Mie esparciendo

Mie dispersión, vista artística Resonancias Mie vs.Radio Sección transversal de radar monoestático (RCS) de una esfera metálica perfectamente conductora en función de la frecuencia (calculada por la teoría de Mie). En el límite de dispersión de Rayleigh de baja frecuencia, donde la circunferencia es menor que la longitud de onda, el RCS normalizado es σ / (π R ²) ~ 9 ( kR) ⁴. En el límite óptico de alta frecuencia σ / (π R ²) ~ 1.

La solución de Mie a las ecuaciones de Maxwell (también conocida como solución de Lorenz-Mie, solución de Lorenz-Mie-Debye o dispersión de Mie) describe la dispersión de una onda plana electromagnética por una esfera homogénea. La solución toma la forma de una serie infinita de ondas parciales multipolares esféricas. Lleva el nombre de Gustav Mie.

El término solución de Mie también se usa para las soluciones de las ecuaciones de Maxwell para la dispersión por esferas estratificadas o por cilindros infinitos, u otras geometrías donde se pueden escribir ecuaciones separadas para la dependencia radial y angular de las soluciones. El término teoría de Mie se utiliza a veces para esta colección de soluciones y métodos; no se refiere a una teoría o ley física independiente. En términos más generales, las fórmulas de "dispersión de Mie" son más útiles en situaciones en las que el tamaño de las partículas de dispersión es comparable a la longitud de onda de la luz, en lugar de mucho más pequeñas o mucho más grandes.

La dispersión de Mie (a veces denominada dispersión no molecular o dispersión de partículas de aerosol) tiene lugar en los 4.500 m (15.000 pies) inferiores de la atmósfera, donde muchas partículas esencialmente esféricas con diámetros aproximadamente iguales a la longitud de onda del rayo incidente pueden ser regalo. La teoría de la dispersión de Mie no tiene limitación de tamaño superior y converge al límite de la óptica geométrica para partículas grandes.

• 1 introducción
• 2 aproximaciones
  • 2.1 Aproximación de Rayleigh (dispersión)
  • 2.2 Aproximación de Rayleigh-Gans
  • 2.3 Aproximación por difracción anómala de van de Hulst
• 3 Matemáticas
  • 3.1 Secciones transversales de dispersión y extinción
  • 3.2 Aplicación a partículas de sublongitud de onda
  • 3.3 Otras direcciones de la onda plana incidente
• 4 efecto Kerker
• 5 Función de Dyadic Green de una esfera
• 6 Códigos computacionales
• 7 aplicaciones
  • 7.1 Ciencia atmosférica
  • 7.2 Detección y cribado del cáncer
  • 7.3 Análisis de laboratorio clínico
  • 7.4 Partículas magnéticas
  • 7.5 Metamaterial
  • 7.6 Dimensionamiento de partículas
  • 7.7 Parasitología
• 8 extensiones
• 9 Véase también
• 10 referencias
• 11 Lecturas adicionales
• 12 Enlaces externos

Introducción

Parte angular de armónicos esféricos vectoriales magnéticos y eléctricos. Las flechas rojas y verdes muestran la dirección del campo. También se presentan funciones escalares generadoras, solo se muestran los tres primeros órdenes (dipolos, cuadrupolos, octopolos).

Una formulación moderna de la solución de Mie al problema de la dispersión en una esfera se puede encontrar en muchos libros, por ejemplo, JA Stratton 's Electromagnetic Theory. En esta formulación, la onda plana incidente, así como el campo de dispersión, se expanden en armónicos esféricos vectoriales esféricos radiantes. El campo interno se expande en armónicos esféricos vectoriales regulares. Al hacer cumplir la condición de límite en la superficie esférica, se pueden calcular los coeficientes de expansión del campo disperso.

Para partículas mucho más grandes o mucho más pequeñas que la longitud de onda de la luz dispersa, existen aproximaciones simples y precisas que son suficientes para describir el comportamiento del sistema. Pero para objetos cuyo tamaño está dentro de unos pocos órdenes de magnitud de la longitud de onda, por ejemplo, gotas de agua en la atmósfera, partículas de látex en la pintura, gotas en emulsiones, incluida la leche, y células biológicas y componentes celulares, es necesario un enfoque más detallado.

La solución de Mie lleva el nombre de su desarrollador, el físico alemán Gustav Mie. El físico danés Ludvig Lorenz y otros desarrollaron de forma independiente la teoría de la dispersión de ondas planas electromagnéticas por una esfera dieléctrica.

El formalismo permite el cálculo de los campos eléctricos y magnéticos dentro y fuera de un objeto esférico y generalmente se usa para calcular cuánta luz se dispersa (la sección transversal óptica total) o adónde va (el factor de forma). Las características notables de estos resultados son las resonancias Mie, tamaños que se dispersan particularmente fuerte o débilmente. Esto contrasta con la dispersión de Rayleigh para partículas pequeñas y la dispersión de Rayleigh-Gans-Debye (después de Lord Rayleigh, Richard Gans y Peter Debye ) para partículas grandes. La existencia de resonancias y otras características de la dispersión de Mie lo convierte en un formalismo particularmente útil cuando se usa luz dispersa para medir el tamaño de las partículas.

Aproximaciones

Aproximación de Rayleigh (dispersión)

Artículo principal: dispersión de Rayleigh El cambio de color del cielo al atardecer (el rojo más cercano al sol, el azul más alejado) es causado por la dispersión de Rayleigh por partículas de gas atmosférico, que son mucho más pequeñas que las longitudes de onda de la luz visible. El color gris / blanco de las nubes es causado por la dispersión de Mie por las gotas de agua, que son de un tamaño comparable a las longitudes de onda de la luz visible.

La dispersión de Rayleigh describe la dispersión elástica de la luz por esferas que son mucho más pequeñas que la longitud de onda de la luz. La intensidad I de la radiación dispersa viene dada por

$$I= I 0 ( 1 + porque 2 ⁡ θ 2 R 2 ) ( 2 π λ ) 4 ( norte 2 - 1 norte 2 + 2 ) 2 ( D 2 ) 6, {\ Displaystyle I = I_ {0} \ left ({\ frac {1+ \ cos ^ {2} \ theta} {2R ^ {2}}} \ right) \ left ({\ frac {2 \ pi} { \ lambda}} \ right) ^ {4} \ left ({\ frac {n ^ {2} -1} {n ^ {2} +2}} \ right) ^ {2} \ left ({\ frac { d} {2}} \ right) ^ {6},}

donde I 0 es la intensidad de la luz antes de la interacción con la partícula, R es la distancia entre la partícula y el observador, θ es el ángulo de dispersión, λ es la longitud de onda de la luz en consideración, n es el índice de refracción de la partícula y d es el diámetro de la partícula.

Puede verse en la ecuación anterior que la dispersión de Rayleigh depende en gran medida del tamaño de la partícula y las longitudes de onda. La intensidad de la radiación dispersada de Rayleigh aumenta rápidamente a medida que aumenta la relación entre el tamaño de partícula y la longitud de onda. Además, la intensidad de la radiación dispersa de Rayleigh es idéntica en las direcciones de avance y retroceso.

El modelo de dispersión de Rayleigh se rompe cuando el tamaño de las partículas supera el 10% de la longitud de onda de la radiación incidente. En el caso de partículas con dimensiones superiores a esta, el modelo de dispersión de Mie se puede utilizar para encontrar la intensidad de la radiación dispersa. La intensidad de la radiación dispersa de Mie viene dada por la suma de una serie infinita de términos más que por una simple expresión matemática. Sin embargo, se puede demostrar que la dispersión en este rango de tamaños de partículas difiere de la dispersión de Rayleigh en varios aspectos: es aproximadamente independiente de la longitud de onda y es mayor en la dirección de avance que en la de retroceso. Cuanto mayor sea el tamaño de partícula, más luz se dispersará en la dirección de avance.

El color azul del cielo se debe a la dispersión de Rayleigh, ya que el tamaño de las partículas de gas en la atmósfera es mucho menor que la longitud de onda de la luz visible. La dispersión de Rayleigh es mucho mayor para la luz azul que para otros colores debido a su longitud de onda más corta. A medida que la luz solar atraviesa la atmósfera, su componente azul es Rayleigh, fuertemente dispersado por los gases atmosféricos, pero los componentes de mayor longitud de onda (por ejemplo, rojo / amarillo) no lo son. Por tanto, la luz del sol que llega directamente del Sol parece ser ligeramente amarilla, mientras que la luz dispersa por el resto del cielo parece azul. Durante los amaneceres y atardeceres, el efecto de la dispersión de Rayleigh en el espectro de la luz transmitida es mucho mayor debido a la mayor distancia que los rayos de luz tienen que viajar a través del aire de alta densidad cerca de la superficie de la Tierra.

