Momento de inercia

Para conocer la cantidad también conocida como "momento de inercia del área", consulte Segundo momento del área.

Momento de inercia
Los volantes tienen grandes momentos de inercia para suavizar el movimiento de rotación.
Símbolos comunes	I
Unidad SI	kg m 2
Otras unidades	lbf ft s 2
Derivaciones de otras cantidades	$$I= L ω {\ Displaystyle I = {\ frac {L} {\ omega}}}
Dimensión	M L 2

Parte de una serie sobre
Mecanica clasica
$$ F= D D t(metro v) {\ Displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (m {\ textbf {v}})} Segunda ley del movimiento
Historia Cronología Libros de texto
Sucursales Aplicado Celestial Continuum Dinámica Cinemática Cinética Estática Estadístico
Fundamentos Aceleración Momento angular Pareja Principio de D'Alembert Energía cinético potencial Fuerza Marco de referencia Marco de referencia inercial Impulso Inercia  / Momento de inercia Masa Potencia mecánica Trabajo mecánico Momento Impulso Espacio Velocidad Tiempo Esfuerzo de torsión Velocidad Trabajo virtual
Formulaciones Leyes del movimiento de Newton Mecánica analítica Mecánica lagrangiana Mecánica hamiltoniana Mecánica routhiana Ecuación de Hamilton-Jacobi Ecuación de movimiento de Appell Mecánica de Koopman – von Neumann
Temas centrales Relación de amortiguación Desplazamiento Ecuaciones de movimiento Leyes del movimiento de Euler Fuerza ficticia Fricción Oscilador armónico Marco de referencia inercial  / no inercial Mecánica del movimiento de partículas planas Movimiento  ( lineal ) Ley de Newton de la gravitación universal Leyes del movimiento de Newton Velocidad relativa Cuerpo rígido dinámica Ecuaciones de Euler Movimiento armónico simple Vibración
Rotación Movimiento circular Marco de referencia giratorio Fuerza centrípeta Fuerza centrífuga reactivo fuerza Coriolis Péndulo Velocidad tangencial Velocidad rotacional Aceleración angular  / desplazamiento  / frecuencia  / velocidad
Científicos Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton Poisson Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
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v t mi

Los que caminan por la cuerda floja utilizan el momento de inercia de una varilla larga para mantener el equilibrio mientras caminan por la cuerda. Samuel Dixon cruzando el río Niágara en 1890.

El momento de inercia, también conocido como el momento de inercia de masa, masa angular, segundo momento de la masa, o más exactamente, la inercia de rotación, de un cuerpo rígido es una cantidad que determina el par de torsión necesario para una deseada aceleración angular alrededor de un eje de rotación, similar a cómo la masa determina la fuerza necesaria para una aceleración deseada. Depende de la distribución de masa del cuerpo y del eje elegido, con momentos más grandes que requieren más torque para cambiar la velocidad de rotación del cuerpo.

Es una propiedad extensa (aditiva): para una masa puntual, el momento de inercia es simplemente la masa multiplicada por el cuadrado de la distancia perpendicular al eje de rotación. El momento de inercia de un sistema compuesto rígido es la suma de los momentos de inercia de sus subsistemas componentes (todos tomados alrededor del mismo eje). Su definición más simple es el segundo momento de masa con respecto a la distancia desde un eje.

Para los cuerpos obligados a rotar en un plano, solo importa su momento de inercia alrededor de un eje perpendicular al plano, un valor escalar. Para los cuerpos libres para rotar en tres dimensiones, sus momentos pueden describirse mediante una matriz simétrica de 3 × 3, con un conjunto de ejes principales perpendiculares entre sí para los cuales esta matriz es diagonal y los pares alrededor de los ejes actúan independientemente entre sí.

• 1 Introducción
• 2 Definición
• 3 ejemplos
  • 3.1 Péndulo simple
  • 3.2 Péndulos compuestos
    • 3.2.1 Centro de oscilación
• 4 Momento de inercia de medición
• 5 Movimiento en un plano fijo
  • 5.1 Masa puntual
    • 5.1.1 Ejemplos
  • 5.2 Cuerpo rígido
    • 5.2.1 Momento angular
    • 5.2.2 Energía cinética
    • 5.2.3 Leyes de Newton
• 6 Movimiento en el espacio de un cuerpo rígido y la matriz de inercia
  • 6.1 Momento angular
  • 6.2 Energía cinética
  • 6.3 Torque resultante
  • 6.4 Teorema del eje paralelo
  • 6.5 Momento de inercia escalar en un plano
• 7 tensor de inercia
  • 7.1 Definición
  • 7.2 Convención de inercia alternativa
    • 7.2.1 Determinar la convención de inercia (método de ejes principales)
  • 7.3 Derivación de los componentes tensoriales
  • 7.4 Tensor de inercia de traslación
  • 7.5 Tensor de rotación de inercia
• 8 Matriz de inercia en diferentes marcos de referencia
  • 8.1 Estructura de la carrocería
  • 8.2 Ejes principales
  • 8.3 Elipsoide
• 9 Véase también
• 10 referencias
• 11 Enlaces externos

Introducción

Cuando un cuerpo puede girar libremente alrededor de un eje, se debe aplicar un par para cambiar su momento angular. La cantidad de torque necesaria para causar cualquier aceleración angular dada (la tasa de cambio en la velocidad angular ) es proporcional al momento de inercia del cuerpo. El momento de inercia puede expresarse en unidades de kilogramo metro cuadrado (kg m ²) en unidades SI y libra-pie-segundo cuadrado (lbf ft s ²) en unidades imperiales o estadounidenses.

El momento de inercia juega el papel en la cinética rotacional que la masa (inercia) juega en la cinética lineal; ambos caracterizan la resistencia de un cuerpo a los cambios en su movimiento. El momento de inercia depende de cómo se distribuya la masa alrededor de un eje de rotación y variará según el eje elegido. Para una masa puntual, el momento de inercia alrededor de algún eje viene dado por, donde es la distancia del punto al eje y es la masa. Para un cuerpo rígido extendido, el momento de inercia es solo la suma de todas las pequeñas piezas de masa multiplicada por el cuadrado de sus distancias desde el eje en rotación. Para un cuerpo extendido de forma regular y densidad uniforme, esta suma a veces produce una expresión simple que depende de las dimensiones, la forma y la masa total del objeto. $$

metro r 2 {\ Displaystyle mr ^ {2}}$$r {\ Displaystyle r}$$metro {\ Displaystyle m}

En 1673 Christiaan Huygens introdujo este parámetro en su estudio de la oscilación de un cuerpo que cuelga de un pivote, conocido como péndulo compuesto. El término momento de inercia fue introducido por Leonhard Euler en su libro Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum en 1765, y se incorpora a la segunda ley de Euler.

La frecuencia natural de oscilación de un péndulo compuesto se obtiene a partir de la relación entre el par impuesto por la gravedad sobre la masa del péndulo y la resistencia a la aceleración definida por el momento de inercia. La comparación de esta frecuencia natural con la de un péndulo simple que consta de un solo punto de masa proporciona una formulación matemática para el momento de inercia de un cuerpo extendido.

El momento de inercia también aparece en el momento, la energía cinética y en las leyes del movimiento de Newton para un cuerpo rígido como un parámetro físico que combina su forma y masa. Hay una diferencia interesante en la forma en que aparece el momento de inercia en el movimiento plano y espacial. El movimiento plano tiene un escalar único que define el momento de inercia, mientras que para el movimiento espacial los mismos cálculos producen una matriz de momentos de inercia de 3 × 3, denominada matriz de inercia o tensor de inercia.

