Modus tollens

Reglas de transformación
Cálculo proposicional
Reglas de inferencia
Introducción  / eliminación de implicaciones ( modus ponens) Introducción  / eliminación bicondicional Introducción  / eliminación de conjunción Introducción  / eliminación de disyunción Silogismo disyuntivo  / hipotético Dilema constructivo  / destructivo Absorción  / modus tollens  / modus ponendo tollens Introducción a la negación
Reglas de reemplazo
Asociatividad Conmutatividad Distributividad Doble negación Leyes de de Morgan Transposición Implicación material Exportación Tautología
Lógica de predicados
Reglas de inferencia
Generalización  / instanciación universal Generalización existencial  / instanciación

En la lógica de proposiciones, modus tollens ( / m oʊ d ə s t ɒ l ɛ n z / ) ( MT), también conocido como modus tollendo Tollens ( América para "método de eliminación mediante la eliminación de") y negar el consiguiente, es una forma de argumento deductivo y una regla de inferencia. Modus tollens toma la forma de "Si P, entonces Q. No Q. Por lo tanto, no P." Es una aplicación de la verdad general de que si un enunciado es verdadero, también lo es su contrapositivo. La forma muestra que la inferencia de P implica Q a la negación de Q implica que la negación de P es un argumento válido.

La historia de la regla de inferencia modus tollens se remonta a la antigüedad. El primero en describir explícitamente la forma del argumento modus tollens fue Theophrastus.

Modus tollens está estrechamente relacionado con el modus ponens. Hay dos formas de argumentación similares, pero inválidas : afirmar el consecuente y negar el antecedente. Ver también contraposición y prueba por contrapositivo.

• 1 Explicación
• 2 Relación con el modus ponens
• 3 notación formal
• 4 Justificación mediante tabla de verdad
• 5 Prueba formal
  • 5.1 Vía silogismo disyuntivo
  • 5.2 Vía reductio ad absurdum
  • 5.3 Vía contraposición
• 6 Correspondencia a otros marcos matemáticos
  • 6.1 Cálculo de probabilidades
  • 6.2 Lógica subjetiva
• 7 Véase también
• 8 notas
• 9 Fuentes
• 10 enlaces externos

Explicación

La forma de un argumento modus tollens se asemeja a un silogismo, con dos premisas y una conclusión:

Si P, entonces Q.

No Q.

Por lo tanto, no P.

La primera premisa es una condicional ( "if-then") reclamación, tales como P implica Q. La segunda premisa es una afirmación de que Q, el consecuente de la afirmación condicional, no es el caso. A partir de estas dos premisas se puede concluir lógicamente que P, el antecedente de la afirmación condicional, tampoco es el caso.

Por ejemplo:

Si el perro detecta un intruso, ladrará.

El perro no ladró.

Por lo tanto, el perro no detectó ningún intruso.

Suponiendo que las dos premisas son verdaderas (el perro ladrará si detecta un intruso y, de hecho, no ladrará), se deduce que no se ha detectado ningún intruso. Este es un argumento válido ya que no es posible que la conclusión sea falsa si las premisas son verdaderas. (Es concebible que haya habido un intruso que el perro no detectó, pero eso no invalida el argumento; la primera premisa es "si el perro detecta un intruso". Lo importante es que el perro detecte o no no detectar un intruso, no si hay uno.)

Otro ejemplo:

Si soy el asesino del hacha, entonces puedo usar un hacha.

No puedo usar un hacha.

Por lo tanto, no soy el asesino del hacha.

Otro ejemplo:

Si Rex es un pollo, entonces es un pájaro.

Rex no es un pájaro.

Por tanto, Rex no es una gallina.

Relación con el modus ponens

Cada uso de modus tollens puede convertirse en un uso de modus ponens y un uso de transposición a la premisa, que es una implicación material. Por ejemplo:

Si P, entonces Q. (premisa - implicación material)

Si no Q, entonces no P. (derivado por transposición)

No Q. (premisa)

Por lo tanto, no P. (derivado de modus ponens)

Asimismo, cada uso de modus ponens puede convertirse en un uso de modus tollens y transposición.

