Entero

Para la representación por computadora, consulte Integer (informática). Para la generalización en la teoría algebraica de números, consulte Entero algebraico.

El símbolo de Zahlen, a menudo utilizado para denotar el conjunto de todos los números enteros (ver Lista de símbolos matemáticos )

Estructura algebraica → Teoría de grupos Teoría de grupos
Nociones basicas Subgrupo Subgrupo normal Grupo cociente Producto (semi) directo Homomorfismos de grupo núcleo imagen suma directa producto de corona simple finito infinito continuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diedro nilpotente soluble acción Glosario de teoría de grupos Lista de temas de teoría de grupos
Grupos finitos Clasificación de grupos simples finitos cíclico alterno Tipo de mentira esporádico Teorema de cauchy Teorema de lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall grupo p Grupo abeliano elemental Grupo Frobenius Multiplicador de Schur Grupo simétrico S n Klein de cuatro grupos V Grupo diedro D n Grupo de cuaterniones Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Celosías Enteros ()$$ Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}} Grupo libre Grupos modulares PSL (2,)$$ Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}} SL (2,)$$ Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}} Grupo aritmético Enrejado Grupo hiperbólico
Grupos topológicos y de mentira Solenoide Circulo GL lineal general ( n) SL lineal especial ( n) Ortogonal O ( n) Euclidiana E ( n) SO ortogonal especial ( n) Unitario U ( n) SU unitario especial ( n) Simpléctica Sp ( n) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conformal Difeomorfismo Círculo Grupo de mentiras de dimensión infinita O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algebraicos Grupo algebraico lineal Grupo reductor Variedad abeliana Curva elíptica
v t mi

Un número entero (del latín entero que significa "entero") se define coloquialmente como un número que se puede escribir sin un componente fraccionario. Por ejemplo, 21, 4, 0 y −2048 son números enteros, mientras que 9,75, 5+1/2y  √ 2 no lo son.

El conjunto de enteros consta de cero ( 0 ), los números naturales positivos ( 1, 2, 3,...), también llamados números enteros o números de conteo, y sus inversos aditivos (los enteros negativos, es decir, −1, - 2, −3,...). El conjunto de números enteros a menudo se indica con la letra en negrita ( Z) o la letra en negrita de la pizarra "Z", que originalmente significa la palabra alemana Zahlen ("números"). $$

( Z) {\ Displaystyle (\ mathbb {Z})}

$$

Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}}es un subconjunto del conjunto de todos los números racionales, que a su vez es un subconjunto de los números reales. Como los números naturales, es numerablemente infinito. $$ Q {\ Displaystyle \ mathbb {Q}} $$ R {\ Displaystyle \ mathbb {R}}$$ Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}}

Los números enteros forman el grupo más pequeño y el anillo más pequeño que contiene los números naturales. En la teoría algebraica de números, los enteros a veces se califican como enteros racionales para distinguirlos de los enteros algebraicos más generales. De hecho, los números enteros (racionales) son números enteros algebraicos que también son números racionales.

• 1 símbolo
• 2 propiedades algebraicas
• 3 Propiedades de la teoría de órdenes
• 4 Construcción
• 5 Ciencias de la computación
• 6 cardinalidad
• 7 Véase también
• 8 notas al pie
• 9 referencias
• 10 fuentes
• 11 Enlaces externos

Símbolo

El símbolo puede ser anotado para denotar diversos conjuntos, con diferentes uso entre diferentes autores:, o para los enteros positivos, o para los números enteros no negativos, y para los números enteros no nulos. Algunos autores lo usan para números enteros distintos de cero, mientras que otros lo usan para números enteros no negativos o para {–1, 1}. Además, se usa para denotar el conjunto de enteros módulo p (es decir, el conjunto de clases de congruencia de enteros), o el conjunto de p -enteros ádicos. $$

Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$$ Z + {\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {+}}$$ Z + {\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {+}}$$ Z gt; {\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {gt;}}$$ Z 0 + {\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {0+}}$$ Z ≥ {\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {\ geq}}$$ Z ≠ {\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {\ neq}}$$ Z ∗ {\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {*}}$$ Z pags {\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}

Propiedades algebraicas

Los números enteros se pueden considerar como puntos discretos igualmente espaciados en una recta numérica infinitamente larga. En lo anterior, los enteros no negativos se muestran en azul y los enteros negativos en rojo.

