Mecánica lagrangiana

Parte de una serie sobre
Mecanica clasica
$$ F= D D t(metro v) {\ Displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (m {\ textbf {v}})} Segunda ley del movimiento
Historia Cronología Libros de texto
Sucursales Aplicado Celestial Continuum Dinámica Cinemática Cinética Estática Estadístico
Fundamentos Aceleración Momento angular Pareja Principio de D'Alembert Energía cinético potencial Fuerza Marco de referencia Marco de referencia inercial Impulso Inercia  / Momento de inercia Masa Potencia mecánica Trabajo mecánico Momento Impulso Espacio Velocidad Tiempo Esfuerzo de torsión Velocidad Trabajo virtual
Formulaciones Leyes del movimiento de Newton Mecánica analítica Mecánica lagrangiana Mecánica hamiltoniana Mecánica routhiana Ecuación de Hamilton-Jacobi Ecuación de movimiento de Appell Mecánica de Koopman – von Neumann
Temas centrales Relación de amortiguación Desplazamiento Ecuaciones de movimiento Leyes del movimiento de Euler Fuerza ficticia Fricción Oscilador armónico Marco de referencia inercial  / no inercial Mecánica del movimiento de partículas planas Movimiento  ( lineal ) Ley de Newton de la gravitación universal Leyes del movimiento de Newton Velocidad relativa Cuerpo rígido dinámica Ecuaciones de Euler Movimiento armónico simple Vibración
Rotación Movimiento circular Marco de referencia giratorio Fuerza centrípeta Fuerza centrífuga reactivo fuerza Coriolis Péndulo Velocidad tangencial Velocidad rotacional Aceleración angular  / desplazamiento  / frecuencia  / velocidad
Científicos Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton Poisson Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
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Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)

Introducida por el matemático y astrónomo italo-francés Joseph-Louis Lagrange en 1788 a partir de su obra Mécanique analytique, la mecánica lagrangiana es una formulación de la mecánica clásica y se basa en el principio de acción estacionaria.

La mecánica lagrangiana define un sistema mecánico como un par de un espacio de configuración y una función suave llamada lagrangiana. Por convención, donde y son la energía cinética y potencial del sistema, respectivamente. Aquí y es el vector de velocidad en es tangencial a (Para aquellos familiarizados con haces tangentes, y$$

(METRO,L) {\ Displaystyle (M, L)} $$METRO {\ Displaystyle M}$$L=L(q,v,t) {\ Displaystyle L = L (q, v, t)}$$L=T-V, {\ displaystyle L = TV,}$$T {\ Displaystyle T}$$V {\ Displaystyle V} $$q∈METRO, {\ Displaystyle q \ en M,}$$v {\ Displaystyle v}$$q {\ Displaystyle q} $$(v {\ Displaystyle (v})$$METRO). {\ Displaystyle M).} $$L:TMETRO× R t→ R, {\ Displaystyle L: TM \ times \ mathbb {R} _ {t} \ to \ mathbb {R},}$$v∈ T qMETRO). {\ Displaystyle v \ en T_ {q} M).}

Dados los instantes de tiempo y la mecánica lagrangiana postula que un camino suave describe la evolución temporal del sistema dado si y solo si es un punto estacionario de la acción funcional $$

t 1 {\ Displaystyle t_ {1}}$$ t 2, {\ Displaystyle t_ {2},}$$ X 0:[ t 1, t 2]→METRO {\ Displaystyle x_ {0}: [t_ {1}, t_ {2}] \ to M}$$ X 0 {\ Displaystyle x_ {0}}

$$ S[X] = def ∫ t 1 t 2L(X(t), X ˙(t),t)Dt. {\ Displaystyle {\ cal {S}} [x] \, {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \, \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L (x (t), {\ dot {x}} (t), t) \, dt.}

Si es un subconjunto abierto de y son finitos, entonces la trayectoria suave es un punto estacionario de si todas sus derivadas direccionales se desvanecen, es decir, para cada suave$$

METRO {\ Displaystyle M}$$ R norte {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$$ t 1, {\ Displaystyle t_ {1},} $$ t 2 {\ Displaystyle t_ {2}}$$ X 0 {\ Displaystyle x_ {0}}$$ S {\ Displaystyle {\ cal {S}}}$$ X 0 {\ Displaystyle x_ {0}}$$δ:[ t 1, t 2]→ R norte, {\ Displaystyle \ delta: [t_ {1}, t_ {2}] \ to \ mathbb {R} ^ {n},}

$$δ S  = def  D D ε | ε = 0 S [ X 0 + ε δ ]=0. {\ Displaystyle \ delta {\ cal {S}} \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ {\ frac {d} {d \ varepsilon}} {\ Biggl |} _ {\ varepsilon = 0} {\ cal {S}} \ left [x_ {0} + \ varepsilon \ delta \ right] = 0.}

La función del lado derecho se llama perturbación o desplazamiento virtual. La derivada direccional de la izquierda se conoce como variación en física y derivada de Gateaux en matemáticas. $$

δ(t) {\ Displaystyle \ delta (t)} $$δ S {\ Displaystyle \ delta {\ cal {S}}}

La mecánica de Lagrange se ha ampliado para permitir fuerzas no conservadoras.

• 1 Introducción
  • 1.1 El Lagrangiano
• 2 De la mecánica newtoniana a la lagrangiana
  • 2.1 leyes de Newton
  • 2.2 Principio de D'Alembert
  • 2.3 Ecuaciones de movimiento del principio de D'Alembert
  • 2.4 Ecuaciones de Euler-Lagrange y principio de Hamilton
  • 2.5 multiplicadores y restricciones de Lagrange
• 3 Propiedades del Lagrangiano
  • 3.1 No unicidad
  • 3.2 Invarianza bajo transformaciones puntuales
  • 3.3 Coordenadas cíclicas y momentos conservados
  • 3.4 Energía
    • 3.4.1 Definición
    • 3.4.2 Invarianza bajo transformaciones de coordenadas
    • 3.4.3 Conservación
    • 3.4.4 Energías cinética y potencial
  • 3.5 Similitud mecánica
  • 3.6 Partículas que interactúan
• 4 ejemplos
  • 4.1 Fuerza conservadora
    • 4.1.1 Coordenadas cartesianas
    • 4.1.2 Coordenadas polares en 2D y 3D
  • 4.2 Péndulo sobre soporte móvil
  • 4.3 Problema de fuerza central de dos cuerpos
  • 4.4 Electromagnetismo
• 5 Extensiones para incluir fuerzas no conservadoras
• 6 Otros contextos y formulaciones
  • 6.1 Formulaciones alternativas de la mecánica clásica
  • 6.2 Formulación del espacio de momento
  • 6.3 Derivadas superiores de coordenadas generalizadas
  • 6.4 Óptica
  • 6.5 Formulación relativista
  • 6.6 Mecánica cuántica
  • 6.7 Teoría clásica de campos
  • 6.8 Teorema de Noether
• 7 Véase también
• 8 notas al pie
• 9 notas
• 10 referencias
• 11 Lecturas adicionales
• 12 Enlaces externos

Introducción

Cordón obligado a moverse sobre un cable sin fricción. El alambre ejerce una fuerza de reacción C sobre el cordón para mantenerlo en el alambre. La fuerza de no restricción N en este caso es la gravedad. Observe que la posición inicial del cable puede provocar diferentes movimientos. Péndulo simple. Dado que la barra es rígida, la posición de la bobina está restringida de acuerdo con la ecuación f ( x, y) = 0, la fuerza de restricción C es la tensión en la barra. Nuevamente, la fuerza de no restricción N en este caso es la gravedad.

Suponga que existe una cuenta que se desliza sobre un alambre, o un péndulo simple que se balancea, etc. Si uno rastrea cada uno de los objetos masivos (cuenta, péndulo, etc.) como una partícula, calcule el movimiento de la partícula usando la mecánica newtoniana requeriría resolver la fuerza de restricción que varía en el tiempo requerida para mantener la partícula en el movimiento restringido (fuerza de reacción ejercida por el alambre sobre la cuenta, o tensión en la varilla del péndulo). Para el mismo problema usando la mecánica de Lagrange, uno mira el camino que puede tomar la partícula y elige un conjunto conveniente de coordenadas generalizadas independientes que caracterizan completamente el posible movimiento de la partícula. Esta elección elimina la necesidad de que la fuerza de restricción entre en el sistema de ecuaciones resultante. Hay menos ecuaciones ya que no se calcula directamente la influencia de la restricción sobre la partícula en un momento dado.

Para una amplia variedad de sistemas físicos, si el tamaño y la forma de un objeto masivo son insignificantes, es una simplificación útil tratarlo como una partícula puntual. Para un sistema de N partículas puntuales con masas m 1, m 2,..., m N, cada partícula tiene un vector de posición, denotado r 1, r 2,..., r N. Las coordenadas cartesianas suelen ser suficientes, por lo que r 1 = ( x 1, y 1, z 1), r 2 = ( x 2, y 2, z 2) y así sucesivamente. En el espacio tridimensional, cada vector de posición requiere tres coordenadas para definir de forma única la ubicación de un punto, por lo que hay 3 N coordenadas para definir de forma única la configuración del sistema. Todos estos son puntos específicos en el espacio para ubicar las partículas; un punto general en el espacio se escribe r = ( x, y, z). La velocidad de cada partícula es qué tan rápido se mueve la partícula a lo largo de su trayectoria de movimiento y es la derivada de su posición en el tiempo, por lo tanto

$$$$ v 1= D r 1 D t, v 2= D r 2 D t,..., v norte= D r norte D t {\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1} = {\ frac {d \ mathbf {r} _ {1}} {dt}}, \ mathbf {v} _ {2} = {\ frac {d \ mathbf {r} _ {2}} {dt}}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {N} = {\ frac {d \ mathbf {r} _ {N}} {dt}}} En la mecánica newtoniana, las ecuaciones de movimiento vienen dadas por las leyes de Newton. La segunda ley "la fuerza neta es igual a la masa por la aceleración ", $$$$∑ F=metro D 2 r D t 2 {\ Displaystyle \ sum \ mathbf {F} = m {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r}} {dt ^ {2}}}} se aplica a cada partícula. Para un sistema de N partículas en 3 dimensiones, hay 3 N ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden en las posiciones de las partículas para resolver.

El lagrangiano

En lugar de fuerzas, la mecánica de Lagrange utiliza las energías del sistema. La cantidad central de la mecánica lagrangiana es la lagrangiana, una función que resume la dinámica de todo el sistema. En general, el Lagrangiano tiene unidades de energía, pero ninguna expresión única para todos los sistemas físicos. Cualquier función que genere las ecuaciones de movimiento correctas, de acuerdo con las leyes físicas, puede tomarse como lagrangiana. No obstante, es posible construir expresiones generales para grandes clases de aplicaciones. El lagrangiano no relativista para un sistema de partículas se puede definir por

$$L=T-V {\ displaystyle L = TV}

dónde

$$T= 1 2 ∑ k = 1 norte metro k v k 2 {\ Displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} v_ {k} ^ {2}}

es la energía cinética total del sistema, igual a la suma Σ de las energías cinéticas de las partículas, y V es la energía potencial del sistema.

La energía cinética es la energía del movimiento del sistema y v k ² = v k v k es la magnitud al cuadrado de la velocidad, equivalente al producto escalar de la velocidad consigo misma. La energía cinética es función solo de las velocidades v k, no de las posiciones r k ni del tiempo t, por lo que T = T ( v 1, v 2,...).

La energía potencial del sistema refleja la energía de interacción entre las partículas, es decir, cuánta energía tendrá una partícula debido a todas las demás y otras influencias externas. Para fuerzas conservativas (por ejemplo, gravedad newtoniana ), es una función de los vectores de posición de las partículas únicamente, por lo que V = V ( r 1, r 2,...). Para aquellas fuerzas no conservadoras que pueden derivarse de un potencial apropiado (por ejemplo, potencial electromagnético ), las velocidades aparecerán también, V = V ( r 1, r 2,..., v 1, v 2,...). Si hay algún campo externo o fuerza impulsora externa que cambia con el tiempo, el potencial cambiará con el tiempo, por lo que generalmente V = V ( r 1, r 2,..., v 1, v 2,..., t).

