Polinomio homogéneo

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En matemáticas, un polinomio homogéneo, a veces llamado cuántico en textos más antiguos, es un polinomio cuyos términos distintos de cero tienen todos el mismo grado. Por ejemplo, es un polinomio homogéneo de grado 5, en dos variables; la suma de los exponentes en cada término es siempre 5. El polinomio no es homogéneo, porque la suma de los exponentes no coincide de un término a otro. Un polinomio es homogéneo si y solo si define una función homogénea. $x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}$

X 5 + 2 X 3 y 2 + 9 X y 4

{\ Displaystyle x ^ {5} + 2x ^ {3} y ^ {2} + 9xy ^ {4}}

x ^ {5} + 2x ^ {3} y ^ {2} + 9xy ^ {4}

x^{3}+3x^{2}y+z^{7}

X 3 + 3 X 2 y + z 7

{\ Displaystyle x ^ {3} + 3x ^ {2} y + z ^ {7}}

x ^ {3} + 3x ^ {2} y + z ^ {7}

Una forma algebraica, o simplemente forma, es una función definida por un polinomio homogéneo. Una forma binaria es una forma en dos variables. Una forma también es una función definida en un espacio vectorial, que puede expresarse como una función homogénea de las coordenadas sobre cualquier base.

Un polinomio de grado 0 es siempre homogéneo; es simplemente un elemento del campo o anillo de los coeficientes, generalmente llamado constante o escalar. Una forma de grado 1 es una forma lineal. Una forma de grado 2 es una forma cuadrática. En geometría, la distancia euclidiana es la raíz cuadrada de una forma cuadrática.

Los polinomios homogéneos son omnipresentes en matemáticas y física. Juegan un papel fundamental en la geometría algebraica, ya que una variedad algebraica proyectiva se define como el conjunto de ceros comunes de un conjunto de polinomios homogéneos.

Contenido

1 Propiedades
2 Homogeneización
3 Ver también
4 referencias
5 enlaces externos

Propiedades

Un polinomio homogéneo define una función homogénea. Esto significa que, si un polinomio multivariado P es homogéneo de grado d, entonces

P(\lambda x_{1},\ldots,\lambda x_{n})=\lambda ^{d}\,P(x_{1},\ldots,x_{n})\,,

PAG ( λ X 1,..., λ X norte) = λ D PAG ( X 1,..., X norte),

{\ Displaystyle P (\ lambda x_ {1}, \ ldots, \ lambda x_ {n}) = \ lambda ^ {d} \, P (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \,,}

P (\ lambda x_ {1}, \ ldots, \ lambda x_ {n}) = \ lambda ^ {d} \, P (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \,,

para cada en cualquier campo que contiene los coeficientes de P. Por el contrario, si la relación anterior es cierta para infinitos, entonces el polinomio es homogéneo de grado d. $\lambda$

{\ Displaystyle \ lambda}

\ lambda

\lambda

{\ Displaystyle \ lambda}

\ lambda

En particular, si P es homogéneo, entonces

P(x_{1},\ldots,x_{n})=0\quad \Rightarrow \quad P(\lambda x_{1},\ldots,\lambda x_{n})=0,

PAG ( X 1,..., X norte) = 0 ⇒ PAG ( λ X 1,..., λ X norte) = 0,

{\ Displaystyle P (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad P (\ lambda x_ {1}, \ ldots, \ lambda x_ {n}) = 0,}

P (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad P (\ lambda x_ {1}, \ ldots, \ lambda x_ {n}) = 0,

para cada Esta propiedad es fundamental en la definición de una variedad proyectiva. $\lambda.$

λ.

{\ Displaystyle \ lambda.}

\ lambda.

Cualquier polinomio distinto de cero puede descomponerse, de una manera única, como una suma de polinomios homogéneos de diferentes grados, que se denominan componentes homogéneos del polinomio.

Dado un anillo polinomial sobre un campo (o, más generalmente, un anillo ) K, los polinomios homogéneos de grado d forman un espacio vectorial (o un módulo ), comúnmente denotado La descomposición única anterior significa que es la suma directa de la (suma sobre todos los enteros no negativos ). $R=K[x_{1},\ldots,x_{n}]$

R = K [ X 1,..., X norte ]

{\ Displaystyle R = K [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}

R = K [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]

R_{d}.

R D.

{\ Displaystyle R_ {d}.}

R_ {d}.

{\ Displaystyle R}

R

R_{d}

R D

{\ Displaystyle R_ {d}}

R_d

La dimensión del espacio vectorial (o módulo libre ) es el número de diferentes monomios de grado d en n variables (que es el número máximo de términos distintos de cero en un polinomio homogéneo de grado d en n variables). Es igual al coeficiente binomial $R_{d}$

R D

{\ Displaystyle R_ {d}}

R_d

{\binom {d+n-1}{n-1}}={\binom {d+n-1}{d}}={\frac {(d+n-1)!}{d!(n-1)!}}.

( D + norte - 1 norte - 1 ) = ( D + norte - 1 D ) = ( D + norte - 1 ) ! D ! ( norte - 1 ) !.

{\ Displaystyle {\ binom {d + n-1} {n-1}} = {\ binom {d + n-1} {d}} = {\ frac {(d + n-1)!} {d ! (n-1)!}}.}

{\ binom {d + n-1} {n-1}} = {\ binom {d + n-1} {d}} = {\ frac {(d + n-1)!} {d! (n -1)!}}.

El polinomio homogéneo satisface la identidad de Euler para funciones homogéneas. Es decir, si P es un polinomio homogéneo de grado d en los indeterminados que tiene, cualquiera que sea el anillo conmutativo de los coeficientes, $x_{1},\ldots,x_{n},$

X 1,..., X norte,

{\ Displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n},}

x_ {1}, \ ldots, x_ {n},

dP=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial P}{\partial x_{i}}},

D PAG = ∑ I = 1 norte X I ∂ PAG ∂ X I,

{\ Displaystyle dP = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} {\ frac {\ parcial P} {\ parcial x_ {i}}},}

{\ Displaystyle dP = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} {\ frac {\ parcial P} {\ parcial x_ {i}}},}

donde denota la derivada parcial formal de P con respecto a $\textstyle {\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}$

∂ PAG ∂ X I

{\ estilo de visualización \ estilo de texto {\ frac {\ P parcial} {\ x parcial_ {i}}}}

{\ estilo de visualización \ estilo de texto {\ frac {\ P parcial} {\ x parcial_ {i}}}}

x_{i}.

X I.

{\ Displaystyle x_ {i}.}

x_ {i}.

Homogeneización

Un polinomio no homogéneo P ( x 1,..., x n ) se puede homogeneizar introduciendo una variable adicional x 0 y definiendo el polinomio homogéneo a veces denominado ^h P :

{^{h}\!P}(x_{0},x_{1},\dots,x_{n})=x_{0}^{d}P\left({\frac {x_{1}}{x_{0}}},\dots,{\frac {x_{n}}{x_{0}}}\right),

h PAG ( X 0, X 1,..., X norte) = X 0 D PAG ( X 1 X 0 , ... , X norte X 0 ),

{\ Displaystyle {^ {h} \! P} (x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = x_ {0} ^ {d} P \ left ({\ frac {x_ { 1}} {x_ {0}}}, \ dots, {\ frac {x_ {n}} {x_ {0}}} \ right),}