Estructura algebraica → Teoría del anillo Teoría del anillo
Conceptos básicos Anillos • Subanillos • Ideal • Anillo de cociente • Ideal fraccional • Anillo total de fracciones • Anillo de producto •  Producto gratuito de álgebras asociativas • Producto tensorial de álgebras Homomorfismos de anillo • Kernel • Automorfismo interno • Endomorfismo de Frobenius Estructuras algebraicas • Módulo • Álgebra asociativa • Anillo graduado • Anillo involutivo • Categoría de anillos • Timbre inicial $$ Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}} • Anillo terminal $$0= Z 1 {\ Displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}} Estructuras relacionadas • Campo • Campo finito • Anillo no asociativo • Anillo de mentira • Anillo de Jordan • Semiring • Semicampo
Álgebra conmutativa Anillos conmutativos • Dominio integral • Dominio integralmente cerrado • Dominio GCD • Dominio de factorización único • Dominio ideal principal • Dominio euclidiano • Campo • Campo finito • Anillo de composición • Anillo polinomial • Anillo formal de la serie Power Teoría algebraica de números • Campo numérico algebraico • Anillo de números enteros • Independencia algebraica • Teoría de números trascendental • Grado de trascendencia p - teoría de números ádicos y decimales • Límite directo / límite inverso • Anillo cero $$ Z 1 {\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}} • Enteros módulo p n $$ Z / pags norte Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}} • Prüfer p -ring $$ Z( pags ∞) {\ Displaystyle \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty})} • Base - anillo circular p $$ T {\ Displaystyle \ mathbb {T}} • Base - p enteros $$ Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}} • Racionales p -ádicos $$ Z[1 /pags] {\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1 / p]} • Base - p números reales $$ R {\ Displaystyle \ mathbb {R}} • p -enteros ádicos $$ Z pags {\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}} • p -números ádicos $$ Q pags {\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}} • solenoide p -ádico $$ T pags {\ Displaystyle \ mathbb {T} _ {p}} Geometría algebraica • Variedad afín
Álgebra no conmutativa Anillos no conmutativos • Anillo de división • Anillo semiprimitivo • Anillo simple • Conmutador Geometría algebraica no conmutativa Álgebra libre Álgebra de clifford • Álgebra geométrica Álgebra de operador
v t mi

Como los números naturales, se cierra bajo las operaciones de suma y multiplicación, es decir, la suma y el producto de dos enteros cualesquiera es un número entero. Sin embargo, con la inclusión de los números naturales negativos (y lo que es más importante,  0 ), a diferencia de los números naturales, también se cierra bajo resta. $$

Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}} $$ Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}}

Los números enteros forman un anillo unital que es el más básico, en el siguiente sentido: para cualquier anillo unital, existe un homomorfismo de anillo único de los números enteros en este anillo. Esta propiedad universal, es decir, ser un objeto inicial en la categoría de anillos, caracteriza al anillo . $$

Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}}

$$

Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}}no está cerrado bajo división, ya que el cociente de dos números enteros (por ejemplo, 1 dividido por 2) no necesita ser un número entero. Aunque los números naturales están cerrados bajo exponenciación, los números enteros no lo son (ya que el resultado puede ser una fracción cuando el exponente es negativo).