El momento de inercia de un volante giratorio se utiliza en una máquina para resistir variaciones en el par aplicado para suavizar su salida de rotación. El momento de inercia de un avión alrededor de sus ejes longitudinal, horizontal y vertical determina cómo las fuerzas de dirección en las superficies de control de sus alas, elevadores y timón (s) afectan los movimientos del avión en alabeo, cabeceo y guiñada.

Definición

El momento de inercia se define como el producto de la masa de la sección por el cuadrado de la distancia entre el eje de referencia y el centroide de la sección.

Los patinadores artísticos que giran pueden reducir su momento de inercia tirando de sus brazos, lo que les permite girar más rápido debido a la conservación del momento angular. Reproducir medios Video del experimento de la silla giratoria, que ilustra el momento de inercia. Cuando el profesor giratorio tira de sus brazos, su momento de inercia disminuye; para conservar el momento angular, su velocidad angular aumenta.

El momento de inercia I se define como la relación entre el momento angular neto L de un sistema y su velocidad angular ω alrededor de un eje principal, es decir

$$I= L ω. {\ Displaystyle I = {\ frac {L} {\ omega}}.}

Si el momento angular de un sistema es constante, a medida que el momento de inercia se reduce, la velocidad angular debe aumentar. Esto ocurre cuando los patinadores artísticos giratorios tiran de sus brazos extendidos o los buzos doblan sus cuerpos en una posición doblada durante una inmersión, para girar más rápido.

Si la forma del cuerpo no cambia, entonces su momento de inercia aparece en la ley de movimiento de Newton como la relación entre un par de torsión aplicado τ sobre un cuerpo y la aceleración angular α alrededor de un eje principal, es decir

$$τ=Iα. {\ Displaystyle \ tau = I \ alpha.}

Para un péndulo simple, esta definición produce una fórmula para el momento de inercia I en términos de la masa m del péndulo y su distancia r desde el punto de pivote como,

$$I=metro r 2. {\ Displaystyle I = señor ^ {2}.}

Por tanto, el momento de inercia del péndulo depende tanto de la masa m de un cuerpo como de su geometría, o forma, definida por la distancia r al eje de rotación.

Esta fórmula simple se generaliza para definir el momento de inercia para un cuerpo de forma arbitraria como la suma de todas las masas puntuales elementales d m cada una multiplicada por el cuadrado de su distancia perpendicular r a un eje k. El momento de inercia de un objeto arbitrario depende, por tanto, de la distribución espacial de su masa.

En general, dado un objeto de masa m, se puede definir un radio efectivo k, dependiente de un eje de rotación particular, con un valor tal que su momento de inercia alrededor del eje sea

$$I=metro k 2, {\ Displaystyle I = mk ^ {2},}

donde k se conoce como el radio de giro alrededor del eje.

Ejemplos de

Péndulo simple

El momento de inercia se puede medir con un simple péndulo, porque es la resistencia a la rotación provocada por la gravedad. Matemáticamente, el momento de inercia del péndulo es la relación entre el momento de torsión debido a la gravedad alrededor del pivote de un péndulo y su aceleración angular alrededor de ese punto de pivote. Para un péndulo simple, se encuentra que es el producto de la masa de la partícula por el cuadrado de su distancia al pivote, es decir $$

metro {\ Displaystyle m}$$r {\ Displaystyle r}

$$I=metro r 2. {\ Displaystyle I = señor ^ {2}.}

Esto se puede mostrar de la siguiente manera: La fuerza de gravedad sobre la masa de un péndulo simple genera un par alrededor del eje perpendicular al plano del movimiento del péndulo. Aquí está el vector de distancia perpendicular ay desde la fuerza al eje de torsión, y es la fuerza neta sobre la masa. Asociado con este par es una aceleración angular,, de la cadena y de la masa alrededor de este eje. Dado que la masa está restringida a un círculo, la aceleración tangencial de la masa es. Dado que la ecuación de torque se convierte en: $$

τ= r× F {\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}}$$ r {\ Displaystyle \ mathbf {r}}$$ F {\ Displaystyle \ mathbf {F}} $$ α {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}$$ a= α× r {\ Displaystyle \ mathbf {a} = {\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ mathbf {r}}$$ F=metro a {\ Displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {a}}

$$ τ = r × F = r × ( metro α × r ) = metro ( ( r ⋅ r ) α - ( r ⋅ α ) r ) = metro r 2 α = I α k ^ , {\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ boldsymbol {\ tau}} amp; = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} = \ mathbf {r} \ times (m {\ boldsymbol {\ alpha}} \ veces \ mathbf {r}) \\ amp; = m ((\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {r}) {\ boldsymbol {\ alpha}} - (\ mathbf {r} \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha }}) \ mathbf {r}) \\ amp; = mr ^ {2} {\ boldsymbol {\ alpha}} = I \ alpha \ mathbf {\ hat {k}}, \ end {alineado}}}

donde es un vector unitario perpendicular al plano del péndulo. (El penúltimo paso usa la expansión de producto triple vectorial con la perpendicularidad de y). La cantidad es el momento de inercia de esta masa única alrededor del punto de pivote. $$

k ^ {\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}} $$ α {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}$$ r {\ Displaystyle \ mathbf {r}}$$I=metro r 2 {\ Displaystyle I = señor ^ {2}}

La cantidad también aparece en el momento angular de un péndulo simple, que se calcula a partir de la velocidad de la masa del péndulo alrededor del pivote, donde es la velocidad angular de la masa alrededor del punto de pivote. Este momento angular viene dado por $$

I=metro r 2 {\ Displaystyle I = señor ^ {2}} $$ v= ω× r {\ Displaystyle \ mathbf {v} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}}$$ ω {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}

$$ L = r × pag = r × ( metro ω × r ) = metro ( ( r ⋅ r ) ω - ( r ⋅ ω ) r ) = metro r 2 ω = I ω k ^ , {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {L} amp; = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {r} \ times (m {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}) \\ amp; = m ((\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {r}) {\ boldsymbol {\ omega}} - (\ mathbf {r} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}) \ mathbf {r}) \\ amp; = mr ^ {2} {\ boldsymbol {\ omega}} = I \ omega \ mathbf {\ hat {k}}, \ end {alineado}}}

utilizando una derivación similar a la ecuación anterior.

De manera similar, la energía cinética de la masa del péndulo se define por la velocidad del péndulo alrededor del pivote para producir

$$ mi K= 1 2metro v⋅ v= 1 2 ( metro r 2 ) ω 2= 1 2I ω 2. {\ Displaystyle E _ {\ text {K}} = {\ frac {1} {2}} m \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} = {\ frac {1} {2}} \ left (mr ^ {2} \ right) \ omega ^ {2} = {\ frac {1} {2}} I \ omega ^ {2}.}

Esto muestra que la cantidad es cómo la masa se combina con la forma de un cuerpo para definir la inercia rotacional. El momento de inercia de un cuerpo de forma arbitraria es la suma de los valores de todos los elementos de masa del cuerpo. $$

I=metro r 2 {\ Displaystyle I = señor ^ {2}}$$metro r 2 {\ Displaystyle mr ^ {2}}

Péndulos compuestos

Péndulos utilizados en el aparato gravimétrico de Mendenhall, de la revista científica de 1897. El gravímetro portátil desarrollado en 1890 por Thomas C. Mendenhall proporcionó las medidas relativas más precisas del campo gravitacional local de la Tierra.

