Medición en mecánica cuántica

Parte de una serie de artículos sobre
Mecánica cuántica
$$Iℏ ∂ ∂ t |ψ(t)⟩= H ^ |ψ(t)⟩ {\ Displaystyle i \ hbar {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle} Ecuación de Schrödinger
Introducción Glosario Historia
Fondo Mecanica clasica Teoría cuántica antigua Notación bra-ket Hamiltoniano Interferencia
Fundamentos Complementariedad Decoherencia Entrelazamiento Nivel de energía Medición No localidad Número cuántico Estado Superposición Simetría Tunelización Incertidumbre Función de onda  ( colapso )
Experimentos La desigualdad de Bell Davisson – Germer Doble hendidura Elitzur – Vaidman Franck – Hertz Desigualdad de Leggett-Garg Mach – Zehnder Corchete Borrador cuántico  ( opción retardada ) El gato de Schrödinger Stern – Gerlach La elección retrasada de Wheeler
Formulaciones Visión general Heisenberg Interacción Matriz Espacio de fase Schrödinger Sumas sobre historias (integral de ruta)
Ecuaciones Dirac Klein – Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Interpretaciones Visión general Bayesiano Historias consistentes Copenhague de Broglie – Bohm Conjunto Variable oculta Muchos-mundos Colapso objetivo Lógica cuántica Relacional Transaccional
Temas avanzados Mecánica cuántica relativista Teoría cuántica de campos Ciencia de la información cuántica Computación cuántica Caos cuántico Matriz de densidad Teoría de la dispersión Mecánica estadística cuántica Aprendizaje automático cuántico
Científicos Aharonov campana Blackett Bloch Bohm Bohr Nació Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordán Kramers Pauli Cordero Landó Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Viena Wigner Zeeman Zeilinger
v t mi

En física cuántica, una medida es la prueba o manipulación de un sistema físico para producir un resultado numérico. Las predicciones que hace la física cuántica son, en general, probabilísticas. Las herramientas matemáticas para hacer predicciones sobre qué resultados de medición pueden ocurrir se desarrollaron durante el siglo XX y hacen uso del álgebra lineal y el análisis funcional.

La física cuántica ha demostrado ser un éxito empírico y tiene una amplia aplicabilidad. Sin embargo, a un nivel más filosófico, continúan los debates sobre el significado del concepto de medición.

• 1 formalismo matemático
  • 1.1 "Observables" como operadores autoadjuntos
  • 1.2 Medición proyectiva
  • 1.3 Medición generalizada (POVM)
  • 1.4 Cambio de estado debido a la medición
  • 1.5 Ejemplos
• 2 Historia del concepto de medición
  • 2.1 La "vieja teoría cuántica"
  • 2.2 Transición a la "nueva" teoría cuántica
  • 2.3 De la incertidumbre a las variables no ocultas
  • 2.4 Sistemas cuánticos como dispositivos de medición
  • 2.5 Decoherencia
• 3 Información y cálculo cuánticos
  • 3.1 Medición, entropía y distinguibilidad
  • 3.2 Circuitos cuánticos
  • 3.3 Computación cuántica basada en mediciones
  • 3.4 Tomografía cuántica
  • 3.5 Metrología cuántica
• 4 Implementaciones de laboratorio
• 5 Interpretaciones de la mecánica cuántica
• 6 Véase también
• 7 notas
• 8 referencias
• 9 Lecturas adicionales

Formalismo matemático

"Observables" como operadores autoadjuntos

Artículo principal: cuantificación canónica

En mecánica cuántica, cada sistema físico está asociado con un espacio de Hilbert, cada elemento del cual es una función de onda que representa un posible estado del sistema físico. El enfoque codificado por John von Neumann representa una medición en un sistema físico por un operador autoadjunto en ese espacio de Hilbert denominado "observable". Estos observables desempeñan el papel de cantidades mensurables familiares de la física clásica: posición, momento, energía, momento angular, etc. La dimensión del espacio de Hilbert puede ser infinita, como lo es para el espacio de funciones cuadradas integrables en una línea, que se utiliza para definir la física cuántica de un grado continuo de libertad. Alternativamente, el espacio de Hilbert puede ser de dimensión finita, como ocurre con los grados de libertad de espín. Muchos tratamientos de la teoría se centran en el caso de dimensión finita, ya que las matemáticas involucradas son algo menos exigentes. De hecho, textos de física de introducción a la mecánica cuántica a menudo pasan por alto tecnicismos matemáticos que surgen para observables-continuas valorados y los espacios de Hilbert de dimensión infinita, tales como la distinción entre delimitadas y operadores no acotados ; cuestiones de convergencia (si el límite de una secuencia de elementos del espacio de Hilbert también pertenece al espacio de Hilbert), posibilidades exóticas para conjuntos de valores propios, como los conjuntos de Cantor ; Etcétera. Estos problemas pueden resolverse satisfactoriamente utilizando la teoría espectral ; el presente artículo los evitará siempre que sea posible.