La siguiente tabla muestra algunas de las propiedades básicas de adición y multiplicación para cualquier números enteros un, b y c:

Propiedades de la suma y la multiplicación de números enteros

	Adición	Multiplicación
Cierre :	a + b  es un número entero	a × b  es un número entero
Asociatividad :	a + ( b + c) = ( a + b) + c	a × ( b × c) = ( a × b) × c
Conmutatividad :	a + b = b + a	a × b = b × a
Existencia de un elemento de identidad :	a + 0 = a	a × 1 = a
Existencia de elementos inversos :	a + (- a) = 0	Los únicos números enteros invertibles (llamados unidades ) son -1 y  1.
Distributividad :	a × ( b + c) = ( a × b) + ( a × c)  y ( a + b) × c = ( a × c) + ( b × c)
Sin divisores de cero :		Si a × b = 0, entonces a = 0 o b = 0 (o ambos)

Las primeras cinco propiedades enumeradas anteriormente para la adición dicen que, bajo la adición, es un grupo abeliano. También es un grupo cíclico, ya que todo entero distinto de cero se puede escribir como una suma finita 1 + 1 +... + 1 o (−1) + (−1) +... + (−1). De hecho, debajo de la adición es el único grupo cíclico infinito, en el sentido de que cualquier grupo cíclico infinito es isomorfo a. $$

Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}} $$ Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}} $$ Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}}

Las primeras cuatro propiedades enumeradas anteriormente para la multiplicación dicen que debajo de la multiplicación hay un monoide conmutativo. Sin embargo, no todos los números enteros tienen un inverso multiplicativo (como es el caso del número 2), lo que significa que debajo de la multiplicación no es un grupo. $$

Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}} $$ Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}}

Todas las reglas de la tabla de propiedades anterior (excepto la última), cuando se toman juntas, dicen que junto con la suma y la multiplicación hay un anillo conmutativo con unidad. Es el prototipo de todos los objetos de tal estructura algebraica. Solo esas igualdades de expresiones son verdaderas  para todos los valores de las variables, que son verdaderas en cualquier anillo conmutativo unital. Ciertos números enteros distintos de cero se asignan a cero en ciertos anillos. $$

Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}} $$ Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}}

La falta de divisores de cero en los números enteros (última propiedad de la tabla) significa que el anillo conmutativo  es un dominio integral. $$

Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}}

La falta de inversos multiplicativos, lo que equivale al hecho de que no está cerrado bajo división, significa que no es un campo. El campo más pequeño que contiene los números enteros como subanillo es el campo de los números racionales. El proceso de construcción de los racionales a partir de los números enteros se puede imitar para formar el campo de fracciones de cualquier dominio integral. Y atrás, partiendo de un campo numérico algebraico (una extensión de los números racionales), se puede extraer su anillo de enteros, que incluye como su subanillo. $$

Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$$ Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}} $$ Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}}

Aunque la división ordinaria no se define en, la división "con resto" se define en ellos. Se llama división euclidiana, y posee la siguiente propiedad importante: dado dos números enteros una y b con b ≠ 0, existen enteros únicos q y r tales que un = q × b + r y 0 ≤ r lt;| b |, donde | b | denota el valor absoluto de b. El número entero q se llama cociente y r se llama resto de la división de a por b. El algoritmo euclidiano para calcular los máximos divisores comunes funciona mediante una secuencia de divisiones euclidianas. $$

Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}}

Lo anterior dice que es un dominio euclidiano. Esto implica que es un dominio ideal principal, y cualquier entero positivo puede escribirse como el producto de números primos de una manera esencialmente única. Este es el teorema fundamental de la aritmética. $$

Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}} $$ Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}}

Propiedades de la teoría de órdenes

$$

Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}}es un conjunto totalmente ordenado sin límite superior o inferior. El orden de viene dado por:. .. −3 lt;−2 lt;−1 lt;0 lt;1 lt;2 lt;3 lt;... Un número entero es positivo si es mayor que cero y negativo si es menor que cero. El cero se define como ni negativo ni positivo. $$ Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}}

El orden de los enteros es compatible con las operaciones algebraicas de la siguiente manera:

1. si a lt; b y c lt; d, entonces a + c lt; b + d
2. si a lt; b y 0 lt; c, entonces ac lt; bc.

