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Escala logarítmica

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Una escala logarítmica (o escala logarítmica) es una forma de mostrar datos numéricos sobre un rango muy amplio de valores de una manera compacta; por lo general, los números más grandes en los datos son cientos o incluso miles de veces más grandes que los números más pequeños. Tal escala no es lineal : los números 10 y 20, y 60 y 70, no están a la misma distancia en una escala logarítmica. Más bien, los números 10 y 100, y 60 y 600 están igualmente espaciados. Por lo tanto, mover una unidad de distancia a lo largo de la escala significa que el número se ha multiplicado por 10 (o algún otro factor fijo). A menudo, las curvas de crecimiento exponencial se muestran en una escala logarítmica; de lo contrario, aumentarían demasiado rápido para ajustarse a un gráfico pequeño. . Otra forma de pensarlo es que el número de dígitos de los datos crece a un ritmo constante. Por ejemplo, los números 10, 100, 1000 y 10000 están igualmente espaciados en una escala logarítmica, porque su número de dígitos aumenta en 1 cada vez: 2, 3, 4 y 5 dígitos. De esta manera, la suma de dos dígitos multiplica la cantidad medida en la escala logarítmica por un factor de 100.

Una escala logarítmica de 0,1 a 100 Gráfico semilogarítmico del recuento de hosts de Internet a lo largo del tiempo que se muestra en una escala logarítmica
Contenido
  • 1 Usos habituales
  • 2 Representación gráfica
    • 2.1 Gráficos logarítmicos
    • 2.2 Gráficos semilogarítmicos
    • 2.3 Extensiones
  • 3 unidades logarítmicas
    • 3.1 Ejemplos
    • 3.2 Unidades de información
    • 3.3 Unidades de nivel o diferencia de nivel
    • 3.4 Unidades de intervalo de frecuencia
    • 3.5 Tabla de ejemplos
  • 4 Ver también
    • 4.1 Escala
    • 4.2 Aplicaciones
  • 5 referencias
  • 6 Lecturas adicionales
  • 7 Enlaces externos

Usos comunes

Las marcas en las reglas de cálculo se organizan en una escala logarítmica para multiplicar o dividir números sumando o restando longitudes en las escalas.

Las dos escalas logarítmicas de una regla de cálculo

Los siguientes son ejemplos de escalas logarítmicas de uso común, donde una cantidad mayor da como resultado un valor más alto:

Mapa del sistema solar y distancia a Alpha Centauri usando una escala logarítmica.

Los siguientes son ejemplos de escalas logarítmicas de uso común, donde una cantidad mayor da como resultado un valor más bajo (o negativo):

Algunos de nuestros sentidos operan de forma logarítmica ( ley de Weber-Fechner ), lo que hace que las escalas logarítmicas para estas cantidades de entrada sean especialmente apropiadas. En particular, nuestro sentido del oído percibe proporciones iguales de frecuencias como diferencias iguales en el tono. Además, los estudios de niños pequeños en una tribu aislada han demostrado que las escalas logarítmicas son la representación de números más natural en algunas culturas.

Representación gráfica

Varias escalas: lin – lin, lin – log, log – lin y log – log. Las gráficas trazadas son: y  = 10 x ( rojo), y  =  x ( verde), y  = log e ( x) ( azul).  Artículos principales: gráfica logarítmica y semilogarítmica

El gráfico superior izquierdo es lineal en los ejes X e Y, y el eje Y varía de 0 a 10. Se utiliza una escala logarítmica de base 10 para el eje Y del gráfico inferior izquierdo, y el eje Y varía de 0,1 a 1.000.

El gráfico superior derecho usa una escala log-10 solo para el eje X, y el gráfico inferior derecho usa una escala log-10 tanto para el eje X como para el eje Y.

La presentación de datos en una escala logarítmica puede ser útil cuando los datos:

  • cubre una amplia gama de valores, ya que el uso de los logaritmos de los valores en lugar de los valores reales reduce una amplia gama a un tamaño más manejable;
  • puede contener leyes exponenciales o leyes de potencia, ya que se mostrarán como líneas rectas.

Una regla de cálculo tiene escalas logarítmicas y los nomogramas suelen emplear escalas logarítmicas. La media geométrica de dos números está a medio camino entre los números. Antes del advenimiento de los gráficos por computadora, el papel cuadriculado logarítmico era una herramienta científica de uso común.

Gráficos de registro a registro

Trazar en escala logarítmica-logarítmica de la ecuación de una línea

Si los ejes vertical y horizontal de una gráfica se escalan logarítmicamente, la gráfica se denomina gráfica logarítmica.

Gráficos semilogarítmicos

Si solo se escala logarítmicamente la ordenada o la abscisa, la gráfica se denomina gráfica semilogarítmica.

Extensiones

Se puede definir una transformación logarítmica modificada para una entrada negativa ( y lt;0) y para evitar la singularidad de una entrada cero ( y = 0) a fin de producir gráficos logarítmicos simétricos:

Y=sgn⁡(y)⋅ Iniciar sesión 10⁡(1+ |y /C |)
{\ Displaystyle Y = \ operatorname {sgn} (y) \ cdot \ log _ {10} (1+ | y ​​/ C |)}

para una constante C = 1 / ln (10).

Unidades logarítmicas

Una unidad logarítmica es una unidad que se puede utilizar para expresar una cantidad ( física o matemática) en una escala logarítmica, es decir, como proporcional al valor de una función logarítmica aplicada a la relación de la cantidad y una cantidad de referencia de la el mismo tipo. La elección de la unidad generalmente indica el tipo de cantidad y la base del logaritmo.

Ejemplos de

Ejemplos de unidades logarítmicas incluyen unidades de capacidad de almacenamiento de datos ( bit, byte ), de información y entropía de información ( nat, shannon, ban ) y de nivel de señal ( decibel, bel, neper ). Las cantidades de frecuencia logarítmica se utilizan en electrónica ( década, octava ) y para intervalos de tono musical ( octava, semitono, cent, etc.). Otras unidades de escala logarítmica incluyen el punto de escala de magnitud de Richter.

Además, varias medidas industriales son logarítmicas, como los valores estándar para resistencias, el calibre de cable estadounidense, el calibre Birmingham utilizado para cables y agujas, etc.

Unidades de información

Unidades de nivel o diferencia de nivel

Más información: Nivel (cantidad logarítmica)

Unidades de intervalo de frecuencia

Tabla de ejemplos

Unidad Base de logaritmo Cantidad subyacente Interpretación
poco 2 número de mensajes posibles cantidad de información
byte 2 8 = 256 número de mensajes posibles cantidad de información
decibel 10 (1/10) ≈ 1,259 cualquier cantidad de potencia ( potencia de sonido, por ejemplo) nivel de potencia acústica (por ejemplo)
decibel 10 (1/20) ≈ 1,122 cualquier cantidad de poder de raíz ( presión sonora, por ejemplo) nivel de presión sonora (por ejemplo)
semitono 2 (1/12) ≈ 1.059 frecuencia de sonido intervalo de tono

Las dos definiciones de un decibel son equivalentes, porque una razón de cantidades de potencia es igual al cuadrado de la razón correspondiente de cantidades de raíz-potencia.

Ver también

Escala

Aplicaciones

Referencias

Otras lecturas

enlaces externos

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