Por el contrario, las gotas de agua que forman las nubes tienen un tamaño comparable a las longitudes de onda de la luz visible, y la dispersión se describe en el modelo de Mie en lugar del de Rayleigh. Aquí, todas las longitudes de onda de la luz visible se dispersan de manera aproximadamente idéntica y, por lo tanto, las nubes parecen ser blancas o grises.

Aproximación de Rayleigh-Gans

La aproximación de Rayleigh-Gans es una solución aproximada a la dispersión de la luz cuando el índice de refracción relativo de la partícula es cercano al del ambiente, y su tamaño es mucho menor en comparación con la longitud de onda de la luz dividida por | n  - 1 |, donde n es el índice de refracción :

$$ |norte-1 |≪1 {\ Displaystyle | n-1 | \ ll 1}

$$kD |norte-1 |≪1 {\ Displaystyle kd | n-1 | \ ll 1}

donde es el vector de onda de la luz (), y se refiere a la dimensión lineal de la partícula. La primera condición a menudo se denomina "ópticamente blanda" y la aproximación se mantiene para partículas de forma arbitraria. $$

k {\ textstyle k}$$k= 2 π λ {\ textstyle k = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}}$$D {\ Displaystyle d}

Aproximación por difracción anómala de van de Hulst

La aproximación de difracción anómala es válida para esferas grandes (en comparación con la longitud de onda) y ópticamente blandas; suave en el contexto de la óptica implica que el índice de refracción de la partícula (m) difiere solo ligeramente del índice de refracción del entorno, y la partícula somete la onda a solo un pequeño cambio de fase. La eficiencia de extinción en esta aproximación viene dada por

$$Q=2- 4 pagpecado⁡pag+ 4 pag 2(1-porque⁡pag), {\ Displaystyle Q = 2 - {\ frac {4} {p}} \ sin p + {\ frac {4} {p ^ {2}}} (1- \ cos p),}

donde Q es el factor de eficiencia de la dispersión, que se define como la relación entre la sección transversal de la dispersión y la sección transversal geométrica π a ².

El término p = 4πa ( n - 1) / λ tiene como significado físico el retardo de fase de la onda que pasa por el centro de la esfera, donde a es el radio de la esfera, n es la relación de los índices de refracción dentro y fuera de la esfera. esfera y λ la longitud de onda de la luz.

Este conjunto de ecuaciones fue descrito por primera vez por van de Hulst en (1957).

Matemáticas

Dispersión de la onda plana, la dirección de incidencia es paralela al eje z, la polarización es paralela al eje x, el radio de la nanopartícula es un

La dispersión por una nanopartícula esférica se resuelve exactamente independientemente del tamaño de partícula. Consideramos la dispersión por una onda plana que se propaga a lo largo del eje z polarizada a lo largo del eje x. Las permeabilidades dieléctricas y magnéticas de una partícula son y, y y para el medio ambiente. $$

ε 1 {\ Displaystyle \ varepsilon _ {1}}$$ μ 1 {\ Displaystyle \ mu _ {1}}$$ε {\ Displaystyle \ varepsilon}$$μ {\ Displaystyle \ mu}

Para resolver el problema de la dispersión, primero escribimos las soluciones de la ecuación vectorial de Helmholtz en coordenadas esféricas, ya que los campos dentro y fuera de las partículas deben satisfacerla. Ecuación de Helmholtz:

$$ ∇ 2 mi+ k 2 mi=0,     ∇ 2 H+ k 2 H=0 {\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {E} + {k} ^ {2} \ mathbf {E} = 0, \ \ \ \ \ nabla ^ {2} \ mathbf {H} + {k} ^ {2} \ mathbf {H} = 0}

Además de la ecuación de Helmholtz, los campos deben satisfacer las condiciones y,. Los armónicos esféricos vectoriales poseen todas las propiedades necesarias, presentadas de la siguiente manera: $$

∇⋅ mi=∇⋅ H=0 {\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = \ nabla \ cdot \ mathbf {H} = 0}$$∇× mi=Iωμ H {\ Displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = i \ omega \ mu \ mathbf {H}}$$∇× H=-Iωε mi {\ Displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {H} = -i \ omega \ varepsilon \ mathbf {E}}

$$ METRO o mi metro norte=∇× ( r ψ o mi metro norte ) {\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {^ {e} _ {o} mn} = \ nabla \ times \ left (\ mathbf {r} \ psi _ {^ {e} _ {o} mn} \ right) } - armónicos magnéticos (TE)

$$ norte o mi metro norte= ∇ × METRO o mi metro norte k {\ Displaystyle \ mathbf {N} _ {^ {e} _ {o} mn} = {\ frac {\ nabla \ times \ mathbf {M} _ {^ {e} _ {o} mn}} {k} }} - armónicos eléctricos (TM)

dónde

$$ ψ mi metro norte = porque ⁡ metro φ PAG norte metro ( porque ⁡ ϑ ) z norte ( k r ) {\ Displaystyle {\ psi _ {emn} = \ cos m \ varphi P_ {n} ^ {m} (\ cos \ vartheta) z_ {n} ({k} r)}}

$$ ψ o metro norte = pecado ⁡ metro φ PAG norte metro ( porque ⁡ ϑ ) z norte ( k r ) {\ Displaystyle {\ psi _ {omn} = \ sin m \ varphi P_ {n} ^ {m} (\ cos \ vartheta) z_ {n} ({k} r)}}

y  - polinomios de Legendre asociados, y  - cualquiera de las funciones esféricas de bessel. $$

PAG norte metro(porque⁡θ) {\ Displaystyle P_ {n} ^ {m} (\ cos \ theta)} $$ z norte( kr) {\ Displaystyle z_ {n} ({k} r)}

A continuación, expandimos la onda plana incidente en armónicos esféricos vectoriales:

$$ mi I norte C= mi 0 mi I k r porque ⁡ θ mi X= mi 0 ∑ norte = 1 ∞ I norte 2 norte + 1 norte ( norte + 1 ) ( METRO o 1 norte ( 1 ) ( k , r ) - I norte mi 1 norte ( 1 ) ( k , r ) ) {\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {inc} = E_ {0} e ^ {ikr \ cos \ theta} \ mathbf {e} _ {x} = E_ {0} \ sum _ {n = 1} ^ { \ infty} i ^ {n} {\ frac {2n + 1} {n (n + 1)}} \ left (\ mathbf {M} _ {o1n} ^ {(1)} (k, \ mathbf {r }) -i \ mathbf {N} _ {e1n} ^ {(1)} (k, \ mathbf {r}) \ right)}

$$ H I norte C= - k ω μ mi 0 ∑ norte = 1 ∞ I norte 2 norte + 1 norte ( norte + 1 ) ( METRO mi 1 norte ( 1 ) ( k , r ) + I norte o 1 norte ( 1 ) ( k , r ) ) {\ Displaystyle \ mathbf {H} _ {inc} = {\ frac {-k} {\ omega \ mu}} E_ {0} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} i ^ {n} { \ frac {2n + 1} {n (n + 1)}} \ left (\ mathbf {M} _ {e1n} ^ {(1)} (k, \ mathbf {r}) + i \ mathbf {N} _ {o1n} ^ {(1)} (k, \ mathbf {r}) \ right)}

aquí el superíndice significa que en la parte radial de las funciones hay funciones esféricas de Bessel. Los coeficientes de expansión se obtienen tomando integrales de la forma $$

(1) {\ Displaystyle (1)}$$ ψ o mi metro norte {\ Displaystyle \ psi _ {^ {e} _ {o} mn}}

$$ ∫ 0 2 π ∫ 0 π mi I norte C ⋅ METRO o mi metro norte ( 1 ) pecado ⁡ θ D θ D φ ∫ 0 2 π ∫ 0 π | METRO o mi metro norte ( 1 ) | 2 pecado ⁡ θ D θ D φ {\ Displaystyle {\ frac {\ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ mathbf {E} _ {inc} \ cdot \ mathbf {M} _ {^ { e} _ {o} mn} ^ {(1)} \ sin \ theta d \ theta d \ varphi} {\ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {\ pi} | \ mathbf {M} _ {^ {e} _ {o} mn} ^ {(1)} | ^ {2} \ sin \ theta d \ theta d \ varphi}}}

en este caso, todos los coeficientes en son cero, ya que la integral sobre el ángulo en el numerador es cero. $$

metro≠1 {\ Displaystyle m \ neq 1}$$φ {\ Displaystyle \ varphi}

Entonces se imponen las siguientes condiciones:

1) Condiciones de interfaz en el límite entre la esfera y el entorno (que nos permiten relacionar los coeficientes de expansión de los campos incidente, interno y disperso)

2) La condición de que la solución esté acotada en el origen (por lo tanto, en la parte radial de las funciones generadoras, se seleccionan funciones esféricas de Bessel para el campo interno), $$