La forma anterior de L no se sostiene en la mecánica relativista de Lagrange y debe ser reemplazada por una función consistente con la relatividad especial o general. Además, para las fuerzas disipativas otra función debe introducirse la L.

Una o más de las partículas pueden estar sujetas cada una a una o más limitaciones holonómicas ; tal restricción se describe mediante una ecuación de la forma f ( r, t) = 0. Si el número de restricciones en el sistema es C, entonces cada restricción tiene una ecuación, f 1 ( r, t) = 0, f 2 ( r, t) = 0,... f C ( r, t) = 0, cada uno de los cuales podría aplicarse a cualquiera de las partículas. Si la partícula k está sujeta a la restricción i, entonces f i ( r k, t) = 0. En cualquier instante de tiempo, las coordenadas de una partícula restringida están vinculadas entre sí y no son independientes. Las ecuaciones de restricción determinan las trayectorias permitidas por las que pueden moverse las partículas, pero no dónde están ni qué tan rápido van en cada instante. Las restricciones no holonómicas dependen de las velocidades, aceleraciones o derivadas superiores de posición de las partículas. La mecánica de Lagrange solo se puede aplicar a sistemas cuyas restricciones, si las hay, son todas holonómicas. Tres ejemplos de restricciones no holonómicas son: cuando las ecuaciones de restricción no son integrables, cuando las restricciones tienen desigualdades o con fuerzas no conservadoras complicadas como la fricción. Las restricciones no holonómicas requieren un tratamiento especial, y uno puede tener que volver a la mecánica newtoniana o utilizar otros métodos.

Si T o V o ambos dependen explícitamente del tiempo debido a restricciones que varían en el tiempo o influencias externas, el Lagrangiano L ( r 1, r 2,... v 1, v 2,... t) es explícitamente dependiente del tiempo. Si ni el potencial ni la energía cinética dependen del tiempo, entonces el Lagrangiano L ( r 1, r 2,... v 1, v 2,...) es explícitamente independiente del tiempo. En cualquier caso, el lagrangiano siempre tendrá una dependencia temporal implícita a través de las coordenadas generalizadas.

Con estas definiciones, las ecuaciones de Lagrange del primer tipo son

Ecuaciones de Lagrange (primer tipo)

$$

∂ L ∂ r k- D D t ∂ L ∂ r ˙ k+ ∑ I = 1 C λ I ∂ F I ∂ r k=0 {\ Displaystyle {\ frac {\ L parcial} {\ parcial \ mathbf {r} _ {k}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {k}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {C} \ lambda _ {i} {\ frac {\ parcial f_ { i}} {\ parcial \ mathbf {r} _ {k}}} = 0}

donde k = 1, 2,..., N etiqueta las partículas, hay un multiplicador de Lagrange λ i para cada ecuación de restricción f i, y

$$ ∂ ∂ r k≡ ( ∂ ∂ X k , ∂ ∂ y k , ∂ ∂ z k ), ∂ ∂ r ˙ k≡ ( ∂ ∂ X ˙ k , ∂ ∂ y ˙ k , ∂ ∂ z ˙ k ) {\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ mathbf {r} _ {k}}} \ equiv \ izquierda ({\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {k}}}, {\ frac { \ parcial} {\ parcial y_ {k}}}, {\ frac {\ parcial} {\ parcial z_ {k}}} \ derecha) \,, \ quad {\ frac {\ parcial} {\ parcial {\ punto {\ mathbf {r}}} _ {k}}} \ equiv \ left ({\ frac {\ parcial} {\ parcial {\ dot {x}} _ {k}}}, {\ frac {\ parcial} {\ parcial {\ punto {y}} _ {k}}}, {\ frac {\ parcial} {\ parcial {\ punto {z}} _ {k}}} \ derecha)}

son cada una de las abreviaturas de un vector de derivadas parciales ∂ / ∂ con respecto a las variables indicadas (no una derivada con respecto al vector completo). Cada overdot es una forma abreviada de una derivada de tiempo. Este procedimiento aumenta el número de ecuaciones a resolver en comparación con las leyes de Newton, de 3 N a 3 N + C, porque hay 3 N ecuaciones diferenciales de segundo orden acopladas en las coordenadas de posición y multiplicadores, más C ecuaciones de restricción. Sin embargo, cuando se resuelven junto con las coordenadas de posición de las partículas, los multiplicadores pueden proporcionar información sobre las fuerzas restrictivas. No es necesario eliminar las coordenadas resolviendo las ecuaciones de restricción.

En el Lagrangiano, las coordenadas de posición y los componentes de velocidad son todas variables independientes, y las derivadas del Lagrangiano se toman con respecto a estas por separado de acuerdo con las reglas de diferenciación habituales (por ejemplo, la derivada de L con respecto al componente de velocidad z de la partícula 2, v z 2 = d z 2 / d t, es solo eso; no es necesario utilizar reglas de cadena incómodas o derivadas totales para relacionar el componente de velocidad con la coordenada correspondiente z 2).

En cada ecuación de restricción, una coordenada es redundante porque se determina a partir de las otras coordenadas. El número de independientes, por tanto, coordenadas es n = 3 N - C. Podemos transformar cada vector de posición en un conjunto común de n coordenadas generalizadas, convenientemente escrito como una n- tupla q = ( q 1, q 2,... q n), expresando cada vector de posición, y por lo tanto las coordenadas de posición, como funciones de las coordenadas generalizadas y el tiempo,

$$ r k= r k( q,t)=( X k( q,t), y k( q,t), z k( q,t),t). {\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {k} = \ mathbf {r} _ {k} (\ mathbf {q}, t) = (x_ {k} (\ mathbf {q}, t), y_ {k } (\ mathbf {q}, t), z_ {k} (\ mathbf {q}, t), t) \,.}

El vector q es un punto en el espacio de configuración del sistema. Las derivadas en el tiempo de las coordenadas generalizadas se denominan velocidades generalizadas, y para cada partícula la transformación de su vector de velocidad, la derivada total de su posición con respecto al tiempo, es

$$ q ˙ j= D q j D t, v k= ∑ j = 1 norte ∂ r k ∂ q j q ˙ j+ ∂ r k ∂ t. {\ Displaystyle {\ dot {q}} _ {j} = {\ frac {\ mathrm {d} q_ {j}} {\ mathrm {d} t}} \,, \ quad \ mathbf {v} _ { k} = \ suma _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ parcial \ mathbf {r} _ {k}} {\ parcial q_ {j}}} {\ dot {q}} _ {j } + {\ frac {\ parcial \ mathbf {r} _ {k}} {\ parcial t}} \,.}

Dado este v k, la energía cinética en coordenadas generalizadas depende de las velocidades generalizadas, las coordenadas generalizadas y el tiempo si los vectores de posición dependen explícitamente del tiempo debido a restricciones que varían en el tiempo, por lo que T = T ( q, d q / d t, t).

Con estas definiciones, las ecuaciones de Euler-Lagrange, o las ecuaciones de Lagrange del segundo tipo

Ecuaciones de Lagrange (segundo tipo)

$$

D D t ( ∂ L ∂ q ˙ j )= ∂ L ∂ q j {\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {q}} _ {j}}} \ derecha) = {\ frac {\ parcial L} {\ parcial q_ {j}}}}

son resultados matemáticos del cálculo de variaciones, que también se pueden utilizar en mecánica. Sustituyendo en el Lagrangiano L ( q, d q / d t, t), se obtienen las ecuaciones de movimiento del sistema. El número de ecuaciones ha disminuido en comparación con la mecánica de Newton, de 3 N a n = 3 N - C acoplado ecuaciones diferenciales de segundo orden en las coordenadas generalizadas. Estas ecuaciones no incluyen fuerzas restrictivas en absoluto, solo deben tenerse en cuenta las fuerzas no restrictivas.

Aunque las ecuaciones de movimiento incluyen derivadas parciales, los resultados de las derivadas parciales siguen siendo ecuaciones diferenciales ordinarias en las coordenadas de posición de las partículas. La derivada de tiempo total denotada d / d t a menudo implica una diferenciación implícita. Ambas ecuaciones son lineales en el Lagrangiano, pero generalmente serán ecuaciones acopladas no lineales en las coordenadas.

De la mecánica newtoniana a la lagrangiana

Leyes de Newton

Isaac Newton (1642-1727)

Para simplificar, las leyes de Newton se pueden ilustrar para una partícula sin mucha pérdida de generalidad (para un sistema de N partículas, todas estas ecuaciones se aplican a cada partícula del sistema). La ecuación de movimiento para una partícula de masa m es la segunda ley de Newton de 1687, en notación vectorial moderna

$$ F=metro a, {\ Displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {a} \,,}

donde a es su aceleración y F la fuerza resultante que actúa sobre él. En tres dimensiones espaciales, este es un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden acopladas para resolver, ya que hay tres componentes en esta ecuación vectorial. Las soluciones son la posición de los vectores r de las partículas en el tiempo t, sujeto a las condiciones iniciales de r y v cuando t = 0.

Las leyes de Newton son fáciles de usar en coordenadas cartesianas, pero las coordenadas cartesianas no siempre son convenientes y para otros sistemas de coordenadas las ecuaciones de movimiento pueden complicarse. En un conjunto de coordenadas curvilíneas ξ = ( ξ ¹, ξ ², ξ ³), la ley en notación de índice tensorial es la "forma lagrangiana"

$$ F a=metro ( D 2 ξ a D t 2 + Γ a B C D ξ B D t D ξ C D t )= gramo a k ( D D t ∂ T ∂ ξ ˙ k - ∂ T ∂ ξ k ), ξ ˙ a≡ D ξ a D t, {\ Displaystyle F ^ {a} = m \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ xi ^ {a}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + \ Gamma ^ {a} {} _ {bc} {\ frac {\ mathrm {d} \ xi ^ {b}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ mathrm {d} \ xi ^ {c}} {\ mathrm {d} t}} \ right) = g ^ {ak} \ left ({\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ parcial T} {\ parcial {\ punto {\ xi}} ^ {k}}} - {\ frac {\ parcial T} {\ parcial \ xi ^ {k}}} \ derecha) \,, \ quad {\ dot {\ xi} } ^ {a} \ equiv {\ frac {\ mathrm {d} \ xi ^ {a}} {\ mathrm {d} t}} \,,}

donde F ^a es la a- ésima componente contravariante de la fuerza resultante que actúa sobre la partícula, Γ ^abc son los símbolos de Christoffel del segundo tipo,

$$T= 1 2metro gramo B C D ξ B D t D ξ C D t {\ Displaystyle T = {\ frac {1} {2}} mg_ {bc} {\ frac {\ mathrm {d} \ xi ^ {b}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ mathrm {d} \ xi ^ {c}} {\ mathrm {d} t}}}

es la energía cinética de la partícula y g bc las componentes covariantes del tensor métrico del sistema de coordenadas curvilíneas. Todos los índices a, b, c, cada uno toma los valores 1, 2, 3. Las coordenadas curvilíneas no son las mismas que las coordenadas generalizadas.

Puede parecer una complicación excesiva formular la ley de Newton de esta forma, pero hay ventajas. Los componentes de aceleración en términos de los símbolos de Christoffel se pueden evitar evaluando las derivadas de la energía cinética. Si no hay una fuerza resultante que actúe sobre la partícula, F = 0, no se acelera, sino que se mueve con velocidad constante en línea recta. Matemáticamente, las soluciones de la ecuación diferencial son geodésicas, las curvas de longitud extrema entre dos puntos en el espacio (estas pueden terminar siendo mínimas por lo que los caminos más cortos, pero eso no es necesario). En el espacio real plano 3D, las geodésicas son simplemente líneas rectas. Entonces, para una partícula libre, la segunda ley de Newton coincide con la ecuación geodésica, y establece que las partículas libres siguen las geodésicas, las trayectorias extremas por las que puede moverse. Si la partícula está sujeta a fuerzas, F ≠ 0, la partícula se acelera debido a las fuerzas que actúan sobre ella y se desvía de las geodésicas que seguiría si estuviera libre. Con complementos adecuados a las cantidades que se dan aquí en un espacio plano en 3D a 4D curvan el espacio-tiempo, la forma anterior de la ley de Newton también se traslada a Einstein 's la relatividad general, en la que las partículas de caso libre siguen geodésicas en el espacio-tiempo curvado que ya no son "líneas rectas "en el sentido ordinario.

