Oscilador armónico

Este artículo trata sobre el oscilador armónico en la mecánica clásica. Para conocer sus usos en mecánica cuántica, consulte oscilador armónico cuántico.

Parte de una serie sobre
Mecanica clasica
$$ F= D D t(metro v) {\ Displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (m {\ textbf {v}})} Segunda ley del movimiento
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Fundamentos Aceleración Momento angular Pareja Principio de D'Alembert Energía cinético potencial Fuerza Marco de referencia Marco de referencia inercial Impulso Inercia  / Momento de inercia Masa Potencia mecánica Trabajo mecánico Momento Impulso Espacio Velocidad Tiempo Esfuerzo de torsión Velocidad Trabajo virtual
Formulaciones Leyes del movimiento de Newton Mecánica analítica Mecánica lagrangiana Mecánica hamiltoniana Mecánica routhiana Ecuación de Hamilton-Jacobi Ecuación de movimiento de Appell Mecánica de Koopman – von Neumann
Temas centrales Relación de amortiguación Desplazamiento Ecuaciones de movimiento Leyes del movimiento de Euler Fuerza ficticia Fricción Oscilador armónico Marco de referencia inercial  / no inercial Mecánica del movimiento de partículas planas Movimiento  ( lineal ) Ley de Newton de la gravitación universal Leyes del movimiento de Newton Velocidad relativa Cuerpo rígido dinámica Ecuaciones de Euler Movimiento armónico simple Vibración
Rotación Movimiento circular Marco de referencia giratorio Fuerza centrípeta Fuerza centrífuga reactivo fuerza Coriolis Péndulo Velocidad tangencial Velocidad rotacional Aceleración angular  / desplazamiento  / frecuencia  / velocidad
Científicos Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton Poisson Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
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En mecánica clásica, un oscilador armónico es un sistema que, cuando se desplaza de su posición de equilibrio, experimenta una fuerza restauradora F proporcional al desplazamiento x:

$$ F →=-k X →, {\ Displaystyle {\ vec {F}} = - k {\ vec {x}},}

donde k es una constante positiva.

Si F es la única fuerza que actúa sobre el sistema, el sistema se denomina oscilador armónico simple, y experimenta un movimiento armónico simple : oscilaciones sinusoidales alrededor del punto de equilibrio, con una amplitud constante y una frecuencia constante (que no depende de la amplitud).

Si también está presente una fuerza de fricción ( amortiguación ) proporcional a la velocidad, el oscilador armónico se describe como un oscilador amortiguado. Dependiendo del coeficiente de fricción, el sistema puede:

• Oscila con una frecuencia más baja que en el caso no amortiguado y una amplitud que disminuye con el tiempo ( oscilador subamortiguado ).
• Decaimiento a la posición de equilibrio, sin oscilaciones ( oscilador sobreamortiguado ).

La solución límite entre un oscilador subamortiguado y un oscilador sobreamortiguado se produce en un valor particular del coeficiente de fricción y se denomina críticamente amortiguado.

Si está presente una fuerza externa dependiente del tiempo, el oscilador armónico se describe como un oscilador accionado.

Los ejemplos mecánicos incluyen péndulos (con pequeños ángulos de desplazamiento ), masas conectadas a resortes y sistemas acústicos. Otros sistemas análogos incluyen osciladores armónicos eléctricos como circuitos RLC. El modelo de oscilador armónico es muy importante en física, porque cualquier masa sujeta a una fuerza en equilibrio estable actúa como un oscilador armónico para pequeñas vibraciones. Los osciladores armónicos ocurren ampliamente en la naturaleza y se explotan en muchos dispositivos artificiales, como relojes y circuitos de radio. Son la fuente de prácticamente todas las vibraciones y ondas sinusoidales.

• 1 oscilador armónico simple
• 2 oscilador armónico amortiguado
• 3 osciladores armónicos impulsados
  • 3.1 Entrada escalonada
  • 3.2 Fuerza impulsora sinusoidal
• 4 osciladores paramétricos
• 5 Ecuación del oscilador universal
  • 5.1 Solución transitoria
  • 5.2 Solución de estado estacionario
    • 5.2.1 Parte de amplitud
    • 5.2.2 Parte de fase
  • 5.3 Solución completa
• 6 Sistemas equivalentes
• 7 Aplicación a una fuerza conservadora
• 8 ejemplos
  • 8.1 Péndulo simple
  • 8.2 Sistema de resorte / masa
    • 8.2.1 Variación de energía en el sistema de amortiguación de muelles
• 9 Definición de términos
• 10 Véase también
• 11 notas
• 12 referencias
• 13 Enlaces externos

Oscilador armónico simple

Artículo principal: movimiento armónico simple Oscilador armónico de masa-resorte Movimiento armónico simple

Un oscilador armónico simple es un oscilador que no es impulsado ni amortiguado. Consiste en una masa m, que experimenta una sola fuerza F, que tira de la masa en la dirección del punto x  = 0 y depende solo de la posición x de la masa y una constante k. El equilibrio de fuerzas ( segunda ley de Newton ) para el sistema es

$$F=metroa=metro D 2 X D t 2=metro X ¨=-kX. {\ Displaystyle F = ma = m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = m {\ ddot {x}} = - kx.}

Resolviendo esta ecuación diferencial, encontramos que el movimiento es descrito por la función

$$X(t)=Aporque⁡(ωt+φ), {\ Displaystyle x (t) = A \ cos (\ omega t + \ varphi),}

dónde

$$ω= k metro. {\ Displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ frac {k} {m}}}.}

El movimiento es periódica, se repite en una sinusoidal de la manera con amplitud constante A. Además de su amplitud, el movimiento de un oscilador armónico simple se caracteriza por su período, el tiempo para una sola oscilación o su frecuencia, el número de ciclos por unidad de tiempo. La posición en un tiempo determinado t también depende de la fase φ, que determina el punto de inicio de la onda sinusoidal. El período y la frecuencia están determinados por el tamaño de la masa my la constante de fuerza k, mientras que la amplitud y la fase están determinadas por la posición inicial y la velocidad. $$

T=2π /ω {\ Displaystyle T = 2 \ pi / \ omega}$$F=1 /T {\ Displaystyle f = 1 / T}

La velocidad y la aceleración de un oscilador armónico simple oscilan con la misma frecuencia que la posición, pero con fases desplazadas. La velocidad es máxima para el desplazamiento cero, mientras que la aceleración es en la dirección opuesta al desplazamiento.