Por lo tanto, se deduce que junto con el orden anterior es un anillo ordenado. $$

Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}}

Los enteros son el único grupo abeliano no trivial totalmente ordenado cuyos elementos positivos están bien ordenados. Esto es equivalente a la afirmación de que cualquier anillo de valoración noetheriano es un campo o un anillo de valoración discreto.

Construcción

Los puntos rojos representan pares ordenados de números naturales. Los puntos rojos enlazados son clases de equivalencia que representan los números enteros azules al final de la línea.

En la enseñanza de la escuela primaria, los números enteros a menudo se definen intuitivamente como los números naturales (positivos), el cero y las negaciones de los números naturales. Sin embargo, este estilo de definición conduce a muchos casos diferentes (cada operación aritmética debe definirse en cada combinación de tipos de números enteros) y hace que sea tedioso demostrar que los números enteros obedecen las diversas leyes de la aritmética. Por lo tanto, en las matemáticas modernas de teoría de conjuntos, a menudo se usa en su lugar una construcción más abstracta que permite definir operaciones aritméticas sin distinción de casos. Por tanto, los números enteros pueden construirse formalmente como clases de equivalencia de pares ordenados de números naturales ( a, b).

La intuición es que ( a, b) representa el resultado de restar b de a. Para confirmar nuestra expectativa de que 1 - 2 y 4 - 5 denoten el mismo número, definimos una relación de equivalencia ~ en estos pares con la siguiente regla:

$$(a,B)∼(C,D) {\ Displaystyle (a, b) \ sim (c, d)}

precisamente cuando

$$a+D=B+C. {\ Displaystyle a + d = b + c.}

La suma y la multiplicación de números enteros se pueden definir en términos de operaciones equivalentes sobre los números naturales; al usar [( a, b)] para denotar la clase de equivalencia que tiene ( a, b) como miembro, uno tiene:

$$[(a,B)]+[(C,D)]: =[(a+C,B+D)]. {\ Displaystyle [(a, b)] + [(c, d)]: = [(a + c, b + d)].}

$$[(a,B)]⋅[(C,D)]: =[(aC+BD,aD+BC)]. {\ Displaystyle [(a, b)] \ cdot [(c, d)]: = [(ac + bd, ad + bc)].}

La negación (o inverso aditivo) de un número entero se obtiene invirtiendo el orden del par:

$$-[(a,B)]: =[(B,a)]. {\ Displaystyle - [(a, b)]: = [(b, a)].}

Por tanto, la resta se puede definir como la suma del inverso aditivo:

$$[(a,B)]-[(C,D)]: =[(a+D,B+C)]. {\ Displaystyle [(a, b)] - [(c, d)]: = [(a + d, b + c)].}

El orden estándar de los números enteros viene dado por:

$$[(a,B)]lt;[(C,D)] {\ Displaystyle [(a, b)] lt;[(c, d)]} si y solo si $$a+Dlt;B+C. {\ Displaystyle a + d lt;b + c.}

Se verifica fácilmente que estas definiciones son independientes de la elección de los representantes de las clases de equivalencia.

Cada clase de equivalencia tiene un miembro único que tiene la forma ( n, 0) o (0, n) (o ambos a la vez). El número natural n se identifica con la clase [( n, 0)] (es decir, los números naturales se incrustan en los enteros mediante el envío de mapas n a [( n, 0)]), y la clase [(0, n) ] se denota - n (esto cubre todas las clases restantes y le da a la clase [(0,0)] una segunda vez ya que −0 = 0.