ψ o mi metro norte {\ Displaystyle \ psi _ {^ {e} _ {o} mn}}

3) Para un campo disperso, la asintótica en el infinito corresponde a una onda esférica divergente (en relación con esto, para el campo disperso en la parte radial de las funciones generadoras se eligen las funciones esféricas de Hankel del primer tipo). $$

ψ o mi metro norte {\ Displaystyle \ psi _ {^ {e} _ {o} mn}}

Los campos dispersos se escriben en términos de una expansión armónica vectorial como

$$ mi s= ∑ norte = 1 ∞ mi norte ( I a norte norte mi 1 norte ( 3 ) ( k , r ) - B norte METRO o 1 norte ( 3 ) ( k , r ) ) {\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {s} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} E_ {n} \ left (ia_ {n} \ mathbf {N} _ {e1n} ^ {(3)} (k, \ mathbf {r}) -b_ {n} \ mathbf {M} _ {o1n} ^ {(3)} (k, \ mathbf {r}) \ right)}

$$ H s= k ω μ ∑ norte = 1 ∞ mi norte ( a norte METRO mi 1 norte ( 3 ) ( k , r ) + I B norte norte o 1 norte ( 3 ) ( k , r ) ) {\ Displaystyle \ mathbf {H} _ {s} = {\ frac {k} {\ omega \ mu}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} E_ {n} \ left (a_ {n} \ mathbf {M} _ {e1n} ^ {(3)} (k, \ mathbf {r}) + ib_ {n} \ mathbf {N} _ {o1n} ^ {(3)} (k, \ mathbf { r}) \ derecha)}

aquí el superíndice significa que en la parte radial de las funciones  hay funciones esféricas de Hankel, y, $$

(3) {\ Displaystyle (3)}$$ ψ o mi metro norte {\ Displaystyle \ psi _ {^ {e} _ {o} mn}}$$ mi norte= I norte mi 0 ( 2 norte + 1 ) norte ( norte + 1 ) {\ Displaystyle E_ {n} = {\ frac {i ^ {n} E_ {0} (2n + 1)} {n (n + 1)}}}

Campos internos:

$$ mi 1= ∑ norte = 1 ∞ mi norte ( - I D norte norte mi 1 norte ( 1 ) ( k 1 , r ) + C norte METRO o 1 norte ( 1 ) ( k 1 , r ) ) {\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {1} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} E_ {n} \ left (-id_ {n} \ mathbf {N} _ {e1n} ^ {( 1)} (k_ {1}, \ mathbf {r}) + c_ {n} \ mathbf {M} _ {o1n} ^ {(1)} (k_ {1}, \ mathbf {r}) \ right) }

$$ H 1= - k 1 ω μ 1 ∑ norte = 1 ∞ mi norte ( D norte METRO mi 1 norte ( 1 ) ( k 1 , r ) + I C norte norte o 1 norte ( 1 ) ( k 1 , r ) ) {\ Displaystyle \ mathbf {H} _ {1} = {\ frac {-k_ {1}} {\ omega \ mu _ {1}}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} E_ {n } \ left (d_ {n} \ mathbf {M} _ {e1n} ^ {(1)} (k_ {1}, \ mathbf {r}) + ic_ {n} \ mathbf {N} _ {o1n} ^ {(1)} (k_ {1}, \ mathbf {r}) \ right)}

$$

k= ω Cnorte {\ Displaystyle k = {\ frac {\ omega} {c}} n}es el vector de onda fuera de la partícula  es el vector de onda en el medio del material de la partícula, y son los índices de refracción del medio y la partícula, $$ k 1= ω C norte 1 {\ Displaystyle k_ {1} = {\ frac {\ omega} {c}} {n_ {1}}}$$norte {\ Displaystyle n}$$ norte 1 {\ Displaystyle n_ {1}}

Después de aplicar las condiciones de la interfaz, obtenemos expresiones para los coeficientes:

$$ C norte(ω)= μ 1 [ ρ h norte ( ρ ) ] ′ j norte ( ρ ) - μ 1 [ ρ j norte ( ρ ) ] ′ h norte ( ρ ) μ 1 [ ρ h norte ( ρ ) ] ′ j norte ( ρ 1 ) - μ [ ρ 1 j norte ( ρ 1 ) ] ′ h norte ( ρ ) {\ Displaystyle c_ {n} (\ omega) = {\ frac {\ mu _ {1} \ left [\ rho h_ {n} (\ rho) \ right] 'j_ {n} (\ rho) - \ mu _ {1} \ left [\ rho j_ {n} (\ rho) \ right] 'h_ {n} (\ rho)} {\ mu _ {1} \ left [\ rho h_ {n} (\ rho) \ right] 'j_ {n} (\ rho _ {1}) - \ mu \ left [\ rho _ {1} j_ {n} (\ rho _ {1}) \ right]' h_ {n} (\ rho)}}}

$$ D norte(ω)= μ 1 norte 1 norte [ ρ h norte ( ρ ) ] ′ j norte ( ρ ) - μ 1 norte 1 norte [ ρ j norte ( ρ ) ] ′ h norte ( ρ ) μ norte 1 2 [ ρ h norte ( ρ ) ] ′ j norte ( ρ 1 ) - μ 1 norte 2 [ ρ 1 j norte ( ρ 1 ) ] ′ h norte ( ρ ), {\ Displaystyle d_ {n} (\ omega) = {\ frac {\ mu _ {1} n_ {1} n \ left [\ rho h_ {n} (\ rho) \ right] 'j_ {n} (\ rho) - \ mu _ {1} n_ {1} n \ left [\ rho j_ {n} (\ rho) \ right] 'h_ {n} (\ rho)} {\ mu n_ {1} ^ {2 } \ left [\ rho h_ {n} (\ rho) \ right] 'j_ {n} (\ rho _ {1}) - \ mu _ {1} n ^ {2} \ left [\ rho _ {1 } j_ {n} (\ rho _ {1}) \ right] 'h_ {n} (\ rho)}},}

$$ B norte(ω)= μ 1 [ ρ j norte ( ρ ) ] ′ j norte ( ρ 1 ) - μ [ ρ 1 j norte ( ρ 1 ) ] ′ j norte ( ρ ) μ 1 [ ρ h norte ( ρ ) ] ′ j norte ( ρ 1 ) - μ [ ρ 1 j norte ( ρ 1 ) ] ′ h norte ( ρ ) {\ Displaystyle b_ {n} (\ omega) = {\ frac {\ mu _ {1} \ left [\ rho j_ {n} (\ rho) \ right] 'j_ {n} (\ rho _ {1}) - \ mu \ left [\ rho _ {1} j_ {n} (\ rho _ {1}) \ right] 'j_ {n} (\ rho)} {\ mu _ {1} \ left [\ rho h_ {n} (\ rho) \ right] 'j_ {n} (\ rho _ {1}) - \ mu \ left [\ rho _ {1} j_ {n} (\ rho _ {1}) \ right ] 'h_ {n} (\ rho)}}}

$$ a norte(ω)= μ norte 1 2 [ ρ j norte ( ρ ) ] ′ j norte ( ρ 1 ) - μ 1 norte 2 [ ρ 1 j norte ( ρ 1 ) ] ′ j norte ( ρ ) μ norte 1 2 [ ρ h norte ( ρ ) ] ′ j norte ( ρ 1 ) - μ 1 norte 2 [ ρ 1 j norte ( ρ 1 ) ] ′ h norte ( ρ ), {\ Displaystyle a_ {n} (\ omega) = {\ frac {\ mu n_ {1} ^ {2} \ left [\ rho j_ {n} (\ rho) \ right] 'j_ {n} (\ rho _ {1}) - \ mu _ {1} n ^ {2} \ izquierda [\ rho _ {1} j_ {n} (\ rho _ {1}) \ derecha] 'j_ {n} (\ rho) } {\ mu n_ {1} ^ {2} \ left [\ rho h_ {n} (\ rho) \ right] 'j_ {n} (\ rho _ {1}) - \ mu _ {1} n ^ {2} \ left [\ rho _ {1} j_ {n} (\ rho _ {1}) \ right] 'h_ {n} (\ rho)}},}

dónde

$$ρ=ka {\ Displaystyle \ rho = ka}

$$ ρ 1= k 1a {\ Displaystyle \ rho _ {1} = k_ {1} a}con siendo el radio de la esfera.$$a {\ Displaystyle a}

$$

j norte {\ Displaystyle j_ {n}}y  representan las funciones esféricas de Bessel y Hankel del primer tipo, respectivamente. $$ h norte {\ Displaystyle h_ {n}}