Sin embargo, todavía necesitamos conocer la fuerza resultante total F que actúa sobre la partícula, que a su vez requiere la fuerza resultante no restrictiva N más la fuerza restrictiva resultante C,

$$ F= C+ norte. {\ Displaystyle \ mathbf {F} = \ mathbf {C} + \ mathbf {N} \,.}

Las fuerzas de restricción pueden ser complicadas, ya que generalmente dependerán del tiempo. Además, si hay restricciones, las coordenadas curvilíneas no son independientes sino que están relacionadas por una o más ecuaciones de restricción.

Las fuerzas de restricción pueden eliminarse de las ecuaciones de movimiento para que solo queden las fuerzas no restrictivas, o pueden incluirse al incluir las ecuaciones de restricción en las ecuaciones de movimiento.

Principio de D'Alembert

Jean d'Alembert (1717-1783) Un grado de libertad. Dos grados de libertad. Fuerza de restricción C y desplazamiento virtual δ r para una partícula de masa m confinada a una curva. La fuerza no restricción resultante es N.

Un resultado fundamental en la mecánica analítica es el principio de D'Alembert, introducido en 1708 por Jacques Bernoulli para comprender el equilibrio estático y desarrollado por D'Alembert en 1743 para resolver problemas dinámicos. El principio afirma que para N partículas el trabajo virtual, es decir, el trabajo a lo largo de un desplazamiento virtual, δ r k, es cero

$$ ∑ k = 1 norte( norte k+ C k- metro k a k)⋅δ r k=0. {\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} (\ mathbf {N} _ {k} + \ mathbf {C} _ {k} -m_ {k} \ mathbf {a} _ {k}) \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {k} = 0 \,.}

Los desplazamientos virtuales, δ r k, son por definición cambios infinitesimales en la configuración del sistema consistentes con las fuerzas de restricción que actúan sobre el sistema en un instante de tiempo, es decir, de tal manera que las fuerzas de restricción mantienen el movimiento restringido. No son los mismos que los desplazamientos reales en el sistema, que son causados ​​por las fuerzas de restricción y no restricción resultantes que actúan sobre la partícula para acelerarla y moverla. El trabajo virtual es el trabajo realizado a lo largo de un desplazamiento virtual para cualquier fuerza (restricción o no restricción).

Dado que las fuerzas de restricción actúan perpendicularmente al movimiento de cada partícula en el sistema para mantener las restricciones, el trabajo virtual total de las fuerzas de restricción que actúan sobre el sistema es cero;

$$ ∑ k = 1 norte C k⋅δ r k=0, {\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {C} _ {k} \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {k} = 0 \,,}

así que eso

$$ ∑ k = 1 norte( norte k- metro k a k)⋅δ r k=0. {\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} (\ mathbf {N} _ {k} -m_ {k} \ mathbf {a} _ {k}) \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {k} = 0 \,.}

Por tanto, el principio de D'Alembert nos permite concentrarnos únicamente en las fuerzas no restrictivas aplicadas y excluir las fuerzas restrictivas en las ecuaciones de movimiento. La forma que se muestra también es independiente de la elección de coordenadas. Sin embargo, no se puede usar fácilmente para establecer las ecuaciones de movimiento en un sistema de coordenadas arbitrario, ya que los desplazamientos δ r k podrían estar conectados por una ecuación de restricción, lo que nos impide establecer los N sumandos individuales en 0. Por lo tanto, buscaremos un sistema de coordenadas mutuamente independientes para el cual la suma total será 0 si y solo si los sumandos individuales son 0. Establecer cada uno de los sumandos en 0 eventualmente nos dará nuestras ecuaciones de movimiento separadas.

Ecuaciones de movimiento del principio de D'Alembert

Si hay restricciones en la partícula k, entonces dado que las coordenadas de la posición r k = ( x k, y k, z k) están unidas por una ecuación de restricción, también lo están las de los desplazamientos virtuales δ r k = ( δx k, δy k, δz k). Dado que las coordenadas generalizadas son independientes, podemos evitar las complicaciones con δ r k convirtiendo a los desplazamientos virtuales en las coordenadas generalizadas. Estos están relacionados de la misma forma que un diferencial total,

$$δ r k= ∑ j = 1 norte ∂ r k ∂ q jδ q j. {\ Displaystyle \ delta \ mathbf {r} _ {k} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ parcial \ mathbf {r} _ {k}} {\ parcial q_ {j} }} \ delta q_ {j} \,.}

No existe una derivada parcial del tiempo con respecto al tiempo multiplicado por un incremento de tiempo, ya que este es un desplazamiento virtual, uno a lo largo de las restricciones en un instante de tiempo.

El primer término en el principio de D'Alembert anterior es el trabajo virtual realizado por las fuerzas no restrictivas N k a lo largo de los desplazamientos virtuales δ r k, y puede convertirse sin pérdida de generalidad en los análogos generalizados mediante la definición de fuerzas generalizadas.

$$ Q j= ∑ k = 1 norte norte k⋅ ∂ r k ∂ q j, {\ Displaystyle Q_ {j} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {N} _ {k} \ cdot {\ frac {\ parcial \ mathbf {r} _ {k}} {\ parcial q_ {j}}} \,,}

así que eso

$$ ∑ k = 1 norte norte k⋅δ r k= ∑ k = 1 norte norte k⋅ ∑ j = 1 norte ∂ r k ∂ q jδ q j= ∑ j = 1 norte Q jδ q j. {\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {N} _ {k} \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {k} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {N} _ {k} \ cdot \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ parcial \ mathbf {r} _ {k}} {\ parcial q_ {j}}} \ delta q_ {j} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} Q_ {j} \ delta q_ {j} \,.}

Esta es la mitad de la conversión a coordenadas generalizadas. Queda por convertir el término de aceleración en coordenadas generalizadas, lo que no es inmediatamente obvio. Recordando la forma de Lagrange de la segunda ley de Newton, se puede encontrar que las derivadas parciales de la energía cinética con respecto a las coordenadas y velocidades generalizadas dan el resultado deseado;

$$ ∑ k = 1 norte metro k a k⋅ ∂ r k ∂ q j= D D t ∂ T ∂ q ˙ j- ∂ T ∂ q j. {\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ mathbf {a} _ {k} \ cdot {\ frac {\ parcial \ mathbf {r} _ {k}} {\ parcial q_ {j}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ parcial T} {\ parcial {\ dot {q}} _ {j}}} - {\ frac {\ parcial T} {\ parcial q_ {j}}} \,.}

Ahora bien, el principio de D'Alembert está en las coordenadas generalizadas según sea necesario,

$$ ∑ j = 1 norte [ Q j - ( D D t ∂ T ∂ q ˙ j - ∂ T ∂ q j ) ]δ q j=0, {\ Displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left [Q_ {j} - \ left ({\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ parcial T} {\ parcial {\ punto {q}} _ {j}}} - {\ frac {\ parcial T} {\ parcial q_ {j}}} \ derecha) \ derecha] \ delta q_ {j} = 0 \,,}

y dado que estos desplazamientos virtuales δq j son independientes y distintos de cero, los coeficientes pueden equipararse a cero, lo que da como resultado las ecuaciones de Lagrange o las ecuaciones generalizadas de movimiento,

$$ Q j= D D t ∂ T ∂ q ˙ j- ∂ T ∂ q j {\ Displaystyle Q_ {j} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ parcial T} {\ parcial {\ dot {q}} _ {j}} } - {\ frac {\ parcial T} {\ parcial q_ {j}}}}

Estas ecuaciones son equivalentes a las leyes de Newton para las fuerzas no restrictivas. Las fuerzas generalizadas en esta ecuación se derivan únicamente de las fuerzas no restrictivas; las fuerzas restrictivas se han excluido del principio de D'Alembert y no es necesario encontrarlas. Las fuerzas generalizadas pueden ser no conservadoras, siempre que satisfagan el principio de D'Alembert.

Ecuaciones de Euler-Lagrange y principio de Hamilton

A medida que el sistema evoluciona, q traza un camino a través del espacio de configuración (solo se muestran algunos). El camino recorrido por el sistema (rojo) tiene una acción estacionaria (δ S = 0) ante pequeños cambios en la configuración del sistema (δ q).

Para una fuerza no conservadora que depende de la velocidad, puede ser posible encontrar una función de energía potencial V que dependa de posiciones y velocidades. Si las fuerzas generalizadas Q i pueden derivarse de un potencial V tal que

$$ Q j= D D t ∂ V ∂ q ˙ j- ∂ V ∂ q j, {\ Displaystyle Q_ {j} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ parcial V} {\ parcial {\ dot {q}} _ {j}} } - {\ frac {\ parcial V} {\ parcial q_ {j}}} \,,}

igualando las ecuaciones de Lagrange y definiendo el Lagrange como L = T - V obtiene las ecuaciones de Lagrange del segundo tipo o las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange

$$ ∂ L ∂ q j- D D t ∂ L ∂ q ˙ j=0. {\ Displaystyle {\ frac {\ parcial L} {\ parcial q_ {j}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {q}} _ {j}}} = 0 \,.}

Sin embargo, las ecuaciones de Euler-Lagrange solo pueden dar cuenta de fuerzas no conservadoras si se puede encontrar un potencial como se muestra. Esto puede no ser siempre posible para fuerzas no conservadoras, y las ecuaciones de Lagrange no involucran ningún potencial, solo fuerzas generalizadas; por tanto, son más generales que las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Las ecuaciones de Euler-Lagrange también se derivan del cálculo de variaciones. La variación del Lagrangiano es

$$δL= ∑ j = 1 norte ( ∂ L ∂ q j δ q j + ∂ L ∂ q ˙ j δ q ˙ j ),δ q ˙ j≡δ D q j D t≡ D ( δ q j ) D t, {\ Displaystyle \ delta L = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {\ parcial L} {\ parcial q_ {j}}} \ delta q_ {j} + {\ frac { \ parcial L} {\ parcial {\ dot {q}} _ {j}}} \ delta {\ dot {q}} _ {j} \ right) \,, \ quad \ delta {\ dot {q}} _ {j} \ equiv \ delta {\ frac {\ mathrm {d} q_ {j}} {\ mathrm {d} t}} \ equiv {\ frac {\ mathrm {d} (\ delta q_ {j}) } {\ mathrm {d} t}} \,,}

que tiene una forma similar al diferencial total de L, pero los desplazamientos virtuales y sus derivadas temporales reemplazan a los diferenciales, y no hay incremento temporal de acuerdo con la definición de los desplazamientos virtuales. Una integración por partes con respecto al tiempo puede transferir la derivada del tiempo de δq j al ∂ L / ∂ (d q j / d t), en el proceso intercambiando d ( δq j) / d t por δq j, permitiendo el independiente Desplazamientos virtuales que se factorizarán a partir de las derivadas del Lagrangiano,

$$ ∫ t 1 t 2δL Dt= ∫ t 1 t 2 ∑ j = 1 norte ( ∂ L ∂ q j δ q j + D D t ( ∂ L ∂ q ˙ j δ q j ) - D D t ∂ L ∂ q ˙ j δ q j ) Dt= ∑ j = 1 norte [ ∂ L ∂ q ˙ j δ q j ] t 1 t 2+ ∫ t 1 t 2 ∑ j = 1 norte ( ∂ L ∂ q j - D D t ∂ L ∂ q ˙ j )δ q j Dt. {\ Displaystyle \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ delta L \, \ mathrm {d} t = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ izquierda ({\ frac {\ parcial L} {\ parcial q_ {j}}} \ delta q_ {j} + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm { d} t}} \ izquierda ({\ frac {\ L parcial} {\ parcial {\ punto {q}} _ {j}}} \ delta q_ {j} \ derecha) - {\ frac {\ mathrm {d }} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {q}} _ {j}}} \ delta q_ {j} \ derecha) \, \ mathrm {d } t \, = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left [{\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {q}} _ {j}}} \ delta q_ {j} \ right] _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} + \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left ({ \ frac {\ L parcial} {\ parcial q_ {j}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ punto {q}} _ {j}}} \ derecha) \ delta q_ {j} \, \ mathrm {d} t \,.}