Por lo tanto, [( a, b)] se denota por

$$ { a - B , Si  a ≥ B - ( B - a ) , Si  a lt; B . {\ displaystyle {\ begin {cases} ab, amp; {\ mbox {if}} a \ geq b \\ - (ba), amp; {\ mbox {if}} a lt;b. \ end {cases}}}

Si los números naturales se identifican con los números enteros correspondientes (utilizando la incrustación mencionada anteriormente), esta convención no crea ambigüedad.

Esta notación recupera la representación familiar de los enteros como {..., −2, −1, 0, 1, 2,...}.

Algunos ejemplos son:

$$ 0 = [ ( 0 , 0 ) ] = [ ( 1 , 1 ) ] = ⋯ = [ ( k , k ) ] 1 = [ ( 1 , 0 ) ] = [ ( 2 , 1 ) ] = ⋯ = [ ( k + 1 , k ) ] - 1 = [ ( 0 , 1 ) ] = [ ( 1 , 2 ) ] = ⋯ = [ ( k , k + 1 ) ] 2 = [ ( 2 , 0 ) ] = [ ( 3 , 1 ) ] = ⋯ = [ ( k + 2 , k ) ] - 2 = [ ( 0 , 2 ) ] = [ ( 1 , 3 ) ] = ⋯ = [ ( k , k + 2 ) ] . {\ displaystyle {\ begin {alineado} 0 amp; = [(0,0)] amp; = [(1,1)] amp; = \ cdots amp;amp; = [(k, k)] \\ 1 amp; = [(1,0) ] amp; = [(2,1)] amp; = \ cdots amp;amp; = [(k + 1, k)] \\ - 1 amp; = [(0,1)] amp; = [(1,2)] amp; = \ cdots amp;amp; = [(k, k + 1)] \\ 2 amp; = [(2,0)] amp; = [(3,1)] amp; = \ cdots amp;amp; = [(k + 2, k)] \\ - 2 amp; = [(0,2)] amp; = [(1,3)] amp; = \ cdots amp;amp; = [(k, k + 2)]. \ End {alineado}}}

En informática teórica, los probadores de teoremas automatizados y los motores de reescritura de términos utilizan otros enfoques para la construcción de números enteros. Los enteros se representan como términos algebraicos construidos usando algunas operaciones básicas (por ejemplo, cero, succ, pred) y, posiblemente, usando números naturales, que se supone que ya están construidos (usando, digamos, el enfoque de Peano ).

Existen al menos diez de tales construcciones de enteros con signo. Estas construcciones se diferencian de varias formas: el número de operaciones básicas utilizadas para la construcción, el número (normalmente, entre 0 y 2) y los tipos de argumentos aceptados por estas operaciones; la presencia o ausencia de números naturales como argumentos de algunas de estas operaciones, y el hecho de que estas operaciones sean constructoras libres o no, es decir, que un mismo número entero se puede representar usando solo uno o muchos términos algebraicos.

La técnica para la construcción de enteros presentada anteriormente en esta sección corresponde al caso particular donde hay un solo par de operaciones básicas que toma como argumentos dos números naturales y, y devuelve un entero (igual a). Esta operación no es gratuita ya que el entero 0 puede escribirse par (0,0), o par (1,1), o par (2,2), etc. Esta técnica de construcción es utilizada por la asistente de pruebas Isabelle ; sin embargo, muchas otras herramientas utilizan técnicas de construcción alternativas, destacando las basadas en constructores libres, que son más simples y se pueden implementar de manera más eficiente en computadoras. $$

(X,y) {\ Displaystyle (x, y)}$$X {\ Displaystyle x}$$y {\ Displaystyle y}$$X-y {\ Displaystyle xy}

Ciencias de la Computación

Artículo principal: Integer (informática)

Un número entero es a menudo un tipo de datos primitivo en los lenguajes informáticos. Sin embargo, los tipos de datos enteros solo pueden representar un subconjunto de todos los números enteros, ya que las computadoras prácticas tienen una capacidad finita. Además, en la representación del complemento a dos común, la definición inherente de signo distingue entre "negativo" y "no negativo" en lugar de "negativo, positivo y 0". (Sin embargo, es ciertamente posible que una computadora determine si un valor entero es verdaderamente positivo). Los tipos de datos (o subconjuntos) de aproximación de enteros de longitud fija se denotan como int o Integer en varios lenguajes de programación (como Algol68, C, Java, Delphi, etc.).