Medida proyectiva

Ver también: Medida con valor de proyección

Los autovectores de un observable de von Neumann forman una base ortonormal para el espacio de Hilbert, y cada resultado posible de esa medición corresponde a uno de los vectores que componen la base. Un operador de densidad es un operador positivo-semidefinito en el espacio de Hilbert cuya traza es igual a 1. Para cada medición que se puede definir, la distribución de probabilidad sobre los resultados de esa medición se puede calcular a partir del operador de densidad. El procedimiento para hacerlo es la regla de Born, que establece que

$$PAG( X I)=tr⁡( Π Iρ), {\ Displaystyle P (x_ {i}) = \ operatorname {tr} (\ Pi _ {i} \ rho),}

donde es el operador de densidad y es el operador de proyección sobre el vector base correspondiente al resultado de la medición. El promedio de los valores propios de un observable de von Neumann, ponderado por las probabilidades de la regla de Born, es el valor esperado de ese observable. Para un observable, el valor esperado dado un estado cuántico es $$

ρ {\ Displaystyle \ rho}$$ Π I {\ Displaystyle \ Pi _ {i}} $$ X I {\ Displaystyle x_ {i}} $$A {\ Displaystyle A}$$ρ {\ Displaystyle \ rho}

$$⟨A⟩=tr⁡(Aρ). {\ Displaystyle \ langle A \ rangle = \ operatorname {tr} (A \ rho).}

Un operador de densidad que es una proyección de rango 1 se conoce como estado cuántico puro, y todos los estados cuánticos que no son puros se denominan mixtos. Los estados puros también se conocen como funciones de onda. Asignar un estado puro a un sistema cuántico implica certeza sobre el resultado de alguna medición en ese sistema (es decir, para algún resultado). Cualquier estado mixto se puede escribir como una combinación convexa de estados puros, aunque no de una manera única. El espacio de estados de un sistema cuántico es el conjunto de todos los estados, puros y mixtos, que se le pueden asignar. $$

PAG(X)=1 {\ Displaystyle P (x) = 1}$$X {\ Displaystyle x}

La regla de Born asocia una probabilidad con cada vector unitario en el espacio de Hilbert, de tal manera que estas probabilidades suman 1 para cualquier conjunto de vectores unitarios que comprendan una base ortonormal. Además, la probabilidad asociada con un vector unitario es una función del operador de densidad y del vector unitario, y no de información adicional como una elección de base para que ese vector se incruste. El teorema de Gleason establece lo contrario: todas las asignaciones de probabilidades a los vectores unitarios (o, de manera equivalente, a los operadores que se proyectan sobre ellos) que satisfacen estas condiciones toman la forma de aplicar la regla de Born a algún operador de densidad.

Medida generalizada (POVM)

Artículo principal: POVM

En el análisis funcional y la teoría de la medición cuántica, una medida valorada por un operador positivo (POVM) es una medida cuyos valores son operadores semidefinidos positivos en un espacio de Hilbert. Los POVM son una generalización de las medidas con valores de proyección (PVM) y, en consecuencia, las medidas cuánticas descritas por los POVM son una generalización de la medición cuántica descrita por los PVM. En una analogía aproximada, un POVM es para un PVM lo que un estado mixto es un estado puro. Se necesitan estados mixtos para especificar el estado de un subsistema de un sistema más grande (ver el teorema de Schrödinger-HJW ); de manera análoga, los POVM son necesarios para describir el efecto en un subsistema de una medición proyectiva realizada en un sistema más grande. Los POVM son el tipo de medición más general en mecánica cuántica y también se pueden utilizar en la teoría cuántica de campos. Se utilizan ampliamente en el campo de la información cuántica.

En el caso más simple, de un POVM con un número finito de elementos que actúan sobre un espacio de Hilbert de dimensión finita, un POVM es un conjunto de matrices positivas semidefinidas en un espacio de Hilbert que suman la matriz identidad, $$

{ F I} {\ Displaystyle \ {F_ {i} \}}$$ H {\ Displaystyle {\ mathcal {H}}}

$$ ∑ I = 1 norte F I=I. {\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} = \ operatorname {I}.}

En mecánica cuántica, el elemento POVM está asociado con el resultado de la medición, de manera que la probabilidad de obtenerlo al realizar una medición en el estado cuántico viene dada por $$

F I {\ Displaystyle F_ {i}}$$I {\ Displaystyle i} $$ρ {\ Displaystyle \ rho}

$$ Prob(I)=tr⁡(ρ F I) {\ Displaystyle {\ text {Prob}} (i) = \ operatorname {tr} (\ rho F_ {i})},

donde está el operador de rastreo. Cuando el estado cuántico que se mide es un estado puro, esta fórmula se reduce a $$

tr {\ Displaystyle \ operatorname {tr}} $$ |ψ⟩ {\ Displaystyle | \ psi \ rangle}

$$ Prob(I)=tr⁡( |ψ⟩⟨ψ | F I)=⟨ψ | F I |ψ⟩ {\ Displaystyle {\ text {Prob}} (i) = \ operatorname {tr} (| \ psi \ rangle \ langle \ psi | F_ {i}) = \ langle \ psi | F_ {i} | \ psi \ rangle }.

Cambio de estado debido a la medición

Artículo principal: operación cuántica

Una medición en un sistema cuántico generalmente provocará un cambio del estado cuántico de ese sistema. Escribir un POVM no proporciona la información completa necesaria para describir este proceso de cambio de estado. Para remediar esto, se especifica más información descomponiendo cada elemento POVM en un producto:

$$ mi I= A I † A I. {\ Displaystyle E_ {i} = A_ {i} ^ {\ dagger} A_ {i}.}

Los operadores de Kraus, llamados así por Karl Kraus, proporcionan una especificación del proceso de cambio de estado. No son necesariamente autoadjuntos, pero los productos sí lo son. Si al realizar la medición se obtiene el resultado, entonces el estado inicial se actualiza a $$

A I {\ Displaystyle A_ {i}} $$ A I † A I {\ Displaystyle A_ {i} ^ {\ dagger} A_ {i}}$$ mi I {\ Displaystyle E_ {i}}$$ρ {\ Displaystyle \ rho}

$$ρ→ ρ ′= A I ρ A I † PAG r o B ( I )= A I ρ A I † tr ⁡ ( ρ mi I ). {\ Displaystyle \ rho \ to \ rho '= {\ frac {A_ {i} \ rho A_ {i} ^ {\ dagger}} {\ mathrm {Prob} (i)}} = {\ frac {A_ {i } \ rho A_ {i} ^ {\ dagger}} {\ operatorname {tr} (\ rho E_ {i})}}.}