Un péndulo compuesto es un cuerpo formado por un conjunto de partículas de forma continua que gira rígidamente alrededor de un pivote. Su momento de inercia es la suma de los momentos de inercia de cada una de las partículas que lo componen. La frecuencia natural () de un péndulo compuesto depende de su momento de inercia, $$

ω norte {\ Displaystyle \ omega _ {\ text {n}}}$$ I PAG {\ Displaystyle I_ {P}}

$$$$ ω norte= metro gramo r I PAG, {\ Displaystyle \ omega _ {\ text {n}} = {\ sqrt {\ frac {mgr} {I_ {P}}}},} donde es la masa del objeto, es la aceleración local de la gravedad y es la distancia desde el punto de pivote hasta el centro de masa del objeto. La medición de esta frecuencia de oscilación en pequeños desplazamientos angulares proporciona una forma eficaz de medir el momento de inercia de un cuerpo. $$metro {\ Displaystyle m}$$gramo {\ Displaystyle g}$$r {\ Displaystyle r}

Por lo tanto, para determinar el momento de inercia del cuerpo, simplemente suspenderlo de un punto de pivote conveniente para que oscile libremente en un plano perpendicular a la dirección del momento de inercia deseado, luego mida su frecuencia natural o período de oscilación (), para obtener $$

PAG {\ Displaystyle P}$$t {\ Displaystyle t}

$$$$ I PAG= metro gramo r ω norte 2= metro gramo r t 2 4 π 2, {\ Displaystyle I_ {P} = {\ frac {mgr} {\ omega _ {\ text {n}} ^ {2}}} = {\ frac {mgrt ^ {2}} {4 \ pi ^ {2} }},} donde es el período (duración) de la oscilación (generalmente promediado en múltiples períodos). $$t {\ Displaystyle t}

Centro de oscilación

Un péndulo simple que tiene la misma frecuencia natural que un péndulo compuesto define la longitud desde el pivote hasta un punto llamado centro de oscilación del péndulo compuesto. Este punto también corresponde al centro de percusión. La longitud se determina a partir de la fórmula, $$

L {\ Displaystyle L} $$L {\ Displaystyle L}

$$$$ ω norte= gramo L= metro gramo r I PAG, {\ Displaystyle \ omega _ {\ text {n}} = {\ sqrt {\ frac {g} {L}}} = {\ sqrt {\ frac {mgr} {I_ {P}}}},} o $$$$L= gramo ω norte 2= I PAG metro r. {\ Displaystyle L = {\ frac {g} {\ omega _ {\ text {n}} ^ {2}}} = {\ frac {I_ {P}} {mr}}.}

El péndulo de los segundos, que proporciona el "tic" y el "tac" de un reloj de pie, tarda un segundo en oscilar de un lado a otro. Este es un período de dos segundos, o una frecuencia natural del péndulo. En este caso, la distancia al centro de oscilación`` se puede calcular como $$

π  r a D / s {\ Displaystyle \ pi \ \ mathrm {rad / s}}$$L {\ Displaystyle L}

$$$$L= gramo ω norte 2≈ 9,81   metro / s 2 ( 3,14   r a D / s ) 2≈0,99  metro. {\ Displaystyle L = {\ frac {g} {\ omega _ {\ text {n}} ^ {2}}} \ approx {\ frac {9,81 \ \ mathrm {m / s ^ {2}}} {( 3,14 \ \ mathrm {rad / s}) ^ {2}}} \ aproximadamente 0,99 \ \ mathrm {m}.}

Observe que la distancia al centro de oscilación del péndulo de segundos debe ajustarse para adaptarse a diferentes valores de la aceleración local de la gravedad. El péndulo de Kater es un péndulo compuesto que usa esta propiedad para medir la aceleración local de la gravedad y se llama gravímetro.

Momento de inercia de medición

El momento de inercia de un sistema complejo como un vehículo o un avión alrededor de su eje vertical se puede medir suspendiendo el sistema desde tres puntos para formar un péndulo trifilar. Un péndulo trifilar es una plataforma sostenida por tres alambres diseñados para oscilar en torsión alrededor de su eje centroidal vertical. El período de oscilación del péndulo trifilar produce el momento de inercia del sistema.

Movimiento en un plano fijo

Masa puntual

Cuatro objetos con masas y radios idénticos corriendo por un avión mientras ruedan sin resbalar. De atrás hacia adelante:

•   cáscara esférica,
•   esfera sólida,
•   anillo cilíndrico, y
•   cilindro macizo.

El tiempo que tarda cada objeto en llegar a la meta depende de su momento de inercia. ( Versión OGV )

El momento de inercia alrededor de un eje de un cuerpo se calcula sumando cada partícula del cuerpo, donde es la distancia perpendicular al eje especificado. Para ver cómo surge el momento de inercia en el estudio del movimiento de un cuerpo extendido, es conveniente considerar un conjunto rígido de masas puntuales. (Esta ecuación se puede utilizar para ejes que no son ejes principales siempre que se entienda que no describe completamente el momento de inercia). $$

metro r 2 {\ Displaystyle mr ^ {2}}$$r {\ Displaystyle r}

Considere la energía cinética de un conjunto de masas que se encuentran a las distancias del punto de pivote, que es el punto más cercano en el eje de rotación. Es la suma de la energía cinética de las masas individuales, $$

norte {\ Displaystyle N}$$ metro I {\ Displaystyle m_ {i}}$$ r I {\ Displaystyle r_ {i}}$$PAG {\ Displaystyle P}

$$$$ mi K= ∑ I = 1 norte 1 2 metro I v I⋅ v I= ∑ I = 1 norte 1 2 metro I ( ω r I ) 2= 1 2 ω 2 ∑ I = 1 norte metro I r I 2. {\ Displaystyle E _ {\ text {K}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {1} {2}} \, m_ {i} \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {1} {2}} \, m_ {i} \ left (\ omega r_ {i} \ right) ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \, \ omega ^ {2} \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} r_ {i} ^ {2}.}

Esto muestra que el momento de inercia del cuerpo es la suma de cada uno de los términos, es decir $$

metro r 2 {\ Displaystyle mr ^ {2}}

$$$$ I PAG= ∑ I = 1 norte metro I r I 2. {\ Displaystyle I_ {P} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} r_ {i} ^ {2}.}

Por tanto, el momento de inercia es una propiedad física que combina la masa y la distribución de las partículas alrededor del eje de rotación. Observe que la rotación sobre diferentes ejes del mismo cuerpo produce diferentes momentos de inercia.