La energía potencial almacenada en un oscilador armónico simple en la posición x es

$$U= 1 2k X 2. {\ Displaystyle U = {\ frac {1} {2}} kx ^ {2}.}

Oscilador armónico amortiguado

Artículos principales: Onda sinusoidal amortiguada y Relación de amortiguación Dependencia del comportamiento del sistema del valor de la relación de amortiguamiento ζ Reproducir medios Videoclip que muestra un oscilador armónico amortiguado que consiste en un carro dinámico entre dos resortes. Un acelerómetro en la parte superior del carro muestra la magnitud y la dirección de la aceleración.

En osciladores reales, la fricción o la amortiguación ralentizan el movimiento del sistema. Debido a la fuerza de fricción, la velocidad disminuye en proporción a la fuerza de fricción que actúa. Mientras que en un oscilador armónico simple no impulsado la única fuerza que actúa sobre la masa es la fuerza de restauración, en un oscilador armónico amortiguado hay además una fuerza de fricción que siempre está en una dirección opuesta al movimiento. En muchos sistemas vibrantes, la fuerza de fricción F f puede modelarse como proporcional a la velocidad v del objeto: F f = - cv, donde c se denomina coeficiente de amortiguación viscoso.

El equilibrio de fuerzas ( segunda ley de Newton ) para osciladores armónicos amortiguados es entonces

$$F=-kX-C D X D t=metro D 2 X D t 2, {\ Displaystyle F = -kx-c {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm { d} t ^ {2}}},}

que se puede reescribir en el formulario

$$ D 2 X D t 2+2ζ ω 0 D X D t+ ω 0 2X=0, {\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + 2 \ zeta \ omega _ {0} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} + \ omega _ {0} ^ {2} x = 0,}

dónde

$$ ω 0= k metro {\ Displaystyle \ omega _ {0} = {\ sqrt {\ frac {k} {m}}}}se denomina " frecuencia angular no amortiguada del oscilador",

$$ζ= C 2 metro k {\ Displaystyle \ zeta = {\ frac {c} {2 {\ sqrt {mk}}}}} se llama "relación de amortiguación".

Respuesta de paso de un oscilador armónico amortiguado; las curvas se trazan para tres valores de μ = ω 1 = ω 0 √ 1 -  ζ ². El tiempo está en unidades del tiempo de caída τ = 1 / ( ζω 0).

El valor de la relación de amortiguamiento ζ determina críticamente el comportamiento del sistema. Un oscilador armónico amortiguado puede ser:

• Sobreamortiguado ( ζ gt; 1): el sistema vuelve ( decae exponencialmente ) al estado estable sin oscilar. Los valores mayores de la relación de amortiguamiento ζ vuelven al equilibrio más lentamente.
• Críticamente amortiguado ( ζ = 1): el sistema vuelve al estado estable lo más rápido posible sin oscilar (aunque puede ocurrir un sobreimpulso si la velocidad inicial es distinta de cero). Esto a menudo se desea para la amortiguación de sistemas como puertas.
• Subamortiguado ( ζ lt;1): El sistema oscila (con una frecuencia ligeramente diferente a la del caso no amortiguado) con la amplitud disminuyendo gradualmente a cero. La frecuencia angular del oscilador armónico subamortiguado está dada por la caída exponencial del oscilador armónico subamortiguado está dada por$$ ω 1= ω 0 1 - ζ 2, {\ Displaystyle \ omega _ {1} = \ omega _ {0} {\ sqrt {1- \ zeta ^ {2}}},} $$λ= ω 0ζ. {\ Displaystyle \ lambda = \ omega _ {0} \ zeta.}

El factor Q de un oscilador amortiguado se define como

$$Q=2π× energía guardada energía perdida por ciclo. {\ displaystyle Q = 2 \ pi \ times {\ frac {\ text {energía almacenada}} {\ text {energía perdida por ciclo}}}.}

Q está relacionado con la relación de amortiguamiento por la ecuación$$

Q= 1 2 ζ. {\ Displaystyle Q = {\ frac {1} {2 \ zeta}}.}

Osciladores armónicos impulsados

Los osciladores armónicos impulsados ​​son osciladores amortiguados más afectados por una fuerza aplicada externamente F ( t).

La segunda ley de Newton toma la forma

$$F(t)-kX-C D X D t=metro D 2 X D t 2. {\ Displaystyle F (t) -kx-c {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}.}

Por lo general, se reescribe en el formulario.

$$ D 2 X D t 2+2ζ ω 0 D X D t+ ω 0 2X= F ( t ) metro. {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + 2 \ zeta \ omega _ {0} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} + \ omega _ {0} ^ {2} x = {\ frac {F (t)} {m}}.}

Esta ecuación se puede resolver exactamente para cualquier fuerza motriz, usando las soluciones z ( t) que satisfacen la ecuación no forzada

$$ D 2 z D t 2+2ζ ω 0 D z D t+ ω 0 2z=0, {\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} z} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + 2 \ zeta \ omega _ {0} {\ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d} t}} + \ omega _ {0} ^ {2} z = 0,}

y que se puede expresar como oscilaciones sinusoidales amortiguadas:

$$z(t)=A mi - ζ ω 0 tpecado⁡ ( 1 - ζ 2 ω 0 t + φ ), {\ Displaystyle z (t) = A \ mathrm {e} ^ {- \ zeta \ omega _ {0} t} \ sin \ left ({\ sqrt {1- \ zeta ^ {2}}} \ omega _ { 0} t + \ varphi \ right),}

en el caso donde ζ  ≤ 1. La amplitud A y la fase φ determinan el comportamiento necesario para igualar las condiciones iniciales.