Un caso especial importante es la regla de Lüders, llamada así por Gerhart Lüders. Si el POVM es en sí mismo un PVM, entonces los operadores de Kraus pueden tomarse como proyectores en los espacios propios del observable de von Neumann:

$$ρ→ ρ ′= Π I ρ Π I tr ⁡ ( ρ Π I ). {\ Displaystyle \ rho \ to \ rho '= {\ frac {\ Pi _ {i} \ rho \ Pi _ {i}} {\ operatorname {tr} (\ rho \ Pi _ {i})}}.}

Si el estado inicial es puro y los proyectores tienen rango 1, se pueden escribir como proyectores en los vectores y, respectivamente. La fórmula se simplifica así a $$

ρ {\ Displaystyle \ rho}$$ Π I {\ Displaystyle \ Pi _ {i}}$$ |ψ⟩ {\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$$ |I⟩ {\ Displaystyle | i \ rangle}

$$ρ= |ψ⟩⟨ψ |→ ρ ′= | I ⟩ ⟨ I | ψ ⟩ ⟨ ψ | I ⟩ ⟨ I | | ⟨ I | ψ ⟩ | 2= |I⟩⟨I |. {\ Displaystyle \ rho = | \ psi \ rangle \ langle \ psi | \ to \ rho '= {\ frac {| i \ rangle \ langle i | \ psi \ rangle \ langle \ psi | i \ rangle \ langle i | } {| \ langle i | \ psi \ rangle | ^ {2}}} = | i \ rangle \ langle i |.}

Esto se ha conocido históricamente como la "reducción del paquete de ondas" o el " colapso de la función de onda ". El estado puro implica una predicción de probabilidad uno para cualquier observable de von Neumann que tenga como vector propio. Los textos introductorios sobre la teoría cuántica a menudo expresan esto diciendo que si una medición cuántica se repite en rápida sucesión, se producirá el mismo resultado en ambas ocasiones. Esto es una simplificación excesiva, ya que la implementación física de una medición cuántica puede implicar un proceso como la absorción de un fotón; después de la medición, el fotón no existe para volver a medirse. $$

|I⟩ {\ Displaystyle | i \ rangle}$$ |I⟩ {\ Displaystyle | i \ rangle}

Podemos definir un mapa lineal, que conserva el rastro y completamente positivo, sumando todos los posibles estados posteriores a la medición de un POVM sin la normalización:

$$ρ→ ∑ I A Iρ A I †. {\ Displaystyle \ rho \ to \ sum _ {i} A_ {i} \ rho A_ {i} ^ {\ dagger}.}

Es un ejemplo de un canal cuántico y puede interpretarse como la expresión de cómo cambia un estado cuántico si se realiza una medición pero se pierde el resultado de esa medición.

Ejemplos de

Representación de la esfera de Bloch de estados (en azul) y POVM óptimo (en rojo) para una discriminación inequívoca de estados cuánticos en los estados y. Tenga en cuenta que en la esfera de Bloch los estados ortogonales son antiparalelos.$$ |ψ⟩= |0⟩ {\ Displaystyle | \ psi \ rangle = | 0 \ rangle}$$ |φ⟩=( |0⟩+ |1⟩) / 2 {\ Displaystyle | \ varphi \ rangle = (| 0 \ rangle + | 1 \ rangle) / {\ sqrt {2}}}

El ejemplo prototípico de un espacio de Hilbert de dimensión finita es un qubit, un sistema cuántico cuyo espacio de Hilbert es bidimensional. Un estado puro para un qubit se puede escribir como una combinación lineal de dos estados de base ortogonal y con coeficientes complejos: $$

|0⟩ {\ Displaystyle | 0 \ rangle}$$ |1⟩ {\ Displaystyle | 1 \ rangle}

$$ |ψ⟩=α |0⟩+β |1⟩ {\ Displaystyle | \ psi \ rangle = \ alpha | 0 \ rangle + \ beta | 1 \ rangle}

Una medición en la base producirá un resultado con probabilidad y un resultado con probabilidad, por lo que por normalización, $$

( |0⟩, |1⟩) {\ Displaystyle (| 0 \ rangle, | 1 \ rangle)}$$ |0⟩ {\ Displaystyle | 0 \ rangle}$$ |α | 2 {\ Displaystyle | \ alpha | ^ {2}}$$ |1⟩ {\ Displaystyle | 1 \ rangle}$$ |β | 2 {\ Displaystyle | \ beta | ^ {2}}

$$ |α | 2+ |β | 2=1. {\ Displaystyle | \ alpha | ^ {2} + | \ beta | ^ {2} = 1.}

Un estado arbitrario para un qubit se puede escribir como una combinación lineal de las matrices de Pauli, que proporcionan una base para las matrices autoadjuntas: $$

2×2 {\ Displaystyle 2 \ times 2}

$$ρ= 1 2 ( I + r X σ X + r y σ y + r z σ z ) , {\ Displaystyle \ rho = {\ tfrac {1} {2}} \ left (I + r_ {x} \ sigma _ {x} + r_ {y} \ sigma _ {y} + r_ {z} \ sigma _ {z} \ derecha),}

donde los números reales son las coordenadas de un punto dentro de la bola unitaria y $$

( r X, r y, r z) {\ Displaystyle (r_ {x}, r_ {y}, r_ {z})}

$$ σ X= ( 0 1 1 0), σ y= ( 0 - I I 0), σ z= ( 1 0 0 - 1). {\ displaystyle \ sigma _ {x} = {\ begin {pmatrix} 0 amp; 1 \\ 1 amp; 0 \ end {pmatrix}}, \ quad \ sigma _ {y} = {\ begin {pmatrix} 0 amp; -i \\ i amp; 0 \ end {pmatrix}}, \ quad \ sigma _ {z} = {\ begin {pmatrix} 1 amp; 0 \\ 0 amp; -1 \ end {pmatrix}}.}

