Energía cinética

Energía cinética
Los coches de una montaña rusa alcanzan su máxima energía cinética cuando están al final del camino. Cuando comienzan a subir, la energía cinética comienza a convertirse en energía potencial gravitacional. La suma de energía cinética y potencial en el sistema permanece constante, ignorando las pérdidas por fricción.
Símbolos comunes	KE, E k o T
Unidad SI	julio (J)
Derivaciones de otras cantidades	E k = 1/2 m v 2 E k = E t + E r

Parte de una serie sobre
Mecanica clasica
$$ F= D D t(metro v) {\ Displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (m {\ textbf {v}})} Segunda ley del movimiento
Historia Cronología Libros de texto
Sucursales Aplicado Celestial Continuum Dinámica Cinemática Cinética Estática Estadístico
Fundamentos Aceleración Momento angular Pareja Principio de D'Alembert Energía cinético potencial Fuerza Marco de referencia Marco de referencia inercial Impulso Inercia  / Momento de inercia Masa Potencia mecánica Trabajo mecánico Momento Impulso Espacio Velocidad Tiempo Esfuerzo de torsión Velocidad Trabajo virtual
Formulaciones Leyes del movimiento de Newton Mecánica analítica Mecánica lagrangiana Mecánica hamiltoniana Mecánica routhiana Ecuación de Hamilton-Jacobi Ecuación de movimiento de Appell Mecánica de Koopman – von Neumann
Temas centrales Relación de amortiguación Desplazamiento Ecuaciones de movimiento Leyes del movimiento de Euler Fuerza ficticia Fricción Oscilador armónico Marco de referencia inercial  / no inercial Mecánica del movimiento de partículas planas Movimiento  ( lineal ) Ley de Newton de la gravitación universal Leyes del movimiento de Newton Velocidad relativa Cuerpo rígido dinámica Ecuaciones de Euler Movimiento armónico simple Vibración
Rotación Movimiento circular Marco de referencia giratorio Fuerza centrípeta Fuerza centrífuga reactivo fuerza Coriolis Péndulo Velocidad tangencial Velocidad rotacional Aceleración angular  / desplazamiento  / frecuencia  / velocidad
Científicos Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton Poisson Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
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v t mi

Pintor desconocido: Émilie du Châtelet (1706-1749) con un compás en la mano derecha. Fue la primera en publicar la relación de la energía cinética. Esto significa que un objeto con el doble de velocidad golpea cuatro veces (2x2) más fuerte.$$ mi familiares∝metro v 2 {\ Displaystyle E _ {\ text {parentesco}} \ propto mv ^ {2}}

En física, la energía cinética de un objeto es la energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar un cuerpo de una masa dada desde el reposo hasta su velocidad establecida. Habiendo ganado esta energía durante su aceleración, el cuerpo mantiene esta energía cinética a menos que cambie su velocidad. El cuerpo realiza la misma cantidad de trabajo cuando desacelera de su velocidad actual a un estado de reposo.

En mecánica clásica, la energía cinética de un objeto no giratorio de masa m que viaja a una velocidad v es. En mecánica relativista, esta es una buena aproximación solo cuando v es mucho menor que la velocidad de la luz. $$

1 2metro v 2 {\ textstyle {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}

La unidad estándar de energía cinética es el joule, mientras que la unidad inglesa de energía cinética es el pie-libra.

• 1 Historia y etimología
• 2 Resumen
• 3 Energía cinética newtoniana
  • 3.1 Energía cinética de cuerpos rígidos
    • 3.1.1 Derivación
      • 3.1.1.1 Sin vectores ni cálculo
      • 3.1.1.2 Con vectores y cálculo
  • 3.2 Cuerpos giratorios
  • 3.3 Energía cinética de los sistemas
  • 3.4 Dinámica de fluidos
  • 3.5 Marco de referencia
  • 3.6 Rotación en sistemas
• 4 Energía cinética relativista de cuerpos rígidos
  • 4.1 relatividad general
• 5 Energía cinética en mecánica cuántica
• 6 Véase también
• 7 notas
• 8 referencias
• 9 Enlaces externos

Historia y etimología

El adjetivo cinético tiene sus raíces en la palabra griega κίνησις kinesis, que significa "movimiento". La dicotomía entre energía cinética y energía potencial se remonta a los conceptos de actualidad y potencialidad de Aristóteles.

El principio de la mecánica clásica de que E ∝ mv ² fue desarrollado por primera vez por Gottfried Leibniz y Johann Bernoulli, quienes describieron la energía cinética como la fuerza viva, vis viva. Willem's Gravesande de los Países Bajos proporcionó evidencia experimental de esta relación. Al dejar caer pesos desde diferentes alturas en un bloque de arcilla, Willem's Gravesande determinó que su profundidad de penetración era proporcional al cuadrado de su velocidad de impacto. Émilie du Châtelet reconoció las implicaciones del experimento y publicó una explicación.