Entrada de paso

Ver también: Respuesta al escalón

En el caso de ζ  lt;1 y una entrada de paso unitario con  x (0) = 0:

$$ F ( t ) metro= { ω 0 2 t ≥ 0 0 t lt; 0 {\ displaystyle {\ frac {F (t)} {m}} = {\ begin {cases} \ omega _ {0} ^ {2} amp; t \ geq 0 \\ 0 amp; t lt;0 \ end {cases}}}

la solucion es

$$X(t)=1- mi - ζ ω 0 t pecado ⁡ ( 1 - ζ 2 ω 0 t + φ ) pecado ⁡ ( φ ), {\ Displaystyle x (t) = 1- \ mathrm {e} ^ {- \ zeta \ omega _ {0} t} {\ frac {\ sin \ left ({\ sqrt {1- \ zeta ^ {2}}) } \ omega _ {0} t + \ varphi \ right)} {\ sin (\ varphi)}},}

con fase φ dada por

$$porque⁡φ=ζ. {\ Displaystyle \ cos \ varphi = \ zeta.}

El tiempo que necesita un oscilador para adaptarse a las condiciones externas cambiantes es del orden τ  = 1 / ( ζω 0). En física, la adaptación se llama relajación y τ se llama tiempo de relajación.

En ingeniería eléctrica, un múltiplo de τ se denomina tiempo de estabilización, es decir, el tiempo necesario para garantizar que la señal esté dentro de una desviación fija del valor final, típicamente dentro del 10%. El término sobreimpulso se refiere a la medida de la respuesta máxima excede el valor final, y undershoot refiere a la medida de la respuesta cae por debajo del valor final para tiempos siguientes la respuesta máxima.

Fuerza impulsora sinusoidal

Variación de amplitud en estado estacionario con frecuencia relativa y amortiguación de un oscilador armónico simple accionado. Este gráfico también se denomina espectro de oscilador armónico o espectro de movimiento.$$ω / ω 0 {\ Displaystyle \ omega / \ omega _ {0}}$$ζ {\ Displaystyle \ zeta}

En el caso de una fuerza impulsora sinusoidal:

$$ D 2 X D t 2+2ζ ω 0 D X D t+ ω 0 2X= 1 metro F 0pecado⁡(ωt), {\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + 2 \ zeta \ omega _ {0} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} + \ omega _ {0} ^ {2} x = {\ frac {1} {m}} F_ {0} \ sin (\ omega t),}

donde es la amplitud de conducción y es la frecuencia de conducción de un mecanismo de conducción sinusoidal. Este tipo de sistema aparece en circuitos RLC impulsados ​​por CA ( resistencia - inductor - condensador ) y sistemas de resortes impulsados ​​que tienen resistencia mecánica interna o resistencia de aire externa. $$

F 0 {\ Displaystyle F_ {0}}$$ω {\ Displaystyle \ omega}

La solución general es una suma de una solución transitoria que depende de las condiciones iniciales y un estado estable que es independiente de las condiciones iniciales y depende solo de la amplitud de conducción, la frecuencia de conducción, la frecuencia angular no amortiguada y la relación de amortiguación. $$

F 0 {\ Displaystyle F_ {0}}$$ω {\ Displaystyle \ omega}$$ ω 0 {\ Displaystyle \ omega _ {0}}$$ζ {\ Displaystyle \ zeta}

La solución de estado estacionario es proporcional a la fuerza impulsora con un cambio de fase inducido: $$

φ {\ Displaystyle \ varphi}

$$X(t)= F 0 metro Z metro ωpecado⁡(ωt+φ), {\ Displaystyle x (t) = {\ frac {F_ {0}} {mZ_ {m} \ omega}} \ sin (\ omega t + \ varphi),}

dónde

$$ Z metro= ( 2 ω 0 ζ ) 2 + 1 ω 2 ( ω 0 2 - ω 2 ) 2 {\ Displaystyle Z_ {m} = {\ sqrt {\ left (2 \ omega _ {0} \ zeta \ right) ^ {2} + {\ frac {1} {\ omega ^ {2}}} (\ omega _ {0} ^ {2} - \ omega ^ {2}) ^ {2}}}}

es el valor absoluto de la impedancia o función de respuesta lineal, y

$$φ=arctan⁡ ( 2 ω ω 0 ζ ω 2 - ω 0 2 )+norteπ {\ Displaystyle \ varphi = \ arctan \ left ({\ frac {2 \ omega \ omega _ {0} \ zeta} {\ omega ^ {2} - \ omega _ {0} ^ {2}}} \ right) + n \ pi}

es la fase de la oscilación relativa a la fuerza motriz. El valor de fase generalmente se considera entre -180 ° y 0 (es decir, representa un retraso de fase, tanto para valores positivos como negativos del argumento arctan).