Los elementos POVM se pueden representar de la misma manera, aunque la traza de un elemento POVM no se fija en igual a 1. Las matrices de Pauli no tienen trazas y son ortogonales entre sí con respecto al producto interno de Hilbert-Schmidt, por lo que las coordenadas del estado son las valores esperados de las tres mediciones de von Neumann definidas por las matrices de Pauli. Si dicha medición se aplica a un qubit, entonces, según la regla de Lüders, el estado se actualizará al vector propio de esa matriz de Pauli correspondiente al resultado de la medición. Los vectores propios de son los estados base y, y una medición de a menudo se denomina medición en la "base computacional". Después de una medición en la base computacional, el resultado de una o medición es máximamente incierto. $$

( r X, r y, r z) {\ Displaystyle (r_ {x}, r_ {y}, r_ {z})}$$ρ {\ Displaystyle \ rho}$$ σ z {\ Displaystyle \ sigma _ {z}}$$ |0⟩ {\ Displaystyle | 0 \ rangle}$$ |1⟩ {\ Displaystyle | 1 \ rangle}$$ σ z {\ Displaystyle \ sigma _ {z}}$$ σ X {\ Displaystyle \ sigma _ {x}}$$ σ y {\ Displaystyle \ sigma _ {y}}

Un par de qubits juntos forman un sistema cuyo espacio de Hilbert es de 4 dimensiones. Una medida de von Neumann significativa en este sistema es la definida por la base de Bell, un conjunto de cuatro estados entrelazados al máximo:

$$ | Φ + ⟩ = 1 2 ( | 0 ⟩ A ⊗ | 0 ⟩ B + | 1 ⟩ A ⊗ | 1 ⟩ B ) | Φ - ⟩ = 1 2 ( | 0 ⟩ A ⊗ | 0 ⟩ B - | 1 ⟩ A ⊗ | 1 ⟩ B ) | Ψ + ⟩ = 1 2 ( | 0 ⟩ A ⊗ | 1 ⟩ B + | 1 ⟩ A ⊗ | 0 ⟩ B ) | Ψ - ⟩ = 1 2 ( | 0 ⟩ A ⊗ | 1 ⟩ B - | 1 ⟩ A ⊗ | 0 ⟩ B ) {\ Displaystyle {\ begin {alineado} | \ Phi ^ {+} \ rangle amp; = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 0 \ rangle _ {A} \ otimes | 0 \ rangle _ {B} + | 1 \ rangle _ {A} \ otimes | 1 \ rangle _ {B}) \\ | \ Phi ^ {-} \ rangle amp; = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 0 \ rangle _ {A} \ otimes | 0 \ rangle _ {B} - | 1 \ rangle _ {A} \ otimes | 1 \ rangle _ {B}) \\ | \ Psi ^ {+} \ rangle amp; = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 0 \ rangle _ {A} \ otimes | 1 \ rangle _ {B} + | 1 \ rangle _ {A} \ otimes | 0 \ rangle _ {B}) \\ | \ Psi ^ {-} \ rangle amp; = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 0 \ rangle _ {A} \ otimes | 1 \ rangle _ {B } - | 1 \ rangle _ {A} \ otimes | 0 \ rangle _ {B}) \ end {alineado}}}

Densidad de probabilidad para el resultado de una medición de posición dado el estado propio de energía de un oscilador armónico 1D.$$ PAG norte(X) {\ Displaystyle P_ {n} (x)}$$ |norte⟩ {\ Displaystyle | n \ rangle}

Un ejemplo común y útil de la mecánica cuántica aplicada a un grado continuo de libertad es el oscilador armónico cuántico. Este sistema está definido por el hamiltoniano

$$ H= pag 2 2 metro+ 1 2metro ω 2 X 2, {\ Displaystyle {H} = {\ frac {{p} ^ {2}} {2m}} + {\ frac {1} {2}} m \ omega ^ {2} {x} ^ {2},}

donde, el operador de impulso y el operador de posición son operadores autoadjuntos en el espacio de Hilbert de funciones cuadradas integrables en la línea real. Los estados propios de energía resuelven la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo : $$

H {\ Displaystyle {H}} $$ pag {\ Displaystyle {p}} $$ X {\ Displaystyle {x}}

$$ H |norte⟩= mi norte |norte⟩. {\ Displaystyle {H} | n \ rangle = E_ {n} | n \ rangle.}

Se puede demostrar que estos valores propios están dados por

$$ mi norte=ℏω ( norte + 1 2 ) , {\ Displaystyle E_ {n} = \ hbar \ omega \ left (n + {\ tfrac {1} {2}} \ right),}

y estos valores dan los posibles resultados numéricos de una medición de energía en el oscilador. El conjunto de posibles resultados de una medición de posición en un oscilador armónico es continuo, por lo que las predicciones se expresan en términos de una función de densidad de probabilidad que da la probabilidad de que el resultado de la medición se encuentre en el intervalo infinitesimal de a. $$

PAG(X) {\ Displaystyle P (x)}$$X {\ Displaystyle x}$$X+DX {\ Displaystyle x + dx}

Historia del concepto de medición

La "vieja teoría cuántica"

Artículo principal: Teoría cuántica antigua

La vieja teoría cuántica es una colección de resultados de los años 1900-1925 que son anteriores a la mecánica cuántica moderna. La teoría nunca fue completa o autoconsistente, sino más bien un conjunto de correcciones heurísticas a la mecánica clásica. La teoría ahora se entiende como una aproximación semiclásica a la mecánica cuántica moderna. Resultados notables de este período incluyen Planck 'cálculo s de la radiación del cuerpo negro espectro, Einstein ' explicación s del efecto fotoeléctrico, Einstein y Debye 'trabajo s en el calor específico de los sólidos, Bohr y van Leeuwen ' s prueba de que la física clásica no puede explicar para el diamagnetismo, el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno y la extensión de Arnold Sommerfeld del modelo de Bohr para incluir efectos relativistas.