Ahora, si la condición δq j ( t 1) = δq j ( t 2) = 0 se cumple para todo j, los términos no integrados son cero. Si además la integral de tiempo completa de δL es cero, entonces debido a que δq j son independientes, y la única forma de que una integral definida sea cero es si el integrando es igual a cero, cada uno de los coeficientes de δq j también debe ser cero. Entonces obtenemos las ecuaciones de movimiento. Esto se puede resumir en el principio de Hamilton ;

$$ ∫ t 1 t 2δL Dt=0. {\ Displaystyle \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ delta L \, \ mathrm {d} t = 0 \,.}

La integral de tiempo del Lagrangiano es otra cantidad llamada acción, definida como

$$S= ∫ t 1 t 2L Dt, {\ Displaystyle S = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L \, \ mathrm {d} t \,,}

que es funcional ; toma la función lagrangiana para todos los tiempos entre t 1 y t 2 y devuelve un valor escalar. Sus dimensiones son las mismas que [ momento angular ], [energía] [tiempo] o [longitud] [momento]. Con esta definición, el principio de Hamilton es

$$δS=0. {\ Displaystyle \ delta S = 0 \,.}

Por lo tanto, en lugar de pensar en las partículas que se aceleran en respuesta a las fuerzas aplicadas, se podría pensar en ellas seleccionando el camino con una acción estacionaria, con los puntos finales del camino en el espacio de configuración mantenidos fijos en los tiempos inicial y final. El principio de Hamilton a veces se conoce como el principio de acción mínima, sin embargo, la acción funcional solo necesita ser estacionaria, no necesariamente un valor máximo o mínimo. Cualquier variación de lo funcional da un aumento de la integral funcional de la acción.

Históricamente, la idea de encontrar el camino más corto que puede seguir una partícula sujeta a una fuerza motivó las primeras aplicaciones del cálculo de variaciones a problemas mecánicos, como el problema de Brachistochrone resuelto por Jean Bernoulli en 1696, así como Leibniz, Daniel Bernoulli, L'Hôpital aproximadamente al mismo tiempo y Newton al año siguiente. El propio Newton pensaba en la línea del cálculo variacional, pero no lo publicó. Estas ideas, a su vez, conducen a los principios variacionales de la mecánica de Fermat, Maupertuis, Euler, Hamilton y otros.

El principio de Hamilton se puede aplicar a restricciones no holonómicas si las ecuaciones de restricción se pueden poner en una determinada forma, una combinación lineal de diferenciales de primer orden en las coordenadas. La ecuación de restricción resultante se puede reorganizar en una ecuación diferencial de primer orden. Esto no se dará aquí.

Multiplicadores y restricciones de Lagrange

La L lagrangiana se puede variar en las coordenadas cartesianas r k, para N partículas,

$$ ∫ t 1 t 2 ∑ k = 1 norte ( ∂ L ∂ r k - D D t ∂ L ∂ r ˙ k )⋅δ r k Dt=0. {\ Displaystyle \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ left ({\ frac {\ parcial L} {\ parcial \ mathbf {r} _ {k}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {\ mathbf {r}}} _ { k}}} \ derecha) \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {k} \, \ mathrm {d} t = 0 \,.}

El principio de Hamilton sigue siendo válido incluso si las coordenadas en las que se expresa L no son independientes, aquí r k, pero todavía se supone que las restricciones son holonómicas. Como siempre, los puntos finales son fijos δ r k ( t 1) = δ r k ( t 2) = 0 para todo k. Lo que no se puede hacer es simplemente igualar los coeficientes de δ r k a cero porque δ r k no son independientes. En su lugar, se puede utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para incluir las restricciones. Multiplicando cada ecuación de restricción f i ( r k, t) = 0 por un multiplicador de Lagrange λ i para i = 1, 2,..., C, y sumando los resultados al Lagrangiano original, se obtiene el nuevo Lagrange

$$ L ′=L( r 1, r 2,..., r ˙ 1, r ˙ 2,...,t)+ ∑ I = 1 C λ I(t) F I( r k,t). {\ Displaystyle L '= L (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {r} _ {2}, \ ldots, {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {1}, {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {2}, \ ldots, t) + \ sum _ {i = 1} ^ {C} \ lambda _ {i} (t) f_ {i} (\ mathbf {r} _ {k}, t) \,.}

Los multiplicadores de Lagrange son funciones arbitrarias del tiempo t, pero no funciones de las coordenadas r k, por lo que los multiplicadores están en pie de igualdad con las coordenadas de posición. Variando este nuevo lagrangiano e integrándolo con respecto al tiempo da

$$ ∫ t 1 t 2δ L ′ Dt= ∫ t 1 t 2 ∑ k = 1 norte ( ∂ L ∂ r k - D D t ∂ L ∂ r ˙ k + ∑ I = 1 C λ I ∂ F I ∂ r k )⋅δ r k Dt=0. {\ Displaystyle \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ delta L '\ mathrm {d} t = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ sum _ { k = 1} ^ {N} \ izquierda ({\ frac {\ parcial L} {\ parcial \ mathbf {r} _ {k}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {k}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {C} \ lambda _ {i} {\ frac {\ parcial f_ {i}} {\ parcial \ mathbf {r} _ {k}}} \ derecha) \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {k} \, \ mathrm {d} t = 0 \,.}

Los multiplicadores introducidos se pueden encontrar de modo que los coeficientes de δ r k sean cero, aunque r k no sean independientes. Siguen las ecuaciones de movimiento. Del análisis anterior, obtener la solución de esta integral es equivalente al enunciado

$$ ∂ L ′ ∂ r k- D D t ∂ L ′ ∂ r ˙ k=0⇒ ∂ L ∂ r k- D D t ∂ L ∂ r ˙ k+ ∑ I = 1 C λ I ∂ F I ∂ r k=0, {\ Displaystyle {\ frac {\ parcial L '} {\ parcial \ mathbf {r} _ {k}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac { \ L 'parcial'} {\ L parcial {\ punto {\ mathbf {r}}} _ {k}}} = 0 \ quad \ Flecha derecha \ quad {\ frac {\ L parcial} {\ parcial \ mathbf {r} _ {k}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {k }}} + \ sum _ {i = 1} ^ {C} \ lambda _ {i} {\ frac {\ parcial f_ {i}} {\ parcial \ mathbf {r} _ {k}}} = 0 \,,}

que son las ecuaciones de Lagrange del primer tipo. Además, las ecuaciones de λ i Euler-Lagrange para el nuevo Lagrange devuelven las ecuaciones de restricción

$$ ∂ L ′ ∂ λ I- D D t ∂ L ′ ∂ λ ˙ I=0⇒ F I( r k,t)=0. {\ Displaystyle {\ frac {\ L parcial '} {\ parcial \ lambda _ {i}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ L parcial '} {\ parcial {\ dot {\ lambda}} _ {i}}} = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad f_ {i} (\ mathbf {r} _ {k}, t) = 0 \,.}

Para el caso de una fuerza conservadora dada por el gradiente de alguna energía potencial V, una función de las coordenadas r k solamente, sustituyendo el Lagrangiano L = T - V da

$$ ∂ T ∂ r k - D D t ∂ T ∂ r ˙ k ⏟ - F k+ - ∂ V ∂ r k ⏟ norte k+ ∑ I = 1 C λ I ∂ F I ∂ r k=0, {\ Displaystyle \ underbrace {{\ frac {\ parcial T} {\ parcial \ mathbf {r} _ {k}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ parcial T} {\ parcial {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {k}}}} _ {- \ mathbf {F} _ {k}} + \ underbrace {- {\ frac {\ parcial V} {\ parcial \ mathbf {r} _ {k}}}} _ {\ mathbf {N} _ {k}} + \ sum _ {i = 1} ^ {C} \ lambda _ {i} { \ frac {\ parcial f_ {i}} {\ parcial \ mathbf {r} _ {k}}} = 0 \,,}

e identificando las derivadas de la energía cinética como la (negativa de la) fuerza resultante, y las derivadas del potencial igualando la fuerza sin restricción, se deduce que las fuerzas de restricción son

$$ C k= ∑ I = 1 C λ I ∂ F I ∂ r k, {\ Displaystyle \ mathbf {C} _ {k} = \ sum _ {i = 1} ^ {C} \ lambda _ {i} {\ frac {\ parcial f_ {i}} {\ parcial \ mathbf {r} _ {k}}} \,,}

dando así las fuerzas de restricción explícitamente en términos de las ecuaciones de restricción y los multiplicadores de Lagrange.

Propiedades del Lagrangiano

No unicidad

El lagrangiano de un sistema dado no es único. Una función de Lagrange L puede ser multiplicado por una constante diferente de cero una, una constante arbitraria b puede ser añadido, y la nueva función de Lagrange aL + b describirá exactamente el mismo movimiento que L. Si, además, nos restringimos, como hicimos anteriormente, a trayectorias confinadas en un intervalo de tiempo dado y que tienen sus puntos finales y fijos, entonces dos lagrangianos que describen el mismo sistema pueden diferir por la "derivada del tiempo total" de una función, es decir $$

q {\ Displaystyle \ mathbf {q}}$$[ t S t, t aleta] {\ Displaystyle [t _ {\ text {st}}, t _ {\ text {fin}}]}$$ PAG S t= q( t S t) {\ Displaystyle P _ {\ text {st}} = \ mathbf {q} (t _ {\ text {st}})}$$ PAG aleta= q( t aleta) {\ Displaystyle P _ {\ text {fin}} = \ mathbf {q} (t _ {\ text {fin}})}$$F( q,t) {\ Displaystyle f (\ mathbf {q}, t)}

$$ L ′( q, q ˙,t)=L( q, q ˙,t)+ D F ( q , t ) D t, {\ Displaystyle L '(\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}, t) = L (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}, t) + {\ frac {\ mathrm {d} f (\ mathbf {q}, t)} {\ mathrm {d} t}},}

donde hay una mano corta para$$

D F ( q , t ) D t {\ Displaystyle \ textstyle {\ frac {\ mathrm {d} f (\ mathbf {q}, t)} {\ mathrm {d} t}}}$$ ∂ F ( q , t ) ∂ t+ ∑ I ∂ F ( q , t ) ∂ q I q ˙ I. {\ estilo de visualización \ estilo de texto {\ frac {\ f parcial (\ mathbf {q}, t)} {\ t parcial}} + \ sum _ {i} {\ frac {\ f parcial (\ mathbf {q}, t)} {\ parcial q_ {i}}} {\ dot {q}} _ {i}.}

Ambos lagrangianos y producen las mismas ecuaciones de movimiento ya que las acciones correspondientes y están relacionadas vía $$

L {\ Displaystyle L}$$ L ′ {\ Displaystyle L '}$$S {\ Displaystyle S}$$ S ′ {\ Displaystyle S '}

$$

S ′ [ q ] = ∫ t S t t aleta L ′ ( q ( t ) , q ˙ ( t ) , t ) D t = ∫ t S t t aleta L ( q ( t ) , q ˙ ( t ) , t ) D t + ∫ t S t t aleta D F ( q ( t ) , t ) D t D t = S [ q ] + F ( PAG aleta , t aleta ) - F ( PAG S t , t S t ) , {\ Displaystyle {\ begin {alineado} S '[\ mathbf {q}] = \ int \ limits _ {t _ {\ text {st}}} ^ {t _ {\ text {fin}}} L' (\ mathbf {q} (t), {\ dot {\ mathbf {q}}} (t), t) \, dt = \ int \ limits _ {t _ {\ text {st}}} ^ {t _ {\ text { fin}}} L (\ mathbf {q} (t), {\ dot {\ mathbf {q}}} (t), t) \, dt + \ int _ {t _ {\ text {st}}} ^ { t _ {\ text {fin}}} {\ frac {\ mathrm {d} f (\ mathbf {q} (t), t)} {\ mathrm {d} t}} \, dt \\ = S [\ mathbf {q}] + f (P _ {\ text {fin}}, t _ {\ text {fin}}) - f (P _ {\ text {st}}, t _ {\ text {st}}), \ end {alineado}}}

con los dos últimos componentes e independiente de$$

F( PAG aleta, t aleta) {\ Displaystyle f (P _ {\ text {fin}}, t _ {\ text {fin}})}$$F( PAG S t, t S t) {\ Displaystyle f (P _ {\ text {st}}, t _ {\ text {st}})}$$ q. {\ Displaystyle \ mathbf {q}.}

Invarianza bajo transformaciones de puntos

Dado un conjunto de coordenadas generalizadas q, si cambiamos estas variables a un nuevo conjunto de coordenadas generalizadas s según una transformación puntual q = q ( s, t), la nueva L ′ lagrangiana es función de las nuevas coordenadas

$$L( q( s,t), q ˙( s, s ˙,t),t)= L ′( s, s ˙,t), {\ Displaystyle L (\ mathbf {q} (\ mathbf {s}, t), {\ dot {\ mathbf {q}}} (\ mathbf {s}, {\ dot {\ mathbf {s}}}, t), t) = L '(\ mathbf {s}, {\ dot {\ mathbf {s}}}, t) \,,}

y por la regla de la cadena para la diferenciación parcial, las ecuaciones de Lagrange son invariantes bajo esta transformación;

$$ D D t ∂ L ′ ∂ s ˙ I= ∂ L ′ ∂ s I. {\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ parcial L '} {\ parcial {\ dot {s}} _ {i}}} = {\ frac {\ parcial L '} {\ parcial s_ {i}}} \,.}

Esto puede simplificar las ecuaciones de movimiento.