Para una frecuencia de excitación particular llamada resonancia, o frecuencia resonante, la amplitud (para una determinada) es máxima. Este efecto de resonancia solo se produce cuando, es decir, para sistemas con amortiguación insuficiente significativa. Para sistemas fuertemente subamortigados, el valor de la amplitud puede llegar a ser bastante grande cerca de la frecuencia resonante. $$

ω r= ω 0 1 - 2 ζ 2 {\ Displaystyle \ omega _ {r} = \ omega _ {0} {\ sqrt {1-2 \ zeta ^ {2}}}}$$ F 0 {\ Displaystyle F_ {0}}$$ζlt;1 / 2 {\ Displaystyle \ zeta lt;1 / {\ sqrt {2}}}

Las soluciones transitorias son las mismas que las del oscilador armónico amortiguado no forzado () y representan la respuesta del sistema a otros eventos que ocurrieron previamente. Por lo general, las soluciones transitorias se extinguen lo suficientemente rápido como para ignorarlas. $$

F 0=0 {\ Displaystyle F_ {0} = 0}

Osciladores paramétricos

Artículo principal: oscilador paramétrico

Un oscilador paramétrico es un oscilador armónico accionado en el que la energía de accionamiento se proporciona variando los parámetros del oscilador, como la fuerza de amortiguación o restauración. Un ejemplo familiar de oscilación paramétrica es "bombear" en un columpio de un patio de recreo. Una persona en un columpio en movimiento puede aumentar la amplitud de las oscilaciones del columpio sin que se aplique ninguna fuerza de impulso externa (empujones), cambiando el momento de inercia del columpio balanceándose hacia adelante y hacia atrás ("bombeo") o alternativamente de pie y en cuclillas, al ritmo de las oscilaciones del swing. La variación de los parámetros impulsa el sistema. Ejemplos de parámetros que pueden variarse son su frecuencia de resonancia y amortiguación. $$

ω {\ Displaystyle \ omega}$$β {\ Displaystyle \ beta}

Los osciladores paramétricos se utilizan en muchas aplicaciones. El oscilador paramétrico varactor clásico oscila cuando la capacitancia del diodo se varía periódicamente. El circuito que varía la capacitancia del diodo se llama "bomba" o "controlador". En la electrónica de microondas, los osciladores paramétricos basados ​​en guías de ondas / YAG operan de la misma manera. El diseñador varía un parámetro periódicamente para inducir oscilaciones.

Los osciladores paramétricos se han desarrollado como amplificadores de bajo ruido, especialmente en el rango de frecuencia de radio y microondas. El ruido térmico es mínimo, ya que se varía una reactancia (no una resistencia). Otro uso común es la conversión de frecuencia, por ejemplo, conversión de audio a frecuencias de radio. Por ejemplo, el oscilador paramétrico óptico convierte una onda láser de entrada en dos ondas de salida de menor frecuencia (). $$

ω s, ω I {\ Displaystyle \ omega _ {s}, \ omega _ {i}}

La resonancia paramétrica ocurre en un sistema mecánico cuando un sistema está excitado paramétricamente y oscila en una de sus frecuencias de resonancia. La excitación paramétrica difiere del forzado, ya que la acción aparece como una modificación variable en el tiempo de un parámetro del sistema. Este efecto es diferente de la resonancia regular porque exhibe el fenómeno de inestabilidad.

Ecuación del oscilador universal

La ecuacion

$$ D 2 q D τ 2+2ζ D q D τ+q=0 {\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} q} {\ mathrm {d} \ tau ^ {2}}} + 2 \ zeta {\ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} \ tau}} + q = 0}

se conoce como la ecuación del oscilador universal, ya que todos los sistemas oscilatorios lineales de segundo orden pueden reducirse a esta forma. Esto se hace a través de la no dimensionalización.

Si la función de forzamiento es f ( t) = cos ( ωt) = cos ( ωt c τ) = cos ( ωτ), donde ω  =  ωt c, la ecuación se convierte en

$$ D 2 q D τ 2+2ζ D q D τ+q=porque⁡(ωτ). {\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} q} {\ mathrm {d} \ tau ^ {2}}} + 2 \ zeta {\ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} \ tau}} + q = \ cos (\ omega \ tau).}

La solución a esta ecuación diferencial contiene dos partes: el "transitorio" y el "estado estable".

Solución transitoria

La solución basada en resolver la ecuación diferencial ordinaria es para constantes arbitrarias c 1 y c 2

$$ q t(τ)= { mi - ζ τ ( C 1 mi τ ζ 2 - 1 + C 2 mi - τ ζ 2 - 1 ) ζ gt; 1  (sobreamortiguación) mi - ζ τ ( C 1 + C 2 τ ) = mi - τ ( C 1 + C 2 τ ) ζ = 1  (amortiguación crítica) mi - ζ τ [ C 1 porque ⁡ ( 1 - ζ 2 τ ) + C 2 pecado ⁡ ( 1 - ζ 2 τ ) ] ζ lt; 1  (amortiguación) {\ Displaystyle q_ {t} (\ tau) = {\ begin {cases} \ mathrm {e} ^ {- \ zeta \ tau} \ left (c_ {1} \ mathrm {e} ^ {\ tau {\ sqrt {\ zeta ^ {2} -1}}} + c_ {2} \ mathrm {e} ^ {- \ tau {\ sqrt {\ zeta ^ {2} -1}}} \ right) amp; \ zetagt; 1 {\ text {(sobreamortiguación)}} \\\ mathrm {e} ^ {- \ zeta \ tau} (c_ {1} + c_ {2} \ tau) = \ mathrm {e} ^ {- \ tau} ( c_ {1} + c_ {2} \ tau) amp; \ zeta = 1 {\ text {(amortiguación crítica)}} \\\ mathrm {e} ^ {- \ zeta \ tau} \ left [c_ {1} \ cos \ left ({\ sqrt {1- \ zeta ^ {2}}} \ tau \ right) + c_ {2} \ sin \ left ({\ sqrt {1- \ zeta ^ {2}}} \ tau \ derecha) \ derecha] amp; \ zeta lt;1 {\ text {(amortiguación)}} \ end {cases}}}

La solución transitoria es independiente de la función de forzamiento.