Experimento de Stern-Gerlach: átomos de plata que viajan a través de un campo magnético no homogéneo y se desvían hacia arriba o hacia abajo según su giro; (1) horno, (2) haz de átomos de plata, (3) campo magnético no homogéneo, (4) resultado clásico esperado, (5) resultado observado

El experimento de Stern-Gerlach, propuesto en 1921 e implementado en 1922, se convirtió en un ejemplo prototípico de una medición cuántica que tiene un conjunto discreto de posibles resultados. En el experimento original, los átomos de plata se enviaron a través de un campo magnético que variaba espacialmente, que los desviaba antes de que golpearan una pantalla detectora, como un portaobjetos de vidrio. Las partículas con momento magnético distinto de cero se desvían, debido al gradiente del campo magnético, de una trayectoria recta. La pantalla revela puntos discretos de acumulación, en lugar de una distribución continua, debido a su giro cuantificado.

Transición a la "nueva" teoría cuántica

Un artículo de 1925 de Heisenberg, conocido en inglés como " Reinterpretación teórica cuántica de las relaciones cinemáticas y mecánicas ", marcó un momento crucial en la maduración de la física cuántica. Heisenberg trató de desarrollar una teoría de los fenómenos atómicos que se basara únicamente en cantidades "observables". En ese momento, y en contraste con la presentación estándar posterior de la mecánica cuántica, Heisenberg no consideró la posición de un electrón unido dentro de un átomo como "observable". En cambio, sus principales cantidades de interés fueron las frecuencias de la luz emitida o absorbida por los átomos.

El principio de incertidumbre se remonta a este período. Con frecuencia se atribuye a Heisenberg, quien introdujo el concepto al analizar un experimento mental en el que se intenta medir la posición y el impulso de un electrón simultáneamente. Sin embargo, Heisenberg no dio definiciones matemáticas precisas de lo que significaba la "incertidumbre" en estas mediciones. El enunciado matemático preciso del principio de incertidumbre de posición-momento se debe a Kennard, Pauli y Weyl, y su generalización a pares arbitrarios de observables no conmutados se debe a Robertson y Schrödinger.

Al escribir y para los operadores autoadjuntos que representan la posición y el momento, respectivamente, una desviación estándar de la posición se puede definir como $$

X {\ Displaystyle {x}}$$ pag {\ Displaystyle {p}}

$$ σ X= ⟨ X 2 ⟩ - ⟨ X ⟩ 2, {\ Displaystyle \ sigma _ {x} = {\ sqrt {\ langle {x} ^ {2} \ rangle - \ langle {x} \ rangle ^ {2}}},}

y lo mismo para el impulso:

$$ σ pag= ⟨ pag 2 ⟩ - ⟨ pag ⟩ 2. {\ Displaystyle \ sigma _ {p} = {\ sqrt {\ langle {p} ^ {2} \ rangle - \ langle {p} \ rangle ^ {2}}}.}

La relación de incertidumbre de Kennard-Pauli-Weyl es

$$ σ X σ pag≥ ℏ 2. {\ Displaystyle \ sigma _ {x} \ sigma _ {p} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}}.}

Esta desigualdad significa que ninguna preparación de una partícula cuántica puede implicar simultáneamente predicciones precisas para una medición de posición y para una medición de momento. La desigualdad de Robertson generaliza esto al caso de un par arbitrario de operadores autoadjuntos y. El conmutador de estos dos operadores es $$

A {\ Displaystyle A}$$B {\ Displaystyle B}

$$[A,B]=AB-BA, {\ Displaystyle [A, B] = AB-BA,}

y esto proporciona el límite inferior del producto de las desviaciones estándar:

$$ σ A σ B≥ | 1 2 I ⟨ [ A , B ] ⟩ |= 1 2 | ⟨ [ A , B ] ⟩ |. {\ Displaystyle \ sigma _ {A} \ sigma _ {B} \ geq \ left | {\ frac {1} {2i}} \ langle [A, B] \ rangle \ right | = {\ frac {1} { 2}} \ left | \ langle [A, B] \ rangle \ right |.}

Sustituyendo en la relación de conmutación canónica, expresión postulada por primera vez por Max Born en 1925, se recupera el enunciado Kennard-Pauli-Weyl del principio de incertidumbre. $$

[ X, pag]=Iℏ {\ Displaystyle [{x}, {p}] = i \ hbar}

De la incertidumbre a las variables no ocultas

Artículos principales: paradoja de EPR, teorema de Bell y prueba de Bell

La existencia del principio de incertidumbre plantea naturalmente la cuestión de si la mecánica cuántica puede entenderse como una aproximación a una teoría más exacta. ¿Existen " variables ocultas ", más fundamentales que las cantidades abordadas en la propia teoría cuántica, cuyo conocimiento permitiría predicciones más exactas que las que puede proporcionar la teoría cuántica? Una colección de resultados, más significativamente el teorema de Bell, ha demostrado que amplias clases de tales teorías de variables ocultas son de hecho incompatibles con la física cuántica.

