Modus ponens

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El "razonamiento hacia adelante" vuelve a dirigir aquí. Para otros usos, consulte Encadenamiento directo.

Reglas de transformación
Cálculo proposicional
Reglas de inferencia
Introducción / eliminación de implicaciones ( modus ponens) Introducción / eliminación bicondicional Introducción / eliminación de conjunción Introducción / eliminación de disyunción Silogismo disyuntivo / hipotético Dilema constructivo / destructivo Absorción / modus tollens / modus ponendo tollens Introducción a la negación
Reglas de reemplazo
Asociatividad Conmutatividad Distributividad Doble negación Leyes de de Morgan Transposición Implicación material Exportación Tautología
Lógica de predicados
Reglas de inferencia
Generalización / instanciación universal Generalización existencial / instanciación
v t mi

En la lógica de proposiciones, modus ponens ( / m oʊ d ə s p oʊ n ɛ n z / ; MP), también conocido como modus ponendo ponens ( América para "método de poner colocando") o eliminación implicación o afirmar el antecedente, es una forma de argumento deductivo y una regla de inferencia. Se puede resumir como " P implica Q. P es verdadero. Por lo tanto, Q también debe ser verdadero".

Modus ponens está estrechamente relacionado con otra forma válida de argumento, modus tollens. Ambos tienen formas aparentemente similares pero inválidas, como afirmar el consecuente, negar el antecedente y evidencia de ausencia. El dilema constructivo es la versión disyuntiva del modus ponens. El silogismo hipotético está estrechamente relacionado con el modus ponens y, a veces, se lo considera un "doble modus ponens ".

La historia del modus ponens se remonta a la antigüedad. El primero en describir explícitamente la forma del argumento modus ponens fue Theophrastus. Junto con el modus tollens, es uno de los patrones estándar de inferencia que se puede aplicar para derivar cadenas de conclusiones que conduzcan al objetivo deseado.

Contenido

1 Explicación
2 notación formal
3 Justificación mediante tabla de verdad
4 Estado
5 Correspondencia a otros marcos matemáticos
- 5.1 Cálculo de probabilidades
- 5.2 Lógica subjetiva
6 supuestos casos de fracaso
7 posibles falacias
8 Véase también
9 referencias
10 fuentes
11 Enlaces externos

Explicación

La forma de un argumento modus ponens se asemeja a un silogismo, con dos premisas y una conclusión:

Si P, entonces Q.

Por lo tanto, Q.

La primera premisa es una condicional ( "if-then") reclamación, a saber, que P implica Q. La segunda premisa es una afirmación de que P, el antecedente de la afirmación condicional, es el caso. A partir de estas dos premisas se puede concluir lógicamente que Q, el consecuente de la afirmación condicional, también debe ser el caso.

Un ejemplo de un argumento que se ajusta a la forma modus ponens:

Si hoy es martes, John se irá a trabajar.

Hoy es martes.

Por tanto, John se pondrá manos a la obra.

Este argumento es válido, pero no influye en si alguna de las afirmaciones del argumento es realmente cierta ; para que modus ponens sea un argumento sólido, las premisas deben ser verdaderas para cualquier instancia verdadera de la conclusión. Un argumento puede ser válido pero, no obstante, erróneo si una o más premisas son falsas; si un argumento es válido y todas las premisas son verdaderas, entonces el argumento es sólido. Por ejemplo, John podría ir a trabajar el miércoles. En este caso, el razonamiento por el que John va a trabajar (porque es miércoles) no es sólido. El argumento solo es sólido los martes (cuando John va a trabajar), pero es válido todos los días de la semana. Se dice que un argumento proposicional que utiliza modus ponens es deductivo.

En cálculos secuenciales de conclusión única, modus ponens es la regla de corte. El teorema de eliminación de cortes para un cálculo dice que toda prueba que involucre a Cortar se puede transformar (generalmente, por un método constructivo) en una demostración sin Cortar y, por lo tanto, Cortar es admisible.

La correspondencia Curry-Howard entre pruebas y programas se refiere modus ponens para aplicación de función : si f es una función de tipo P → Q y x es de tipo P, entonces fx es de tipo Q.

En inteligencia artificial, el modus ponens a menudo se denomina encadenamiento directo.