Coordenadas cíclicas y momentos conservados

Una propiedad importante del Lagrangiano es que las cantidades conservadas se pueden leer fácilmente en él. El momento generalizado "conjugado canónicamente" a la coordenada q i se define por

$$ pag I= ∂ L ∂ q ˙ I. {\ Displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {q}} _ {i}}}.}

Si la función de Lagrange L no no depende de alguna coordenada q i, se deduce inmediatamente de las ecuaciones de Euler-Lagrange que

$$ pag ˙ I= D D t ∂ L ∂ q ˙ I= ∂ L ∂ q I=0 {\ Displaystyle {\ dot {p}} _ {i} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {q }} _ {i}}} = {\ frac {\ parcial L} {\ parcial q_ {i}}} = 0 \,}

y la integración muestra que el momento generalizado correspondiente es igual a una constante, una cantidad conservada. Este es un caso especial del teorema de Noether. Estas coordenadas se denominan "cíclicas" o "ignorables".

Por ejemplo, un sistema puede tener un Lagrangiano

$$L(r,θ, s ˙, z ˙, r ˙, θ ˙, ϕ ˙,t), {\ Displaystyle L (r, \ theta, {\ dot {s}}, {\ dot {z}}, {\ dot {r}}, {\ dot {\ theta}}, {\ dot {\ phi} }, t) \,,}

donde r y z son longitudes a lo largo de líneas rectas, s es una longitud de arco a lo largo de alguna curva y θ y φ son ángulos. Observe que z, s y φ están ausentes en el lagrangiano aunque sus velocidades no lo estén. Entonces los momentos

$$ pag z= ∂ L ∂ z ˙, pag s= ∂ L ∂ s ˙, pag ϕ= ∂ L ∂ ϕ ˙, {\ Displaystyle p_ {z} = {\ frac {\ L parcial} {\ parcial {\ punto {z}}}} \,, \ quad p_ {s} = {\ frac {\ L parcial} {\ parcial { \ dot {s}}}} \,, \ quad p _ {\ phi} = {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {\ phi}}}} \,,}

son todas cantidades conservadas. Las unidades y la naturaleza de cada momento generalizado dependerán de la coordenada correspondiente; en este caso p z es un momento de traslación en la dirección z, p s también es un momento de traslación a lo largo de la curva s se mide, y p φ es un momento angular en el plano en el que se mide el ángulo φ. Por complicado que sea el movimiento de El sistema es, todas las coordenadas y velocidades variarán de tal manera que estos momentos se conserven.

Energía

Definición

Dado un lagrangiano, la energía del sistema mecánico correspondiente es, por definición, $$

L, {\ Displaystyle L,}

$$mi= ∑ I = 1 norte q ˙ I ∂ L ∂ q ˙ I-L. {\ Displaystyle E = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ dot {q}} _ {i} {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {q}} _ {i} }} - L.}

Invarianza bajo transformaciones de coordenadas

En cada instante de tiempo, la energía es invariante bajo los cambios de coordenadas del espacio de configuración, es decir $$

t, {\ Displaystyle t,} $$ q→ Q {\ Displaystyle \ mathbf {q} \ to \ mathbf {Q}}

$$mi( q, q ˙,t)=mi( Q, Q ˙,t). {\ Displaystyle E (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}, t) = E (\ mathbf {Q}, {\ dot {\ mathbf {Q}}}, t).}

Además de este resultado, la siguiente prueba muestra que, bajo tal cambio de coordenadas, las derivadas cambian como coeficientes de forma lineal. $$

∂L /∂ q ˙ I {\ Displaystyle \ L parcial / \ parcial {\ dot {q}} _ {i}}

Prueba

Para una transformación de coordenadas tenemos $$ Q=F( q), {\ Displaystyle \ mathbf {Q} = F (\ mathbf {q}),} $$D Q= F ∗( q)D q, {\ Displaystyle d \ mathbf {Q} = F _ {*} (\ mathbf {q}) d \ mathbf {q},} ¿Dónde está el mapa tangente del espacio vectorial? $$ F ∗( q) {\ Displaystyle F _ {*} (\ mathbf {q})} $$ { ∑ I = 1 norte q ˙ I ⋅ ( ∂ / ∂ q I | q )   |   q ˙ I ∈ R } {\ Displaystyle \ left \ {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ dot {q}} _ {i} \ cdot \ left (\ parcial / \ parcial q_ {i} {\ Bigl |} _ {\ mathbf {q}} \ right) \ {\ biggl |} \ {\ dot {q}} _ {i} \ in \ mathbb {R} \ right \}} al espacio vectorial $$ { ∑ I = 1 norte Q ˙ I ⋅ ( ∂ / ∂ Q I | F ( q ) )   |   Q ˙ I ∈ R }, {\ Displaystyle \ left \ {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ dot {Q}} _ {i} \ cdot \ left (\ parcial / \ parcial Q_ {i} {\ Bigl |} _ {F (\ mathbf {q})} \ right) \ {\ biggl |} \ {\ dot {Q}} _ {i} \ in \ mathbb {R} \ right \},} y $$ F ∗( q)= (∂ F I /∂ q j | q ) I , j = 1 norte

{\ Displaystyle \ textstyle F _ {*} (\ mathbf {q}) = {\ bigl (} \ parcial F_ {i} / \ parcial q_ {j} {\ bigl |} _ {\ mathbf {q}} {\ bigr)} _ {i, j = 1} ^ {n}}

es el jacobiano. En las coordenadas y la fórmula anterior para tiene la forma Después de la diferenciación que involucra la regla del producto, $$

q ˙ I {\ Displaystyle {\ dot {q}} _ {i}}$$ Q ˙ I, {\ Displaystyle {\ dot {Q}} _ {i},}$$D Q {\ Displaystyle d \ mathbf {Q}}$$ Q ˙= F ∗( q) q ˙. {\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {Q}}} = F _ {*} (\ mathbf {q}) {\ dot {\ mathbf {q}}}.}

$$D Q ˙=GRAMO( q, q ˙)D q+ F ∗( q)D q ˙, {\ Displaystyle d {\ dot {\ mathbf {Q}}} = G (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}) d \ mathbf {q} + F _ {*} (\ mathbf {q}) d {\ dot {\ mathbf {q}}},}

dónde

$$

GRAMO ( q , q ˙ ) D q = def D ( F ∗ ( q ) ) q ˙ = ( ∑ k = 1 norte ∂ 2 F I ∂ q j ∂ q k | q D q k ) I , j = 1 norte q ˙ = ( ∑ j = 1 norte q ˙ j ∑ k = 1 norte ∂ 2 F I ∂ q j ∂ q k | q D q k ) I = 1 , ... , norte T = ( ∑ k = 1 norte D q k ∑ j = 1 norte ∂ 2 F I ∂ q j ∂ q k | q q ˙ j ) I = 1 , ... , norte T = ( ∑ j = 1 norte ∂ 2 F I ∂ q j ∂ q k | q q ˙ j ) I , k = 1 norte D q . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} G (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}) d \ mathbf {q} amp; \, {\ stackrel {\ text {def}} {= }} \, d (F _ {*} (\ mathbf {q})) {\ dot {\ mathbf {q}}} = \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {\ parcial ^ {2} F_ {i}} {\ parcial q_ {j} \ parcial q_ {k}}} {\ biggl |} _ {\ mathbf {q}} dq_ {k} \ derecha) _ {i, j = 1} ^ {n} {\ dot {\ mathbf {q}}} = \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ dot {q}} _ {j} \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {\ parcial ^ {2} F_ {i}} {\ parcial q_ {j} \ parcial q_ {k}}} {\ biggl |} _ {\ mathbf {q}} dq_ {k} \ right) _ {i = 1, \ ldots, n} ^ {T} \\ amp; = \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} dq_ {k} \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ parcial ^ {2} F_ {i}} {\ parcial q_ {j} \ parcial q_ {k}}} {\ biggl |} _ {\ mathbf {q}} {\ dot {q}} _ {j} \ right) _ {i = 1, \ ldots, n} ^ {T} = \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ parcial ^ {2} F_ {i}} {\ parcial q_ {j} \ parcial q_ {k}}} {\ biggl |} _ {\ mathbf {q}} {\ dot {q}} _ {j} \ derecha) _ {i, k = 1} ^ {n} d \ mathbf {q}. \ end {alineado}}}

En notaciones vectoriales,

$$

D L ( Q , Q ˙ , t ) = ∂ L ∂ Q D Q + ∂ L ∂ Q ˙ D Q ˙ + ∂ L ∂ t D t = ( ∂ L ∂ Q F ∗ ( q ) + ∂ L ∂ Q ˙ GRAMO ( q , q ˙ ) ) D q + ∂ L ∂ Q ˙ F ∗ ( q ) D q ˙ + ∂ L ∂ t . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} dL (\ mathbf {Q}, {\ dot {\ mathbf {Q}}}, t) amp; = {\ frac {\ parcial L} {\ parcial \ mathbf {Q}} } d \ mathbf {Q} + {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {\ mathbf {Q}}}}} d {\ dot {\ mathbf {Q}}} + {\ frac {\ parcial L} {\ parcial t}} dt \\ amp; = \ izquierda ({\ frac {\ parcial L} {\ parcial \ mathbf {Q}}} F _ {*} (\ mathbf {q}) + {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {\ mathbf {Q}}}}} G (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}) \ right) d \ mathbf {q} + {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {\ mathbf {Q}}}}} F _ {*} (\ mathbf {q}) d {\ dot {\ mathbf {q}}} + { \ frac {\ parcial L} {\ parcial t}}. \ end {alineado}}}

Por otra parte,

$$

DL( q, q ˙,t)= ∂ L ∂ qD q+ ∂ L ∂ q ˙D q ˙+ ∂ L ∂ tDt. {\ Displaystyle dL (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}, t) = {\ frac {\ parcial L} {\ parcial \ mathbf {q}}} d \ mathbf {q} + {\ frac {\ L parcial} {\ parcial {\ punto {\ mathbf {q}}}}} d {\ punto {\ mathbf {q}}} + {\ frac {\ L parcial} {\ parcial t }} dt.}

Se mencionó anteriormente que los lagrangianos no dependen de la elección de las coordenadas espaciales de configuración, es decir, una implicación de esto es que y $$