Los términos energía cinética y trabajo en su significado científico actual se remontan a mediados del siglo XIX. La comprensión temprana de estas ideas se puede atribuir a Gaspard-Gustave Coriolis, quien en 1829 publicó el artículo titulado Du Calcul de l'Effet des Machines que describe las matemáticas de la energía cinética. A William Thomson, más tarde Lord Kelvin, se le atribuye el mérito de haber acuñado el término "energía cinética" c. 1849–51. Rankine, que había introducido el término "energía potencial" en 1853, y la frase "energía real" para complementarlo, cita más tarde a William Thomson y Peter Tait en sustitución de la palabra "cinética" por "real".

Visión general

Energía se produce en muchas formas, incluyendo la energía química, la energía térmica, radiación electromagnética, energía gravitacional, energía eléctrica, energía elástica, energía nuclear y energía en reposo. Estos se pueden clasificar en dos clases principales: energía potencial y energía cinética. La energía cinética es la energía de movimiento de un objeto. La energía cinética puede transferirse entre objetos y transformarse en otros tipos de energía.

La energía cinética puede entenderse mejor con ejemplos que demuestren cómo se transforma hacia y desde otras formas de energía. Por ejemplo, un ciclista usa la energía química proporcionada por los alimentos para acelerar una bicicleta a una velocidad elegida. En una superficie nivelada, esta velocidad se puede mantener sin más trabajo, excepto para superar la resistencia del aire y la fricción. La energía química se ha convertido en energía cinética, la energía del movimiento, pero el proceso no es completamente eficiente y produce calor dentro del ciclista.

La energía cinética del ciclista en movimiento y la bicicleta se puede convertir en otras formas. Por ejemplo, el ciclista podría encontrarse con una colina lo suficientemente alta para deslizarse hacia arriba, de modo que la bicicleta se detenga por completo en la parte superior. La energía cinética ahora se ha convertido en gran parte en energía potencial gravitacional que se puede liberar al bajar libremente por el otro lado de la colina. Dado que la bicicleta perdió parte de su energía debido a la fricción, nunca recupera toda su velocidad sin un pedaleo adicional. La energía no se destruye; sólo se ha convertido a otra forma por fricción. Alternativamente, el ciclista podría conectar una dinamo a una de las ruedas y generar algo de energía eléctrica en el descenso. La bicicleta viajaría más lentamente al pie de la colina que sin el generador porque parte de la energía se ha desviado hacia energía eléctrica. Otra posibilidad sería que el ciclista aplicara los frenos, en cuyo caso la energía cinética se disiparía mediante la fricción en forma de calor.

Como cualquier cantidad física que sea función de la velocidad, la energía cinética de un objeto depende de la relación entre el objeto y el marco de referencia del observador. Por tanto, la energía cinética de un objeto no es invariante.

Las naves espaciales utilizan energía química para lanzarse y obtener una energía cinética considerable para alcanzar la velocidad orbital. En una órbita completamente circular, esta energía cinética permanece constante porque casi no hay fricción en el espacio cercano a la Tierra. Sin embargo, se hace evidente en el reingreso cuando parte de la energía cinética se convierte en calor. Si la órbita es elíptica o hiperbólica, entonces a lo largo de la órbita se intercambian energía cinética y potencial ; La energía cinética es la máxima y la energía potencial la más baja en la aproximación más cercana a la tierra u otro cuerpo masivo, mientras que la energía potencial es la mayor y la energía cinética la más baja a la distancia máxima. Sin embargo, sin pérdida ni ganancia, la suma de la energía cinética y potencial permanece constante.

La energía cinética se puede pasar de un objeto a otro. En el juego de billar, el jugador impone energía cinética a la bola blanca golpeándola con el taco. Si la bola blanca choca con otra bola, se ralentiza drásticamente y la bola que golpea acelera su velocidad a medida que se le transmite la energía cinética. Las colisiones en el billar son efectivamente colisiones elásticas, en las que se conserva la energía cinética. En colisiones inelásticas, la energía cinética se disipa en varias formas de energía, como calor, sonido, energía de enlace (rompiendo estructuras enlazadas).

Los volantes se han desarrollado como método de almacenamiento de energía. Esto ilustra que la energía cinética también se almacena en el movimiento de rotación.

Existen varias descripciones matemáticas de la energía cinética que la describen en la situación física apropiada. Para objetos y procesos en la experiencia humana común, la fórmula ½mv² dada por la mecánica newtoniana (clásica) es adecuada. Sin embargo, si la velocidad del objeto es comparable a la velocidad de la luz, los efectos relativistas se vuelven significativos y se utiliza la fórmula relativista. Si el objeto está en la escala atómica o subatómica, los efectos de la mecánica cuántica son significativos y se debe emplear un modelo de la mecánica cuántica.

