Transformación galilea

En física, se usa una transformación galileana para transformar entre las coordenadas de dos marcos de referencia que difieren solo por el movimiento relativo constante dentro de las construcciones de la física newtoniana. Estas transformaciones, junto con las rotaciones espaciales y las traslaciones en el espacio y el tiempo, forman el grupo galileo no homogéneo (asumido a continuación). Sin las traducciones en el espacio y el tiempo, el grupo es el grupo galileo homogéneo. El grupo galileo es el grupo de movimientos de la relatividad galilea que actúan sobre las cuatro dimensiones del espacio y el tiempo, formando la geometría galileana. Este es el punto de vista de la transformación pasiva. En la relatividad especial, las transformaciones galileanas homogéneas y no homogéneas son, respectivamente, reemplazadas por las transformaciones de Lorentz y las transformaciones de Poincaré ; a la inversa, la contracción del grupo en el límite clásico c → ∞ de las transformaciones de Poincaré produce transformaciones galileanas.

Las siguientes ecuaciones solo son válidas físicamente en un marco newtoniano y no se aplican a los sistemas de coordenadas que se mueven entre sí a velocidades que se acercan a la velocidad de la luz.

Galileo formuló estos conceptos en su descripción del movimiento uniforme. El tema fue motivado por su descripción del movimiento de una bola rodando por una rampa, mediante la cual midió el valor numérico de la aceleración de la gravedad cerca de la superficie de la Tierra.

• 1 traducción
• 2 transformaciones galileanas
• 3 grupo galileo
• 4 Origen en la contracción grupal
• 5 Extensión central del grupo galileo
• 6 Véase también
• 7 notas
• 8 referencias

Traducción

Configuración estándar de sistemas de coordenadas para transformaciones galileanas.

Aunque las transformaciones llevan el nombre de Galileo, es el tiempo y el espacio absolutos tal como los concibió Isaac Newton lo que proporciona su dominio de definición. En esencia, las transformaciones galileanas incorporan la noción intuitiva de suma y resta de velocidades como vectores.

La siguiente notación describe la relación bajo la transformación galileana entre las coordenadas ( x, y, z, t) y ( x ′, y ′, z ′, t ′) de un solo evento arbitrario, medido en dos sistemas de coordenadas S y S ′, en movimiento relativo uniforme ( velocidad v) en sus direcciones x y x ′ comunes, con sus orígenes espaciales coincidiendo en el tiempo t = t ′ = 0:

$$ X ′=X-vt {\ Displaystyle x '= x-vt}

$$ y ′=y {\ Displaystyle y '= y}

$$ z ′=z {\ Displaystyle z '= z}

$$ t ′=t. {\ Displaystyle t '= t.}

Tenga en cuenta que la última ecuación es válida para todas las transformaciones de Galileo hasta la adición de una constante, y expresa el supuesto de un tiempo universal independiente del movimiento relativo de diferentes observadores.

En el lenguaje del álgebra lineal, esta transformación se considera un mapeo de corte y se describe con una matriz que actúa sobre un vector. Con movimiento paralelo al eje x, la transformación actúa solo sobre dos componentes:

$$ ( X ′ t ′)= ( 1 - v 0 1) ( X t) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ t' \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 amp; -v \\ 0 amp; 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ t \ end {pmatrix}}}

Aunque las representaciones matriciales no son estrictamente necesarias para la transformación galileana, proporcionan los medios para la comparación directa con los métodos de transformación en relatividad especial.

Transformaciones galileanas

Las simetrías galileanas se pueden escribir únicamente como la composición de una rotación, una traslación y un movimiento uniforme del espacio-tiempo. Sea x un punto en el espacio tridimensional y t un punto en el tiempo unidimensional. Un punto general en el espacio-tiempo viene dado por un par ordenado ( x, t).

Un movimiento uniforme, con velocidad v, viene dado por

$$( X,t)↦( X+t v,t), {\ Displaystyle (\ mathbf {x}, t) \ mapsto (\ mathbf {x} + t \ mathbf {v}, t),}

donde v ∈ R ³. Una traducción viene dada por

$$( X,t)↦( X+ a,t+s), {\ Displaystyle (\ mathbf {x}, t) \ mapsto (\ mathbf {x} + \ mathbf {a}, t + s),}

donde un ∈ R ³ y s ∈ R. Una rotación viene dada por

$$( X,t)↦(GRAMO X,t), {\ Displaystyle (\ mathbf {x}, t) \ mapsto (G \ mathbf {x}, t),}

donde G  : R ³ → R ³ es una transformación ortogonal.

Como grupo de Lie, el grupo de transformaciones galileanas tiene dimensión 10.