Notación formal

La regla del modus ponens puede escribirse en notación secuencial como

P\to Q,\;P\;\;\vdash \;\;Q

PAG→Q,PAG⊢Q

{\ Displaystyle P \ a Q, \; P \; \; \ vdash \; \; Q}

P \ a Q, \; PAG\;\; \ vdash \; \; Q

donde P, Q y P → Q son declaraciones (o proposiciones) en un lenguaje formal y ⊢ es un símbolo metalológico que significa que Q es una consecuencia sintáctica de P y P → Q en algún sistema lógico.

Justificación mediante tabla de verdad

La validez del modus ponens en la lógica clásica de dos valores puede demostrarse claramente mediante el uso de una tabla de verdad.

pag	q	p → q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

En instancias de modus ponens asumimos como premisas que p → q es verdadero y p es verdadero. Sólo una línea de la tabla de verdad, la primera, satisface estas dos condiciones ( p y p → q). En esta línea, q también es cierto. Por lo tanto, siempre que p → q sea verdadero y p sea verdadero, q también debe ser cierto.

Estado

Si bien el modus ponens es una de las formas de argumento más comúnmente utilizadas en lógica, no debe confundirse con una ley lógica; más bien, es uno de los mecanismos aceptados para la construcción de pruebas deductivas que incluye la "regla de definición" y la "regla de sustitución". Modus ponens permite eliminar un enunciado condicional de una prueba o argumento lógico (los antecedentes) y, por lo tanto, no llevar estos antecedentes hacia adelante en una cadena de símbolos cada vez más larga; por esta razón, el modus ponens se denomina a veces la regla del desapego o la ley del desapego. Enderton, por ejemplo, observa que "modus ponens puede producir fórmulas más cortas a partir de fórmulas más largas", y Russell observa que "el proceso de inferencia no puede reducirse a símbolos. Su único registro es la ocurrencia de ⊦q [el consecuente].. una inferencia es la eliminación de una premisa verdadera; es la disolución de una implicación ".

Una justificación para la "confianza en la inferencia es la creencia de que si las dos afirmaciones anteriores [los antecedentes] no están equivocadas, la afirmación final [el consecuente] no está equivocada". En otras palabras: si un enunciado o proposición implica un segundo, y el primer enunciado o proposición es verdadero, entonces el segundo también es verdadero. Si P implica Q y P es verdadera, entonces Q es verdadera.

Correspondencia a otros marcos matemáticos

Cálculo de probabilidades

Modus ponens representa una instancia de la Ley de probabilidad total que para una variable binaria se expresa como:

$\Pr(Q)=\Pr(Q\mid P)\Pr(P)+\Pr(Q\mid \lnot P)\Pr(\lnot P)\,$

Pr(Q)=Pr(Q∣PAG)Pr(PAG)+Pr(Q∣¬PAG)Pr(¬PAG)

{\ Displaystyle \ Pr (Q) = \ Pr (Q \ mid P) \ Pr (P) + \ Pr (Q \ mid \ lnot P) \ Pr (\ lnot P) \,}

{\ Displaystyle \ Pr (Q) = \ Pr (Q \ mid P) \ Pr (P) + \ Pr (Q \ mid \ lnot P) \ Pr (\ lnot P) \,}

donde, por ejemplo, denota la probabilidad de y la probabilidad condicional generaliza la implicación lógica. Suponga que eso es equivalente a ser VERDADERO, y eso es equivalente a ser FALSO. Entonces es fácil ver que cuando y. Por tanto, la ley de la probabilidad total representa una generalización del modus ponens. $\Pr(Q)$

Pr(Q)

{\ Displaystyle \ Pr (Q)}

{\ Displaystyle \ Pr (Q)}

{\ displaystyle Q}

Q

\Pr(Q\mid P)

Pr(Q∣PAG)