Notación formal

La regla del modus tollens se puede establecer formalmente como:

$$ PAG → Q , ¬ Q ∴ ¬ PAG {\ Displaystyle {\ frac {P \ a Q, \ neg Q} {\ por lo tanto \ neg P}}}

donde representa el enunciado "P implica Q". significa "no es el caso de que Q" (o en resumen "no Q"). Entonces, siempre que " " y " " aparezcan por sí mismos como una línea de una prueba, entonces " " se puede colocar válidamente en una línea posterior. $$

PAG→Q {\ Displaystyle P \ a Q}$$¬Q {\ Displaystyle \ neg Q}$$PAG→Q {\ Displaystyle P \ a Q}$$¬Q {\ Displaystyle \ neg Q} $$¬PAG {\ Displaystyle \ neg P}

La regla del modus tollens se puede escribir en notación secuencial :

$$PAG→Q,¬Q⊢¬PAG {\ Displaystyle P \ a Q, \ neg Q \ vdash \ neg P}

donde es un significado de símbolo metalógico que es una consecuencia sintáctica de y en algún sistema lógico ; $$

⊢ {\ Displaystyle \ vdash} $$¬PAG {\ Displaystyle \ neg P} $$PAG→Q {\ Displaystyle P \ a Q}$$¬Q {\ Displaystyle \ neg Q}

o como el enunciado de una tautología funcional o teorema de lógica proposicional:

$$((PAG→Q)∧¬Q)→¬PAG {\ Displaystyle ((P \ a Q) \ land \ neg Q) \ to \ neg P}

dónde y son proposiciones expresadas en algún sistema formal ; $$

PAG {\ Displaystyle P}$$Q {\ displaystyle Q}

o incluyendo supuestos:

$$ Γ ⊢ PAG → Q       Γ ⊢ ¬ Q Γ ⊢ ¬ PAG {\ Displaystyle {\ frac {\ Gamma \ vdash P \ to Q ~~~ \ Gamma \ vdash \ neg Q} {\ Gamma \ vdash \ neg P}}}

aunque dado que la regla no cambia el conjunto de supuestos, esto no es estrictamente necesario.

A menudo se ven reescrituras más complejas que involucran modus tollens, por ejemplo, en la teoría de conjuntos :

$$PAG⊆Q {\ Displaystyle P \ subseteq Q}

$$X∉Q {\ Displaystyle x \ notin Q}

$$∴X∉PAG {\ Displaystyle \ por lo tanto x \ notin P}

("P es un subconjunto de Q. x no está en Q. Por lo tanto, x no está en P.")

También en la lógica de predicados de primer orden:

$$∀X: PAG(X)→Q(X) {\ Displaystyle \ forall x: ~ P (x) \ to Q (x)}

$$¬Q(y) {\ Displaystyle \ neg Q (y)}

$$∴ ¬PAG(y) {\ Displaystyle \ por lo tanto ~ \ neg P (y)}

("Para todo x, si x es P, entonces x es Q. y no es Q. Por lo tanto, y no es P.")

Estrictamente hablando, estos no son casos de modus tollens, pero pueden derivarse de modus tollens utilizando algunos pasos adicionales.

Justificación mediante tabla de verdad

La validez del modus tollens se puede demostrar claramente a través de una tabla de verdad.

pag	q	p → q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

En casos de modus tollens asumimos como premisas que p → q es verdadero y q es falso. Solo hay una línea de la tabla de verdad, la cuarta línea, que satisface estas dos condiciones. En esta línea, p es falso. Por lo tanto, en todos los casos en los que p → q es verdadero yq es falso, p también debe ser falso.

Prueba formal

Vía silogismo disyuntivo

Paso	Proposición	Derivación
1	$$PAG→Q {\ Displaystyle P \ rightarrow Q}	Dado
2	$$¬Q {\ Displaystyle \ neg Q}	Dado
3	$$¬PAG∨Q {\ Displaystyle \ neg P \ lor Q}	Implicación material (1)
4	$$¬PAG {\ Displaystyle \ neg P}	Silogismo disyuntivo (3,2)

Via reductio ad absurdum

Paso	Proposición	Derivación
1	$$PAG→Q {\ Displaystyle P \ rightarrow Q}	Dado
2	$$¬Q {\ Displaystyle \ neg Q}	Dado
3	$$PAG {\ Displaystyle P}	Suposición
4	$$Q {\ displaystyle Q}	Modus ponens (1,3)
5	$$Q∧¬Q {\ Displaystyle Q \ land \ neg Q}	Introducción a la conjunción (2,4)
6	$$¬PAG {\ Displaystyle \ neg P}	Reductio ad absurdum (3,5)
7	$$¬Q→¬PAG {\ Displaystyle \ neg Q \ rightarrow \ neg P}	Introducción condicional (2,6)