Energía cinética newtoniana

Energía cinética de cuerpos rígidos

En la mecánica clásica, la energía cinética de un objeto puntual (un objeto tan pequeño que se puede suponer que su masa existe en un punto) o un cuerpo rígido no giratorio depende de la masa del cuerpo y de su velocidad. La energía cinética es igual a la mitad del producto de la masa por el cuadrado de la velocidad. En forma de fórmula:

$$ mi k= 1 2metro v 2 {\ Displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}

donde es la masa y es la rapidez (o la velocidad) del cuerpo. En unidades del SI, la masa se mide en kilogramos, la velocidad en metros por segundo y la energía cinética resultante está en julios. $$

metro {\ Displaystyle m}$$v {\ Displaystyle v}

Por ejemplo, se calcularía la energía cinética de una masa de 80 kg (alrededor de 180 libras) viajando a 18 metros por segundo (alrededor de 40 mph, o 65 km / h) como

$$ mi k= 1 2⋅80 kg⋅ ( 18 Sra ) 2=12,960 J=12,96 kJ {\ Displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} \ cdot 80 \, {\ text {kg}} \ cdot \ left (18 \, {\ text {m / s} } \ right) ^ {2} = 12,960 \, {\ text {J}} = 12.96 \, {\ text {kJ}}}

Cuando una persona lanza una pelota, la persona trabaja en ella para darle velocidad cuando sale de la mano. La bola en movimiento puede golpear algo y empujarlo, trabajando en lo que golpea. La energía cinética de un objeto en movimiento es igual al trabajo requerido para llevarlo desde el reposo a esa velocidad, o el trabajo que el objeto puede hacer mientras está en reposo: fuerza neta × desplazamiento = energía cinética, es decir,

$$Fs= 1 2metro v 2 {\ displaystyle Fs = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}

Dado que la energía cinética aumenta con el cuadrado de la velocidad, un objeto que duplica su velocidad tiene cuatro veces más energía cinética. Por ejemplo, un automóvil que viaja dos veces más rápido que otro requiere cuatro veces más distancia para detenerse, asumiendo una fuerza de frenado constante. Como consecuencia de esta cuadriplicación, se necesita cuatro veces el trabajo para duplicar la velocidad.

La energía cinética de un objeto está relacionada con su momento mediante la ecuación:

$$ mi k= pag 2 2 metro {\ Displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}}

dónde:

• $$pag {\ Displaystyle p} es impulso
• $$metro {\ Displaystyle m} es la masa del cuerpo

Para la energía cinética de traslación, que es la energía cinética asociada con el movimiento rectilíneo, de un cuerpo rígido con masa constante, cuyo centro de masa se mueve en línea recta con rapidez, como se ve arriba es igual a $$

metro {\ Displaystyle m} $$v {\ Displaystyle v}

$$ mi t= 1 2metro v 2 {\ Displaystyle E _ {\ text {t}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}

dónde:

• $$metro {\ Displaystyle m} es la masa del cuerpo
• $$v {\ Displaystyle v}es la velocidad del centro de masa del cuerpo.

La energía cinética de cualquier entidad depende del marco de referencia en el que se mide. Sin embargo, la energía total de un sistema aislado, es decir, uno en el que la energía no puede entrar ni salir, no cambia con el tiempo en el marco de referencia en el que se mide. Por lo tanto, la energía química convertida en energía cinética por un motor de cohete se divide de manera diferente entre el cohete y su flujo de escape dependiendo del marco de referencia elegido. A esto se le llama efecto Oberth. Pero la energía total del sistema, incluida la energía cinética, la energía química del combustible, el calor, etc., se conserva con el tiempo, independientemente de la elección del marco de referencia. Sin embargo, diferentes observadores que se muevan con diferentes marcos de referencia estarían en desacuerdo sobre el valor de esta energía conservada.

La energía cinética de tales sistemas depende de la elección del marco de referencia: el marco de referencia que da el valor mínimo de esa energía es el centro del marco del momento, es decir, el marco de referencia en el que el momento total del sistema es cero. Esta energía cinética mínima contribuye a la masa invariante del sistema en su conjunto.

Derivación

Sin vectores y sin cálculo

El trabajo W realizado por una fuerza F sobre un objeto a una distancia s paralela a F es igual a

$$W=F⋅s {\ Displaystyle W = F \ cdot s}.

Usando la segunda ley de Newton

$$F=metroa {\ Displaystyle F = ma}

con m la masa y a la aceleración del objeto y

$$s= a t 2 2 {\ Displaystyle s = {\ frac {en ^ {2}} {2}}}

la distancia recorrida por el objeto acelerado en el tiempo t, encontramos con para la velocidad v del objeto $$

v=at {\ Displaystyle v = en}

$$W=metroa a t 2 2= metro ( a t ) 2 2= metro v 2 2. {\ Displaystyle W = ma {\ frac {en ^ {2}} {2}} = {\ frac {m (en) ^ {2}} {2}} = {\ frac {mv ^ {2}} { 2}}.}

Con vectores y cálculo

El trabajo realizado para acelerar una partícula con masa m durante el intervalo de tiempo infinitesimal dt está dado por el producto escalar de la fuerza F y el desplazamiento infinitesimal d x

$$ F⋅D X= F⋅ vDt= D pag D t⋅ vDt= v⋅D pag= v⋅D(metro v), {\ Displaystyle \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} dt = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} \ cdot \ mathbf {v} dt = \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {p} = \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) \,,}

donde hemos asumido la relación p  =  m  v y la validez de la Segunda Ley de Newton. (Sin embargo, vea también la derivación relativista especial a continuación ).