Bell publicó el teorema ahora conocido por su nombre en 1964, investigando más profundamente un experimento mental propuesto originalmente en 1935 por Einstein, Podolsky y Rosen. Según el teorema de Bell, si la naturaleza realmente opera de acuerdo con cualquier teoría de variables ocultas locales, entonces los resultados de una prueba de Bell estarán restringidos de una manera particular y cuantificable. Si se realiza una prueba de Bell en un laboratorio y los resultados no están restringidos, entonces son inconsistentes con la hipótesis de que existen variables ocultas locales. Tales resultados apoyarían la posición de que no hay forma de explicar los fenómenos de la mecánica cuántica en términos de una descripción más fundamental de la naturaleza que esté más en línea con las reglas de la física clásica. Se han realizado muchos tipos de pruebas de Bell en laboratorios de física, a menudo con el objetivo de mejorar los problemas de diseño o configuración experimental que, en principio, podrían afectar la validez de los resultados de las pruebas de Bell anteriores. Esto se conoce como "cerrar lagunas en las pruebas de Bell ". Hasta la fecha, las pruebas de Bell han encontrado que la hipótesis de las variables ocultas locales es inconsistente con la forma en que se comportan los sistemas físicos.

Sistemas cuánticos como dispositivos de medición

El principio de incertidumbre de Robertson-Schrödinger establece que cuando dos observables no se conmutan, existe una compensación en la previsibilidad entre ellos. El teorema de Wigner-Araki-Yanase demuestra otra consecuencia de la no conmutatividad: la presencia de una ley de conservación limita la precisión con la que se pueden medir los observables que no conmutan con la cantidad conservada. Una mayor investigación en esta línea condujo a la formulación de la información de sesgo de Wigner-Yanase.

Históricamente, los experimentos en física cuántica se han descrito a menudo en términos semiclásicos. Por ejemplo, el giro de un átomo en un experimento de Stern-Gerlach podría tratarse como un grado cuántico de libertad, mientras que se considera que el átomo se mueve a través de un campo magnético descrito por la teoría clásica de las ecuaciones de Maxwell. Pero los dispositivos utilizados para construir el aparato experimental son en sí mismos sistemas físicos, por lo que la mecánica cuántica también debería serles aplicable. A partir de la década de 1950, Rosenfeld, von Weizsäcker y otros intentaron desarrollar condiciones de consistencia que expresaran cuándo un sistema mecánico-cuántico podía tratarse como un aparato de medición. Una propuesta para un criterio sobre cuándo un sistema utilizado como parte de un dispositivo de medición puede modelarse de forma semiclásica se basa en la función de Wigner, una distribución de cuasiprobabilidad que puede tratarse como una distribución de probabilidad en el espacio de fase en aquellos casos en los que no es negativa en todas partes..

Decoherencia

Artículo principal: decoherencia cuántica

Un estado cuántico para un sistema imperfectamente aislado generalmente evolucionará para enredarse con el estado cuántico del medio ambiente. En consecuencia, incluso si el estado inicial del sistema es puro, el estado en un momento posterior, que se encuentra tomando la traza parcial del estado conjunto sistema-entorno, será mixto. Este fenómeno de entrelazamiento producido por las interacciones sistema-entorno tiende a oscurecer las características más exóticas de la mecánica cuántica que el sistema podría, en principio, manifestar. La decoherencia cuántica, como se conoce a este efecto, se estudió por primera vez en detalle durante la década de 1970. (Investigaciones anteriores sobre cómo la física clásica podría obtenerse como un límite de la mecánica cuántica habían explorado el tema de los sistemas imperfectamente aislados, pero el papel del entrelazamiento no se apreció del todo). Una parte significativa del esfuerzo involucrado en la computación cuántica es evitar el efectos nocivos de la decoherencia.

Para ilustrar, denotemos el estado inicial del sistema, el estado inicial del ambiente y el hamiltoniano que especifica la interacción sistema-ambiente. El operador de densidad se puede diagonalizar y escribir como una combinación lineal de los proyectores en sus vectores propios: $$

ρ S {\ Displaystyle \ rho _ {S}}$$ ρ mi {\ Displaystyle \ rho _ {E}}$$H {\ Displaystyle H}$$ ρ mi {\ Displaystyle \ rho _ {E}}

$$ ρ mi= ∑ I pag I | ψ I⟩⟨ ψ I |. {\ Displaystyle \ rho _ {E} = \ sum _ {i} p_ {i} | \ psi _ {i} \ rangle \ langle \ psi _ {i} |.}

Expresando la evolución del tiempo por una duración por parte del operador unitario, el estado del sistema después de esta evolución es $$

t {\ Displaystyle t}$$U= mi - I H t / ℏ {\ Displaystyle U = e ^ {- iHt / \ hbar}}

$$ ρ S ′= t r miU [ ρ S ⊗ ( ∑ I pag I | ψ I ⟩ ⟨ ψ I | ) ] U †, {\ Displaystyle \ rho _ {S} '= {\ rm {tr}} _ {E} U \ left [\ rho _ {S} \ otimes \ left (\ sum _ {i} p_ {i} | \ psi _ {i} \ rangle \ langle \ psi _ {i} | \ right) \ right] U ^ {\ dagger},}

que evalúa a

$$ ρ S ′= ∑ I j pag I⟨ ψ j |U | ψ I⟩ ρ S pag I⟨ ψ I | U † | ψ j⟩. {\ Displaystyle \ rho _ {S} '= \ sum _ {ij} {\ sqrt {p_ {i}}} \ langle \ psi _ {j} | U | \ psi _ {i} \ rangle \ rho _ { S} {\ sqrt {p_ {i}}} \ langle \ psi _ {i} | U ^ {\ dagger} | \ psi _ {j} \ rangle.}

Las cantidades circundantes pueden identificarse como operadores de Kraus, por lo que esto define un canal cuántico. $$

ρ S {\ Displaystyle \ rho _ {S}}

Especificar una forma de interacción entre el sistema y el entorno puede establecer un conjunto de "estados de puntero", estados para el sistema que son (aproximadamente) estables, además de los factores de fase generales, con respecto a las fluctuaciones ambientales. Un conjunto de estados de puntero define una base ortonormal preferida para el espacio de Hilbert del sistema.