Por contraposición

Paso	Proposición	Derivación
1	$$PAG→Q {\ Displaystyle P \ rightarrow Q}	Dado
2	$$¬Q {\ Displaystyle \ neg Q}	Dado
3	$$¬Q→¬PAG {\ Displaystyle \ neg Q \ rightarrow \ neg P}	Contraposición (1)
4	$$¬PAG {\ Displaystyle \ neg P}	Modus ponens (2,3)

Correspondencia a otros marcos matemáticos

Cálculo de probabilidades

Modus tollens representa una instancia de la ley de probabilidad total combinada con el teorema de Bayes expresado como:

$$

Pr(PAG)=Pr(PAG∣Q)Pr(Q)+Pr(PAG∣¬Q)Pr(¬Q) {\ Displaystyle \ Pr (P) = \ Pr (P \ mid Q) \ Pr (Q) + \ Pr (P \ mid \ lnot Q) \ Pr (\ lnot Q) \,},

donde los condicionales y se obtienen con (la forma extendida del) teorema de Bayes expresado como: $$

Pr(PAG∣Q) {\ Displaystyle \ Pr (P \ mid Q)}$$Pr(PAG∣¬Q) {\ Displaystyle \ Pr (P \ mid \ lnot Q)}

$$

Pr(PAG∣Q)= Pr ( Q ∣ PAG ) a ( PAG ) Pr ( Q ∣ PAG ) a ( PAG ) + Pr ( Q ∣ ¬ PAG ) a ( ¬ PAG ) {\ Displaystyle \ Pr (P \ mid Q) = {\ frac {\ Pr (Q \ mid P) \, a (P)} {\ Pr (Q \ mid P) \, a (P) + \ Pr ( Q \ mid \ lnot P) \, a (\ lnot P)}} \; \; \;}y. $$Pr(PAG∣¬Q)= Pr ( ¬ Q ∣ PAG ) a ( PAG ) Pr ( ¬ Q ∣ PAG ) a ( PAG ) + Pr ( ¬ Q ∣ ¬ PAG ) a ( ¬ PAG ) {\ Displaystyle \; \; \; \ Pr (P \ mid \ lnot Q) = {\ frac {\ Pr (\ lnot Q \ mid P) \, a (P)} {\ Pr (\ lnot Q \ mid P) \, a (P) + \ Pr (\ lnot Q \ mid \ lnot P) \, a (\ lnot P)}}}

En las ecuaciones anteriores denota la probabilidad de y denota la tasa base (también conocida como probabilidad previa ) de. La probabilidad condicional generaliza el enunciado lógico, es decir, además de asignar VERDADERO o FALSO también podemos asignar cualquier probabilidad al enunciado. Suponga que eso es equivalente a ser VERDADERO, y eso es equivalente a ser FALSO. Entonces es fácil ver que cuando y. Esto se debe a que en la última ecuación. Por lo tanto, los términos del producto en la primera ecuación siempre tienen un factor cero, por lo que equivale a ser FALSO. Por tanto, la ley de la probabilidad total combinada con el teorema de Bayes representa una generalización del modus tollens. $$

Pr(Q) {\ Displaystyle \ Pr (Q)}$$Q {\ displaystyle Q}$$a(PAG) {\ Displaystyle a (P)} $$PAG {\ Displaystyle P} $$Pr(Q∣PAG) {\ Displaystyle \ Pr (Q \ mid P)}$$PAG→Q {\ Displaystyle P \ a Q}$$Pr(Q)=1 {\ Displaystyle \ Pr (Q) = 1}$$Q {\ displaystyle Q}$$Pr(Q)=0 {\ Displaystyle \ Pr (Q) = 0}$$Q {\ displaystyle Q}$$Pr(PAG)=0 {\ Displaystyle \ Pr (P) = 0}$$Pr(Q∣PAG)=1 {\ Displaystyle \ Pr (Q \ mid P) = 1}$$Pr(Q)=0 {\ Displaystyle \ Pr (Q) = 0}$$Pr(¬Q∣PAG)=1-Pr(Q∣PAG)=0 {\ Displaystyle \ Pr (\ lnot Q \ mid P) = 1- \ Pr (Q \ mid P) = 0}$$Pr(PAG∣¬Q)=0 {\ Displaystyle \ Pr (P \ mid \ lnot Q) = 0}$$Pr(PAG)=0 {\ Displaystyle \ Pr (P) = 0}$$PAG {\ Displaystyle P}