Aplicando la regla del producto vemos que:

$$D( v⋅ v)=(D v)⋅ v+ v⋅(D v)=2( v⋅D v). {\ Displaystyle d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = (d \ mathbf {v}) \ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ cdot (d \ mathbf {v}) = 2 (\ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {v}).}

Por lo tanto, (asumiendo una masa constante de modo que dm = 0), tenemos,

$$ v⋅D(metro v)= metro 2D( v⋅ v)= metro 2D v 2=D ( metro v 2 2 ). {\ Displaystyle \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) = {\ frac {m} {2}} d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = {\ frac { m} {2}} dv ^ {2} = d \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right).}

Dado que este es un diferencial total (es decir, solo depende del estado final, no de cómo llegó la partícula allí), podemos integrarlo y llamar al resultado energía cinética. Suponiendo que el objeto estaba en reposo en el tiempo 0, integramos del tiempo 0 al tiempo t porque el trabajo realizado por la fuerza para llevar el objeto del reposo a la velocidad v es igual al trabajo necesario para hacer lo contrario:

$$ mi k= ∫ 0 t F⋅D X= ∫ 0 t v⋅D(metro v)= ∫ 0 tD ( metro v 2 2 )= metro v 2 2. {\ Displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {v } \ cdot d (m \ mathbf {v}) = \ int _ {0} ^ {t} d \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right) = {\ frac {mv ^ {2}} {2}}.}

Esta ecuación establece que la energía cinética ( E k) es igual a la integral de la producto escalar de la velocidad ( v) de un cuerpo y la infinitesimal cambio de del cuerpo impulso ( p). Se supone que el cuerpo comienza sin energía cinética cuando está en reposo (inmóvil).

Cuerpos giratorios

Si un cuerpo rígido Q gira alrededor de cualquier línea que pasa por el centro de masa, entonces tiene energía cinética rotacional () que es simplemente la suma de las energías cinéticas de sus partes móviles, y por lo tanto está dada por: $$

mi r {\ Displaystyle E _ {\ text {r}} \,}

$$ mi r= ∫ Q v 2 D metro 2= ∫ Q ( r ω ) 2 D metro 2= ω 2 2 ∫ Q r 2Dmetro= ω 2 2I= 1 2I ω 2 {\ Displaystyle E _ {\ text {r}} = \ int _ {Q} {\ frac {v ^ {2} dm} {2}} = \ int _ {Q} {\ frac {(r \ omega) ^ {2} dm} {2}} = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} \ int _ {Q} {r ^ {2}} dm = {\ frac {\ omega ^ {2} } {2}} I = {\ frac {1} {2}} I \ omega ^ {2}}

dónde:

• ω es la velocidad angular del cuerpo
• r es la distancia de cualquier masa dm desde esa línea
• $$I {\ Displaystyle I}es el momento de inercia del cuerpo, igual a.$$ ∫ Q r 2Dmetro {\ textstyle \ int _ {Q} {r ^ {2}} dm}

(En esta ecuación, el momento de inercia debe tomarse alrededor de un eje que pasa por el centro de masa y la rotación medida por ω debe estar alrededor de ese eje; existen ecuaciones más generales para sistemas donde el objeto está sujeto a oscilación debido a su forma excéntrica).

Energía cinética de sistemas

Un sistema de cuerpos puede tener energía cinética interna debido al movimiento relativo de los cuerpos en el sistema. Por ejemplo, en el Sistema Solar, los planetas y los planetoides orbitan alrededor del Sol. En un tanque de gas, las moléculas se mueven en todas direcciones. La energía cinética del sistema es la suma de las energías cinéticas de los cuerpos que contiene.

Un cuerpo macroscópico que es estacionario (es decir, se ha elegido un marco de referencia para que se corresponda con el centro de impulso del cuerpo) puede tener varios tipos de energía interna a nivel molecular o atómico, que se puede considerar como energía cinética, debido a la traslación molecular, rotación y vibración, traslación y espín de electrones y espín nuclear. Todos estos contribuyen a la masa del cuerpo, como lo proporciona la teoría especial de la relatividad. Cuando se habla de los movimientos de un cuerpo macroscópico, la energía cinética a la que se hace referencia suele ser la del movimiento macroscópico únicamente. Sin embargo, todas las energías internas de todo tipo contribuyen a la masa, la inercia y la energía total del cuerpo.

Dinámica de fluidos

En dinámica de fluidos, la energía cinética por unidad de volumen en cada punto de un campo de flujo de fluido incompresible se llama presión dinámica en ese punto.

$$ mi k= 1 2metro v 2 {\ Displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}

Dividiendo por V, la unidad de volumen:

$$ mi k V = 1 2 metro V v 2 q = 1 2 ρ v 2 {\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {E _ {\ text {k}}} {V}} amp; = {\ frac {1} {2}} {\ frac {m} {V}} v ^ {2} \\ q amp; = {\ frac {1} {2}} \ rho v ^ {2} \ end {alineado}}}

donde es la presión dinámica y ρ es la densidad del fluido incompresible. $$

q {\ Displaystyle q}

Marco de referencia

La velocidad, y por lo tanto la energía cinética de un solo objeto, depende del marco (relativa): puede tomar cualquier valor no negativo, eligiendo un marco de referencia inercial adecuado. Por ejemplo, una bala que pasa a un observador tiene energía cinética en el marco de referencia de este observador. La misma bala está estacionaria para un observador que se mueve con la misma velocidad que la bala, por lo que tiene energía cinética cero. Por el contrario, la energía cinética total de un sistema de objetos no puede reducirse a cero mediante una elección adecuada del marco de referencia inercial, a menos que todos los objetos tengan la misma velocidad. En cualquier otro caso, la energía cinética total tiene un mínimo distinto de cero, ya que no se puede elegir ningún sistema de referencia inercial en el que todos los objetos estén estacionarios. Esta energía cinética mínima contribuye a la masa invariante del sistema, que es independiente del marco de referencia.