Computación e información cuántica

La ciencia de la información cuántica estudia cómo la ciencia de la información y su aplicación como tecnología dependen de los fenómenos mecánicos cuánticos. Comprender la medición en física cuántica es importante para este campo de muchas maneras, algunas de las cuales se examinan brevemente aquí.

Medición, entropía y distinguibilidad

La entropía de von Neumann es una medida de la incertidumbre estadística representada por un estado cuántico. Para una matriz de densidad, la entropía de von Neumann es $$

ρ {\ Displaystyle \ rho}

$$S(ρ)=- t r(ρIniciar sesión⁡ρ); {\ Displaystyle S (\ rho) = - {\ rm {tr}} (\ rho \ log \ rho);}

escribir en términos de su base de vectores propios, $$

ρ {\ Displaystyle \ rho}

$$ρ= ∑ I λ I |I⟩⟨I |, {\ Displaystyle \ rho = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} | i \ rangle \ langle i |,}

la entropía de von Neumann es

$$S(ρ)=-∑ λ IIniciar sesión⁡ λ I. {\ Displaystyle S (\ rho) = - \ sum \ lambda _ {i} \ log \ lambda _ {i}.}

Esta es la entropía de Shannon del conjunto de valores propios interpretados como una distribución de probabilidad, por lo que la entropía de von Neumann es la entropía de Shannon de la variable aleatoria definida midiendo en la base propia de. En consecuencia, la entropía de von Neumann desaparece cuando es pura. La entropía de von Neumann de puede caracterizarse de manera equivalente como la entropía mínima de Shannon para una medida dado el estado cuántico, con la minimización en todos los POVM con elementos de rango 1. $$

ρ {\ Displaystyle \ rho}$$ρ {\ Displaystyle \ rho}$$ρ {\ Displaystyle \ rho}$$ρ {\ Displaystyle \ rho}

Muchas otras cantidades utilizadas en la teoría de la información cuántica también encuentran motivación y justificación en términos de mediciones. Por ejemplo, la traza de distancia entre estados cuánticos es igual a la mayor diferencia de probabilidad que esos dos estados cuánticos pueden implicar para un resultado de medición:

$$ 1 2 | |ρ-σ | |= max 0 ≤ mi ≤ I[ t r(miρ)- t r(miσ)]. {\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} || \ rho - \ sigma || = \ max _ {0 \ leq E \ leq I} [{\ rm {tr}} (E \ rho) - { \ rm {tr}} (E \ sigma)].}

De manera similar, la fidelidad de dos estados cuánticos, definida por

$$F(ρ,σ)= ( Tr ⁡ ρ σ ρ ) 2, {\ Displaystyle F (\ rho, \ sigma) = \ left (\ operatorname {Tr} {\ sqrt {{\ sqrt {\ rho}} \ sigma {\ sqrt {\ rho}}}} \ right) ^ {2 },}

expresa la probabilidad de que un estado pase una prueba para identificar una preparación exitosa del otro. La distancia de seguimiento proporciona límites en la fidelidad a través de las desigualdades de Fuchs-van de Graaf :

$$1- F ( ρ , σ )≤ 1 2 | |ρ-σ | |≤ 1 - F ( ρ , σ ). {\ Displaystyle 1 - {\ sqrt {F (\ rho, \ sigma)}} \ leq {\ frac {1} {2}} || \ rho - \ sigma || \ leq {\ sqrt {1-F ( \ rho, \ sigma)}}.}

Circuitos cuánticos

Representación de circuito de medida. La única línea del lado izquierdo representa un qubit, mientras que las dos líneas del lado derecho representan un bit clásico. Artículo principal: circuito cuántico

Los circuitos cuánticos son un modelo de cálculo cuántico en el que un cálculo es una secuencia de puertas cuánticas seguidas de mediciones. Las puertas son transformaciones reversibles sobre una mecánica cuántica analógica de un n - bit registro. Esta estructura análoga se denomina registro de n - qubit. Las mediciones, dibujadas en un diagrama de circuito como diales de puntero estilizados, indican dónde y cómo se obtiene un resultado de la computadora cuántica después de que se ejecutan los pasos del cálculo. Sin pérdida de generalidad, se puede trabajar con el modelo de circuito estándar, en el que el conjunto de puertas son transformaciones unitarias de un solo qubit y puertas NOT controladas en pares de qubits, y todas las medidas están en la base computacional.

Computación cuántica basada en mediciones

Artículo principal: Computadora cuántica unidireccional

La computación cuántica basada en mediciones (MBQC) es un modelo de computación cuántica en el que la respuesta a una pregunta, hablando informalmente, se crea en el acto de medir el sistema físico que sirve como computadora.

Tomografía cuántica

Artículo principal: tomografía cuántica

La tomografía de estado cuántico es un proceso mediante el cual, dado un conjunto de datos que representan los resultados de las mediciones cuánticas, se calcula un estado cuántico consistente con esos resultados de medición. Recibe su nombre por analogía con la tomografía, la reconstrucción de imágenes tridimensionales a partir de cortes que se toman a través de ellas, como en una tomografía computarizada. La tomografía de estados cuánticos puede extenderse a la tomografía de canales cuánticos e incluso de mediciones.

Metrología cuántica

Artículo principal: Metrología cuántica

La metrología cuántica es el uso de la física cuántica para ayudar a medir cantidades que, en general, tenían significado en la física clásica, como la explotación de los efectos cuánticos para aumentar la precisión con la que se puede medir una longitud. Un ejemplo célebre es la introducción de luz comprimida en el experimento LIGO, que aumentó su sensibilidad a las ondas gravitacionales.

Implementaciones de laboratorio

La gama de procedimientos físicos a los que se pueden aplicar las matemáticas de la medición cuántica es muy amplia. En los primeros años de la asignatura, los procedimientos de laboratorio incluían el registro de líneas espectrales, el oscurecimiento de la película fotográfica, la observación de centelleos, la búsqueda de huellas en las cámaras de nubes y la escucha de clics de los contadores Geiger. Persiste el lenguaje de esta era, como la descripción de los resultados de la medición en abstracto como "clics del detector".