Solución de estado estacionario

Aplique el " método de variables complejas " resolviendo la siguiente ecuación auxiliar y luego encontrando la parte real de su solución:

$$ D 2 q D τ 2+2ζ D q D τ+q=porque⁡(ωτ)+ Ipecado⁡(ωτ)= mi I ω τ. {\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} q} {\ mathrm {d} \ tau ^ {2}}} + 2 \ zeta {\ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} \ tau}} + q = \ cos (\ omega \ tau) + \ mathrm {i} \ sin (\ omega \ tau) = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ omega \ tau}.}

Suponiendo que la solución tiene la forma

$$ q s(τ)=A mi I ( ω τ + φ ). {\ Displaystyle q_ {s} (\ tau) = A \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} (\ omega \ tau + \ varphi)}.}

Sus derivadas de cero a segundo orden son

$$ q s=A mi I ( ω τ + φ ), D q s D τ= IωA mi I ( ω τ + φ ), D 2 q s D τ 2=- ω 2A mi I ( ω τ + φ ). {\ Displaystyle q_ {s} = A \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} (\ omega \ tau + \ varphi)}, \ quad {\ frac {\ mathrm {d} q_ {s}} {\ mathrm {d} \ tau}} = \ mathrm {i} \ omega A \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} (\ omega \ tau + \ varphi)}, \ quad {\ frac {\ mathrm {d } ^ {2} q_ {s}} {\ mathrm {d} \ tau ^ {2}}} = - \ omega ^ {2} A \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} (\ omega \ tau + \ varphi)}.}

Sustituyendo estas cantidades en la ecuación diferencial se obtiene

$$- ω 2A mi I ( ω τ + φ )+2ζ IωA mi I ( ω τ + φ )+A mi I ( ω τ + φ )=(- ω 2A+2ζ IωA+A) mi I ( ω τ + φ )= mi I ω τ. {\ Displaystyle - \ omega ^ {2} A \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} (\ omega \ tau + \ varphi)} + 2 \ zeta \ mathrm {i} \ omega A \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} (\ omega \ tau + \ varphi)} + A \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} (\ omega \ tau + \ varphi)} = (- \ omega ^ {2} A + 2 \ zeta \ mathrm {i} \ omega A + A) \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} (\ omega \ tau + \ varphi)} = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i } \ omega \ tau}.}

Dividir por el término exponencial de la izquierda da como resultado

$$- ω 2A+2ζ IωA+A= mi - I φ=porque⁡φ- Ipecado⁡φ. {\ Displaystyle - \ omega ^ {2} A + 2 \ zeta \ mathrm {i} \ omega A + A = \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} \ varphi} = \ cos \ varphi - \ mathrm {i} \ sin \ varphi.}

La equiparación de las partes real e imaginaria da como resultado dos ecuaciones independientes

$$A(1- ω 2)=porque⁡φ,2ζωA=-pecado⁡φ. {\ Displaystyle A (1- \ omega ^ {2}) = \ cos \ varphi, \ quad 2 \ zeta \ omega A = - \ sin \ varphi.}

Parte de amplitud

Diagrama de Bode de la respuesta de frecuencia de un oscilador armónico ideal

Cuadrar ambas ecuaciones y sumarlas da

$$ A 2 ( 1 - ω 2 ) 2 = porque 2 ⁡ φ ( 2 ζ ω A ) 2 = pecado 2 ⁡ φ}⇒ A 2[(1- ω 2 ) 2+(2ζω ) 2]=1. {\ Displaystyle \ left. {\ begin {alineado} A ^ {2} (1- \ omega ^ {2}) ^ {2} amp; = \ cos ^ {2} \ varphi \\ (2 \ zeta \ omega A) ^ {2} amp; = \ sin ^ {2} \ varphi \ end {alineado}} \ right \} \ Rightarrow A ^ {2} [(1- \ omega ^ {2}) ^ {2} + (2 \ zeta \ omega) ^ {2}] = 1.}

Por lo tanto,

$$A=A(ζ,ω)=firmar⁡ ( - pecado ⁡ φ 2 ζ ω ) 1 ( 1 - ω 2 ) 2 + ( 2 ζ ω ) 2. {\ Displaystyle A = A (\ zeta, \ omega) = \ operatorname {sign} \ left ({\ frac {- \ sin \ varphi} {2 \ zeta \ omega}} \ right) {\ frac {1} { \ sqrt {(1- \ omega ^ {2}) ^ {2} + (2 \ zeta \ omega) ^ {2}}}}.}

Compare este resultado con la sección de teoría sobre resonancia, así como con la "parte de magnitud" del circuito RLC. Esta función de amplitud es particularmente importante en el análisis y comprensión de la respuesta de frecuencia de los sistemas de segundo orden.

Parte de fase

Para resolver φ, divide ambas ecuaciones para obtener

$$broncearse⁡φ=- 2 ζ ω 1 - ω 2= 2 ζ ω ω 2 - 1⇒φ≡φ(ζ,ω)=arctan⁡ ( 2 ζ ω ω 2 - 1 )+norteπ. {\ Displaystyle \ tan \ varphi = - {\ frac {2 \ zeta \ omega} {1- \ omega ^ {2}}} = {\ frac {2 \ zeta \ omega} {\ omega ^ {2} -1 }} \ Flecha derecha \ varphi \ equiv \ varphi (\ zeta, \ omega) = \ arctan \ left ({\ frac {2 \ zeta \ omega} {\ omega ^ {2} -1}} \ right) + n \ Pi.}

Esta función de fase es particularmente importante en el análisis y comprensión de la respuesta de frecuencia de los sistemas de segundo orden.