La energía cinética total de un sistema depende del marco de referencia inercial : es la suma de la energía cinética total en un marco de centro de momento y la energía cinética que tendría la masa total si estuviera concentrada en el centro de masa.

Esto puede mostrarse simplemente: sea ​​la velocidad relativa del centro de masa del marco i en el marco k. Ya que $$

V {\ Displaystyle \ textstyle \ mathbf {V}}

$$ v 2= ( v I + V ) 2= ( v I + V )⋅ ( v I + V )= v I⋅ v I+2 v I⋅ V+ V⋅ V= v I 2+2 v I⋅ V+ V 2, {\ Displaystyle v ^ {2} = \ left (v_ {i} + V \ right) ^ {2} = \ left (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) \ cdot \ izquierda (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) = \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {i} +2 \ mathbf {v} _ { i} \ cdot \ mathbf {V} + \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {V} = v_ {i} ^ {2} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + V ^ {2},}

Luego,

$$ mi k=∫ v 2 2Dmetro=∫ v I 2 2Dmetro+ V⋅∫ v IDmetro+ V 2 2∫Dmetro. {\ Displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int {\ frac {v ^ {2}} {2}} dm = \ int {\ frac {v_ {i} ^ {2}} {2}} dm + \ mathbf {V} \ cdot \ int \ mathbf {v} _ {i} dm + {\ frac {V ^ {2}} {2}} \ int dm.}

No obstante, que la energía cinética en el del centro de masas, sería simplemente el momento total que es, por definición, cero en el del centro de masas, y dejar que la masa total:. Sustituyendo, obtenemos: $$

∫ v I 2 2Dmetro= mi I {\ textstyle \ int {\ frac {v_ {i} ^ {2}} {2}} dm = E_ {i}}$$∫ v IDmetro {\ textstyle \ int \ mathbf {v} _ {i} dm}$$∫Dmetro=METRO {\ textstyle \ int dm = M}

$$ mi k= mi I+ METRO V 2 2. {\ Displaystyle E _ {\ text {k}} = E_ {i} + {\ frac {MV ^ {2}} {2}}.}

Por lo tanto, la energía cinética de un sistema es menor al centro de los marcos de referencia del momento, es decir, los marcos de referencia en los que el centro de masa es estacionario (ya sea el centro del marco de masas o cualquier otro marco del centro del momento ). En cualquier marco de referencia diferente, hay energía cinética adicional correspondiente a la masa total que se mueve a la velocidad del centro de masa. La energía cinética del sistema en el centro del marco del momento es una cantidad que es invariante (todos los observadores ven que es la misma).

Rotación en sistemas

A veces es conveniente dividir la energía cinética total de un cuerpo en la suma de la energía cinética de traslación del centro de masa del cuerpo y la energía de rotación alrededor del centro de masa ( energía de rotación ):

$$ mi k= mi t+ mi r {\ Displaystyle E _ {\ text {k}} = E _ {\ text {t}} + E _ {\ text {r}}}

dónde:

• E k es la energía cinética total
• E t es la energía cinética de traslación
• E r es la energía de rotación o energía cinética angular en el marco de reposo

Por tanto, la energía cinética de una pelota de tenis en vuelo es la energía cinética debida a su rotación, más la energía cinética debida a su traslación.

Energía cinética relativista de cuerpos rígidos

Ver también: Masa en relatividad especial y Pruebas de energía e impulso relativistas

Si la velocidad de un cuerpo es una fracción significativa de la velocidad de la luz, es necesario utilizar la mecánica relativista para calcular su energía cinética. En la teoría de la relatividad especial, se modifica la expresión del momento lineal.

Con m siendo de un objeto resto masa, v y v su velocidad y la velocidad, y c la velocidad de la luz en el vacío, utilizamos la expresión para la cantidad de movimiento, donde. $$

pag=metroγ v {\ Displaystyle \ mathbf {p} = m \ gamma \ mathbf {v}}$$γ=1 / 1 - v 2 / C 2 {\ textstyle \ gamma = 1 / {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}

Integración por rendimiento de piezas

$$ mi k=∫ v⋅D pag=∫ v⋅D(metroγ v)=metroγ v⋅ v-∫metroγ v⋅D v=metroγ v 2- metro 2∫γD ( v 2 ) {\ Displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {p} = \ int \ mathbf {v} \ cdot d (m \ gamma \ mathbf {v}) = m \ gamma \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} - \ int m \ gamma \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {v} = m \ gamma v ^ {2} - {\ frac {m} { 2}} \ int \ gamma d \ left (v ^ {2} \ right)}