Grupo galileo

Dos transformaciones galileanas G ( R, v, a, s) y G ( R ', v ′, a ′, s ′) se componen para formar una tercera transformación galileana,

G ( R ′, v ′, a ′, s ′) ⋅ G ( R, v, a, s) = G ( R ′ R, R ′ v + v ′, R ′ a + a ′ + v ′ s, s ′ + s).

El conjunto de todas las transformaciones galileanas Gal (3) forma un grupo con la composición como la operación de grupo.

El grupo a veces se representa como un grupo de matriz con eventos espaciotemporales ( x, t, 1) como vectores donde t es real y x ∈ R ³ es una posición en el espacio. La acción está dada por

$$ ( R v a 0 1 s 0 0 1) ( X t 1)= ( R X + v t + a t + s 1), {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} R amp; v amp; a \\ 0 amp; 1 amp; s \\ 0 amp; 0 amp; 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ t \\ 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} Rx + vt + a \\ t + s \\ 1 \ end {pmatrix}},}

donde s es real y v, x, a ∈ R ³ y R es una matriz de rotación. Luego, la composición de las transformaciones se logra mediante la multiplicación de matrices. Se debe tener cuidado en la discusión si uno se limita al grupo de componentes conectados de las transformaciones ortogonales.

Gal (3) ha nombrado subgrupos. El componente de identidad se denota SGal (3).

Sea m la matriz de transformación con parámetros v, R, s, a:

• $${metro:R= I 3}, {\ Displaystyle \ {m: R = I_ {3} \},} transformaciones anisotrópicas.
• $${metro:s=0}, {\ Displaystyle \ {m: s = 0 \},} transformaciones isócronas.
• $${metro:s=0,v=0}, {\ Displaystyle \ {m: s = 0, v = 0 \},} transformaciones espaciales euclidianas.
• $$ GRAMO 1={metro:s=0,a=0}, {\ Displaystyle G_ {1} = \ {m: s = 0, a = 0 \},} transformaciones uniformemente especiales / transformaciones homogéneas, isomorfas a transformaciones euclidianas.
• $$ GRAMO 2={metro:v=0,R= I 3}≅( R 4,+), {\ Displaystyle G_ {2} = \ {m: v = 0, R = I_ {3} \} \ cong (\ mathbf {R} ^ {4}, +),} cambios de origen / traducción en el espacio-tiempo newtoniano.
• $$ GRAMO 3={metro:s=0,a=0,v=0}≅ S O(3), {\ Displaystyle G_ {3} = \ {m: s = 0, a = 0, v = 0 \} \ cong \ mathrm {SO} (3),}rotaciones (del marco de referencia) (ver SO (3) ), un grupo compacto.
• $$ GRAMO 4={metro:s=0,a=0,R= I 3}≅( R 3,+), {\ Displaystyle G_ {4} = \ {m: s = 0, a = 0, R = I_ {3} \} \ cong (\ mathbf {R} ^ {3}, +),} movimientos / refuerzos uniformes del marco.

Los parámetros s, v, R, un lapso de diez dimensiones. Dado que las transformaciones dependen continuamente de s, v, R, a, Gal (3) es un grupo continuo, también llamado grupo topológico.

La estructura de Gal (3) puede entenderse mediante la reconstrucción de subgrupos. Se requiere la combinación de productos semidirecta () de grupos. $$

A⋊B {\ Displaystyle A \ rtimes B}

1. $$ GRAMO 2◃ S GRAMO a l(3) {\ Displaystyle G_ {2} \ triangleleft \ mathrm {SGal} (3)}( G 2 es un subgrupo normal )
2. $$ S GRAMO a l(3)≅ GRAMO 2⋊ GRAMO 1 {\ Displaystyle \ mathrm {SGal} (3) \ cong G_ {2} \ rtimes G_ {1}}
3. $$ GRAMO 4⊴ GRAMO 1 {\ Displaystyle G_ {4} \ trianglelefteq G_ {1}}
4. $$ GRAMO 1≅ GRAMO 4⋊ GRAMO 3 {\ Displaystyle G_ {1} \ cong G_ {4} \ rtimes G_ {3}}
5. $$ S GRAMO a l(3)≅ R 4⋊( R 3⋊ S O(3)). {\ Displaystyle \ mathrm {SGal} (3) \ cong \ mathbf {R} ^ {4} \ rtimes (\ mathbf {R} ^ {3} \ rtimes \ mathrm {SO} (3)).}