El momento de inercia de un cuerpo continuo que gira alrededor de un eje especificado se calcula de la misma manera, excepto con infinitas partículas puntuales. Por lo tanto, se eliminan los límites de la suma y la suma se escribe de la siguiente manera:

$$$$ I PAG= ∑ I metro I r I 2 {\ Displaystyle I_ {P} = \ sum _ {i} m_ {i} r_ {i} ^ {2}}

Otra expresión reemplaza la suma con una integral,

$$$$ I PAG= ∭ Qρ(X,y,z) ‖ r ‖ 2DV {\ Displaystyle I_ {P} = \ iiint _ {Q} \ rho (x, y, z) \ left \ | \ mathbf {r} \ right \ | ^ {2} dV}

Aquí, la función da la densidad de masa en cada punto, es un vector perpendicular al eje de rotación y se extiende desde un punto en el eje de rotación hasta un punto en el sólido, y la integración se evalúa sobre el volumen del cuerpo. El momento de inercia de una superficie plana es similar y la densidad de masa se reemplaza por su densidad de masa de área con la integral evaluada sobre su área. $$

ρ {\ Displaystyle \ rho}$$(X,y,z) {\ Displaystyle (x, y, z)}$$ r {\ Displaystyle \ mathbf {r}}$$(X,y,z) {\ Displaystyle (x, y, z)}$$V {\ Displaystyle V}$$Q {\ displaystyle Q}

Nota sobre el segundo momento de área: el momento de inercia de un cuerpo que se mueve en un plano y el segundo momento de área de la sección transversal de una viga a menudo se confunden. El momento de inercia de un cuerpo con la forma de la sección transversal es el segundo momento de esta área con respecto al eje perpendicular a la sección transversal, ponderado por su densidad. Esto también se denomina momento polar del área y es la suma de los segundos momentos sobre los ejes - y -. Las tensiones en una viga se calculan utilizando el segundo momento del área de la sección transversal alrededor del eje -o el eje-dependiendo de la carga. $$

z {\ Displaystyle z}$$X {\ Displaystyle x}$$y {\ Displaystyle y} $$X {\ Displaystyle x}$$y {\ Displaystyle y}

Ejemplos de

Artículo principal: Lista de momentos de inercia.

El momento de inercia de un péndulo compuesto construido a partir de un disco delgado montado en el extremo de una varilla delgada que oscila alrededor de un pivote en el otro extremo de la varilla, comienza con el cálculo del momento de inercia de la varilla delgada y el disco delgado. sobre sus respectivos centros de masa.

• El momento de inercia de una varilla delgada con sección transversal y densidad constantes y con una longitud alrededor de un eje perpendicular que pasa por su centro de masa se determina por integración. Alinee el eje-con la varilla y ubique el origen de su centro de masa en el centro de la varilla, luego$$s {\ Displaystyle s}$$ρ {\ Displaystyle \ rho}$$ℓ {\ Displaystyle \ ell}$$X {\ Displaystyle x} $$$$ I C , varilla= ∭ Qρ X 2DV= ∫ - ℓ 2 ℓ 2ρ X 2sDX= ρ s X 3 3 | - ℓ 2 ℓ 2= ρ s 3 ( ℓ 3 8 + ℓ 3 8 )= metro ℓ 2 12, {\ Displaystyle I_ {C, {\ text {rod}}} = \ iiint _ {Q} \ rho \, x ^ {2} \, dV = \ int _ {- {\ frac {\ ell} {2} }} ^ {\ frac {\ ell} {2}} \ rho \, x ^ {2} s \, dx = \ left. \ rho s {\ frac {x ^ {3}} {3}} \ right | _ {- {\ frac {\ ell} {2}}} ^ {\ frac {\ ell} {2}} = {\ frac {\ rho s} {3}} \ left ({\ frac {\ ell ^ {3}} {8}} + {\ frac {\ ell ^ {3}} {8}} \ right) = {\ frac {m \ ell ^ {2}} {12}},} donde esta la masa de la varilla.$$metro=ρsℓ {\ Displaystyle m = \ rho s \ ell}
• El momento de inercia de un disco delgado de espesor, radio y densidad constantes alrededor de un eje que pasa por su centro y es perpendicular a su cara (paralelo a su eje de simetría rotacional ) se determina por integración. Alinee el eje-con el eje del disco y defina un elemento de volumen como, luego$$s {\ Displaystyle s}$$R {\ Displaystyle R}$$ρ {\ Displaystyle \ rho} $$z {\ Displaystyle z}$$DV=srDrDθ {\ Displaystyle dV = sr \, dr \, d \ theta} $$$$ I C , desct= ∭ Qρ r 2DV= ∫ 0 2 π ∫ 0 Rρ r 2srDrDθ=2πρs R 4 4= 1 2metro R 2, {\ Displaystyle I_ {C, {\ text {disc}}} = \ iiint _ {Q} \ rho \, r ^ {2} \, dV = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {R} \ rho r ^ {2} sr \, dr \, d \ theta = 2 \ pi \ rho s {\ frac {R ^ {4}} {4}} = {\ frac {1 } {2}} mR ^ {2},} donde esta su masa.$$metro=π R 2ρs {\ Displaystyle m = \ pi R ^ {2} \ rho s}
• El momento de inercia del péndulo compuesto ahora se obtiene sumando el momento de inercia de la varilla y el disco alrededor del punto de pivote como,$$PAG {\ Displaystyle P} $$$$ I PAG= I C , varilla+ METRO varilla ( L 2 ) 2+ I C , desct+ METRO desct(L+R ) 2, {\ Displaystyle I_ {P} = I_ {C, {\ text {rod}}} + M _ {\ text {rod}} \ left ({\ frac {L} {2}} \ right) ^ {2} + I_ {C, {\ text {disco}}} + M _ {\ text {disco}} (L + R) ^ {2},} donde es la longitud del péndulo. Observe que el teorema del eje paralelo se usa para cambiar el momento de inercia del centro de masa al punto de pivote del péndulo.$$L {\ Displaystyle L}

Una lista de fórmulas de momentos de inercia para formas de cuerpos estándar proporciona una forma de obtener el momento de inercia de un cuerpo complejo como un conjunto de cuerpos de formas más simples. El teorema del eje paralelo se utiliza para desplazar el punto de referencia de los cuerpos individuales al punto de referencia del ensamblaje.

Como un ejemplo más, considere el momento de inercia de una esfera sólida de densidad constante alrededor de un eje que pasa por su centro de masa. Esto se determina sumando los momentos de inercia de los discos delgados que pueden formar la esfera cuyos centros se encuentran a lo largo del eje elegido para su consideración. Si la superficie de la pelota está definida por la ecuación

$$$$ X 2+ y 2+ z 2= R 2, {\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = R ^ {2},}

entonces el cuadrado del radio del disco en la sección transversal a lo largo del eje es $$

r {\ Displaystyle r}$$z {\ Displaystyle z}$$z {\ Displaystyle z}

$$$$r(z ) 2= X 2+ y 2= R 2- z 2. {\ Displaystyle r (z) ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} = R ^ {2} -z ^ {2}.}

Por tanto, el momento de inercia de la bola es la suma de los momentos de inercia de los discos a lo largo del eje-, $$

z {\ Displaystyle z}

$$$$ I C , bola = ∫ - R R π ρ 2 r ( z ) 4 D z = ∫ - R R π ρ 2 ( R 2 - z 2 ) 2 D z = π ρ 2 ( R 4 z - 2 3 R 2 z 3 + 1 5 z 5 ) | - R R = π ρ ( 1 - 2 3 + 1 5 ) R 5 = 2 5 metro R 2 , {\ Displaystyle {\ begin {alineado} I_ {C, {\ text {ball}}} amp; = \ int _ {- R} ^ {R} {\ frac {\ pi \ rho} {2}} r (z) ^ {4} \, dz = \ int _ {- R} ^ {R} {\ frac {\ pi \ rho} {2}} \ left (R ^ {2} -z ^ {2} \ right) ^ {2} \, dz \\ amp; = \ left. {\ Frac {\ pi \ rho} {2}} \ left (R ^ {4} z - {\ frac {2} {3}} R ^ { 2} z ^ {3} + {\ frac {1} {5}} z ^ {5} \ right) \ right | _ {- R} ^ {R} \\ amp; = \ pi \ rho \ left (1 - {\ frac {2} {3}} + {\ frac {1} {5}} \ right) R ^ {5} \\ amp; = {\ frac {2} {5}} mR ^ {2}, \ end {alineado}}}

donde está la masa de la esfera. $$

metro= 4 3π R 3ρ {\ Displaystyle m = {\ frac {4} {3}} \ pi R ^ {3} \ rho}

Cuerpo rígido

Los cilindros con mayor momento de inercia ruedan por una pendiente con menor aceleración, ya que es necesario convertir una mayor parte de su energía potencial en energía cinética de rotación.