El experimento de la doble rendija es una ilustración prototípica de la interferencia cuántica, normalmente descrita usando electrones o fotones. El primer experimento de interferencia que se llevó a cabo en un régimen en el que los aspectos ondulantes y de partículas del comportamiento de los fotones son significativos fue la prueba de GI Taylor en 1909. Taylor usó pantallas de vidrio ahumado para atenuar la luz que pasa a través de su aparato. hasta el punto de que, en el lenguaje moderno, solo un fotón iluminaría las rendijas del interferómetro a la vez. Grabó los patrones de interferencia en placas fotográficas; para la luz más tenue, el tiempo de exposición requerido fue de aproximadamente tres meses. En 1974, los físicos italianos Pier Giorgio Merli, Gian Franco Missiroli y Giulio Pozzi implementaron el experimento de doble rendija utilizando electrones simples y un tubo de televisión. Un cuarto de siglo después, un equipo de la Universidad de Viena realizó un experimento de interferencia con buckybolas, en el que las buckybolas que pasaban por el interferómetro eran ionizadas por un láser, y los iones luego inducían la emisión de electrones, emisiones que a su vez eran amplificado y detectado por un multiplicador de electrones.

Los experimentos modernos de óptica cuántica pueden emplear detectores de fotón único. Por ejemplo, en la "prueba BIG Bell" de 2018, varias de las configuraciones de laboratorio utilizaron diodos de avalancha de fotón único. Otra configuración de laboratorio utilizó qubits superconductores. El método estándar para realizar mediciones en qubits superconductores es acoplar un qubit con un resonador de tal manera que la frecuencia característica del resonador cambie de acuerdo con el estado del qubit, y detectar este cambio observando cómo reacciona el resonador a una sonda. señal.

Interpretaciones de la mecánica cuántica

Artículo principal: Interpretaciones de la mecánica cuántica. Niels Bohr y Albert Einstein, fotografiados aquí en la casa de Paul Ehrenfest en Leiden (diciembre de 1925), tuvieron una disputa colegiada de larga duración sobre lo que implicaba la mecánica cuántica para la naturaleza de la realidad.

A pesar del consenso entre los científicos de que la física cuántica es en la práctica una teoría exitosa, persisten los desacuerdos en un nivel más filosófico. Muchos debates en el área conocida como fundamentos cuánticos se refieren al papel de la medición en la mecánica cuántica. Las preguntas recurrentes incluyen qué interpretación de la teoría de la probabilidad es la más adecuada para las probabilidades calculadas a partir de la regla de Born; y si la aparente aleatoriedad de los resultados de la medición cuántica es fundamental o una consecuencia de un proceso determinista más profundo. Las visiones del mundo que presentan respuestas a preguntas como estas se conocen como "interpretaciones" de la mecánica cuántica; como bromeó una vez el físico N. David Mermin, "Cada año aparecen nuevas interpretaciones. Ninguna desaparece".

Una preocupación central dentro de los fundamentos cuánticos es el " problema de la medición cuántica ", aunque cómo se delimita este problema y si debe contarse como una pregunta o como varios temas separados, son temas controvertidos. De principal interés es la aparente disparidad entre tipos aparentemente distintos de evolución temporal. Von Neumann declaró que la mecánica cuántica contiene "dos tipos fundamentalmente diferentes" de cambio de estado cuántico. Primero, están aquellos cambios que involucran un proceso de medición, y segundo, hay una evolución temporal unitaria en ausencia de medición. El primero es estocástico y discontinuo, escribe von Neumann, y el segundo es determinista y continuo. Esta dicotomía ha marcado la pauta para un debate mucho más tardío. Algunas interpretaciones de la mecánica cuántica encuentran desagradable la dependencia de dos tipos diferentes de evolución temporal y consideran la ambigüedad de cuándo invocar uno u otro como una deficiencia de la forma en que se presentó históricamente la teoría cuántica. Para reforzar estas interpretaciones, sus proponentes han trabajado para derivar formas de considerar la "medición" como un concepto secundario y deducir el efecto aparentemente estocástico de los procesos de medición como aproximaciones a dinámicas deterministas más fundamentales. Sin embargo, no se ha logrado consenso entre los defensores de la forma correcta de implementar este programa y, en particular, de cómo justificar el uso de la regla de Born para calcular probabilidades. Otras interpretaciones consideran los estados cuánticos como información estadística sobre sistemas cuánticos, afirmando así que los cambios abruptos y discontinuos de estados cuánticos no son problemáticos, simplemente reflejan actualizaciones de la información disponible. De esta línea de pensamiento, Bell preguntó: " ¿La información de quién ? ¿Información sobre qué ?" Las respuestas a estas preguntas varían entre los defensores de las interpretaciones orientadas a la información.

Ver también

• Los experimentos mentales de Einstein
• Teorema de Holevo
• Corrección de errores cuánticos
• Límite cuántico
• Lógica cuántica
• Efecto Quantum Zeno
• El gato de Schrödinger
• SIC-POVM

Notas

Referencias

Otras lecturas

Wikiquote tiene citas relacionadas con: Medición en mecánica cuántica

• John A. Wheeler y Wojciech Hubert Zurek, eds. (1983). Teoría y Medida Cuántica. Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN   978-0-691-08316-2. CS1 maint: texto adicional: lista de autores ( enlace )
• Vladimir B. Braginsky y Farid Ya. Khalili (1992). Medición cuántica. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN   978-0-521-41928-4.
• George S. Greenstein y Arthur G. Zajonc (2006). El desafío cuántico: investigación moderna sobre los fundamentos de la mecánica cuántica (2ª ed.). ISBN   978-0763724702.