Solución completa

La combinación de las porciones de amplitud y fase da como resultado la solución de estado estable

$$ q s(τ)=A(ζ,ω)porque⁡(ωτ+φ(ζ,ω))=Aporque⁡(ωτ+φ). {\ Displaystyle q_ {s} (\ tau) = A (\ zeta, \ omega) \ cos (\ omega \ tau + \ varphi (\ zeta, \ omega)) = A \ cos (\ omega \ tau + \ varphi).}

La solución de la ecuación del oscilador universal original es una superposición (suma) de las soluciones transitorias y de estado estable:

$$q(τ)= q t(τ)+ q s(τ). {\ Displaystyle q (\ tau) = q_ {t} (\ tau) + q_ {s} (\ tau).}

Para obtener una descripción más completa de cómo resolver la ecuación anterior, consulte EDO lineales con coeficientes constantes.

Sistemas equivalentes

Artículo principal: Equivalencia del sistema

Los osciladores armónicos que se producen en varias áreas de la ingeniería son equivalentes en el sentido de que sus modelos matemáticos son idénticos (consulte la ecuación del oscilador universal más arriba). A continuación se muestra una tabla que muestra cantidades análogas en cuatro sistemas de oscilador armónico en mecánica y electrónica. Si los parámetros análogos en la misma línea de la tabla reciben valores numéricamente iguales, el comportamiento de los osciladores (su forma de onda de salida, frecuencia resonante, factor de amortiguación, etc.) es el mismo.

Mecánica traslacional	Mecánica rotacional	Circuito serie RLC	Circuito RLC paralelo
Posición $$X {\ Displaystyle x}	Ángulo $$θ {\ Displaystyle \ theta}	Cargar $$q {\ Displaystyle q}	Enlace de flujo $$φ {\ Displaystyle \ varphi}
Velocidad $$ D X D t {\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}}}	Velocidad angular $$ D θ D t {\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}}}	Actual $$ D q D t {\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} t}}}	Voltaje $$ D φ D t {\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ varphi} {\ mathrm {d} t}}}
Masa $$metro {\ Displaystyle m}	Momento de inercia $$I {\ Displaystyle I}	Inductancia $$L {\ Displaystyle L}	Capacidad $$C {\ Displaystyle C}
Impulso $$pag {\ Displaystyle p}	Momento angular $$L {\ Displaystyle L}	Enlace de flujo $$φ {\ Displaystyle \ varphi}	Cargar $$q {\ Displaystyle q}
Constante de resorte $$k {\ Displaystyle k}	Constante de torsión $$μ {\ Displaystyle \ mu}	Elastancia $$1 /C {\ Displaystyle 1 / C}	Renuencia magnética $$1 /L {\ Displaystyle 1 / L}
Mojadura $$C {\ Displaystyle c}	Fricción rotacional $$Γ {\ Displaystyle \ Gamma}	Resistencia $$R {\ Displaystyle R}	Conductancia $$GRAMO=1 /R {\ Displaystyle G = 1 / R}
unidad de fuerza $$F(t) {\ Displaystyle F (t)}	Par de accionamiento $$τ(t) {\ Displaystyle \ tau (t)}	Voltaje $$mi {\ Displaystyle e}	Actual $$I {\ Displaystyle i}
Frecuencia resonante no amortiguada: $$ F norte {\ Displaystyle f_ {n}}
$$ 1 2 π k metro {\ Displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ sqrt {\ frac {k} {m}}}}	$$ 1 2 π μ I {\ Displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ sqrt {\ frac {\ mu} {I}}}}	$$ 1 2 π 1 L C {\ Displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ sqrt {\ frac {1} {LC}}}}	$$ 1 2 π 1 L C {\ Displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ sqrt {\ frac {1} {LC}}}}
Relación de amortiguación : $$ζ {\ Displaystyle \ zeta}
$$ C 2 1 k metro {\ Displaystyle {\ frac {c} {2}} {\ sqrt {\ frac {1} {km}}}}	$$ Γ 2 1 I μ {\ Displaystyle {\ frac {\ Gamma} {2}} {\ sqrt {\ frac {1} {I \ mu}}}}	$$ R 2 C L {\ Displaystyle {\ frac {R} {2}} {\ sqrt {\ frac {C} {L}}}}	$$ GRAMO 2 L C {\ Displaystyle {\ frac {G} {2}} {\ sqrt {\ frac {L} {C}}}}
Ecuación diferencial:
$$metro X ¨+C X ˙+kX=F {\ Displaystyle m {\ ddot {x}} + c {\ dot {x}} + kx = F}	$$I θ ¨+Γ θ ˙+μθ=τ {\ Displaystyle I {\ ddot {\ theta}} + \ Gamma {\ dot {\ theta}} + \ mu \ theta = \ tau}	$$L q ¨+R q ˙+q /C=mi {\ Displaystyle L {\ ddot {q}} + R {\ dot {q}} + q / C = e}	$$C φ ¨+GRAMO φ ˙+φ /L=I {\ Displaystyle C {\ ddot {\ varphi}} + G {\ dot {\ varphi}} + \ varphi / L = i}

Aplicación a una fuerza conservadora

El problema del oscilador armónico simple ocurre con frecuencia en física, porque una masa en equilibrio bajo la influencia de cualquier fuerza conservadora, en el límite de pequeños movimientos, se comporta como un oscilador armónico simple.