L( Q, Q ˙,t)=L( q, q ˙,t). {\ Displaystyle L (\ mathbf {Q}, {\ dot {\ mathbf {Q}}}, t) = L (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}, t).}$$DL( Q, Q ˙,t)=DL( q, q ˙,t), {\ Displaystyle dL (\ mathbf {Q}, {\ dot {\ mathbf {Q}}}, t) = dL (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}, t),}

$$ ∂ L ∂ Q ˙ F ∗( q)= ∂ L ∂ q ˙. {\ Displaystyle {\ frac {\ L parcial} {\ Parcial {\ dot {\ mathbf {Q}}}}} F _ {*} (\ mathbf {q}) = {\ frac {\ L parcial} {\ parcial {\ dot {\ mathbf {q}}}}}.}

Esto demuestra que, para cada y, es una forma lineal bien definida cuyos coeficientes son 1-tensores contravariantes. Aplicar ambos lados de la ecuación y usar la fórmula anterior para los rendimientos $$

q, {\ Displaystyle \ mathbf {q},} $$ q ˙, {\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}},}$$t, {\ Displaystyle t,} $$ ∑ I = 1 norte ∂ L ∂ q ˙ ID q ˙ I {\ estilo de visualización \ estilo de texto \ suma \ límites _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ L parcial} {\ parcial {\ punto {q}} _ {i}}} d {\ punto {q} }_{I}}$$ ∂ L ∂ q ˙ I {\ estilo de visualización \ estilo de texto {\ frac {\ L parcial} {\ parcial {\ punto {q}} _ {i}}}}$$ q ˙ {\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}}}$$ Q ˙ {\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {Q}}}}

$$ Q ˙ ∂ L ∂ Q ˙= q ˙ ∂ L ∂ q ˙. {\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {Q}}} {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {\ mathbf {Q}}}}} = {\ dot {\ mathbf {q}}} {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {\ mathbf {q}}}}}.}

Sigue la invariancia de la energía. $$

mi {\ Displaystyle E}

Conservación

En la mecánica lagrangiana, el sistema está cerrado si y solo si su lagrangiana no depende explícitamente del tiempo. La ley de conservación de energía establece que la energía de un sistema cerrado es una integral de movimiento. $$

L {\ Displaystyle L} $$mi {\ Displaystyle E}

Más precisamente, sea ​​un extremo. (En otras palabras, satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange). Tomando la derivada de tiempo total de a lo largo de este extremo y usando las ecuaciones EL conduce a $$

q= q(t) {\ Displaystyle \ mathbf {q} = \ mathbf {q} (t)}$$ q {\ Displaystyle \ mathbf {q}}$$L {\ Displaystyle L}

$$- ∂ L ∂ t | q ( t )= D D t [ mi | q ( t ) ]. {\ Displaystyle - {\ frac {\ parcial L} {\ parcial t}} {\ biggl |} _ {\ mathbf {q} (t)} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d } t}} \ left [E {\ biggl |} _ {\ mathbf {q} (t)} \ right].}

Si el lagrangiano no depende explícitamente del tiempo, entonces también lo es, de hecho, una integral de movimiento, lo que significa que $$

L {\ Displaystyle L}$$∂L /∂t=0, {\ Displaystyle \ L parcial / \ parcial t = 0,}$$mi {\ Displaystyle E}

$$mi( q(t), q ˙(t),t)= constante. {\ Displaystyle E (\ mathbf {q} (t), {\ dot {\ mathbf {q}}} (t), t) = {\ text {constante}}.}

Por tanto, la energía se conserva.

Energías cinética y potencial

También se deduce que la energía cinética es una función homogénea de grado 2 en las velocidades generalizadas. Si además el potencial V es solo una función de coordenadas e independiente de velocidades, se sigue por cálculo directo, o el uso del teorema de Euler para funciones homogéneas, que

$$ ∑ I = 1 norte q ˙ I ∂ L ∂ q ˙ I= ∑ I = 1 norte q ˙ I ∂ T ∂ q ˙ I=2T. {\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ dot {q}} _ {i} {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {q}} _ {i}}} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ punto {q}} _ {i} {\ frac {\ parcial T} {\ parcial {\ punto {q}} _ {i}}} = 2T \,.}

En todas estas circunstancias, la constante

$$mi=T+V {\ Displaystyle E = T + V}

es la energía total del sistema. Las energías cinética y potencial todavía cambian a medida que el sistema evoluciona, pero el movimiento del sistema será tal que su suma, la energía total, sea constante. Esta es una simplificación valiosa, ya que la energía E es una constante de integración que cuenta como una constante arbitraria para el problema, y ​​puede ser posible integrar las velocidades de esta relación de energía para resolver las coordenadas. En el caso de que la velocidad o la energía cinética o ambas dependan del tiempo, entonces la energía no se conserva.

Similitud mecánica

Artículo principal: similitud mecánica

Si la energía potencial es una función homogénea de las coordenadas e independiente del tiempo, y todos los vectores de posición están escalados por la misma constante distinta de cero α, r k ′ = α r k, de modo que

$$V(α r 1,α r 2,...,α r norte)= α norteV( r 1, r 2,..., r norte) {\ Displaystyle V (\ alpha \ mathbf {r} _ {1}, \ alpha \ mathbf {r} _ {2}, \ ldots, \ alpha \ mathbf {r} _ {N}) = \ alpha ^ {N } V (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {r} _ {2}, \ ldots, \ mathbf {r} _ {N})}

y el tiempo se escala por un factor β, t ′ = βt, luego las velocidades v k se escalan por un factor de α / β y la energía cinética T por ( α / β) ². Todo el Lagrangiano ha sido escalado por el mismo factor si

$$ α 2 β 2= α norte⇒β= α 1 - norte 2. {\ Displaystyle {\ frac {\ alpha ^ {2}} {\ beta ^ {2}}} = \ alpha ^ {N} \ quad \ Rightarrow \ quad \ beta = \ alpha ^ {1 - {\ frac {N } {2}}} \,.}

Dado que las longitudes y los tiempos se han escalado, las trayectorias de las partículas en el sistema siguen trayectorias geométricamente similares que difieren en tamaño. La longitud l recorrida en el tiempo t en la trayectoria original corresponde a una nueva longitud l ′ recorrida en el tiempo t ′ en la nueva trayectoria, dada por las relaciones

$$ t ′ t= ( l ′ l ) 1 - norte 2. {\ Displaystyle {\ frac {t '} {t}} = \ left ({\ frac {l'} {l}} \ right) ^ {1 - {\ frac {N} {2}}} \,. }

Partículas que interactúan

Para un sistema dado, si dos subsistemas A y B no interactúan, el Lagrangiano L del sistema general es la suma de los Lagrangianos L A y L B para los subsistemas:

$$L= L A+ L B. {\ Displaystyle L = L_ {A} + L_ {B} \,.}

Si interactúan, esto no es posible. En algunas situaciones, puede ser posible separar el Lagrangiano del sistema L en la suma de los Lagrangianos que no interactúan, más otro Lagrangiano L AB que contiene información sobre la interacción,

$$L= L A+ L B+ L A B. {\ Displaystyle L = L_ {A} + L_ {B} + L_ {AB} \,.}

Esto puede estar motivado físicamente al considerar que los lagrangianos que no interactúan son solo energías cinéticas, mientras que la interacción lagrangiana es la energía potencial total del sistema. Además, en el caso límite de interacción insignificante, L AB tiende a reducir a cero al caso de no interacción anterior.

La extensión a más de dos subsistemas que no interactúan es sencilla: el Lagrangiano general es la suma de los Lagrangianos separados para cada subsistema. Si hay interacciones, entonces se pueden agregar lagrangianos de interacción.

Ejemplos de

Los siguientes ejemplos aplican las ecuaciones de Lagrange del segundo tipo a problemas mecánicos.

Fuerza conservadora

Una partícula de masa m se mueve bajo la influencia de una fuerza conservadora derivada del gradiente ∇ de un potencial escalar,

$$ F=- ∇V( r). {\ Displaystyle \ mathbf {F} = - {\ boldsymbol {\ nabla}} V (\ mathbf {r}) \,.}

Si hay más partículas, de acuerdo con los resultados anteriores, la energía cinética total es una suma de todas las energías cinéticas de las partículas y el potencial es una función de todas las coordenadas.

Coordenadas cartesianas

El lagrangiano de la partícula se puede escribir

$$L(X,y,z, X ˙, y ˙, z ˙)= 1 2metro( X ˙ 2+ y ˙ 2+ z ˙ 2)-V(X,y,z). {\ Displaystyle L (x, y, z, {\ dot {x}}, {\ dot {y}}, {\ dot {z}}) = {\ frac {1} {2}} m ({\ punto {x}} ^ {2} + {\ punto {y}} ^ {2} + {\ punto {z}} ^ {2}) - V (x, y, z) \,.}

Las ecuaciones de movimiento de la partícula se encuentran aplicando la ecuación de Euler-Lagrange, para la coordenada x

$$ D D t ( ∂ L ∂ X ˙ )= ∂ L ∂ X, {\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ izquierda ({\ frac {\ L parcial} {\ parcial {\ punto {x}}}} \ derecha) = { \ frac {\ parcial L} {\ parcial x}} \,,}

con derivados

$$ ∂ L ∂ X=- ∂ V ∂ X, ∂ L ∂ X ˙=metro X ˙, D D t ( ∂ L ∂ X ˙ )=metro X ¨, {\ Displaystyle {\ frac {\ L parcial} {\ X parcial}} = - {\ frac {\ V parcial} {\ X parcial}} \,, \ quad {\ frac {\ L parcial} {\ Parcial { \ dot {x}}}} = m {\ dot {x}} \,, \ quad {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ punto {x}}}} \ derecha) = m {\ ddot {x}} \,,}

por eso

$$metro X ¨=- ∂ V ∂ X, {\ Displaystyle m {\ ddot {x}} = - {\ frac {\ parcial V} {\ parcial x}} \,,}

y de manera similar para las coordenadas y y z. Recopilando las ecuaciones en forma vectorial encontramos

$$metro r ¨=- ∇V {\ Displaystyle m {\ ddot {\ mathbf {r}}} = - {\ boldsymbol {\ nabla}} V}

que es la segunda ley de movimiento de Newton para una partícula sujeta a una fuerza conservadora.

Coordenadas polares en 2D y 3D

El lagrangiano para el problema anterior en coordenadas esféricas (las coordenadas polares 2D se pueden recuperar mediante el ajuste), con un potencial central, es $$

θ=π /2 {\ Displaystyle \ theta = \ pi / 2}

$$L= metro 2( r ˙ 2+ r 2 θ ˙ 2+ r 2 pecado 2⁡θ φ ˙ 2)-V(r), {\ Displaystyle L = {\ frac {m} {2}} ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r ^ {2 } \ sin ^ {2} \ theta \, {\ dot {\ varphi}} ^ {2}) - V (r) \,,}

por lo que las ecuaciones de Euler-Lagrange son

$$metro r ¨-metror( θ ˙ 2+ pecado 2⁡θ φ ˙ 2)+ ∂ V ∂ r=0, {\ Displaystyle m {\ ddot {r}} - mr ({\ dot {\ theta}} ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, {\ dot {\ varphi}} ^ {2}) + {\ frac {\ parcial V} {\ parcial r}} = 0 \,,}

$$ D D t(metro r 2 θ ˙)-metro r 2pecado⁡θporque⁡θ φ ˙ 2=0, {\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} (mr ^ {2} {\ dot {\ theta}}) - mr ^ {2} \ sin \ theta \ cos \ theta \, {\ dot {\ varphi}} ^ {2} = 0 \,,}

$$ D D t(metro r 2 pecado 2⁡θ φ ˙)=0. {\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} (mr ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \, {\ dot {\ varphi}}) = 0 \,.}

La coordenada φ es cíclica ya que no aparece en el Lagrangiano, por lo que el momento conservado en el sistema es el momento angular

$$ pag φ= ∂ L ∂ φ ˙=metro r 2 pecado 2⁡θ φ ˙, {\ Displaystyle p _ {\ varphi} = {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {\ varphi}}}} = mr ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta {\ dot {\ varphi }} \,,}

en el que r, θ y dφ / dt pueden variar con el tiempo, pero solo de tal manera que p φ sea ​​constante.