Puesto que, $$

γ= ( 1 - v 2 / C 2 ) - 1 2 {\ Displaystyle \ gamma = \ left (1-v ^ {2} / c ^ {2} \ right) ^ {- {\ frac {1} {2}}}}

$$ mi k = metro γ v 2 - - metro C 2 2 ∫ γ D ( 1 - v 2 C 2 ) = metro γ v 2 + metro C 2 ( 1 - v 2 C 2 ) 1 2 - mi 0 {\ Displaystyle {\ begin {alineado} E _ {\ text {k}} amp; = m \ gamma v ^ {2} - {\ frac {-mc ^ {2}} {2}} \ int \ gamma d \ left (1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ right) \\ amp; = m \ gamma v ^ {2} + mc ^ {2} \ left (1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} - E_ {0} \ end {alineado}}}

$$

mi 0 {\ Displaystyle E_ {0}}es una constante de integración para la integral indefinida.

Simplificando la expresión obtenemos

$$ mi k = metro γ ( v 2 + C 2 ( 1 - v 2 C 2 ) ) - mi 0 = metro γ ( v 2 + C 2 - v 2 ) - mi 0 = metro γ C 2 - mi 0 {\ Displaystyle {\ begin {alineado} E _ {\ text {k}} amp; = m \ gamma \ left (v ^ {2} + c ^ {2} \ left (1 - {\ frac {v ^ {2}) } {c ^ {2}}} \ right) \ right) -E_ {0} \\ amp; = m \ gamma \ left (v ^ {2} + c ^ {2} -v ^ {2} \ right) -E_ {0} \\ amp; = m \ gamma c ^ {2} -E_ {0} \ end {alineado}}}

$$

mi 0 {\ Displaystyle E_ {0}}se encuentra observando que cuando y, dando $$ v=0, γ=1 {\ Displaystyle \ mathbf {v} = 0, \ \ gamma = 1}$$ mi k=0 {\ Displaystyle E _ {\ text {k}} = 0}

$$ mi 0=metro C 2 {\ Displaystyle E_ {0} = mc ^ {2}}

resultando en la fórmula

$$ mi k=metroγ C 2-metro C 2= metro C 2 1 - v 2 C 2-metro C 2=(γ-1)metro C 2 {\ Displaystyle E _ {\ text {k}} = m \ gamma c ^ {2} -mc ^ {2} = {\ frac {mc ^ {2}} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ { 2}} {c ^ {2}}}}}} - mc ^ {2} = (\ gamma -1) mc ^ {2}}

Esta fórmula muestra que el trabajo invertido en acelerar un objeto desde el reposo se acerca al infinito cuando la velocidad se acerca a la velocidad de la luz. Por tanto, es imposible acelerar un objeto a través de este límite.

El subproducto matemático de este cálculo es la fórmula de equivalencia masa-energía : el cuerpo en reposo debe tener contenido energético

$$ mi descansar= mi 0=metro C 2 {\ Displaystyle E _ {\ text {rest}} = E_ {0} = mc ^ {2}}

A baja velocidad ( v ≪ c), la energía cinética relativista se aproxima bien a la energía cinética clásica. Esto se hace mediante aproximación binomial o tomando los dos primeros términos de la expansión de Taylor para la raíz cuadrada recíproca:

$$ mi k≈metro C 2 ( 1 + 1 2 v 2 C 2 )-metro C 2= 1 2metro v 2 {\ Displaystyle E _ {\ text {k}} \ approx mc ^ {2} \ left (1 + {\ frac {1} {2}} {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}} } \ right) -mc ^ {2} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}

Entonces, la energía total se puede dividir en la energía de la masa en reposo más la energía cinética newtoniana a velocidades bajas. $$

mi k {\ Displaystyle E_ {k}}

Cuando los objetos se mueven a una velocidad mucho más lenta que la luz (por ejemplo, en los fenómenos cotidianos en la Tierra), predominan los dos primeros términos de la serie. El siguiente término en la aproximación de la serie de Taylor

$$ mi k≈metro C 2 ( 1 + 1 2 v 2 C 2 + 3 8 v 4 C 4 )-metro C 2= 1 2metro v 2+ 3 8metro v 4 C 2 {\ Displaystyle E _ {\ text {k}} \ approx mc ^ {2} \ left (1 + {\ frac {1} {2}} {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}} } + {\ frac {3} {8}} {\ frac {v ^ {4}} {c ^ {4}}} \ right) -mc ^ {2} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + {\ frac {3} {8}} m {\ frac {v ^ {4}} {c ^ {2}}}}

es pequeño para velocidades bajas. Por ejemplo, para una velocidad de 10 km / s (22 000 mph), la corrección a la energía cinética newtoniana es de 0,0417 J / kg (en una energía cinética newtoniana de 50 MJ / kg) y para una velocidad de 100 km / s es 417 J / kg (en una energía cinética newtoniana de 5 GJ / kg).

