanto I in como ω pueden cambiar durante el movimiento.

Por lo tanto, cambiamos a un marco de coordenadas fijo en el cuerpo giratorio, y elegido de manera que sus ejes estén alineados con los ejes principales del tensor del momento de inercia. En este marco, al menos el tensor del momento de inercia es constante (y diagonal), lo que simplifica los cálculos. Como se describe en el momento de inercia, el momento angular L se puede escribir

$$ L  = D mi F  L 1 mi 1+ L 2 mi 2+ L 3 mi 3= I 1 ω 1 mi 1+ I 2 ω 2 mi 2+ I 3 ω 3 mi 3 {\ Displaystyle \ mathbf {L} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ L_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + L_ {2} \ mathbf {e} _ {2 } + L_ {3} \ mathbf {e} _ {3} = I_ {1} \ omega _ {1} \ mathbf {e} _ {1} + I_ {2} \ omega _ {2} \ mathbf {e } _ {2} + I_ {3} \ omega _ {3} \ mathbf {e} _ {3}}

donde M k, I k y ω k son como arriba.

En un marco de referencia giratorio, la derivada del tiempo debe reemplazarse con (ver la derivada del tiempo en el marco de referencia giratorio )

$$ ( D L D t ) r o t+ ω× L= METRO {\ Displaystyle \ left ({\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}} \ right) _ {\ mathrm {rot}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {L} = \ mathbf {M}}

donde el subíndice "rot" indica que se toma en el marco de referencia giratorio. Las expresiones para el par en los marcos giratorio e inercial están relacionadas por

$$ METRO en= Q METRO, {\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {\ text {in}} = \ mathbf {Q} \ mathbf {M},}

donde Q es el tensor de rotación (no la matriz de rotación ), un tensor ortogonal relacionado con el vector de velocidad angular por

$$ ω× v= Q ˙ Q - 1 v {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {v}} = {\ dot {\ mathbf {Q}}} \ mathbf {Q} ^ {- 1} {\ boldsymbol {v}}}

para cualquier vector v.

En general, se sustituye L = Iω y se toman las derivadas del tiempo teniendo en cuenta que el tensor de inercia, y por tanto también los momentos principales, no dependen del tiempo. Esto conduce a la forma vectorial general de las ecuaciones de Euler.

$$ I ω ˙+ ω× ( I ω )= METRO. {\ Displaystyle \ mathbf {I} {\ dot {\ boldsymbol {\ omega}}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (\ mathbf {I} {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) = \ mathbf {M}.}

Si la rotación del eje principal

$$ L k  = D mi F  I k ω k {\ Displaystyle L_ {k} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ I_ {k} \ omega _ {k}}

se sustituye, y luego tomando el producto cruzado y usando el hecho de que los momentos principales no cambian con el tiempo, llegamos a las ecuaciones de Euler en componentes al comienzo del artículo.

Soluciones sin par

Para los RHS iguales a cero hay soluciones no triviales: precesión sin par. Observe que dado que I es constante (porque el tensor de inercia es una matriz diagonal de 3 × 3 (ver la sección anterior), porque trabajamos en el marco intrínseco, o porque el par impulsa la rotación alrededor del mismo eje de modo que I no es cambiando) entonces podemos escribir $$

$$ METRO  = D mi F I D ω D t norte ^= Iα norte ^ {\ Displaystyle \ mathbf {M} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ mathbf {I} {\ frac {d \ omega} {dt}} \ mathbf {\ hat {n}} = \ mathbf {I} \ alpha \, \ mathbf {\ hat {n}}}

dónde

α se denomina aceleración angular (o aceleración de rotación) alrededor del eje de rotación.$$ norte ^ {\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {n}}}

Sin embargo, si I no es constante en el marco de referencia externo (es decir, el cuerpo se está moviendo y su tensor de inercia no es constantemente diagonal), entonces no podemos sacar el I fuera de la derivada. En este caso tendremos una precesión libre de torque, de tal manera que I ( t) y ω ( t) cambian juntos de modo que su derivada sea cero. Este movimiento se puede visualizar mediante la construcción de Poinsot.

Generalizaciones

También es posible utilizar estas ecuaciones si los ejes en los que

$$ ( D L D t ) r mi l a t I v mi {\ Displaystyle \ left ({\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}} \ right) _ {\ mathrm {relativo}}}

se describe no están conectados al cuerpo. Entonces ω debe reemplazarse con la rotación de los ejes en lugar de la rotación del cuerpo. Sin embargo, todavía se requiere que los ejes elegidos sigan siendo ejes principales de inercia. Esta forma de las ecuaciones de Euler es útil para objetos de rotación simétrica que permiten elegir libremente algunos de los principales ejes de rotación.

Ver también

• Ángulos de Euler
• Efecto Dzhanibekov
• Momento de inercia
• Construcción de Poinsot
• Rotor rígido

Referencias

• CA Truesdell, III (1991) Un primer curso en Mecánica de Continuum Racional. Vol. 1: Conceptos generales, 2ª ed., Academic Press. ISBN   0-12-701300-8. Sectas. I.8-10.
• CA Truesdell, III y RA Toupin (1960) The Classical Field Theories, en S. Flügge (ed.) Encyclopedia of Physics. Vol. III / 1: Principios de la Mecánica Clásica y Teoría de Campos, Springer-Verlag. Sectas. 166-168, 196-197 y 294.
• Landau LD y Lifshitz EM (1976) Mecánica, 3er. ed., Pergamon Press. ISBN   0-08-021022-8 (tapa dura) e ISBN   0-08-029141-4 (tapa blanda).
• Goldstein H. (1980) Mecánica clásica, 2ª ed., Addison-Wesley. ISBN   0-201-02918-9
• Symon KR. (1971) Mecánica, 3er. ed., Addison-Wesley. ISBN   0-201-07392-7