Secciones transversales de dispersión y extinción

Espectro de descomposición multipolar de la sección transversal de dispersión por nanoesfera de oro con un radio de 100 nm Espectro de descomposición multipolar de la sección transversal de dispersión por nanoesfera con radio de 100 nm e índice de refracción n = 4 Espectro de descomposición multipolar de la sección transversal de dispersión por nanoesfera de silicio con radio de 100 nm

Los valores comúnmente calculados usando la teoría de Mie incluyen coeficientes de eficiencia para extinción, dispersión y absorción. Estos coeficientes de eficiencia son relaciones de la sección transversal del proceso respectivo, al área protegida de partículas, donde a es el radio de las partículas. Según la definición de extinción, $$

Q mi {\ Displaystyle Q_ {e}} $$ Q s {\ Displaystyle Q_ {s}} $$ Q a {\ Displaystyle Q_ {a}} $$ σ I {\ Displaystyle \ sigma _ {i}}$$ Q I= σ I π a 2 {\ Displaystyle Q_ {i} = {\ frac {\ sigma _ {i}} {\ pi a ^ {2}}}}

$$ σ mi= σ s+ σ a {\ Displaystyle \ sigma _ {e} = \ sigma _ {s} + \ sigma _ {a}}y.$$ Q mi= Q s+ Q a {\ Displaystyle Q_ {e} = Q_ {s} + Q_ {a}}

Los coeficientes de dispersión y extinción se pueden representar como la serie infinita:

$$ Q s= 2 k 2 a 2 ∑ norte = 1 ∞(2norte+1)( | a norte | 2+ | B norte | 2) {\ Displaystyle Q_ {s} = {\ frac {2} {k ^ {2} a ^ {2}}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (2n + 1) (| a_ {n } | ^ {2} + | b_ {n} | ^ {2})}

$$ Q mi= 2 k 2 a 2 ∑ norte = 1 ∞(2norte+1)ℜ( a norte+ B norte) {\ Displaystyle Q_ {e} = {\ frac {2} {k ^ {2} a ^ {2}}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (2n + 1) \ Re (a_ { n} + b_ {n})}

Aplicación a partículas de sublongitud de onda

Si el tamaño de la partícula es igual a varias longitudes de onda en el material, entonces los campos dispersos tienen algunas características. Además, hablaremos de la forma del campo eléctrico ya que el campo magnético se obtiene de él tomando el rotor.

Todos los coeficientes de Mie dependen de la frecuencia y tienen máximos cuando el denominador está cerca de cero (la igualdad exacta a cero se logra para frecuencias complejas). En este caso, es posible que la contribución de un armónico específico domine en la dispersión. Entonces, a grandes distancias de la partícula, el patrón de radiación del campo disperso será similar al patrón de radiación correspondiente de la parte angular de los armónicos esféricos vectoriales. Los armónicos corresponden a dipolos eléctricos (si la contribución de este armónico domina en la expansión del campo eléctrico, entonces el campo es similar al campo eléctrico del dipolo), corresponden al campo eléctrico del dipolo magnético, y - cuadrupolos eléctricos y magnéticos, y - octápolos, y así sucesivamente. Los máximos de los coeficientes de dispersión (así como el cambio de su fase a) se denominan resonancias multipolares. $$

norte o mi metro 1 {\ Displaystyle \ mathbf {N} _ {^ {e} _ {o} m1}}$$ METRO o mi metro 1 {\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {^ {e} _ {o} m1}}$$ norte o mi metro 2 {\ Displaystyle \ mathbf {N} _ {^ {e} _ {o} m2}}$$ METRO o mi metro 2 {\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {^ {e} _ {o} m2}}$$ norte o mi metro 3 {\ Displaystyle \ mathbf {N} _ {^ {e} _ {o} m3}}$$ METRO o mi metro 3 {\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {^ {e} _ {o} m3}}$$π {\ Displaystyle \ pi}

La dependencia de la sección transversal de dispersión de la longitud de onda y la contribución de resonancias específicas depende en gran medida del material de la partícula. Por ejemplo, para una partícula de oro con un radio de 100 nm, la contribución del dipolo eléctrico a la dispersión predomina en el rango óptico, mientras que para una partícula de silicio hay resonancias magnéticas pronunciadas de dipolo y cuadrupolo. Para las partículas metálicas, el pico visible en la sección transversal de dispersión también se denomina resonancia de plasmón localizado.

En el límite de partículas pequeñas o longitudes de onda largas, la contribución del dipolo eléctrico domina en la sección transversal de dispersión.

Otras direcciones de la onda plana incidente

En el caso de una onda plana con polarización x, incidente a lo largo del eje z, las descomposiciones de todos los campos contenían solo armónicos con m = 1, pero para una onda incidente arbitraria este no es el caso. Para una onda plana rotada, los coeficientes de expansión se pueden obtener, por ejemplo, utilizando el hecho de que durante la rotación, los armónicos esféricos vectoriales se transforman entre sí mediante matrices D de Wigner.

En este caso, el campo disperso será descompuesto por todos los posibles armónicos:

$$ mi s= ∑ norte = 1 ∞ ∑ metro = 0 norte mi 0( D METRO mi metro norte METRO mi metro norte ( 3 )(k, r)+ D METRO o metro norte METRO o metro norte ( 3 )(k, r)+ D norte mi metro norte norte mi metro norte ( 3 )(k, r)+ D norte o metro norte norte o metro norte ( 3 )(k, r)) {\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {s} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {m = 0} ^ {n} E_ {0} (D_ {Memn} \ mathbf { M} _ {emn} ^ {(3)} (k, \ mathbf {r}) + D_ {Momn} \ mathbf {M} _ {omn} ^ {(3)} (k, \ mathbf {r}) + D_ {Nemn} \ mathbf {N} _ {emn} ^ {(3)} (k, \ mathbf {r}) + D_ {Nomn} \ mathbf {N} _ {omn} ^ {(3)} ( k, \ mathbf {r}))}

Entonces, la sección transversal de dispersión se expresará en términos de los coeficientes de la siguiente manera:

$$ C s C a= 2 π π a 2 k 2 ∑ norte = 1 ∞ norte ( norte + 1 ) ( 2 norte + 1 )× [ ∑ metro = 1 norte ( norte + metro ) ! ( norte - metro ) !( | D METRO mi metro norte | 2+ | D METRO o metro norte | 2+ | D norte mi metro norte | 2+ | D norte o metro norte | 2)+2 | D METRO mi 0 norte | 2+2 | D norte mi 0 norte | 2 ]. {\ Displaystyle C_ {sca} = {\ frac {2 \ pi} {\ pi a ^ {2} k ^ {2}}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {n ( n + 1)} {(2n + 1)}} \ times {\ Bigl [} \ sum \ limits _ {m = 1} ^ {n} {\ frac {(n + m)!} {(nm)! }} (| D_ {Memn} | ^ {2} + | D_ {Momn} | ^ {2} + | D_ {Nemn} | ^ {2} + | D_ {Nomn} | ^ {2}) + 2 | D_ {Me0n} | ^ {2} +2 | D_ {Ne0n} | ^ {2} {\ Bigr]}.}

Efecto Kerker

El efecto Kerker es un fenómeno de direccionalidad de dispersión, que ocurre cuando se presentan diferentes respuestas multipolares y no despreciables.

Caso particular (dipolar) del efecto Kerker. El campo eléctrico total de los dipolos magnéticos y eléctricos cruzados que irradian en fase. El patrón de radiación es asimétrico, en una dirección los campos se destruyen mutuamente y en la otra, se suman.

En 1983, en el trabajo de Kerker, Wang y Giles se investigó la dirección de dispersión de las partículas. En particular, se demostró que para partículas hipotéticas con dispersión hacia atrás se suprime por completo. Esto puede verse como una extensión de una superficie esférica de los resultados de Giles y Wild para la reflexión en una superficie plana con índices de refracción iguales donde la reflexión y la transmisión son constantes e independientes del ángulo de incidencia. $$

μ≠1 {\ Displaystyle \ mu \ neq 1}$$μ=ε {\ Displaystyle \ mu = \ varepsilon}

Además, las secciones transversales de dispersión en las direcciones hacia adelante y hacia atrás se expresan simplemente en términos de coeficientes de Mie:

$$ C s C a B a C k w a r D= 1 a 2 k 2 | ∑ norte = 1 ∞ ( 2 norte + 1 )(-1 ) norte( a norte- B norte) | 2 {\ Displaystyle C_ {sca} ^ {backward} = {\ frac {1} {a ^ {2} k ^ {2}}} {\ bigg |} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} { (2n + 1)} (- 1) ^ {n} (a_ {n} -b_ {n}) {\ bigg |} ^ {2}}

$$ C s C a F o r w a r D= 1 a 2 k 2 | ∑ norte = 1 ∞ ( 2 norte + 1 )( a norte+ B norte) | 2 {\ Displaystyle C_ {sca} ^ {forward} = {\ frac {1} {a ^ {2} k ^ {2}}} {\ bigg |} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} { (2n + 1)} (a_ {n} + b_ {n}) {\ bigg |} ^ {2}}

Para ciertas combinaciones de coeficientes, las expresiones anteriores se pueden minimizar.