Una fuerza conservadora es aquella que está asociada con una energía potencial. La función de energía potencial de un oscilador armónico es

$$V(X)= 1 2k X 2. {\ Displaystyle V (x) = {\ frac {1} {2}} kx ^ {2}.}

Dada una función de energía potencial arbitraria, se puede hacer una expansión de Taylor en términos de alrededor de un mínimo de energía () para modelar el comportamiento de pequeñas perturbaciones desde el equilibrio. $$

V(X) {\ Displaystyle V (x)} $$X {\ Displaystyle x}$$X= X 0 {\ Displaystyle x = x_ {0}}

$$V(X)=V( X 0)+ V ′( X 0)⋅(X- X 0)+ 1 2 V ( 2 )( X 0)⋅(X- X 0 ) 2+O(X- X 0 ) 3. {\ Displaystyle V (x) = V (x_ {0}) + V '(x_ {0}) \ cdot (x-x_ {0}) + {\ frac {1} {2}} V ^ {(2)} (x_ {0}) \ cdot (x-x_ {0}) ^ {2} + O (x-x_ {0}) ^ {3}.}

Como es un mínimo, la primera derivada evaluada en debe ser cero, por lo que el término lineal se elimina: $$

V( X 0) {\ Displaystyle V (x_ {0})}$$ X 0 {\ Displaystyle x_ {0}}

$$V(X)=V( X 0)+ 1 2 V ( 2 )( X 0)⋅(X- X 0 ) 2+O(X- X 0 ) 3. {\ Displaystyle V (x) = V (x_ {0}) + {\ frac {1} {2}} V ^ {(2)} (x_ {0}) \ cdot (x-x_ {0}) ^ {2} + O (x-x_ {0}) ^ {3}.}

El término constante V ( x 0) es arbitrario y, por lo tanto, puede descartarse, y una transformación de coordenadas permite recuperar la forma del oscilador armónico simple:

$$V(X)≈ 1 2 V ( 2 )(0)⋅ X 2= 1 2k X 2. {\ Displaystyle V (x) \ approx {\ frac {1} {2}} V ^ {(2)} (0) \ cdot x ^ {2} = {\ frac {1} {2}} kx ^ { 2}.}

Por lo tanto, dada una función de energía potencial arbitraria con una segunda derivada que no desaparece, se puede usar la solución del oscilador armónico simple para proporcionar una solución aproximada para pequeñas perturbaciones alrededor del punto de equilibrio. $$

V(X) {\ Displaystyle V (x)}

Ejemplos de

Péndulo simple

Un péndulo simple exhibe un movimiento armónico aproximadamente simple bajo las condiciones de ausencia de amortiguación y pequeña amplitud.

Suponiendo que no hay amortiguamiento, la ecuación diferencial que gobierna un péndulo simple de longitud, donde es la aceleración local de la gravedad, es $$

l {\ Displaystyle l}$$gramo {\ Displaystyle g}

$$ D 2 θ D t 2+ gramo lpecado⁡θ=0. {\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} + {\ frac {g} {l}} \ sin \ theta = 0.}

Si el desplazamiento máximo del péndulo es pequeño, podemos usar la aproximación y en su lugar considerar la ecuación $$

pecado⁡θ≈θ {\ Displaystyle \ sin \ theta \ approx \ theta}

$$ D 2 θ D t 2+ gramo lθ=0. {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} + {\ frac {g} {l}} \ theta = 0.}

La solución general a esta ecuación diferencial es

$$θ(t)=Aporque⁡ ( gramo l t + φ ), {\ Displaystyle \ theta (t) = A \ cos \ left ({\ sqrt {\ frac {g} {l}}} t + \ varphi \ right),}

donde y son constantes que dependen de las condiciones iniciales. Usando como condiciones iniciales y, la solución viene dada por $$

A {\ Displaystyle A}$$φ {\ Displaystyle \ varphi}$$θ(0)= θ 0 {\ Displaystyle \ theta (0) = \ theta _ {0}}$$ θ ˙(0)=0 {\ Displaystyle {\ dot {\ theta}} (0) = 0}

$$θ(t)= θ 0porque⁡ ( gramo l t ), {\ Displaystyle \ theta (t) = \ theta _ {0} \ cos \ left ({\ sqrt {\ frac {g} {l}}} t \ right),}

donde es el ángulo más grande alcanzado por el péndulo (es decir, es la amplitud del péndulo). El período, el tiempo para una oscilación completa, viene dado por la expresión $$

θ 0 {\ Displaystyle \ theta _ {0}}$$ θ 0 {\ Displaystyle \ theta _ {0}}

$$τ=2π l gramo= 2 π ω, {\ Displaystyle \ tau = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {l} {g}}} = {\ frac {2 \ pi} {\ omega}},}

que es una buena aproximación del período real cuando es pequeño. Observe que en esta aproximación el período es independiente de la amplitud. En la ecuación anterior, representa la frecuencia angular. $$

θ 0 {\ Displaystyle \ theta _ {0}}$$τ {\ Displaystyle \ tau}$$ θ 0 {\ Displaystyle \ theta _ {0}}$$ω {\ Displaystyle \ omega}

Sistema de resorte / masa

Sistema resorte-masa en estado de equilibrio (A), comprimido (B) y estirado (C)

Cuando un resorte es estirado o comprimido por una masa, el resorte desarrolla una fuerza restauradora. La ley de Hooke da la relación de la fuerza ejercida por el resorte cuando el resorte se comprime o se estira una cierta longitud:

$$F(t)=-kX(t), {\ Displaystyle F (t) = - kx (t),}

donde F es la fuerza, k es la constante del resorte yx es el desplazamiento de la masa con respecto a la posición de equilibrio. El signo menos en la ecuación indica que la fuerza ejercida por el resorte siempre actúa en una dirección opuesta al desplazamiento (es decir, la fuerza siempre actúa hacia la posición cero), y así evita que la masa vuele hacia el infinito.

Al usar el equilibrio de fuerzas o un método de energía, se puede demostrar fácilmente que el movimiento de este sistema viene dado por la siguiente ecuación diferencial:

$$F(t)=-kX(t)=metro D 2 D t 2X(t)=metroa, {\ Displaystyle F (t) = - kx (t) = m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} x (t) = ma,}

siendo esta última la segunda ley del movimiento de Newton.