Origen en contracción grupal

El álgebra de Lie del grupo galileano se divide en H, P i, C i y L ij (un tensor antisimétrico ), sujeto a relaciones de conmutación, donde

$$[H, PAG I]=0 {\ Displaystyle [H, P_ {i}] = 0}

$$[ PAG I, PAG j]=0 {\ Displaystyle [P_ {i}, P_ {j}] = 0}

$$[ L I j,H]=0 {\ Displaystyle [L_ {ij}, H] = 0}

$$[ C I, C j]=0 {\ Displaystyle [C_ {i}, C_ {j}] = 0}

$$[ L I j, L k l]=I[ δ I k L j l- δ I l L j k- δ j k L I l+ δ j l L I k] {\ Displaystyle [L_ {ij}, L_ {kl}] = i [\ delta _ {ik} L_ {jl} - \ delta _ {il} L_ {jk} - \ delta _ {jk} L_ {il} + \ delta _ {jl} L_ {ik}]}

$$[ L I j, PAG k]=I[ δ I k PAG j- δ j k PAG I] {\ Displaystyle [L_ {ij}, P_ {k}] = i [\ delta _ {ik} P_ {j} - \ delta _ {jk} P_ {i}]}

$$[ L I j, C k]=I[ δ I k C j- δ j k C I] {\ Displaystyle [L_ {ij}, C_ {k}] = i [\ delta _ {ik} C_ {j} - \ delta _ {jk} C_ {i}]}

$$[ C I,H]=I PAG I {\ Displaystyle [C_ {i}, H] = iP_ {i} \, \!}

$$[ C I, PAG j]=0 . {\ Displaystyle [C_ {i}, P_ {j}] = 0 ~.}

H es el generador de traducciones de tiempo ( hamiltoniano ), P i es el generador de traducciones ( operador de momento ), C i es el generador de transformaciones de Galileo rotationless (aumenta los de Galileo), y L ij representa un generador de rotaciones ( operador momento angular ).

Este Álgebra de Lie se considera un límite clásico especial del álgebra del grupo de Poincaré, en el límite c → ∞. Técnicamente, el grupo de Galileo es una contracción de grupo célebre del grupo de Poincaré (que, a su vez, es una contracción de grupo del grupo de De Sitter SO (1,4)). Formalmente, renombrar los generadores de impulso e impulso de este último como en

P 0 ↦ H / c

K yo ↦ c ⋅ C yo,

donde c es la velocidad de la luz (o cualquier función ilimitada de la misma), las relaciones de conmutación (constantes de estructura) en el límite c → ∞ toman las relaciones de la primera. Se identifican generadores de traslaciones y rotaciones de tiempo. También tenga en cuenta los invariantes de grupo L mn L ^mn y P i P ⁱ.

En forma de matriz, para d = 3, se puede considerar la representación regular (incluida en GL (5; R), de la cual podría derivarse por una contracción de un solo grupo, sin pasar por el grupo de Poincaré),

$$

IH= ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0), {\ displaystyle iH = \ left ({\ begin {array} {ccccc} 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 1 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\\ end {array}} \ right), \ qquad} $$I a →⋅ PAG →= ( 0 0 0 0 a 1 0 0 0 0 a 2 0 0 0 0 a 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0), {\ Displaystyle i {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {P}} = \ left ({\ begin {array} {ccccc} 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; a_ {1} \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; a_ {2} \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; a_ {3} \ \ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\\ end {array}} \ right), \ qquad} $$I v →⋅ C →= ( 0 0 0 v 1 0 0 0 0 v 2 0 0 0 0 v 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0), {\ Displaystyle i {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {C}} = \ left ({\ begin {array} {ccccc} 0 amp; 0 amp; 0 amp; v_ {1} amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; v_ {2} amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; v_ {3 } amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\\ end {array}} \ right), \ qquad} $$I θ I ϵ I j k L j k= ( 0 θ 3 - θ 2 0 0 - θ 3 0 θ 1 0 0 θ 2 - θ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) . {\ Displaystyle i \ theta _ {i} \ epsilon ^ {ijk} L_ {jk} = \ left ({\ begin {array} {ccccc} 0 amp; \ theta _ {3} amp; - \ theta _ {2} amp; 0 amp; 0 \ \ - \ theta _ {3} amp; 0 amp; \ theta _ {1} amp; 0 amp; 0 \\\ theta _ {2} amp; - \ theta _ {1} amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\\ end {array}} \ right) ~.}

El elemento del grupo infinitesimal es entonces

$$GRAMO(R, v →, a →,s)=1 1 5+ ( 0 θ 3 - θ 2 v 1 a 1 - θ 3 0 θ 1 v 1 a 2 θ 2 - θ 1 0 v 1 a 3 0 0 0 0 s 0 0 0 0 0)+ ... . {\ Displaystyle G (R, {\ vec {v}}, {\ vec {a}}, s) = 1 \! \! 1_ {5} + \ left ({\ begin {array} {ccccc} 0 amp; \ theta _ {3} amp; - \ theta _ {2} amp; v_ {1} amp; a_ {1} \\ - \ theta _ {3} amp; 0 amp; \ theta _ {1} amp; v_ {1} amp; a_ {2} \\\ theta _ {2} amp; - \ theta _ {1} amp; 0 amp; v_ {1} amp; a_ {3} \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; s \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\\ end {array}} \ right) + \... ~.}