Entonces, por ejemplo, cuando los términos con pueden ser despreciados ( aproximación dipolar ), corresponde al mínimo en retrodispersión (los dipolos magnéticos y eléctricos son iguales en magnitud y están en fase, esto también se llama 'primer Kerker' o 'cero hacia atrás condición de intensidad '). Y  corresponde al mínimo en la dispersión hacia adelante, esto también se denomina "segunda condición de Kerker" (o "condición de intensidad de avance cercana a cero"). A partir del teorema óptico, se muestra que para una partícula pasiva no es posible. Para la solución exacta del problema, es necesario tener en cuenta las contribuciones de todos los multipolos. La suma de los dipolos eléctricos y magnéticos forma la fuente de Huygens. $$

nortegt;1 {\ Displaystyle ngt; 1} $$( a 1- B 1)=0 {\ Displaystyle (a_ {1} -b_ {1}) = 0}$$( a 1+ B 1)=0 {\ Displaystyle (a_ {1} + b_ {1}) = 0}$$( a 1=- B 1) {\ Displaystyle (a_ {1} = - b_ {1})}

Para las partículas dieléctricas, la máxima dispersión hacia adelante se observa en longitudes de onda más largas que la longitud de onda de la resonancia del dipolo magnético, y la máxima dispersión hacia atrás en las más cortas..

Posteriormente, se encontraron otras variedades del efecto. Por ejemplo, el efecto Kerker transversal, con supresión simultánea casi completa de los campos dispersos hacia adelante y hacia atrás (patrones de dispersión lateral), el efecto Kerker optomecánico, en la dispersión acústica, y también se encuentra en las plantas.

También hay un video corto en YouTube con una explicación del efecto.

La función de Dyadic Green de una esfera

La función de Green es una solución a la siguiente ecuación:

$$∇×∇× GRAMO ^(ω, r, r ′)= ( ω C ) 2ε( r,ω) GRAMO ^(ω, r, r ′)+ 1 ^δ( r- r ′), {\ Displaystyle \ nabla \ times \ nabla \ times {\ bf {\ hat {G}}} (\ omega, \ mathbf {r}, \ mathbf {r} ') = \ left ({\ frac {\ omega} {c}} \ right) ^ {2} \ varepsilon (\ mathbf {r}, \ omega) {\ bf {\ hat {G}}} (\ omega, \ mathbf {r}, \ mathbf {r} ') + {\ bf {\ hat {1}}} \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} '),}

donde  - matriz de identidad para y para. Como todos los campos son vectoriales, la función de Green es una matriz de 3 por 3 y se llama diádica. Si se induce polarización en el sistema, cuando los campos se escriben como $$

1 ^ {\ Displaystyle {\ hat {\ bf {1}}}}$$ε( r,ω)= ε 1(ω) {\ Displaystyle \ varepsilon (\ mathbf {r}, \ omega) = \ varepsilon _ {1} (\ omega)}$$rlt;a {\ Displaystyle r lt;a}$$ε( r,ω)=ε {\ Displaystyle \ varepsilon (\ mathbf {r}, \ omega) = \ varepsilon}$$rgt;a {\ Displaystyle rgt; a}$$ PAG( r) {\ Displaystyle \ mathbf {P} (\ mathbf {r})}

$$ mi ω( r)= ω 2μ ∫ VD V ′ GRAMO ^( r , r ′,k) PAG ω( r ′) {\ Displaystyle \ mathbf {E} ^ {\ omega} ({\ mathbf {r}}) = \ omega ^ {2} \ mu \ int \ limits _ {V} dV '{\ hat {\ bf {G} }} ({\ bf {r, r '}}, k) \ mathbf {P} ^ {\ omega} (\ mathbf {r}')}

Al igual que los campos, la función de Green se puede descomponer en armónicos esféricos vectoriales. La función de Dyadic Green de un espacio libre:

$$ GRAMO ^ 0( r , r ′ , k)= mi r ⊗ mi r k 2δ( r- r ′)+ I k 4 π ∑ norte = 1 ∞ ∑ metro = 0 norte(2- δ metro , 0) 2 norte + 1 norte ( norte + 1 ) ( norte - metro ) ! ( norte + metro ) !⋅ {\ Displaystyle {\ hat {\ bf {G}}} ^ {0} ({\ mathbf {r}, \ mathbf {r} ', k}) = {\ frac {\ mathbf {e_ {r}} \ veces \ mathbf {e_ {r}}} {k ^ {2}}} \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} ') + {\ frac {ik} {4 \ pi}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {m = 0} ^ {n} (2- \ delta _ {m, 0}) {\ frac {2n + 1} {n (n + 1)} } {\ frac {(nm)!} {(n + m)!}} \ cdot}

$$ { ⋅ ( ( METRO mi metro norte ( 1 ) [ k , r ] ⊗ METRO mi metro norte ( 3 ) [ k , r ′ ] + METRO o metro norte ( 1 ) [ k , r ] ⊗ METRO o metro norte ( 3 ) [ k , r ′ ] ) + ( norte mi metro norte ( 1 ) [ k , r ] ⊗ norte mi metro norte ( 3 ) [ k , r ′ ] + norte o metro norte ( 1 ) [ k , r ] ⊗ norte o metro norte ( 3 ) [ k , r ′ ] ) ) , si  r lt; r ′ ⋅ ( ( METRO mi metro norte ( 3 ) [ k , r ] ⊗ METRO mi metro norte ( 1 ) [ k , r ′ ] + METRO o metro norte ( 3 ) [ k , r ] ⊗ METRO o metro norte ( 1 ) [ k , r ′ ] ) + ( norte mi metro norte ( 3 ) [ k , r ] ⊗ norte mi metro norte ( 1 ) [ k , r ′ ] + norte o metro norte ( 3 ) [ k , r ] ⊗ norte o metro norte ( 1 ) [ k , r ′ ] ) ) , si  r gt; r ′ {\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} \ cdot {\ Bigl (} (\ mathbf {M} _ {emn} ^ {(1)} [k, \ mathbf {r}] \ otimes {\ mathbf {M}} _ {emn} ^ {(3)} [k, \ mathbf {r} '] + \ mathbf {M} _ {omn} ^ {(1)} [k, \ mathbf {r }] \ otimes {\ mathbf {M}} _ {omn} ^ {(3)} [k, \ mathbf {r} ']) + ({\ mathbf {N}} _ {emn} ^ {(1) } [k, \ mathbf {r}] \ otimes {\ mathbf {N}} _ {emn} ^ {(3)} [k, \ mathbf {r} '] + \ mathbf {N} _ {omn} ^ {(1)} [k, \ mathbf {r}] \ otimes {\ mathbf {N}} _ {omn} ^ {(3)} [k, \ mathbf {r} ']) {\ Bigr)}, {\ text {if}} r lt;r '\\\ cdot {\ Bigl (} (\ mathbf {M} _ {emn} ^ {(3)} [k, \ mathbf {r}] \ otimes {\ mathbf {M}} _ {emn} ^ {(1)} [k, \ mathbf {r} '] + \ mathbf {M} _ {omn} ^ {(3)} [k, \ mathbf {r}] \ veces {\ mathbf {M}} _ {omn} ^ {(1)} [k, \ mathbf {r} ']) + ({\ mathbf {N}} _ {emn} ^ {(3)} [k, \ mathbf {r}] \ otimes {\ mathbf {N}} _ {emn} ^ {(1)} [k, \ mathbf {r} '] + \ mathbf {N} _ {omn} ^ {(3)} [k, \ mathbf {r}] \ otimes {\ mathbf {N}} _ {omn} ^ {(1)} [k, \ mathbf {r} ']) {\ Bigr)}, {\ text {if}} rgt; r '\ end {matriz}} \ right.}