Si un sistema mecánico está obligado a moverse en paralelo a un plano fijo, entonces la rotación de un cuerpo en el sistema ocurre alrededor de un eje perpendicular a este plano. En este caso, el momento de inercia de la masa en este sistema es un escalar conocido como momento polar de inercia. La definición del momento polar de inercia se puede obtener considerando el momento, la energía cinética y las leyes de Newton para el movimiento plano de un sistema rígido de partículas. $$

k ^ {\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}

Si un sistema de partículas`` se ensamblan en un cuerpo rígido, entonces el momento del sistema se puede escribir en términos de posiciones relativas a un punto de referencia y velocidades absolutas: $$

norte {\ Displaystyle n}$$ PAG I,I=1,...,norte {\ Displaystyle P_ {i}, i = 1, \ dots, n}$$ R {\ Displaystyle \ mathbf {R}}$$ v I {\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {i}}

$$$$ Δ r I = r I - R , v I = ω × ( r I - R ) + V = ω × Δ r I + V , {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ Delta \ mathbf {r} _ {i} amp; = \ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {R}, \\\ mathbf {v} _ {i} amp; = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {R} \ right) + \ mathbf {V} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} + \ mathbf {V}, \ end {alineado}}} donde es la velocidad angular del sistema y es la velocidad de. $$ ω {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$$ V {\ Displaystyle \ mathbf {V}}$$ R {\ Displaystyle \ mathbf {R}}

Para el movimiento plano, el vector de velocidad angular se dirige a lo largo del vector unitario que es perpendicular al plano de movimiento. Introduzca los vectores unitarios desde el punto de referencia a un punto, y el vector unitario, así $$

k {\ Displaystyle \ mathbf {k}}$$ mi I {\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {i}}$$ R {\ Displaystyle \ mathbf {R}}$$ r I {\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$$ t ^ I= k ^× mi ^ I {\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} = \ mathbf {\ hat {k}} \ times \ mathbf {\ hat {e}} _ {i}}

$$$$ mi ^ I = Δ r I Δ r I , k ^ = ω ω , t ^ I = k ^ × mi ^ I , v I = ω × Δ r I + V = ω k ^ × Δ r I mi ^ I + V = ω Δ r I t ^ I + V {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} amp; = {\ frac {\ Delta \ mathbf {r} _ {i}} {\ Delta r_ {i}}}, \ quad \ mathbf {\ hat {k}} = {\ frac {\ boldsymbol {\ omega}} {\ omega}}, \ quad \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} = \ mathbf {\ hat {k}} \ times \ mathbf {\ hat {e}} _ {i}, \\\ mathbf {v} _ {i} amp; = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} + \ mathbf {V} = \ omega \ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} + \ mathbf {V} = \ omega \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} + \ mathbf {V} \ end {alineado}}}

Esto define el vector de posición relativa y el vector de velocidad para el sistema rígido de partículas que se mueven en un plano.

Nota sobre el producto cruzado: cuando un cuerpo se mueve paralelo a un plano de tierra, las trayectorias de todos los puntos del cuerpo se encuentran en planos paralelos a este plano de tierra. Esto significa que cualquier rotación que experimente el cuerpo debe ser alrededor de un eje perpendicular a este plano. El movimiento plano a menudo se presenta como proyectado en este plano del suelo, de modo que el eje de rotación aparece como un punto. En este caso, la velocidad angular y la aceleración angular del cuerpo son escalares y se ignora el hecho de que son vectores a lo largo del eje de rotación. Por lo general, se prefiere para las introducciones al tema. Pero en el caso del momento de inercia, la combinación de masa y geometría se beneficia de las propiedades geométricas del producto cruzado. Por esta razón, en esta sección sobre movimiento plano la velocidad angular y las aceleraciones del cuerpo son vectores perpendiculares al plano del suelo, y las operaciones de producto cruzado son las mismas que se utilizan para el estudio del movimiento espacial de cuerpos rígidos.

Momento angular

El vector de momento angular para el movimiento plano de un sistema rígido de partículas está dado por

$$$$ L = ∑ I = 1 norte metro I Δ r I × v I = ∑ I = 1 norte metro I Δ r I mi ^ I × ( ω Δ r I t ^ I + V ) = ( ∑ I = 1 norte metro I Δ r I 2 ) ω k ^ + ( ∑ I = 1 norte metro I Δ r I mi ^ I ) × V . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {L} amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {v} _ {i} \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} \ times \ left ( \ omega \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) \\ amp; = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n } m_ {i} \, \ Delta r_ {i} ^ {2} \ right) \ omega \ mathbf {\ hat {k}} + \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i } \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} \ right) \ times \ mathbf {V}. \ End {alineado}}}

Utilice el centro de masa como punto de referencia para $$

C {\ Displaystyle \ mathbf {C}}

$$$$ Δ r I mi ^ I = r I - C , ∑ I = 1 norte metro I Δ r I mi ^ I = 0 , {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} amp; = \ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C}, \\\ suma _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} amp; = 0, \ end {alineado}}}

y definir el momento de inercia relativo al centro de masa como $$

I C {\ Displaystyle I _ {\ mathbf {C}}}

$$$$ I C= ∑ I metro IΔ r I 2, {\ Displaystyle I _ {\ mathbf {C}} = \ sum _ {i} m_ {i} \, \ Delta r_ {i} ^ {2},}

entonces la ecuación para el momento angular se simplifica a

$$$$ L= I Cω k ^. {\ Displaystyle \ mathbf {L} = I _ {\ mathbf {C}} \ omega \ mathbf {\ hat {k}}.}

El momento de inercia alrededor de un eje perpendicular al movimiento del sistema rígido y a través del centro de masa se conoce como momento polar de inercia. Específicamente, es el segundo momento de masa con respecto a la distancia ortogonal de un eje (o polo). $$

I C {\ Displaystyle I _ {\ mathbf {C}}}

Para una cantidad dada de momento angular, una disminución en el momento de inercia da como resultado un aumento en la velocidad angular. Los patinadores artísticos pueden cambiar su momento de inercia tirando de sus brazos. Por lo tanto, la velocidad angular alcanzada por un patinador con los brazos extendidos da como resultado una mayor velocidad angular cuando se jalan los brazos, debido al reducido momento de inercia. Sin embargo, un patinador artístico no es un cuerpo rígido.

Energía cinética

Esta cizalla rotativa de 1906 utiliza el momento de inercia de dos volantes para almacenar energía cinética que, cuando se libera, se utiliza para cortar material metálico (Biblioteca Internacional de Tecnología, 1906).