La relación relativista entre la energía cinética y el momento está dada por

$$ mi k= pag 2 C 2 + metro 2 C 4-metro C 2 {\ Displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ sqrt {p ^ {2} c ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4}}} - mc ^ {2}}

Esto también se puede expandir como una serie de Taylor, cuyo primer término es la expresión simple de la mecánica newtoniana:

$$ mi k≈ pag 2 2 metro- pag 4 8 metro 3 C 2. {\ Displaystyle E _ {\ text {k}} \ approx {\ frac {p ^ {2}} {2m}} - {\ frac {p ^ {4}} {8m ^ {3} c ^ {2}} }.}

Esto sugiere que las fórmulas para la energía y el momento no son especiales y axiomáticas, sino conceptos que surgen de la equivalencia de masa y energía y los principios de la relatividad.

Relatividad general

Véase también: geodésicas de Schwarzschild

Usando la convención que

$$ gramo α β tu α tu β=- C 2 {\ Displaystyle g _ {\ alpha \ beta} \, u ^ {\ alpha} \, u ^ {\ beta} \, = \, - c ^ {2}}

donde la cuatro velocidades de una partícula es

$$ tu α= D X α D τ {\ Displaystyle u ^ {\ alpha} \, = \, {\ frac {dx ^ {\ alpha}} {d \ tau}}}

y es el tiempo adecuado de la partícula, también existe una expresión para la energía cinética de la partícula en la relatividad general. $$

τ {\ Displaystyle \ tau}

Si la partícula tiene impulso

$$ pag β=metro gramo β α tu α {\ Displaystyle p _ {\ beta} \, = \, m \, g _ {\ beta \ alpha} \, u ^ {\ alpha}}

cuando pasa por un observador con u obs de cuatro velocidades, entonces la expresión de la energía total de la partícula observada (medida en un marco inercial local) es

$$mi=- pag β tu obs β {\ Displaystyle E \, = \, - \, p _ {\ beta} \, u _ {\ text {obs}} ^ {\ beta}}

y la energía cinética se puede expresar como la energía total menos la energía en reposo:

$$ mi k=- pag β tu obs β-metro C 2. {\ Displaystyle E_ {k} \, = \, - \, p _ {\ beta} \, u _ {\ text {obs}} ^ {\ beta} \, - \, m \, c ^ {2} \,.}

Considere el caso de una métrica que es diagonal y espacialmente isótropa ( g tt, g ss, g ss, g ss). Ya que

$$ tu α= D X α D t D t D τ= v α tu t {\ Displaystyle u ^ {\ alpha} = {\ frac {dx ^ {\ alpha}} {dt}} {\ frac {dt} {d \ tau}} = v ^ {\ alpha} u ^ {t}}

donde v ^α es la velocidad ordinaria medida con el sistema de coordenadas, obtenemos

$$- C 2= gramo α β tu α tu β= gramo t t ( tu t ) 2+ gramo s s v 2 ( tu t ) 2. {\ Displaystyle -c ^ {2} = g _ {\ alpha \ beta} u ^ {\ alpha} u ^ {\ beta} = g_ {tt} \ left (u ^ {t} \ right) ^ {2} + g_ {ss} v ^ {2} \ left (u ^ {t} \ right) ^ {2} \,.}

Resolver para u ^t da

$$ tu t=C - 1 gramo t t + gramo s s v 2. {\ Displaystyle u ^ {t} = c {\ sqrt {\ frac {-1} {g_ {tt} + g_ {ss} v ^ {2}}}} \,.}

Por tanto, para un observador estacionario ( v = 0)

$$ tu obs t=C - 1 gramo t t {\ Displaystyle u _ {\ text {obs}} ^ {t} = c {\ sqrt {\ frac {-1} {g_ {tt}}}}}

y así la energía cinética toma la forma

$$ mi k=-metro gramo t t tu t tu obs t-metro C 2=metro C 2 gramo t t gramo t t + gramo s s v 2-metro C 2. {\ Displaystyle E _ {\ text {k}} = - mg_ {tt} u ^ {t} u _ {\ text {obs}} ^ {t} -mc ^ {2} = mc ^ {2} {\ sqrt { \ frac {g_ {tt}} {g_ {tt} + g_ {ss} v ^ {2}}}} - mc ^ {2} \,.}

Factorizar la energía restante da:

$$ mi k=metro C 2 ( gramo t t gramo t t + gramo s s v 2 - 1 ). {\ Displaystyle E _ {\ text {k}} = mc ^ {2} \ left ({\ sqrt {\ frac {g_ {tt}} {g_ {tt} + g_ {ss} v ^ {2}}}} -1 \ derecha) \,.}

Esta expresión se reduce al caso relativista especial para la métrica de espacio plano donde

$$ gramo t t = - C 2 gramo s s = 1 . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} g_ {tt} amp; = - c ^ {2} \\ g_ {ss} amp; = 1 \,. \ end {alineado}}}

En la aproximación newtoniana a la relatividad general

$$ gramo t t = - ( C 2 + 2 Φ ) gramo s s = 1 - 2 Φ C 2 {\ Displaystyle {\ begin {alineado} g_ {tt} amp; = - \ left (c ^ {2} +2 \ Phi \ right) \\ g_ {ss} amp; = 1 - {\ frac {2 \ Phi} { c ^ {2}}} \ end {alineado}}}

donde Φ es el potencial gravitacional newtoniano. Esto significa que los relojes funcionan más lento y las varillas de medición son más cortas cerca de cuerpos masivos.