En presencia de una esfera, la función de Green también se descompone en armónicos esféricos vectoriales. Su apariencia depende del entorno en el que se ubiquen los puntos y. $$

r {\ Displaystyle \ mathbf {r}}$$ r ′ {\ Displaystyle \ mathbf {r} '}

Cuando ambos puntos están fuera de la esfera (): $$

rgt;a, r ′gt;a {\ Displaystyle rgt; a, r 'gt; a}

$$ GRAMO ^ 00( r , r ′ , k , k 1)= GRAMO ^ 0( r , r ′ , k)+ I k 4 π ∑ norte = 1 ∞ ∑ metro = 0 norte(2- δ metro , 0) 2 norte + 1 norte ( norte + 1 ) ( norte - metro ) ! ( norte + metro ) !⋅ {\ Displaystyle {\ hat {\ bf {G}}} ^ {00} ({\ mathbf {r}, \ mathbf {r} ', k, k_ {1}}) = {\ hat {\ bf {G }}} ^ {0} ({\ mathbf {r}, \ mathbf {r} ', k}) + {\ frac {ik} {4 \ pi}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty } \ sum _ {m = 0} ^ {n} (2- \ delta _ {m, 0}) {\ frac {2n + 1} {n (n + 1)}} {\ frac {(nm)! } {(n + m)!}} \ cdot}

$$⋅ ( a norte ( 0 )(ω)( METRO o mi metro norte ( 3 )[k, r]⊗ METRO o mi metro norte ( 3 )[k, r ′])+ B norte ( 0 )(ω)( norte o mi metro norte ( 3 )[k, r]⊗ norte o mi metro norte ( 3 )[k, r ′]) ) {\ Displaystyle \ cdot {\ Bigl (} a_ {n} ^ {(0)} (\ omega) (\ mathbf {M} _ {^ {e} _ {o} mn} ^ {(3)} [k, \ mathbf {r}] \ otimes {\ mathbf {M}} _ {^ {e} _ {o} mn} ^ {(3)} [k, \ mathbf {r} ']) + b_ {n} ^ {(0)} (\ omega) ({\ mathbf {N}} _ {^ {e} _ {o} mn} ^ {(3)} [k, \ mathbf {r}] \ otimes {\ mathbf {N}} _ {^ {e} _ {o} mn} ^ {(3)} [k, \ mathbf {r} ']) {\ Bigr)}}

donde los coeficientes son:

$$ a norte ( 0 )(ω)= μ / μ 1 [ ρ 1 j norte ( ρ 1 ) ] ′ j norte ( ρ ) - [ ρ j norte ( ρ ) ] ′ j norte ( ρ 1 ) [ ρ h norte ( ρ ) ] ′ j norte ( ρ 1 ) - μ / μ 1 [ ρ 1 j norte ( ρ 1 ) ] ′ h norte ( ρ ), {\ Displaystyle a_ {n} ^ {(0)} (\ omega) = {\ frac {\ mu / \ mu _ {1} \ left [\ rho _ {1} j_ {n} (\ rho _ {1 }) \ derecha] 'j_ {n} (\ rho) - \ izquierda [\ rho j_ {n} (\ rho) \ derecha]' j_ {n} (\ rho _ {1})} {\ izquierda [\ rho h_ {n} (\ rho) \ right] 'j_ {n} (\ rho _ {1}) - \ mu / \ mu _ {1} \ left [\ rho _ {1} j_ {n} (\ rho _ {1}) \ right] 'h_ {n} (\ rho)}},}

$$ B norte ( 0 )(ω)= norte 2 μ 1 / μ [ ρ 1 j norte ( ρ 1 ) ] ′ j norte ( ρ ) - norte 1 2 [ ρ j norte ( ρ ) ] ′ j norte ( ρ 1 ) norte 1 2 [ ρ h norte ( ρ ) ] ′ j norte ( ρ 1 ) - norte 2 μ 1 / μ [ ρ 1 j norte ( ρ 1 ) ] ′ h norte ( ρ ). {\ Displaystyle b_ {n} ^ {(0)} (\ omega) = {\ frac {n ^ {2} \ mu _ {1} / \ mu \ left [\ rho _ {1} j_ {n} ( \ rho _ {1}) \ right] 'j_ {n} (\ rho) -n_ {1} ^ {2} \ left [\ rho j_ {n} (\ rho) \ right]' j_ {n} ( \ rho _ {1})} {n_ {1} ^ {2} \ left [\ rho h_ {n} (\ rho) \ right] 'j_ {n} (\ rho _ {1}) - n ^ { 2} \ mu _ {1} / \ mu \ left [\ rho _ {1} j_ {n} (\ rho _ {1}) \ right] 'h_ {n} (\ rho)}}.}

Cuando ambos puntos están dentro de la esfera (): $$

rlt;a, r ′lt;a {\ Displaystyle r lt;a, r 'lt;a}

$$ GRAMO ^ 11( r , r ′ , k , k 1)= GRAMO ^ 0( r , r ′ , k 1)+ I k 1 4 π ∑ norte = 1 ∞ ∑ metro = 0 norte(2- δ metro , 0) 2 norte + 1 norte ( norte + 1 ) ( norte - metro ) ! ( norte + metro ) !⋅ {\ Displaystyle {\ hat {\ bf {G}}} ^ {11} ({\ mathbf {r}, \ mathbf {r} ', k, k_ {1}}) = {\ hat {\ bf {G }}} ^ {0} ({\ mathbf {r}, \ mathbf {r} ', k_ {1}}) + {\ frac {ik_ {1}} {4 \ pi}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {m = 0} ^ {n} (2- \ delta _ {m, 0}) {\ frac {2n + 1} {n (n + 1)}} {\ frac {(nm)!} {(n + m)!}} \ cdot}

$$⋅ ( C norte ( 1 )(ω)( METRO o mi metro norte ( 1 )[ k 1, r]⊗ METRO o mi metro norte ( 1 )[ k 1, r ′])+ D norte ( 1 )(ω)( norte o mi metro norte ( 1 )[ k 1, r]⊗ norte o mi metro norte ( 1 )[ k 1, r ′]) ), {\ Displaystyle \ cdot {\ Bigl (} c_ {n} ^ {(1)} (\ omega) (\ mathbf {M} _ {^ {e} _ {o} mn} ^ {(1)} [k_ {1}, \ mathbf {r}] \ otimes {\ mathbf {M}} _ {^ {e} _ {o} mn} ^ {(1)} [k_ {1}, \ mathbf {r} ']) + d_ {n} ^ {(1)} (\ omega) ({\ mathbf {N}} _ {^ {e} _ {o} mn} ^ {(1)} [k_ {1}, \ mathbf {r}] \ otimes {\ mathbf {N}} _ {^ {e} _ {o} mn} ^ {(1)} [k_ {1}, \ mathbf {r} ']) {\ Bigr)},}

Coeficientes:

$$ C norte ( 1 )(ω)= μ 1 / μ [ ρ h norte ( ρ ) ] ′ h norte ( ρ 1 ) - [ ρ 1 h norte ( ρ 1 ) ] ′ h norte ( ρ ) [ ρ 1 j norte ( ρ 1 ) ] ′ h norte ( ρ ) - μ 1 / μ [ ρ h norte ( ρ ) ] ′ j norte ( ρ 1 ), {\ Displaystyle c_ {n} ^ {(1)} (\ omega) = {\ frac {\ mu _ {1} / \ mu \ left [\ rho h_ {n} (\ rho) \ right] 'h_ { n} (\ rho _ {1}) - \ izquierda [\ rho _ {1} h_ {n} (\ rho _ {1}) \ derecha] 'h_ {n} (\ rho)} {\ izquierda [\ rho _ {1} j_ {n} (\ rho _ {1}) \ right] 'h_ {n} (\ rho) - \ mu _ {1} / \ mu \ left [\ rho h_ {n} (\ rho) \ right] 'j_ {n} (\ rho _ {1})}},}

$$ D norte ( 1 )(ω)= norte 1 2 μ / μ 1 [ ρ h norte ( ρ ) ] ′ h norte ( ρ 1 ) - norte 2 [ ρ 1 h norte ( ρ 1 ) ] ′ h norte ( ρ ) norte 2 [ ρ 1 j norte ( ρ 1 ) ] ′ h norte ( ρ ) - norte 1 2 μ / μ 1 [ ρ h norte ( ρ ) ] ′ j norte ( ρ 1 ). {\ Displaystyle d_ {n} ^ {(1)} (\ omega) = {\ frac {n_ {1} ^ {2} \ mu / \ mu _ {1} \ left [\ rho h_ {n} (\ rho) \ derecha] 'h_ {n} (\ rho _ {1}) - n ^ {2} \ izquierda [\ rho _ {1} h_ {n} (\ rho _ {1}) \ derecha]' h_ {n} (\ rho)} {n ^ {2} \ izquierda [\ rho _ {1} j_ {n} (\ rho _ {1}) \ derecha] 'h_ {n} (\ rho) -n_ { 1} ^ {2} \ mu / \ mu _ {1} \ left [\ rho h_ {n} (\ rho) \ right] 'j_ {n} (\ rho _ {1})}}.}