Extensión central del grupo galileo

Se puede considerar una extensión central del álgebra de Lie del grupo galileano, formado por H ′, P ′ i, C ′ i, L ′ ij y un operador M: El llamado álgebra de Bargmann se obtiene imponiendo, tal que M se encuentra en el centro, es decir, se desplaza con todos los demás operadores. $$

[ C I ′, PAG j ′]=IMETRO δ I j {\ Displaystyle [C '_ {i}, P' _ {j}] = iM \ delta _ {ij}}

En su totalidad, este álgebra se da como

$$[ H ′, PAG I ′]=0 {\ Displaystyle [H ', P' _ {i}] = 0 \, \!}

$$[ PAG I ′, PAG j ′]=0 {\ Displaystyle [P '_ {i}, P' _ {j}] = 0 \, \!}

$$[ L I j ′, H ′]=0 {\ displaystyle [L '_ {ij}, H'] = 0 \, \!}

$$[ C I ′, C j ′]=0 {\ Displaystyle [C '_ {i}, C' _ {j}] = 0 \, \!}

$$[ L I j ′, L k l ′]=I[ δ I k L j l ′- δ I l L j k ′- δ j k L I l ′+ δ j l L I k ′] {\ Displaystyle [L '_ {ij}, L' _ {kl}] = i [\ delta _ {ik} L '_ {jl} - \ delta _ {il} L' _ {jk} - \ delta _ {jk} L '_ {il} + \ delta _ {jl} L' _ {ik}] \, \!}

$$[ L I j ′, PAG k ′]=I[ δ I k PAG j ′- δ j k PAG I ′] {\ Displaystyle [L '_ {ij}, P' _ {k}] = i [\ delta _ {ik} P '_ {j} - \ delta _ {jk} P' _ {i}] \, \ !}

$$[ L I j ′, C k ′]=I[ δ I k C j ′- δ j k C I ′] {\ Displaystyle [L '_ {ij}, C' _ {k}] = i [\ delta _ {ik} C '_ {j} - \ delta _ {jk} C' _ {i}] \, \ !}

$$[ C I ′, H ′]=I PAG I ′ {\ Displaystyle [C '_ {i}, H'] = iP '_ {i} \, \!}

y finalmente

$$[ C I ′, PAG j ′]=IMETRO δ I j . {\ Displaystyle [C '_ {i}, P' _ {j}] = iM \ delta _ {ij} ~.}

donde aparece el nuevo parámetro. Esta extensión y representaciones proyectivas que esto posibilita está determinada por su cohomología grupal. $$

METRO {\ Displaystyle M}

Ver también

• Invariancia galileana
• Teoría de la representación del grupo galileo
• Formulación del tensor covariante de Galilei
• Grupo Poincaré
• Grupo Lorentz
• Coordenadas lagrangianas y eulerianas

Notas

Referencias

• Arnold, VI (1989). Métodos matemáticos de la mecánica clásica (2 ed.). Springer-Verlag. pag.  6. ISBN   0-387-96890-3.
• Bargmann, V. (1954). "Sobre representaciones de rayos unitarios de grupos continuos". Annals of Mathematics. 2. 59 (1): 1–46. doi : 10.2307 / 1969831.
• Copérnico, Nicolás ; Kepler, Johannes ; Galilei, Galileo ; Newton, Isaac ; Einstein, Albert (2002). Hawking, Stephen (ed.). Sobre los hombros de gigantes: las grandes obras de la física y la astronomía. Filadelfia, Londres: Running Press. págs.  515–520. ISBN   0-7624-1348-4.
• Galilei, Galileo (1638I). Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno á due nuoue scienze (en italiano). Leiden: Elsevier. págs. 191-196.
• Galileo, Galilei (1638E). Discursos y demostraciones matemáticas sobre dos nuevas ciencias [ Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze ]. Traducido al inglés 1914 por Henry Crew y Alfonso de Salvio.
• Gilmore, Robert (2006). Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y algunas de sus aplicaciones. Libros de Dover sobre matemáticas. Publicaciones de Dover. ISBN   0486445291.
• Hoffmann, Banesh (1983), La relatividad y sus raíces, Scientific American Books, ISBN   0-486-40676-8, Capítulo 5, pág. 83
• Lerner, Lawrence S. (1996), Física para científicos e ingenieros, 2, Jones y Bertlett Publishers, Inc, ISBN   0-7637-0460-1, Capítulo 38 §38.2, pág. 1046,1047
• Molde, Richard A. (2002), relatividad básica, Springer-Verlag, ISBN   0-387-95210-1, Capítulo 2 §2.6, pág. 42
• Nadjafikhah, Mehdi; Forough, Ahmad-Reza (2009). "Geometría de movimientos de Galilea" (PDF). Ciencias Aplicadas. págs. 91-105.
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