La energía cinética de un sistema rígido de partículas que se mueven en el plano está dada por

$$$$ mi K = 1 2 ∑ I = 1 norte metro I v I ⋅ v I , = 1 2 ∑ I = 1 norte metro I ( ω Δ r I t ^ I + V ) ⋅ ( ω Δ r I t ^ I + V ) , = 1 2 ω 2 ( ∑ I = 1 norte metro I Δ r I 2 t ^ I ⋅ t ^ I ) + ω V ⋅ ( ∑ I = 1 norte metro I Δ r I t ^ I ) + 1 2 ( ∑ I = 1 norte metro I ) V ⋅ V . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} E _ {\ text {K}} amp; = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {i}, \\ amp; = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left (\ omega \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) \ cdot \ left (\ omega \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ sombrero {t}} _ {i} + \ mathbf {V} \ right), \\ amp; = {\ frac {1} {2}} \ omega ^ {2} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta r_ {i} ^ {2} \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} \ cdot \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} \ right) + \ omega \ mathbf {V} \ cdot \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {t}} _ {i } \ right) + {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ right) \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {V}. \ end {alineado}}}

Sea el punto de referencia el centro de masa del sistema para que el segundo término se convierta en cero e introduzca el momento de inercia para que la energía cinética esté dada por $$

C {\ Displaystyle \ mathbf {C}}$$ I C {\ Displaystyle I _ {\ mathbf {C}}}

$$$$ mi K= 1 2 I C ω 2+ 1 2M V⋅ V. {\ Displaystyle E _ {\ text {K}} = {\ frac {1} {2}} I _ {\ mathbf {C}} \ omega ^ {2} + {\ frac {1} {2}} M \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {V}.}

El momento de inercia es el momento polar de inercia del cuerpo. $$

I C {\ Displaystyle I _ {\ mathbf {C}}}

Leyes de Newton

Un tractor John Deere de la década de 1920 con volante de radios en el motor. El gran momento de inercia del volante suaviza el funcionamiento del tractor.

Las leyes de Newton para un sistema rígido de partículas`` se pueden escribir en términos de una fuerza y un par resultantes en un punto de referencia, para obtener $$

norte {\ Displaystyle n}$$ PAG I,I=1,...,norte {\ Displaystyle P_ {i}, i = 1, \ dots, n} $$ R {\ Displaystyle \ mathbf {R}}

$$$$ F = ∑ I = 1 norte metro I A I , τ = ∑ I = 1 norte Δ r I × metro I A I , {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {F} amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {A} _ {i}, \\ {\ boldsymbol {\ tau }} amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times m_ {i} \ mathbf {A} _ {i}, \ end {alineado}}} donde denota la trayectoria de cada partícula. $$ r I {\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}

La cinemática de un cuerpo rígido produce la fórmula para la aceleración de la partícula en términos de la posición y aceleración de la partícula de referencia, así como el vector de velocidad angular y el vector de aceleración angular del sistema rígido de partículas como, $$

PAG I {\ Displaystyle P_ {i}}$$ R {\ Displaystyle \ mathbf {R}}$$ A {\ Displaystyle \ mathbf {A}}$$ ω {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$$ α {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}

$$$$ A I= α×Δ r I+ ω× ω×Δ r I+ A. {\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {i} = {\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} + \ mathbf {A}.}

Para los sistemas que están restringidos al movimiento plano, los vectores de velocidad angular y aceleración angular se dirigen perpendicularmente al plano de movimiento, lo que simplifica esta ecuación de aceleración. En este caso, los vectores de aceleración se pueden simplificar introduciendo los vectores unitarios desde el punto de referencia a un punto y los vectores unitarios, así $$

k ^ {\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}$$ mi ^ I {\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {e}} _ {i}}$$ R {\ Displaystyle \ mathbf {R}}$$ r I {\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$$ t ^ I= k ^× mi ^ I {\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} = \ mathbf {\ hat {k}} \ times \ mathbf {\ hat {e}} _ {i}}

$$$$ A I = α k ^ × Δ r I mi ^ I - ω k ^ × ω k ^ × Δ r I mi ^ I + A = α Δ r I t ^ I - ω 2 Δ r I mi ^ I + A . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {A} _ {i} amp; = \ alpha \ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e}} _ { i} - \ omega \ mathbf {\ hat {k}} \ times \ omega \ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} + \ mathbf {A} \\ amp; = \ alpha \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} - \ omega ^ {2} \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e} } _ {i} + \ mathbf {A}. \ end {alineado}}}

Esto produce el torque resultante en el sistema como

$$$$ τ = ∑ I = 1 norte metro I Δ r I mi ^ I × ( α Δ r I t ^ I - ω 2 Δ r I mi ^ I + A ) = ( ∑ I = 1 norte metro I Δ r I 2 ) α k ^ + ( ∑ I = 1 norte metro I Δ r I mi ^ I ) × A , {\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ boldsymbol {\ tau}} amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e }} _ {i} \ times \ left (\ alpha \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} - \ omega ^ {2} \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} + \ mathbf {A} \ right) \\ amp; = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta r_ {i} ^ { 2} \ right) \ alpha \ mathbf {\ hat {k}} + \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat { e}} _ {i} \ right) \ times \ mathbf {A}, \ end {alineado}}}

donde, y es el vector unitario perpendicular al plano para todas las partículas. $$

mi ^ I× mi ^ I= 0 {\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} \ times \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} = \ mathbf {0}}$$ mi ^ I× t ^ I= k ^ {\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} \ times \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} = \ mathbf {\ hat {k}}}$$ PAG I {\ Displaystyle P_ {i}}

Utilice el centro de masa como punto de referencia y defina el momento de inercia relativo al centro de masa, luego la ecuación para el par resultante se simplifica a $$

C {\ Displaystyle \ mathbf {C}}$$ I C {\ Displaystyle I _ {\ mathbf {C}}}

$$$$ τ= I Cα k ^. {\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = I _ {\ mathbf {C}} \ alpha \ mathbf {\ hat {k}}.}

Movimiento en el espacio de un cuerpo rígido y la matriz de inercia

Los momentos escalares de inercia aparecen como elementos en una matriz cuando un sistema de partículas se ensambla en un cuerpo rígido que se mueve en un espacio tridimensional. Esta matriz de inercia aparece en el cálculo del momento angular, la energía cinética y el par resultante del sistema rígido de partículas.

Para el análisis de una peonza, consulte Precesión § Clásico (newtoniano) y las ecuaciones de Euler (dinámica de cuerpos rígidos).