La fuente está dentro de la esfera y el punto de observación está fuera (): $$

rgt;a, r ′lt;a {\ Displaystyle rgt; a, r 'lt;a}

$$ GRAMO ^ 01( r , r ′ , k , k 1)= I k 1 4 π ∑ norte = 1 ∞ ∑ metro = 0 norte(2- δ metro , 0) 2 norte + 1 norte ( norte + 1 ) ( norte - metro ) ! ( norte + metro ) !⋅ {\ Displaystyle {\ hat {\ bf {G}}} ^ {01} ({\ mathbf {r}, \ mathbf {r} ', k, k_ {1}}) = {\ frac {ik_ {1} } {4 \ pi}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {m = 0} ^ {n} (2- \ delta _ {m, 0}) {\ frac {2n + 1} {n (n + 1)}} {\ frac {(nm)!} {(N + m)!}} \ Cdot}

$$⋅ ( a norte ( 1 )(ω)( METRO o mi metro norte ( 3 )[k, r]⊗ METRO o mi metro norte ( 1 )[ k 1, r ′])+ B norte ( 1 )(ω)( norte o mi metro norte ( 3 )[k, r]⊗ norte o mi metro norte ( 1 )[ k 1, r ′]) ) {\ Displaystyle \ cdot {\ Bigl (} a_ {n} ^ {(1)} (\ omega) (\ mathbf {M} _ {^ {e} _ {o} mn} ^ {(3)} [k, \ mathbf {r}] \ otimes {\ mathbf {M}} _ {^ {e} _ {o} mn} ^ {(1)} [k_ {1}, \ mathbf {r} ']) + b_ {n} ^ {(1)} (\ omega) ({\ mathbf {N}} _ {^ {e} _ {o} mn} ^ {(3)} [k, \ mathbf {r}] \ otimes {\ mathbf {N}} _ {^ {e} _ {o} mn} ^ {(1)} [k_ {1}, \ mathbf {r} ']) {\ Bigr)}}

coeficientes:

$$ a norte ( 1 )(ω)= [ ρ 1 j norte ( ρ 1 ) ] ′ h norte ( ρ 1 ) - [ ρ 1 h norte ( ρ 1 ) ] ′ j norte ( ρ 1 ) [ ρ 1 j norte ( ρ 1 ) ] ′ h norte ( ρ ) - μ 1 / μ [ ρ h norte ( ρ ) ] ′ j norte ( ρ 1 ), {\ Displaystyle a_ {n} ^ {(1)} (\ omega) = {\ frac {\ left [\ rho _ {1} j_ {n} (\ rho _ {1}) \ right] 'h_ {n } (\ rho _ {1}) - \ izquierda [\ rho _ {1} h_ {n} (\ rho _ {1}) \ derecha] 'j_ {n} (\ rho _ {1})} {\ izquierda [\ rho _ {1} j_ {n} (\ rho _ {1}) \ derecha] 'h_ {n} (\ rho) - \ mu _ {1} / \ mu \ izquierda [\ rho h_ {n } (\ rho) \ right] 'j_ {n} (\ rho _ {1})}},}

$$ B norte ( 1 )(ω)= norte norte 1 [ ρ 1 j norte ( ρ 1 ) ] ′ h norte ( ρ 1 ) - norte norte 1 [ ρ 1 h norte ( ρ 1 ) ] ′ j norte ( ρ 1 ) norte 2 μ 1 / μ [ ρ 1 j norte ( ρ 1 ) ] ′ h norte ( ρ ) - norte 1 2 [ ρ h norte ( ρ ) ] ′ j norte ( ρ 1 ). {\ Displaystyle b_ {n} ^ {(1)} (\ omega) = {\ frac {nn_ {1} \ left [\ rho _ {1} j_ {n} (\ rho _ {1}) \ right] 'h_ {n} (\ rho _ {1}) - nn_ {1} \ izquierda [\ rho _ {1} h_ {n} (\ rho _ {1}) \ derecha]' j_ {n} (\ rho _ {1})} {n ^ {2} \ mu _ {1} / \ mu \ left [\ rho _ {1} j_ {n} (\ rho _ {1}) \ right] 'h_ {n} (\ rho) -n_ {1} ^ {2} \ left [\ rho h_ {n} (\ rho) \ right] 'j_ {n} (\ rho _ {1})}}.}

La fuente está fuera de la esfera y el punto de observación está dentro (): $$

rlt;a, r ′gt;a {\ Displaystyle r lt;a, r 'gt; a}

$$ GRAMO ^ 10( r , r ′ , k , k 1)= I k 4 π ∑ norte = 1 ∞ ∑ metro = 0 norte(2- δ metro , 0) 2 norte + 1 norte ( norte + 1 ) ( norte - metro ) ! ( norte + metro ) !⋅ {\ Displaystyle {\ hat {\ bf {G}}} ^ {10} ({\ mathbf {r}, \ mathbf {r} ', k, k_ {1}}) = {\ frac {ik} {4 \ pi}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {m = 0} ^ {n} (2- \ delta _ {m, 0}) {\ frac {2n + 1} { n (n + 1)}} {\ frac {(nm)!} {(n + m)!}} \ cdot}

$$⋅ ( C norte ( 0 )(ω)( METRO o mi metro norte ( 1 )[k, r]⊗ METRO o mi metro norte ( 3 )[ k 1, r ′])+ D norte ( 0 )(ω)( norte o mi metro norte ( 1 )[k, r]⊗ norte o mi metro norte ( 3 )[ k 1, r ′]) ) {\ Displaystyle \ cdot {\ Bigl (} c_ {n} ^ {(0)} (\ omega) (\ mathbf {M} _ {^ {e} _ {o} mn} ^ {(1)} [k, \ mathbf {r}] \ otimes {\ mathbf {M}} _ {^ {e} _ {o} mn} ^ {(3)} [k_ {1}, \ mathbf {r} ']) + d_ {n} ^ {(0)} (\ omega) ({\ mathbf {N}} _ {^ {e} _ {o} mn} ^ {(1)} [k, \ mathbf {r}] \ otimes {\ mathbf {N}} _ {^ {e} _ {o} mn} ^ {(3)} [k_ {1}, \ mathbf {r} ']) {\ Bigr)}}

coeficientes:

$$ C norte ( 0 )(ω)= [ ρ h norte ( ρ ) ] ′ j norte ( ρ ) - [ ρ j norte ( ρ ) ] ′ h norte ( ρ ) [ ρ h norte ( ρ ) ] ′ j norte ( ρ 1 ) - μ / μ 1 [ ρ 1 j norte ( ρ 1 ) ] ′ h norte ( ρ ), {\ Displaystyle c_ {n} ^ {(0)} (\ omega) = {\ frac {\ left [\ rho h_ {n} (\ rho) \ right] 'j_ {n} (\ rho) - \ left [\ rho j_ {n} (\ rho) \ right] 'h_ {n} (\ rho)} {\ left [\ rho h_ {n} (\ rho) \ right]' j_ {n} (\ rho _ {1}) - \ mu / \ mu _ {1} \ left [\ rho _ {1} j_ {n} (\ rho _ {1}) \ right] 'h_ {n} (\ rho)}}, }

$$ D norte ( 0 )(ω)= norte norte 1 [ ρ h norte ( ρ ) ] ′ j norte ( ρ ) - norte norte 1 [ ρ j norte ( ρ ) ] ′ h norte ( ρ ) norte 1 2 μ / μ 1 [ ρ h norte ( ρ ) ] ′ j norte ( ρ 1 ) - norte 2 [ ρ 1 j norte ( ρ 1 ) ] ′ j norte ( ρ ). {\ Displaystyle d_ {n} ^ {(0)} (\ omega) = {\ frac {nn_ {1} \ left [\ rho h_ {n} (\ rho) \ right] 'j_ {n} (\ rho) -nn_ {1} \ izquierda [\ rho j_ {n} (\ rho) \ derecha] 'h_ {n} (\ rho)} {n_ {1} ^ {2} \ mu / \ mu _ {1} \ left [\ rho h_ {n} (\ rho) \ right] 'j_ {n} (\ rho _ {1}) - n ^ {2} \ left [\ rho _ {1} j_ {n} (\ rho _ {1}) \ right] 'j_ {n} (\ rho)}}.}

Códigos computacionales

Las soluciones Mie se implementan en una serie de programas escritos en diferentes lenguajes informáticos como Fortran, MATLAB y Mathematica. Estas soluciones resuelven una serie infinita y proporcionan como salida el cálculo de la función de fase de dispersión, las eficiencias de extinción, dispersión y absorción, y otros parámetros como parámetros de asimetría o par de radiación. El uso actual del término "solución de Mie" indica una aproximación en serie a una solución de las ecuaciones de Maxwell. Hay varios objetos conocidos que permiten tal solución: esferas, esferas concéntricas, cilindros infinitos, racimos de esferas y racimos de cilindros. También existen soluciones en serie conocidas para la dispersión por partículas elipsoidales. A continuación, se proporciona una lista de códigos que implementan estas soluciones especializadas:

• Códigos de dispersión electromagnética por esferas : soluciones para una sola esfera, esferas revestidas, esferas multicapa y grupos de esferas;
• Códigos para la dispersión electromagnética por cilindros : soluciones para un solo cilindro, cilindros multicapa y grupo de cilindros.