Energía cinética en mecánica cuántica

Más información: hamiltoniano (mecánica cuántica)

En mecánica cuántica, los observables como la energía cinética se representan como operadores. Para una partícula de masa m, el operador de energía cinética aparece como un término en el hamiltoniano y se define en términos del operador de momento más fundamental. El operador de energía cinética en el caso no relativista se puede escribir como $$

pag ^ {\ Displaystyle {\ hat {p}}}

$$ T ^= pag ^ 2 2 metro. {\ displaystyle {\ hat {T}} = {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}}.}

Observe que esto se puede obtener reemplazando por en la expresión clásica de energía cinética en términos de cantidad de movimiento, $$

pag {\ Displaystyle p}$$ pag ^ {\ Displaystyle {\ hat {p}}}

$$ mi k= pag 2 2 metro. {\ Displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}.}

En la imagen de Schrödinger, toma la forma en la que se toma la derivada con respecto a las coordenadas de posición y, por lo tanto, $$

pag ^ {\ Displaystyle {\ hat {p}}}$$-Iℏ∇ {\ Displaystyle -i \ hbar \ nabla}

$$ T ^=- ℏ 2 2 metro ∇ 2. {\ Displaystyle {\ hat {T}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2}.}

El valor esperado de la energía cinética del electrón, para un sistema de N electrones descrito por la función de onda es una suma de los valores esperados del operador de 1 electrón: $$

⟨ T ^ ⟩ {\ Displaystyle \ left \ langle {\ hat {T}} \ right \ rangle} $$|ψ⟩ {\ Displaystyle \ vert \ psi \ rangle}

$$ ⟨ T ^ ⟩= ⟨ ψ | ∑ I = 1 norte - ℏ 2 2 metro mi ∇ I 2 | ψ ⟩=- ℏ 2 2 metro mi ∑ I = 1 norte ⟨ ψ | ∇ I 2 | ψ ⟩ {\ Displaystyle \ left \ langle {\ hat {T}} \ right \ rangle = \ left \ langle \ psi \ left \ vert \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {- \ hbar ^ { 2}} {2m _ {\ text {e}}}} \ nabla _ {i} ^ {2} \ right \ vert \ psi \ right \ rangle = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m_ { \ text {e}}}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ left \ langle \ psi \ left \ vert \ nabla _ {i} ^ {2} \ right \ vert \ psi \ right \ rangle }

donde es la masa del electrón y es el operador laplaciano que actúa sobre las coordenadas del i- ^ésimo electrón y la suma corre sobre todos los electrones. $$

metro mi {\ Displaystyle m _ {\ text {e}}}$$ ∇ I 2 {\ Displaystyle \ nabla _ {i} ^ {2}}

El formalismo de densidad funcional de la mecánica cuántica requiere conocimiento de la densidad electrónica solamente, es decir, formalmente no requiere conocimiento de la función de onda. Dada una densidad de electrones, se desconoce la función cinética exacta de la energía cinética de los electrones N; sin embargo, para el caso específico de un sistema de 1 electrón, la energía cinética se puede escribir como $$

ρ( r) {\ Displaystyle \ rho (\ mathbf {r})}

$$T[ρ]= 1 8∫ ∇ ρ ( r ) ⋅ ∇ ρ ( r ) ρ ( r ) D 3r {\ Displaystyle T [\ rho] = {\ frac {1} {8}} \ int {\ frac {\ nabla \ rho (\ mathbf {r}) \ cdot \ nabla \ rho (\ mathbf {r})} {\ rho (\ mathbf {r})}} d ^ {3} r}

donde se conoce como la energía cinética funcional de von Weizsäcker. $$

T[ρ] {\ Displaystyle T [\ rho]}

Ver también

• Portal de energía

• Velocidad de escape
• Libra
• Joule
• Penetrador de energía cinética
• Energía cinética por unidad de masa de proyectiles
• Proyectil cinético
• Teorema del eje paralelo
• Energía potencial
• Retroceso

Notas

Referencias

• Aula de Física (2000). "Energía cinética". Consultado el 19 de julio de 2015.
• Diccionario Oxford 1998
• Escuela de Matemáticas y Estadística, Universidad de St Andrews (2000). "Biografía de Gaspard-Gustave de Coriolis (1792-1843)". Consultado el 3 de marzo de 2006.
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Física para científicos e ingenieros (6ª ed.). Brooks / Cole. ISBN   0-534-40842-7.
• Tipler, Paul (2004). Física para científicos e ingenieros: mecánica, oscilaciones y ondas, termodinámica (5ª ed.). WH Freeman. ISBN   0-7167-0809-4.
• Tipler, Paul; Llewellyn, Ralph (2002). Física moderna (4ª ed.). WH Freeman. ISBN   0-7167-4345-0.

enlaces externos

• Medios relacionados con la energía cinética en Wikimedia Commons