Si el desplazamiento inicial es A y no hay velocidad inicial, la solución de esta ecuación viene dada por

$$X(t)=Aporque⁡ ( k metro t ). {\ Displaystyle x (t) = A \ cos \ left ({\ sqrt {\ frac {k} {m}}} t \ right).}

Dado un resorte ideal sin masa, es la masa al final del resorte. Si el resorte en sí tiene masa, su masa efectiva debe incluirse en. $$

metro {\ Displaystyle m} $$metro {\ Displaystyle m}

Variación de energía en el sistema de amortiguación de muelles

En términos de energía, todos los sistemas tienen dos tipos de energía: energía potencial y energía cinética. Cuando un resorte se estira o se comprime, almacena energía potencial elástica, que luego se transfiere a energía cinética. La energía potencial dentro de un resorte está determinada por la ecuación$$

U=k X 2 /2. {\ Displaystyle U = kx ^ {2} / 2.}

Cuando el resorte se estira o se comprime, la energía cinética de la masa se convierte en energía potencial del resorte. Por conservación de energía, suponiendo que el dato se define en la posición de equilibrio, cuando el resorte alcanza su máxima energía potencial, la energía cinética de la masa es cero. Cuando se suelta el resorte, intenta volver al equilibrio y toda su energía potencial se convierte en energía cinética de la masa.

Definición de términos

Símbolo	Definición	Dimensiones	Unidades SI
$$a {\ Displaystyle a}	Aceleración de masa	$$ L T - 2 {\ Displaystyle \ mathbf {LT ^ {- 2}}}	m / s 2
$$A {\ Displaystyle A}	Amplitud máxima de oscilación	$$ L {\ Displaystyle \ mathbf {L}}	metro
$$C {\ Displaystyle c}	Coeficiente de amortiguación viscoso	$$ METRO T - 1 {\ Displaystyle \ mathbf {MT ^ {- 1}}}	N s / m
$$F {\ Displaystyle f}	Frecuencia	$$ T - 1 {\ Displaystyle \ mathbf {T ^ {- 1}}}	Hz
$$F {\ Displaystyle F}	Fuerza motriz	$$ METRO L T - 2 {\ Displaystyle \ mathbf {MLT ^ {- 2}}}	norte
$$gramo {\ Displaystyle g}	Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra.	$$ L T - 2 {\ Displaystyle \ mathbf {LT ^ {- 2}}}	m / s 2
$$I {\ Displaystyle i}	Unidad imaginaria, $$ I 2=-1 {\ Displaystyle i ^ {2} = - 1}	-	-
$$k {\ Displaystyle k}	Constante de resorte	$$ METRO T - 2 {\ Displaystyle \ mathbf {MT ^ {- 2}}}	Nuevo Méjico
$$metro,METRO {\ Displaystyle m, M}	Masa	$$ METRO {\ Displaystyle \ mathbf {M}}	kg
$$Q {\ displaystyle Q}	Factor de calidad	-	-
$$T {\ Displaystyle T}	Periodo de oscilación	$$ T {\ Displaystyle \ mathbf {T}}	s
$$t {\ Displaystyle t}	Tiempo	$$ T {\ Displaystyle \ mathbf {T}}	s
$$U {\ Displaystyle U}	Energía potencial almacenada en el oscilador	$$ METRO L 2 T - 2 {\ Displaystyle \ mathbf {ML ^ {2} T ^ {- 2}}}	J
$$X {\ Displaystyle x}	Posición de masa	$$ L {\ Displaystyle \ mathbf {L}}	metro
$$ζ {\ Displaystyle \ zeta}	Relación de amortiguación	-	-
$$φ {\ Displaystyle \ varphi}	Cambio de fase	-	rad
$$ω {\ Displaystyle \ omega}	Frecuencia angular	$$ T - 1 {\ Displaystyle \ mathbf {T ^ {- 1}}}	rad / s
$$ ω 0 {\ Displaystyle \ omega _ {0}}	Frecuencia angular de resonancia natural	$$ T - 1 {\ Displaystyle \ mathbf {T ^ {- 1}}}	rad / s

Ver también

• Oscilador anarmonico
• Velocidad critica
• Masa efectiva (sistema resorte-masa)
• Modo normal
• Oscilador paramétrico
• Fasor
• Factor Q
• Oscilador armónico cuántico
• Oscilador armónico radial
• Péndulo elástico

Notas

Referencias

• Fowles, Grant R.; Cassiday, George L. (1986), Mecánica analítica (5.a ed.), Fort Worth: Saunders College Publishing, ISBN   0-03-96746-5, LCCN   93085193 Mantenimiento de CS1: errores de ISBN ignorados ( enlace )
• Hayek, Sabih I. (15 de abril de 2003). "Vibración mecánica y amortiguación". Enciclopedia de Física Aplicada. WILEY-VCH Verlag GmbH amp; Co KGaA. doi : 10.1002 / 3527600434.eap231. ISBN   9783527600434.
• Kreyszig, Erwin (1972), Matemáticas de ingeniería avanzada (3.a ed.), Nueva York: Wiley, ISBN   0-471-50728-8
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2003). Física para científicos e ingenieros. Brooks / Cole. ISBN   0-534-40842-7.
• Tipler, Paul (1998). Física para científicos e ingenieros: vol. 1 (4ª ed.). WH Freeman. ISBN   1-57259-492-6.
• Wylie, CR (1975). Matemáticas de Ingeniería Avanzada (4ª ed.). McGraw-Hill. ISBN   0-07-072180-7.

enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con osciladores armónicos.

Wikiquote tiene citas relacionadas con: oscilador armónico

• El oscilador armónico de las conferencias de física de Feynman