Péndulo sobre soporte móvil

Croquis de la situación con definición de coordenadas (click para agrandar)

Considere un péndulo de masa my longitud ℓ, que está unido a un soporte con masa M, que puede moverse a lo largo de una línea en la dirección x. Sea x la coordenada a lo largo de la línea del soporte, y denotemos la posición del péndulo por el ángulo θ de la vertical. Las coordenadas y componentes de velocidad de la péndulo son

$$ X pag mi norte D = X + ℓ pecado ⁡ θ ⇒ X ˙ pag mi norte D = X ˙ + ℓ θ ˙ porque ⁡ θ y pag mi norte D = - ℓ porque ⁡ θ ⇒ y ˙ pag mi norte D = ℓ θ ˙ pecado ⁡ θ . {\ Displaystyle {\ begin {array} {rll} amp; x _ {\ mathrm {pend}} = x + \ ell \ sin \ theta amp; \ quad \ Rightarrow \ quad {\ dot {x}} _ {\ mathrm {pend}} = {\ dot {x}} + \ ell {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta \\ amp; y _ {\ mathrm {pend}} = - \ ell \ cos \ theta amp; \ quad \ Rightarrow \ quad {\ punto {y}} _ {\ mathrm {pend}} = \ ell {\ punto {\ theta}} \ sin \ theta \,. \ end {matriz}}}

Las coordenadas generalizadas se pueden tomar como x y θ. La energía cinética del sistema es entonces

$$T= 1 2METRO X ˙ 2+ 1 2metro ( X ˙ pag mi norte D 2 + y ˙ pag mi norte D 2 ) {\ Displaystyle T = {\ frac {1} {2}} M {\ dot {x}} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} m \ left ({\ dot {x}} _ {\ mathrm {pend}} ^ {2} + {\ dot {y}} _ {\ mathrm {pend}} ^ {2} \ right)}

y la energía potencial es

$$V=metrogramo y pag mi norte D {\ Displaystyle V = mgy _ {\ mathrm {pend}}}

dando el lagrangiano

$$ L = T - V = 1 2 METRO X ˙ 2 + 1 2 metro [ ( X ˙ + ℓ θ ˙ porque ⁡ θ ) 2 + ( ℓ θ ˙ pecado ⁡ θ ) 2 ] + metro gramo ℓ porque ⁡ θ = 1 2 ( METRO + metro ) X ˙ 2 + metro X ˙ ℓ θ ˙ porque ⁡ θ + 1 2 metro ℓ 2 θ ˙ 2 + metro gramo ℓ porque ⁡ θ . {\ Displaystyle {\ begin {array} {rcl} L amp; = amp; T-V \\ amp; = amp; {\ frac {1} {2}} M {\ dot {x}} ^ {2} + {\ frac {1 } {2}} m \ left [\ left ({\ dot {x}} + \ ell {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta \ right) ^ {2} + \ left (\ ell {\ dot {\ theta}} \ sin \ theta \ right) ^ {2} \ right] + mg \ ell \ cos \ theta \\ amp; = amp; {\ frac {1} {2}} \ left (M + m \ right) {\ dot {x}} ^ {2} + m {\ dot {x}} \ ell {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta + {\ frac {1} {2}} m \ ell ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + mg \ ell \ cos \ theta \,. \ End {matriz}}}

Dado que x está ausente del Lagrangiano, es una coordenada cíclica. El impulso conservado es

$$ pag X= ∂ L ∂ X ˙=(METRO+metro) X ˙+metroℓ θ ˙porque⁡θ {\ Displaystyle p_ {x} = {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {x}}}} = (M + m) {\ dot {x}} + m \ ell {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta \,}

y la ecuación de Lagrange para la coordenada de soporte x es

$$(METRO+metro) X ¨+metroℓ θ ¨porque⁡θ-metroℓ θ ˙ 2pecado⁡θ=0. {\ Displaystyle (M + m) {\ ddot {x}} + m \ ell {\ ddot {\ theta}} \ cos \ theta -m \ ell {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ sin \ theta = 0 \,.}

La ecuación de Lagrange para el ángulo θ es

$$ D D t [ metro ( X ˙ ℓ porque ⁡ θ + ℓ 2 θ ˙ ) ]+metroℓ( X ˙ θ ˙+gramo)pecado⁡θ=0; {\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left [m ({\ dot {x}} \ ell \ cos \ theta + \ ell ^ {2} {\ dot {\ theta}}) \ right] + m \ ell ({\ dot {x}} {\ dot {\ theta}} + g) \ sin \ theta = 0;}

y simplificando

$$ θ ¨+ X ¨ ℓporque⁡θ+ gramo ℓpecado⁡θ=0. {\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} + {\ frac {\ ddot {x}} {\ ell}} \ cos \ theta + {\ frac {g} {\ ell}} \ sin \ theta = 0. }

Estas ecuaciones pueden parecer bastante complicadas, pero encontrarlas con las leyes de Newton habría requerido identificar cuidadosamente todas las fuerzas, lo que habría sido mucho más laborioso y propenso a errores. Al considerar los casos límite, se puede verificar la corrección de este sistema: por ejemplo, debe dar las ecuaciones de movimiento para un péndulo simple que está en reposo en algún marco inercial, mientras que debe dar las ecuaciones para un péndulo en un sistema en constante aceleración, etc. Además, es trivial obtener los resultados numéricamente, dadas las condiciones iniciales adecuadas y un intervalo de tiempo elegido, pasando por los resultados de forma iterativa. $$

X ¨→0 {\ Displaystyle {\ ddot {x}} \ to 0} $$ θ ¨→0 {\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} \ to 0}

Problema de fuerza central de dos cuerpos

Artículos principales: Problema de dos cuerpos y fuerza central

Dos cuerpos de masas m 1 y m 2 con vectores de posición r 1 y r 2 están en órbita alrededor de uno al otro debido a un atractivo potencial central V. Podemos escribir el Lagrangiano en términos de las coordenadas de posición tal como son, pero es un procedimiento establecido para convertir el problema de dos cuerpos en un problema de un cuerpo como sigue. Introduzca las coordenadas de Jacobi ; la separación de los cuerpos r = r 2 - r 1 y la ubicación del centro de masa R = ( m 1 r 1 + m 2 r 2) / ( m 1 + m 2). El lagrangiano es entonces

$$L= 1 2 METRO R ˙ 2 ⏟ L cm+ 1 2 μ r ˙ 2 - V ( | r | ) ⏟ L rel {\ Displaystyle L = \ underbrace {{\ frac {1} {2}} M {\ dot {\ mathbf {R}}} ^ {2}} _ {L _ {\ text {cm}}} + \ underbrace { {\ frac {1} {2}} \ mu {\ dot {\ mathbf {r}}} ^ {2} -V (| \ mathbf {r} |)} _ {L _ {\ text {rel}}} }

donde M = m 1 + m 2 es la masa total, μ = m 1 m 2 / ( m 1 + m 2) es la masa reducida, y V el potencial de la fuerza radial, que depende solo de la magnitud de la separación | r | = | r 2 - r 1 |. Las divisiones de Lagrange en un centro-de-masa término L cm y un movimiento relativo término L rel.

La ecuación de Euler-Lagrange para R es simplemente

$$METRO R ¨=0, {\ Displaystyle M {\ ddot {\ mathbf {R}}} = 0 \,,}

que establece que el centro de masa se mueve en línea recta a velocidad constante.

Dado que el movimiento relativo solo depende de la magnitud de la separación, es ideal utilizar coordenadas polares ( r, θ) y tomar r = | r |,

$$ L rel= 1 2μ( r ˙ 2+ r 2 θ ˙ 2)-V(r), {\ Displaystyle L _ {\ text {rel}} = {\ frac {1} {2}} \ mu ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2}) - V (r) \,,}

por lo que θ es una coordenada cíclica con el momento (angular) conservado correspondiente

$$ pag θ= ∂ L rel ∂ θ ˙=μ r 2 θ ˙=ℓ. {\ Displaystyle p _ {\ theta} = {\ frac {\ parcial L _ {\ text {rel}}} {\ parcial {\ dot {\ theta}}}} = \ mu r ^ {2} {\ dot {\ theta}} = \ ell \,.}

La coordenada radial r y la velocidad angular d θ / d t pueden variar con el tiempo, pero solo de tal manera que ℓ sea ​​constante. La ecuación de Lagrange para r es

$$μr θ ˙ 2- D V D r=μ r ¨. {\ Displaystyle \ mu r {\ dot {\ theta}} ^ {2} - {\ frac {dV} {dr}} = \ mu {\ ddot {r}} \,.}

Esta ecuación es idéntica a la ecuación radial obtenida usando las leyes de Newton en un marco de referencia co-rotativo, es decir, un marco que gira con la masa reducida por lo que parece estacionario. Eliminando la velocidad angular d θ / d t de esta ecuación radial,

$$μ r ¨=- D V D r+ ℓ 2 μ r 3. {\ Displaystyle \ mu {\ ddot {r}} = - {\ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} r}} + {\ frac {\ ell ^ {2}} {\ mu r ^ {3}}} \,.}

que es la ecuación de movimiento para un problema unidimensional en el que una partícula de masa μ está sujeta a la fuerza central hacia adentro - d V / d r y una segunda fuerza hacia afuera, llamada en este contexto la fuerza centrífuga

$$ F C F=μr θ ˙ 2= ℓ 2 μ r 3. {\ Displaystyle F _ {\ mathrm {cf}} = \ mu r {\ dot {\ theta}} ^ {2} = {\ frac {\ ell ^ {2}} {\ mu r ^ {3}}} \,.}

Por supuesto, si uno permanece completamente dentro de la formulación unidimensional, ℓ entra solo como algún parámetro impuesto de la fuerza externa hacia afuera, y su interpretación como momento angular depende del problema bidimensional más general del cual se originó el problema unidimensional..

Si se llega a esta ecuación utilizando la mecánica newtoniana en un marco co-rotativo, la interpretación es evidente como la fuerza centrífuga en ese marco debido a la rotación del marco mismo. Si uno llega a esta ecuación directamente usando las coordenadas generalizadas ( r, θ) y simplemente siguiendo la formulación lagrangiana sin pensar en los marcos, la interpretación es que la fuerza centrífuga es una consecuencia del uso de coordenadas polares. Como dice Hildebrand:

"Dado que tales cantidades no son verdaderas fuerzas físicas, a menudo se les llama fuerzas de inercia. Su presencia o ausencia depende, no del problema particular en cuestión, sino del sistema de coordenadas elegido ". En particular, si se eligen coordenadas cartesianas, la fuerza centrífuga desaparece y la formulación involucra solo la fuerza central en sí, que proporciona la fuerza centrípeta para un movimiento curvo.

Este punto de vista, de que las fuerzas ficticias se originan en la elección de coordenadas, a menudo lo expresan los usuarios del método lagrangiano. Esta visión surge naturalmente en el enfoque lagrangiano, porque el marco de referencia es (posiblemente inconscientemente) seleccionado por la elección de coordenadas. Por ejemplo, vea una comparación de lagrangianos en un marco de referencia inercial y no inercial. Véase también la discusión de las formulaciones lagrangianas "totales" y "actualizadas" en. Desafortunadamente, este uso de "fuerza inercial" entra en conflicto con la idea newtoniana de una fuerza inercial. En la visión newtoniana, una fuerza inercial se origina en la aceleración del marco de observación (el hecho de que no es un marco de referencia inercial ), no en la elección del sistema de coordenadas. Para aclarar las cosas, es más seguro referirse a las fuerzas inerciales lagrangianas como fuerzas inerciales generalizadas, para distinguirlas de las fuerzas inerciales vectoriales newtonianas. Es decir, uno debe evitar seguir a Hildebrand cuando dice (p. 155) " siempre tratamos con fuerzas generalizadas, velocidades, aceleraciones y momentos. Por brevedad, el adjetivo" generalizado "se omitirá con frecuencia".

Se sabe que el lagrangiano de un sistema no es único. Dentro del formalismo lagrangiano, las fuerzas ficticias newtonianas pueden identificarse por la existencia de lagrangianos alternativos en los que las fuerzas ficticias desaparecen, a veces encontradas explotando la simetría del sistema.