Lógica subjetiva

Modus tollens representa una instancia del operador de abducción en lógica subjetiva expresada como:

$$

ω PAG ‖ ~ Q A=( ω Q | PAG A, ω Q | ¬ PAG A) ⊚ ~( a PAG, ω Q A) {\ Displaystyle \ omega _ {P {\ tilde {\ |}} Q} ^ {A} = (\ omega _ {Q | P} ^ {A}, \ omega _ {Q | \ lnot P} ^ {A }) {\ widetilde {\ circledcirc}} (a_ {P}, \, \ omega _ {Q} ^ {A}) \,},

donde denota la opinión subjetiva sobre, y denota un par de opiniones condicionales binomiales, según lo expresado por la fuente. El parámetro denota la tasa base (también conocida como la probabilidad previa ) de. La opinión marginal en abducido se denota. La opinión condicional generaliza el enunciado lógico, es decir, además de asignar VERDADERO o FALSO la fuente puede asignar cualquier opinión subjetiva al enunciado. El caso en el que es una opinión VERDADERA absoluta es equivalente a que la fuente diga que es VERDADERO, y el caso en el que es una opinión FALSA absoluta es equivalente a que la fuente diga que es FALSO. El operador de abducción de la lógica subjetiva produce una opinión abducida FALSA absoluta cuando la opinión condicional es VERDADERA absoluta y la opinión consecuente es FALSA absoluta. Por tanto, la abducción lógica subjetiva representa una generalización tanto del modus tollens como de la Ley de probabilidad total combinada con el teorema de Bayes. $$

ω Q A {\ Displaystyle \ omega _ {Q} ^ {A}}$$Q {\ displaystyle Q}$$( ω Q | PAG A, ω Q | ¬ PAG A) {\ Displaystyle (\ omega _ {Q | P} ^ {A}, \ omega _ {Q | \ lnot P} ^ {A})}$$A {\ Displaystyle A}$$ a PAG {\ Displaystyle a_ {P}} $$PAG {\ Displaystyle P}$$PAG {\ Displaystyle P}$$ ω PAG ‖ ~ Q A {\ Displaystyle \ omega _ {P {\ tilde {\ |}} Q} ^ {A}}$$ ω Q | PAG A {\ Displaystyle \ omega _ {Q | P} ^ {A}}$$PAG→Q {\ Displaystyle P \ a Q}$$A {\ Displaystyle A}$$ ω Q A {\ Displaystyle \ omega _ {Q} ^ {A}}$$A {\ Displaystyle A}$$Q {\ displaystyle Q}$$ ω Q A {\ Displaystyle \ omega _ {Q} ^ {A}}$$A {\ Displaystyle A}$$Q {\ displaystyle Q}$$ ⊚ ~ {\ displaystyle {\ widetilde {\ circledcirc}}} $$ ω PAG ‖ ~ Q A {\ Displaystyle \ omega _ {P {\ widetilde {\ |}} Q} ^ {A}}$$ ω Q | PAG A {\ Displaystyle \ omega _ {Q | P} ^ {A}}$$ ω Q A {\ Displaystyle \ omega _ {Q} ^ {A}}

Ver también

• Evidencia de ausencia  : evidencia de cualquier tipo que sugiera que falta algo o que no existe.
• Frases latinas
• Modus operandi  - Hábitos de trabajo
• Modus ponens  - Regla de inferencia lógica
• Modus vivendi  - Acuerdo que permite que las partes en conflicto coexistan en paz
• No lógico
• Prueba por contradicción  : forma de prueba indirecta que establece la verdad o validez de una proposición
• Prueba por contrapositivo
• Lógica estoica  : sistema de lógica proposicional desarrollado por los filósofos estoicos

Notas

Fuentes

• Audun Jøsang, 2016, Lógica subjetiva; Un formalismo para el razonamiento bajo incertidumbre Springer, Cham, ISBN   978-3-319-42337-1

enlaces externos

• Modus Tollens en Wolfram MathWorld