Sea el sistema de partículas, ubicado en las coordenadas con velocidades relativas a un marco de referencia fijo. Para un punto de referencia (posiblemente en movimiento), las posiciones relativas son $$

norte {\ Displaystyle n}$$ PAG I,I=1,...,norte {\ Displaystyle P_ {i}, i = 1,..., n}$$ r I {\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$$ v I {\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {i}}$$ R {\ Displaystyle \ mathbf {R}}

$$Δ r I= r I- R {\ Displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i} = \ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {R}}

y las velocidades (absolutas) son

$$ v I= ω×Δ r I+ V R {\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {i} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} + \ mathbf {V} _ {\ mathbf {R}}}

donde es la velocidad angular del sistema y es la velocidad de. $$

ω {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$$ V R {\ Displaystyle \ mathbf {V_ {R}}}$$ R {\ Displaystyle \ mathbf {R}}

Momento angular

Tenga en cuenta que el producto cruzado se puede escribir de forma equivalente como multiplicación de matrices combinando el primer operando y el operador en una matriz de simetría sesgada, construida a partir de los componentes de: $$

[ B ] {\ Displaystyle \ left [\ mathbf {b} \ right]}$$ B=( B X, B y, B z) {\ Displaystyle \ mathbf {b} = (b_ {x}, b_ {y}, b_ {z})}

$$ B × y ≡ [ B ] y [ B ] ≡ [ 0 - B z B y B z 0 - B X - B y B X 0]. {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {b} \ times \ mathbf {y} amp; \ equiv \ left [\ mathbf {b} \ right] \ mathbf {y} \\\ left [\ mathbf {b} \ right] amp; \ equiv {\ begin {bmatrix} 0 amp; -b_ {z} amp; b_ {y} \\ b_ {z} amp; 0 amp; -b_ {x} \\ - b_ {y} amp; b_ {x} amp; 0 \ end {bmatrix }}. \ end {alineado}}}

La matriz de inercia se construye considerando el momento angular, con el punto de referencia del cuerpo elegido como centro de masa: $$

R {\ Displaystyle \ mathbf {R}}$$ C {\ Displaystyle \ mathbf {C}}

$$ L = ∑ I = 1 norte metro I Δ r I × v I = ∑ I = 1 norte metro I Δ r I × ( ω × Δ r I + V R ) = ( - ∑ I = 1 norte metro I Δ r I × ( Δ r I × ω ) ) + ( ∑ I = 1 norte metro I Δ r I × V R ) , {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {L} amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf { v} _ {i} \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times \ left ({\ boldsymbol {\ omega }} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} + \ mathbf {V} _ {\ mathbf {R}} \ right) \\ amp; = \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ { n} m_ {i} \, \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times \ left (\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) \ right) + \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {V} _ {\ mathbf {R}} \ derecha), \ end {alineado}}}

donde los términos que contienen () suman cero según la definición de centro de masa. $$

V R {\ Displaystyle \ mathbf {V_ {R}}}$$= C {\ Displaystyle = \ mathbf {C}}

Entonces, la matriz de simetría oblicua obtenida del vector de posición relativa, se puede usar para definir, $$

[Δ r I] {\ Displaystyle [\ Delta \ mathbf {r} _ {i}]}$$Δ r I= r I- C {\ Displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i} = \ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C}}

$$ L= ( - ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I ] 2 ) ω= I C ω, {\ Displaystyle \ mathbf {L} = \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] ^ {2} \ right) {\ boldsymbol {\ omega}} = \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} {\ boldsymbol {\ omega}},}

donde definido por $$

I C {\ Displaystyle \ mathbf {I_ {C}}}

$$ I C=- ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I ] 2, {\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right ] ^ {2},}

es la matriz de inercia simétrica del sistema rígido de partículas medida con respecto al centro de masa. $$

C {\ Displaystyle \ mathbf {C}}

Energía cinética

La energía cinética de un sistema rígido de partículas se puede formular en términos del centro de masa y una matriz de momentos de inercia de masa del sistema. Deje que el sistema de partículas se ubique en las coordenadas con velocidades, entonces la energía cinética es $$

norte {\ Displaystyle n}$$ PAG I,I=1,...,norte {\ Displaystyle P_ {i}, i = 1,..., n}$$ r I {\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$$ v I {\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {i}}

$$ mi K= 1 2 ∑ I = 1 norte metro I v I⋅ v I= 1 2 ∑ I = 1 norte metro I ( ω × Δ r I + V C )⋅ ( ω × Δ r I + V C ), {\ Displaystyle E _ {\ text {K}} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {i} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} + \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \ right) \ cdot \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ { i} + \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \ derecha),}

donde es el vector de posición de una partícula con respecto al centro de masa. $$

Δ r I= r I- C {\ Displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i} = \ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C}}

Esta ecuación se expande para producir tres términos

$$ mi K= 1 2 ( ∑ I = 1 norte metro I ( ω × Δ r I ) ⋅ ( ω × Δ r I ) )+ ( ∑ I = 1 norte metro I V C ⋅ ( ω × Δ r I ) )+ 1 2 ( ∑ I = 1 norte metro I V C ⋅ V C ). {\ Displaystyle E _ {\ text {K}} = {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left ({\ boldsymbol {\ omega }} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ cdot \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ right) + \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \ cdot \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ right) + {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \ cdot \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \ derecha).}

El segundo término de esta ecuación es cero porque es el centro de masa. Introduzca la matriz de simetría sesgada para que la energía cinética se convierta en $$

C {\ Displaystyle \ mathbf {C}}$$[Δ r I] {\ Displaystyle [\ Delta \ mathbf {r} _ {i}]}

$$ mi K = 1 2 ( ∑ I = 1 norte metro I ( [ Δ r I ] ω ) ⋅ ( [ Δ r I ] ω ) ) + 1 2 ( ∑ I = 1 norte metro I ) V C ⋅ V C = 1 2 ( ∑ I = 1 norte metro I ( ω T [ Δ r I ] T [ Δ r I ] ω ) ) + 1 2 ( ∑ I = 1 norte metro I ) V C ⋅ V C = 1 2 ω ⋅ ( - ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I ] 2 ) ω + 1 2 ( ∑ I = 1 norte metro I ) V C ⋅ V C . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} E _ {\ text {K}} amp; = {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left (\ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) \ cdot \ left (\ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right ] {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) \ right) + {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ right) \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \ cdot \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \\ amp; = {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1 } ^ {n} m_ {i} \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} ^ {\ mathsf {T}} \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] ^ {\ mathsf { T}} \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) \ right) + {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ right) \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \ cdot \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \\ amp; = { \ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] ^ {2} \ right) {\ boldsymbol {\ omega}} + {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i } \ derecha) \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \ cdot \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}}. \ end {alineado}}}

Por tanto, la energía cinética del sistema rígido de partículas está dada por

$$ mi K= 1 2 ω⋅ I C ω+ 1 2METRO V C 2. {\ Displaystyle E _ {\ text {K}} = {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} {\ boldsymbol {\ omega}} + {\ frac {1} {2}} M \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} ^ {2}.}

donde es la matriz de inercia relativa al centro de masa y es la masa total. $$

I C {\ Displaystyle \ mathbf {I_ {C}}}$$METRO {\ Displaystyle M}

Torque resultante

La matriz de inercia aparece en la aplicación de la segunda ley de Newton a un conjunto rígido de partículas. El torque resultante en este sistema es,

$$ τ= ∑ I = 1 norte ( r I - R )× metro I a I, {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (\ mathbf {r_ {i}} - \ mathbf {R} \ right) \ times m_ {i} \ mathbf {a} _ {i},}

donde es la aceleración de la partícula. La cinemática de un cuerpo rígido produce la fórmula para la aceleración de la partícula en términos de la posición y aceleración del punto de referencia, así como el vector de velocidad angular y el vector de aceleración angular del sistema rígido como, $$

a I {\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {i}}$$ PAG I {\ Displaystyle P_ {i}} $$ PAG I {\ Displaystyle P_ {i}}$$ R {\ Displaystyle \ mathbf {R}}$$ A R {\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {\ mathbf {R}}}$$ ω {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$$ α {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}

$$ a I= α× ( r I - R )+ ω× ( ω × ( r I - R ) )+ A R. {\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {i} = {\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ left (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {R} \ right) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {R} \ right) \ right) + \ mathbf {A} _ { \ mathbf {R}}.}

Utilice el centro de masa como punto de referencia e introduzca la matriz de simetría sesgada para representar el producto cruzado, para obtener $$