{\ Displaystyle \ Pr (Q \ mid P)}

{\ Displaystyle \ Pr (Q \ mid P)}

P\to Q

PAG→Q

{\ Displaystyle P \ a Q}

P \ a Q

\Pr(Q)=1

Pr(Q)=1

{\ Displaystyle \ Pr (Q) = 1}

{\ Displaystyle \ Pr (Q) = 1}

{\ displaystyle Q}

Q

\Pr(Q)=0

Pr(Q)=0

{\ Displaystyle \ Pr (Q) = 0}

{\ Displaystyle \ Pr (Q) = 0}

{\ displaystyle Q}

Q

\Pr(Q)=1

Pr(Q)=1

{\ Displaystyle \ Pr (Q) = 1}

{\ Displaystyle \ Pr (Q) = 1}

\Pr(Q\mid P)=1

Pr(Q∣PAG)=1

{\ Displaystyle \ Pr (Q \ mid P) = 1}

{\ Displaystyle \ Pr (Q \ mid P) = 1}

\Pr(P)=1

Pr(PAG)=1

{\ Displaystyle \ Pr (P) = 1}

{\ Displaystyle \ Pr (P) = 1}

Lógica subjetiva

Modus ponens representa una instancia del operador de deducción binomial en lógica subjetiva expresada como:

$\omega _{Q\|P}^{A}=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})\circledcirc \omega _{P}^{A}\,$

ω Q ‖ PAG A=( ω Q | PAG A, ω Q | ¬ PAG A)⊚ ω PAG A

{\ Displaystyle \ omega _ {Q \ | P} ^ {A} = (\ omega _ {Q | P} ^ {A}, \ omega _ {Q | \ lnot P} ^ {A}) \ circledcirc \ omega _ {P} ^ {A} \,}

{\ Displaystyle \ omega _ {Q \ | P} ^ {A} = (\ omega _ {Q | P} ^ {A}, \ omega _ {Q | \ lnot P} ^ {A}) \ circledcirc \ omega _ {P} ^ {A} \,}

donde denota la opinión subjetiva sobre tal como la expresa la fuente, y la opinión condicional generaliza la implicación lógica. La opinión marginal deducida sobre se denota con. El caso en el que hay una opinión VERDADERA absoluta sobre es equivalente a que la fuente diga que es VERDADERO, y el caso en el que hay una opinión FALSA absoluta sobre es equivalente a que la fuente diga que es FALSO. El operador de deducción de la lógica subjetiva produce una opinión deducida VERDADERA absoluta cuando la opinión condicional es VERDADERA absoluta y la opinión antecedente es VERDADERA absoluta. Por tanto, la deducción lógica subjetiva representa una generalización tanto del modus ponens como de la Ley de probabilidad total. $\omega _{P}^{A}$

ω PAG A

{\ Displaystyle \ omega _ {P} ^ {A}}

{\ Displaystyle \ omega _ {P} ^ {A}}

PAG

{\ Displaystyle P}

PAG

{\ Displaystyle A}

A

\omega _{Q|P}^{A}

ω Q | PAG A

{\ Displaystyle \ omega _ {Q | P} ^ {A}}

{\ Displaystyle \ omega _ {Q | P} ^ {A}}

P\to Q

PAG→Q

{\ Displaystyle P \ a Q}

P \ a Q

{\ displaystyle Q}

Q

\omega _{Q\|P}^{A}

ω Q ‖ PAG A

{\ Displaystyle \ omega _ {Q \ | P} ^ {A}}

{\ Displaystyle \ omega _ {Q \ | P} ^ {A}}

\omega _{P}^{A}

ω PAG A

{\ Displaystyle \ omega _ {P} ^ {A}}

{\ Displaystyle \ omega _ {P} ^ {A}}

PAG

{\ Displaystyle P}

PAG

{\ Displaystyle A}

A

PAG

{\ Displaystyle P}

PAG

\omega _{P}^{A}

ω PAG A

{\ Displaystyle \ omega _ {P} ^ {A}}

{\ Displaystyle \ omega _ {P} ^ {A}}

PAG

{\ Displaystyle P}

PAG

{\ Displaystyle A}

A

PAG

{\ Displaystyle P}

PAG

\circledcirc

⊚

{\ Displaystyle \ circledcirc}

{\ Displaystyle \ circledcirc}

\omega _{Q\|P}^{A}

ω Q ‖ PAG A

{\ Displaystyle \ omega _ {Q \ | P} ^ {A}}

{\ Displaystyle \ omega _ {Q \ | P} ^ {A}}

\omega _{Q|P}^{A}

ω Q | PAG A

{\ Displaystyle \ omega _ {Q | P} ^ {A}}

{\ Displaystyle \ omega _ {Q | P} ^ {A}}

\omega _{P}^{A}

ω PAG A

{\ Displaystyle \ omega _ {P} ^ {A}}

{\ Displaystyle \ omega _ {P} ^ {A}}

Supuestos casos de fracaso

Filósofos y lingüistas han identificado una variedad de casos en los que el modus ponens parece fallar. Vann McGee identificó un famoso contraejemplo putativo, quien argumentó que el modus ponens puede fallar para los condicionales cuyos consecuentes son en sí mismos condicionales.