Una generalización que permite un tratamiento de partículas con formas más generales es el método de la matriz T, que también se basa en una aproximación en serie a las soluciones de las ecuaciones de Maxwell.

Vea también enlaces externos para otros códigos y calculadoras.

Aplicaciones

La teoría de Mie es muy importante en la óptica meteorológica, donde las relaciones de diámetro a longitud de onda del orden de la unidad y mayores son características de muchos problemas relacionados con la neblina y la dispersión de nubes. Otra aplicación es la caracterización de partículas mediante mediciones de dispersión óptica. La solución de Mie también es importante para comprender la apariencia de materiales comunes como la leche, el tejido biológico y la pintura de látex.

Ciencia atmosférica

La dispersión de Mie ocurre cuando los diámetros de las partículas atmosféricas son similares o mayores que las longitudes de onda de la luz dispersa. El polvo, el polen, el humo y las gotas de agua microscópicas que forman las nubes son causas comunes de la dispersión de Mie. La dispersión de Mie ocurre principalmente en las porciones más bajas de la atmósfera, donde las partículas más grandes son más abundantes y predomina en condiciones nubladas.

Detección y cribado de cáncer

La teoría de Mie se ha utilizado para determinar si la luz dispersa del tejido corresponde a núcleos de células sanas o cancerosas mediante interferometría de baja coherencia resuelta en ángulo.

Análisis de laboratorio clínico

La teoría de Mie es un principio central en la aplicación de ensayos basados ​​en nefelometría, ampliamente utilizados en medicina para medir diversas proteínas plasmáticas. Se puede detectar y cuantificar una amplia gama de proteínas plasmáticas mediante nefelometría.

Partículas magnéticas

Se producen varios efectos de dispersión electromagnética inusuales en las esferas magnéticas. Cuando la permitividad relativa es igual a la permeabilidad, la ganancia de retrodispersión es cero. Además, la radiación dispersa está polarizada en el mismo sentido que la radiación incidente. En el límite de partículas pequeñas (o de longitud de onda larga), pueden darse condiciones para una dispersión directa cero, una polarización completa de la radiación dispersa en otras direcciones y una asimetría entre la dispersión frontal y la retrodispersión. El caso especial en el límite de partículas pequeñas proporciona casos especiales interesantes de polarización completa y asimetría de dispersión hacia adelante con dispersión hacia atrás.

Metamaterial

La teoría de Mie se ha utilizado para diseñar metamateriales. Por lo general, consisten en compuestos tridimensionales de inclusiones metálicas o no metálicas incrustados de forma periódica o aleatoria en una matriz de baja permitividad. En tal esquema, los parámetros constitutivos negativos están diseñados para aparecer alrededor de las resonancias Mie de las inclusiones: la permitividad efectiva negativa está diseñada alrededor de la resonancia del coeficiente de dispersión del dipolo eléctrico Mie, mientras que la permeabilidad efectiva negativa está diseñada alrededor de la resonancia del Mie. El coeficiente de dispersión del dipolo magnético y el material doblemente negativo (DNG) está diseñado alrededor de la superposición de resonancias de los coeficientes de dispersión del dipolo eléctrico y magnético de Mie. La partícula suele tener las siguientes combinaciones:

1. un conjunto de partículas magnetodieléctricas con valores de permitividad y permeabilidad relativas mucho mayores que uno y cercanos entre sí;
2. dos partículas dieléctricas diferentes con igual permitividad pero diferente tamaño;
3. dos partículas dieléctricas diferentes con el mismo tamaño pero diferente permitividad.

En teoría, las partículas analizadas por la teoría de Mie son comúnmente esféricas pero, en la práctica, las partículas generalmente se fabrican como cubos o cilindros para facilitar la fabricación. Para cumplir los criterios de homogeneización, que pueden establecerse en la forma en que la constante de red es mucho más pequeña que la longitud de onda operativa, la permitividad relativa de las partículas dieléctricas debe ser mucho mayor que 1, por ejemplo, para lograr una permitividad efectiva negativa (permeabilidad). $$

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Dimensionamiento de partículas

La teoría de Mie se aplica a menudo en el análisis de difracción láser para inspeccionar el efecto de tamaño de partículas. Si bien las primeras computadoras en la década de 1970 solo podían calcular datos de difracción con la aproximación Fraunhofer más simple, Mie se usa ampliamente desde la década de 1990 y se recomienda oficialmente para partículas por debajo de 50 micrómetros en la directriz ISO 13320: 2009.

La teoría de Mie se ha utilizado en la detección de la concentración de aceite en agua contaminada.

La dispersión de Mie es el método principal para dimensionar las burbujas de aire sonoluminiscentes individuales en el agua y es válido para cavidades en materiales, así como partículas en materiales, siempre que el material circundante sea esencialmente no absorbente.

Parasitología

También se ha utilizado para estudiar la estructura de Plasmodium falciparum, una forma particularmente patógena de malaria.

Extensiones

En 1986, PA Bobbert y J. Vlieger ampliaron el modelo de Mie para calcular la dispersión por una esfera en un medio homogéneo colocado sobre una superficie plana. Al igual que el modelo de Mie, el modelo extendido se puede aplicar a esferas con un radio cercano a la longitud de onda de la luz incidente. Existe un código C ++ que implementa el modelo Bobbert – Vlieger (BV). Los desarrollos recientes están relacionados con la dispersión por elipsoide. Los estudios contemporáneos se basan en investigaciones bien conocidas de Rayleigh.

Ver también

• Electromagnetismo computacional
• Dispersión de luz por partículas
• Lista de códigos de transferencia radiativa atmosférica
• Códigos de dispersión electromagnética por esferas
• Propiedades ópticas del agua y el hielo.

Referencias

Otras lecturas

• Kerker, M. (1969). La dispersión de luz y otras radiaciones electromagnéticas. Nueva York: Académico.
• Barber, PW; Hill, SS (1990). Dispersión de luz por partículas: métodos computacionales. Singapur: World Scientific. ISBN   978-9971-5-0813-5.
• Mishchenko, M.; Travis, L.; Lacis, A. (2002). Dispersión, absorción y emisión de luz por partículas pequeñas. Nueva York: Cambridge University Press. ISBN   978-0-521-78252-4.
• Frisvad, J.; Christensen, N.; Jensen, H. (2007). "Calcular las propiedades de dispersión de los medios participantes utilizando la teoría de Lorenz-Mie" (PDF). Transacciones ACM sobre gráficos. 26 (3): 60. doi : 10.1145 / 1276377.1276452.
• Wriedt, Thomas (2008). "Teoría de Mie 1908, en el teléfono móvil 2008". Revista de espectroscopia cuantitativa y transferencia radiativa. 109 (8): 1543-1548. Código Bibliográfico : 2008JQSRT.109.1543W. doi : 10.1016 / j.jqsrt.2008.01.009.
• Lorenz, Ludvig (1890). "Lysbevægelsen i og uden for en af ​​plane Lysbølger belyst Kugle". Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter. 6 (6): 1–62.

enlaces externos

• JMIE ( código 2D C ++ para calcular los campos analíticos alrededor de un cilindro infinito, desarrollado por Jeffrey M. McMahon)
• SCATTERLIB: colección de códigos de dispersión de luz
• www.T-Matrix.de. Implementaciones de soluciones Mie en FORTRAN, C ++, IDL, Pascal, Mathematica y Mathcad
• ScatLab. Software de dispersión Mie para Windows.
• Scattnlay, un paquete de solución C ++ Mie de código abierto con contenedor Python. Proporciona resultados de simulación tanto de campo lejano como de campo cercano para esferas de varias capas.
• STRATIFY Código MatLab de dispersión de esferas multicapa en los casos en que la fuente es un dipolo puntual y una onda plana. Descripción en arXiv: 2006.06512
• La calculadora de dispersión Mie en línea proporciona resultados de simulación para esferas masivas, core-shell y multicapa. Los parámetros de material se pueden establecer mediante enlaces a archivos nk-data del sitio web refractiveindex.info. El código fuente es parte del proyecto Scattnlay disponible gratuitamente en GitHub
• La calculadora de soluciones Mie en línea está disponible, con documentación en alemán e inglés.
• La calculadora de dispersión de Mie en línea produce hermosos gráficos sobre una variedad de parámetros.
• phpMie Online Calculadora de dispersión Mie escrita en PHP.
• Difusión de luz mediada por resonancia Mie y láser aleatorio.
• Mie solución para partículas esféricas.
• PyMieScatt, un paquete de solución de Mie escrito en Python.
• pyMieForAll, un paquete de solución C ++ Mie de código abierto con contenedor Python.