Electromagnetismo

Una partícula de prueba es una partícula cuya masa y carga se supone que son tan pequeñas que su efecto sobre el sistema externo es insignificante. A menudo es una partícula puntual simplificada hipotética sin otras propiedades que la masa y la carga. Las partículas reales como los electrones y los quarks ascendentes son más complejas y tienen términos adicionales en sus lagrangianos.

El lagrangiano para una partícula cargada con carga eléctrica q, interactuando con un campo electromagnético, es el ejemplo prototípico de un potencial dependiente de la velocidad. El potencial escalar eléctrico ϕ = ϕ ( r, t) y el potencial del vector magnético A = A ( r, t) se definen a partir del campo eléctrico E = E ( r, t) y el campo magnético B = B ( r, t) como sigue;

$$ mi=- ∇ϕ- ∂ A ∂ t, B= ∇× A. {\ Displaystyle \ mathbf {E} = - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ phi - {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}} \,, \ quad \ mathbf {B} = {\ boldsymbol {\ nabla}} \ times \ mathbf {A} \,.}

El lagrangiano de una partícula de prueba cargada masiva en un campo electromagnético

$$L= 1 2 metro r ˙ 2 + q r ˙ ⋅ A - q ϕ , {\ Displaystyle L = {\ tfrac {1} {2}} m {\ dot {\ mathbf {r}}} ^ {2} + q \, {\ dot {\ mathbf {r}}} \ cdot \ mathbf {A} -q \ phi \,,}

se llama acoplamiento mínimo. Combinado con la ecuación de Euler-Lagrange, produce la ley de fuerza de Lorentz

$$metro r ¨=q mi+q r ˙× B {\ Displaystyle m {\ ddot {\ mathbf {r}}} = q \ mathbf {E} + q {\ dot {\ mathbf {r}}} \ times \ mathbf {B}}

Transformación bajo calibre :

$$ A→ A+ ∇F,ϕ→ϕ- F ˙, {\ Displaystyle \ mathbf {A} \ rightarrow \ mathbf {A} + {\ boldsymbol {\ nabla}} f \,, \ quad \ phi \ rightarrow \ phi - {\ dot {f}} \,,}

donde f ( r, t) es cualquier función escalar de espacio y tiempo, la transformación lagrangiana antes mencionada como:

$$L→L+q ( r ˙ ⋅ ∇ + ∂ ∂ t )F=L+q D F D t, {\ Displaystyle L \ rightarrow L + q \ left ({\ dot {\ mathbf {r}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} + {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ right) f = L + q {\ frac {df} {dt}} \,,}

que todavía produce la misma ley de fuerza de Lorentz.

Tenga en cuenta que el momento canónico (conjugado a la posición r) es el momento cinético más una contribución del campo A (conocido como momento potencial):

$$ pag= ∂ L ∂ r ˙=metro r ˙+q A. {\ Displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {\ mathbf {r}}}}} = m {\ dot {\ mathbf {r}}} + q \ mathbf {A} \,.}

Esta relación también se utiliza en la prescripción de acoplamiento mínimo en mecánica cuántica y teoría cuántica de campos. A partir de esta expresión, podemos ver que el momento canónico p no es invariante de calibre y, por lo tanto, no es una cantidad física mensurable; Sin embargo, si r es cíclico (es decir, lagrangiano es independiente de la posición r), lo que sucede si los campos ϕ y A son uniformes, entonces este momento canónico p dado aquí es el momento conservado, mientras que el momento cinético físico medible m v no lo es.

Extensiones para incluir fuerzas no conservadoras

La disipación (es decir, los sistemas no conservadores) también se puede tratar con un lagrangiano eficaz formulado mediante una cierta duplicación de los grados de libertad.

En una formulación más general, las fuerzas podrían ser tanto conservadoras como viscosas. Si se puede encontrar una transformación apropiada a partir de F i, Rayleigh sugiere usar una función de disipación, D, de la siguiente forma:

$$D= 1 2 ∑ j = 1 metro ∑ k = 1 metro C j k q ˙ j q ˙ k {\ Displaystyle D = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {j = 1} ^ {m} \ sum _ {k = 1} ^ {m} C_ {jk} {\ dot {q}} _ {j} {\ dot {q}} _ {k} \,}

donde C jk son constantes que están relacionadas con los coeficientes de amortiguamiento en el sistema físico, aunque no necesariamente iguales a ellos. Si D se define de esta manera, entonces

$$ Q j=- ∂ V ∂ q j- ∂ D ∂ q ˙ j {\ Displaystyle Q_ {j} = - {\ frac {\ parcial V} {\ parcial q_ {j}}} - {\ frac {\ parcial D} {\ parcial {\ dot {q}} _ {j}} }}

y

$$ D D t ( ∂ L ∂ q ˙ j )- ∂ L ∂ q j+ ∂ D ∂ q ˙ j=0. {\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {q}} _ {j}}} \ derecha) - {\ frac {\ parcial L} {\ parcial q_ {j}}} + {\ frac {\ parcial D} {\ parcial {\ punto {q}} _ {j}}} = 0 \,. }

Otros contextos y formulaciones

Las ideas de la mecánica lagrangiana tienen numerosas aplicaciones en otras áreas de la física y pueden adoptar resultados generalizados del cálculo de variaciones.

Formulaciones alternativas de la mecánica clásica.

Una formulación estrechamente relacionada de la mecánica clásica es la mecánica hamiltoniana. El hamiltoniano se define por

$$H= ∑ I = 1 norte q ˙ I ∂ L ∂ q ˙ I-L {\ Displaystyle H = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ dot {q}} _ {i} {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {q}} _ {i} }} - L \,}

y se puede obtener realizando una transformación de Legendre en el Lagrangiano, que introduce nuevas variables conjugadas canónicamente a las variables originales. Por ejemplo, dado un conjunto de coordenadas generalizadas, las variables canónicamente conjugadas son los momentos generalizados. Esto duplica el número de variables, pero hace que las ecuaciones diferenciales sean de primer orden. El hamiltoniano es una cantidad particularmente ubicua en la mecánica cuántica (ver hamiltoniano (mecánica cuántica) ).

La mecánica routhiana es una formulación híbrida de la mecánica lagrangiana y hamiltoniana, que no se usa a menudo en la práctica, pero es una formulación eficiente para coordenadas cíclicas.

Formulación de espacio de momento

Artículo principal: Espacio de posición e impulso § Mecánica de Lagrange

Las ecuaciones de Euler-Lagrange también se pueden formular en términos de momentos generalizados en lugar de coordenadas generalizadas. Al realizar una transformación de Legendre en la coordenada lagrangiana generalizada L ( q, d q / d t, t) se obtienen los momentos lagrangianos generalizados L ′ ( p, d p / d t, t) en términos del lagrangiano original, así como el EL ecuaciones en términos de los momentos generalizados. Ambos lagrangianos contienen la misma información, y cualquiera de ellos puede usarse para resolver el movimiento del sistema. En la práctica, las coordenadas generalizadas son más convenientes de usar e interpretar que los momentos generalizados.

Derivadas superiores de coordenadas generalizadas

No hay razón para restringir las derivadas de coordenadas generalizadas solo al primer orden. Es posible derivar ecuaciones EL modificadas para un Lagrangiano que contenga derivadas de orden superior; consulte la ecuación de Euler-Lagrange para obtener más detalles.

Óptica

Artículo principal: óptica hamiltoniana

La mecánica lagrangiana se puede aplicar a la óptica geométrica, aplicando principios variacionales a los rayos de luz en un medio, y al resolver las ecuaciones EL se obtienen las ecuaciones de las trayectorias que siguen los rayos de luz.

Formulación relativista

Artículo principal: Mecánica relativista lagrangiana

La mecánica de Lagrange se puede formular en relatividad especial y relatividad general. Algunas características de la mecánica lagrangiana se conservan en las teorías relativistas, pero rápidamente aparecen dificultades en otros aspectos. En particular, las ecuaciones EL toman la misma forma, y ​​la conexión entre las coordenadas cíclicas y los momentos conservados todavía se aplica, sin embargo, el Lagrangiano debe modificarse y no es simplemente la cinética menos la energía potencial de una partícula. Además, no es sencillo manejar sistemas de múltiples partículas de una manera manifiestamente covariante, puede ser posible si se selecciona un marco de referencia particular.

Mecánica cuántica

En mecánica cuántica, la acción y la fase de la mecánica cuántica están relacionadas a través de la constante de Planck, y el principio de acción estacionaria puede entenderse en términos de interferencia constructiva de las funciones de onda.

En 1948, Feynman descubrió la fórmula integral de trayectoria que extiende el principio de mínima acción a la mecánica cuántica para electrones y fotones. En esta formulación, las partículas viajan por todos los caminos posibles entre los estados inicial y final; la probabilidad de un estado final específico se obtiene sumando todas las trayectorias posibles que conducen a él. En el régimen clásico, la formulación de la integral de trayectoria reproduce limpiamente el principio de Hamilton y el principio de Fermat en óptica.

Teoría de campo clásica

En la mecánica de Lagrange, las coordenadas generalizadas forman un conjunto discreto de variables que definen la configuración de un sistema. En la teoría de campos clásica, el sistema físico no es un conjunto de partículas discretas, sino un campo continuo ϕ ( r, t) definido sobre una región del espacio 3D. Asociado con el campo hay una densidad lagrangiana

$$ L(ϕ,∇ϕ,∂ϕ /∂t, r,t) {\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (\ phi, \ nabla \ phi, \ partial \ phi / \ partial t, \ mathbf {r}, t)}

definido en términos del campo y sus derivadas espaciales y temporales en una ubicación r y tiempo t. De manera análoga al caso de las partículas, para aplicaciones no relativistas, la densidad lagrangiana es también la densidad de energía cinética del campo, menos su densidad de energía potencial (esto no es cierto en general, y la densidad lagrangiana tiene que ser "sometida a ingeniería inversa"). El lagrangiano es entonces la integral de volumen de la densidad lagrangiana sobre el espacio 3D.

$$L(t)=∫ L D 3 r {\ Displaystyle L (t) = \ int {\ mathcal {L}} \, \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {r}}

donde d ³r es un elemento de volumen diferencial 3D. El lagrangiano es una función del tiempo, ya que la densidad lagrangiana tiene una dependencia espacial implícita a través de los campos, y puede tener una dependencia espacial explícita, pero estos se eliminan en la integral, dejando solo el tiempo como variable para el lagrangiano.

Teorema de noether

El principio de acción y el formalismo lagrangiano están estrechamente ligados al teorema de Noether, que conecta cantidades físicas conservadas con simetrías continuas de un sistema físico.

Si el lagrangiano es invariante bajo una simetría, entonces las ecuaciones de movimiento resultantes también son invariantes bajo esa simetría. Esta característica es muy útil para mostrar que las teorías son consistentes con la relatividad especial o la relatividad general.

Ver también

• Portal de astronomía

• Lema fundamental del cálculo de variaciones
• Coordenadas canónicas
• Derivado funcional
• Coordenadas generalizadas
• Mecánica hamiltoniana
• Óptica hamiltoniana
• Especificación lagrangiana y euleriana del campo de flujo
• Punto lagrangiano
• Sistema lagrangiano
• Mecánica no autónoma
• Problema restringido de tres cuerpos
• El problema de Plateau
• Problema inverso para la mecánica lagrangiana, el tema general de encontrar un lagrangiano para un sistema dadas las ecuaciones de movimiento.

Notas al pie

Notas

Referencias

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• Lagrange, JL (1815). Mécanique analytique. 2.
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Otras lecturas

• Gupta, Kiran Chandra, Mecánica clásica de partículas y cuerpos rígidos (Wiley, 1988).
• Cassel, Kevin (2013). Métodos variacionales con aplicaciones en ciencia e ingeniería. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN   978-1-107-02258-4.
• Goldstein, Herbert y col. Mecánica clásica. 3a ed., Pearson, 2002.

enlaces externos

• David Tong. "Notas de la conferencia de Cambridge sobre dinámica clásica". DAMTP. Consultado el 8 de junio de 2017.
• Principio de acción mínima interactiva Excelente explicación interactiva / página web
• Joseph Louis de Lagrange - Œuvres complètes (Gallica-Math)
• Movimiento restringido y coordenadas generalizadas, página 4