Cualquiera de Shakespeare o Hobbes escribió Hamlet.
Si Shakespeare o Hobbes escribieron Hamlet, si Shakespeare no lo hizo, Hobbes lo hizo.
Por tanto, si Shakespeare no escribió Hamlet, lo hizo Hobbes.

Dado que Shakespeare escribió Hamlet, la primera premisa es cierta. La segunda premisa también es cierta, ya que partir de un conjunto de posibles autores limitado solo a Shakespeare y Hobbes y eliminar uno de ellos deja solo al otro. Sin embargo, la conclusión puede parecer falsa ya que descartar a Shakespeare como autor de Hamlet dejaría numerosos candidatos posibles, muchos de ellos alternativas más plausibles que Hobbes.

La forma general de los contraejemplos de tipo McGee para modus ponens es simplemente, por lo tanto ; no es esencial que sea una disyunción, como en el ejemplo dado. Que este tipo de casos constituyan fallas del modus ponens sigue siendo una opinión minoritaria entre los lógicos, pero las opiniones varían sobre cómo deben resolverse los casos. $P,P\rightarrow (Q\rightarrow R)$

PAG,PAG→(Q→R)

{\ displaystyle P, P \ rightarrow (Q \ rightarrow R)}

{\ displaystyle P, P \ rightarrow (Q \ rightarrow R)}

Q\rightarrow R

Q→R

{\ displaystyle Q \ rightarrow R}

{\ displaystyle Q \ rightarrow R}

PAG

{\ Displaystyle P}

PAG

En la lógica deóntica, algunos ejemplos de obligación condicional también plantean la posibilidad de que falle el modus ponens. Estos son casos en los que la premisa condicional describe una obligación basada en una acción inmoral o imprudente, por ejemplo, "Si Doe asesina a su madre, debe hacerlo con gentileza", por lo que la dudosa conclusión incondicional sería "Doe debe asesinar gentilmente a su madre". madre." Parecería deducirse que si Doe de hecho está asesinando suavemente a su madre, entonces, por modus ponens, está haciendo exactamente lo que debería, incondicionalmente, hacer. Aquí nuevamente, la falla del modus ponens no es un diagnóstico popular, pero a veces se argumenta a favor.

Posibles falacias

La falacia de afirmar el consecuente es una mala interpretación común del modus ponens.

Ver también

Desprendimiento condensado
Importación-Exportación (lógica) - Principio de la lógica clásica
Frases latinas
Modus tollens - Regla de inferencia lógica
Modus vivendi - Acuerdo que permite que las partes en conflicto coexistan en paz
Lógica estoica : sistema de lógica proposicional desarrollado por los filósofos estoicos
Lo que la tortuga le dijo a Aquiles - Diálogo alegórico de Lewis Carroll

Referencias

Fuentes

Herbert B. Enderton, 2001, Una introducción matemática a la lógica, segunda edición, Harcourt Academic Press, Burlington MA, ISBN 978-0-12-238452-3.
Audun Jøsang, 2016, Lógica subjetiva; Un formalismo para el razonamiento bajo incertidumbre Springer, Cham, ISBN 978-3-319-42337-1
Alfred North Whitehead y Bertrand Russell 1927 Principia Mathematica a * 56 (Segunda edición) edición de bolsillo de 1962, Cambridge en University Press, Londres, Reino Unido. Sin ISBN, sin LCCCN.
Alfred Tarski 1946 Introducción a la lógica y la metodología de las ciencias deductivas 2ª edición, reimpreso por Dover Publications, Mineola NY. ISBN 0-486-28462-X (pbk).

enlaces externos

"Modus ponens", Enciclopedia de Matemáticas, EMS Press, 2001 [1994]
Modus ponens en PhilPapers
Modus ponens en Wolfram MathWorld