Las representaciones de números enteros de longitud variable, como bignums, pueden almacenar cualquier número entero que quepa en la memoria de la computadora. Otros tipos de datos enteros se implementan con un tamaño fijo, generalmente un número de bits que es una potencia de 2 (4, 8, 16, etc.) o un número memorable de dígitos decimales (por ejemplo, 9 o 10).

Cardinalidad

La cardinalidad del conjunto de números enteros es igual a ℵ 0 ( aleph-null ). Esto se demuestra fácilmente mediante la construcción de una biyección, es decir, una función que es inyectiva y sobreyectiva de a Tal función puede definirse como $$

Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$$ norte={0,1,2,...}. {\ Displaystyle \ mathbb {N} = \ {0,1,2,... \}.}

$$F(X)= { - 2 X , Si  X ≤ 0 2 X - 1 , Si  X gt; 0 , {\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} -2x, amp; {\ mbox {if}} x \ leq 0 \\ 2x-1, amp; {\ mbox {if}} xgt; 0, \ end { casos}}}

con gráfico (el conjunto de pares es $$

(X,F(X)) {\ Displaystyle (x, f (x))}

{... (−4,8), (−3,6), (−2,4), (−1,2), (0,0), (1,1), (2,3), (3,5),...}.

Su función inversa está definida por

$$ { gramo ( 2 X ) = - X gramo ( 2 X - 1 ) = X , {\ Displaystyle {\ begin {cases} g (2x) = - x \\ g (2x-1) = x, \ end {cases}}}

con gráfico

{(0, 0), (1, 1), (2, −1), (3, 2), (4, −2), (5, −3),...}.

Ver también

• Portal de matematicas

• Factorización canónica de un entero positivo
• Hiperinteger
• Complejidad entera
• Celosía entera
• Parte entera
• Secuencia entera
• Función de valor entero
• Simbolos matematicos
• Paridad (matemáticas)
• Entero profinito

Sistemas numéricos Complejo $$: C {\ Displaystyle: \; \ mathbb {C}} Verdadero $$: R {\ Displaystyle: \; \ mathbb {R}} Racional $$: Q {\ Displaystyle: \; \ mathbb {Q}} Entero $$: Z {\ Displaystyle: \; \ mathbb {Z}} Natural $$: norte {\ Displaystyle: \; \ mathbb {N}} Cero : 0 Uno : 1 números primos Números compuestos Enteros negativos Fracción Decimal finito Diádico (binario finito) Decimal repetido Irracional Algebraico Trascendental Imaginario

Notas al pie

Referencias

Fuentes

• Bell, ET, Hombres de matemáticas. Nueva York: Simon amp; Schuster, 1986. (Tapa dura; ISBN   0-671-46400-0 ) / (Tapa blanda; ISBN   0-671-62818-6 )
• Herstein, IN, Temas de Álgebra, Wiley; 2a edición (20 de junio de 1975), ISBN   0-471-01090-1.
• Mac Lane, Saunders y Garrett Birkhoff ; Álgebra, Sociedad Matemática Estadounidense; 3ª edición (1999). ISBN   0-8218-1646-2.

enlaces externos

Busque números enteros en Wikcionario, el diccionario gratuito.

• "Integer", Enciclopedia de Matemáticas, EMS Press, 2001 [1994]
• Los enteros positivos: tablas de divisores y herramientas de representación numérica
• Enciclopedia en línea de secuencias de enteros cf OEIS
• Weisstein, Eric W. "Entero". MathWorld.

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