C {\ Displaystyle \ mathbf {C}}$$ [ Δ r I ]= [ r I - C ] {\ Displaystyle \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] = \ left [\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C} \ right]}$$( r I- C)× {\ Displaystyle (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C}) \ times}

$$ τ= ( - ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I ] 2 ) α+ ω× ( - ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I ] 2 ) ω {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] ^ {2} \ right) {\ boldsymbol {\ alpha}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] ^ {2} \ right) {\ boldsymbol {\ omega}}}

El cálculo usa la identidad

$$Δ r I× ( ω × ( ω × Δ r I ) )+ ω× ( ( ω × Δ r I ) × Δ r I )=0, {\ Displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ right) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (\ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) = 0,}

obtenido de la identidad de Jacobi para el producto de triple cruz como se muestra en la siguiente prueba:

Prueba  - $$$$ τ = ∑ I = 1 norte ( r I - R ) × ( metro I a I ) = ∑ I = 1 norte Δ r I × ( metro I a I ) = ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I × a I ] ...  multiplicación escalar de productos cruzados = ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I × ( a tangencial , I + a centrípeto , I + A R ) ] = ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I × ( a tangencial , I + a centrípeto , I + 0 ) ] ... R  está en reposo o moviéndose a una velocidad constante pero no acelerada, o  el origen del sistema de referencia de coordenadas fijas (mundial) se coloca en el centro de masa  C = ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I × a tangencial , I + Δ r I × a centrípeto , I ] ...  distributividad de productos cruzados sobre la adición = ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I × ( α × Δ r I ) + Δ r I × ( ω × v tangencial , I ) ] τ = ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I × ( α × Δ r I ) + Δ r I × ( ω × ( ω × Δ r I ) ) ] {\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ boldsymbol {\ tau}} amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (\ mathbf {r_ {i}} - \ mathbf {R}) \ times ( m_ {i} \ mathbf {a} _ {i}) \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ( m_ {i} \ mathbf {a} _ {i}) \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ { i} \ times \ mathbf {a} _ {i}] \; \ ldots {\ text {multiplicación escalar de productos cruzados}} \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [ {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times (\ mathbf {a} _ {{\ text {tangencial}}, i} + \ mathbf {a} _ {{\ text {centrípeto }}, i} + \ mathbf {A} _ {\ mathbf {R}})] \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times (\ mathbf {a} _ {{\ text {tangencial}}, i} + \ mathbf {a} _ {{\ text {centrípeto}}, i} +0) ] \\ amp; \; \; \; \; \; \ ldots \; \ mathbf {R} {\ text {está en reposo o moviéndose a una velocidad constante pero no acelerada, o}} \\ amp; \; \ ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; {\ text {el origen del sistema de referencia de coordenadas fijas (mundial) se coloca en el centro de masa}} \ mathbf {C} \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf { r} _ {i} \ times \ mathbf {a} _ {{\ text {tangencial}}, i} + {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {a} _ {{\ text {centrípeto}}, i}] \; \ ldots {\ text {distributividad entre productos sobre la suma}} \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [ {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + { \ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v} _ {{\ text {tangencial}}, i})] \\ {\ boldsymbol {\ tau}} amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol { \ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}))] \\\ end {alineado}}}

Luego, la siguiente identidad de Jacobi se usa en el último término:

$$$$ 0 = Δ r I × ( ω × ( ω × Δ r I ) ) + ω × ( ( ω × Δ r I ) × Δ r I ) + ( ω × Δ r I ) × ( Δ r I × ω ) = Δ r I × ( ω × ( ω × Δ r I ) ) + ω × ( ( ω × Δ r I ) × Δ r I ) + ( ω × Δ r I ) × - ( ω × Δ r I ) ...  anticomutatividad de productos cruzados = Δ r I × ( ω × ( ω × Δ r I ) ) + ω × ( ( ω × Δ r I ) × Δ r I ) + - [ ( ω × Δ r I ) × ( ω × Δ r I ) ] ...  multiplicación escalar de productos cruzados = Δ r I × ( ω × ( ω × Δ r I ) ) + ω × ( ( ω × Δ r I ) × Δ r I ) + - [ 0 ] ...  autoproducto cruzado 0 = Δ r I × ( ω × ( ω × Δ r I ) ) + ω × ( ( ω × Δ r I ) × Δ r I ) {\ displaystyle {\ begin {alineado} 0 amp; = {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}}) \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times (({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta }} \ mathbf {r} _ {i}) \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta }} \ mathbf {r} _ {i}) \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ omega}}) \\ amp; = {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r } _ {i})) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times (({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \ times - ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \; \ ldots {\ text {anticommutatividad de productos cruzados}} \\ amp; = {\ negrita bol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf { r} _ {i})) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times (({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \ veces {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + - [({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})] \; \ ldots {\ text {multiplicación escalar de productos cruzados}} \\ amp; = {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta} } \ mathbf {r} _ {i})) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times (({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ { i}) \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + - [0] \; \ ldots {\ text {self cross-product}} \\ 0 amp; = {\ boldsymbol { \ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})) + {\ b símbolo antiguo {\ omega}} \ times (({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \ end {alineado}}}

El resultado de aplicar la identidad de Jacobi se puede continuar de la siguiente manera:

$$$$ Δ r I × ( ω × ( ω × Δ r I ) ) = - [ ω × ( ( ω × Δ r I ) × Δ r I ) ] = - [ ( ω × Δ r I ) ( ω ⋅ Δ r I ) - Δ r I ( ω ⋅ ( ω × Δ r I ) ) ] ...  vector triple producto = - [ ( ω × Δ r I ) ( ω ⋅ Δ r I ) - Δ r I ( Δ r I ⋅ ( ω × ω ) ) ] ...  producto triple escalar = - [ ( ω × Δ r I ) ( ω ⋅ Δ r I ) - Δ r I ( Δ r I ⋅ ( 0 ) ) ] ...  autoproducto cruzado = - [ ( ω × Δ r I ) ( ω ⋅ Δ r I ) ] = - [ ω × ( Δ r I ( ω ⋅ Δ r I ) ) ] ...  multiplicación escalar de productos cruzados = ω × - ( Δ r I ( ω ⋅ Δ r I ) ) ...  multiplicación escalar de productos cruzados Δ r I × ( ω × ( ω × Δ r I ) ) = ω × - ( Δ r I ( Δ r I ⋅ ω ) ) ...  conmutatividad de producto escalar {\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})) amp; = - [{\ boldsymbol {\ omega}} \ times (({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})] \\ amp; = - [({\ boldsymbol {\ omega}} \ veces {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) ({\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - { \ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r } _ {i}))] \; \ ldots {\ text {vector triple producto}} \\ amp; = - [({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r } _ {i}) ({\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ omega}}))] \; \ ldots { \ text {producto triple escalar}} \\ amp; = - [ ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) ({\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot (0)) ] \; \ ldots {\ text {producto cruzado propio}} \\ amp; = - [({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) ({\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})] \\ amp; = - [{\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}))] \; \ ldots { \ text {multiplicación escalar de productos cruzados}} \\ amp; = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times - ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ omega }} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})) \; \ ldots {\ text {multiplicación escalar de productos cruzados}} \\ {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})) amp; = {\ boldsymbol {\ omega}} \ hora s - ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}})) \; \ ldots {\ text {conmutatividad de producto-punto}} \\\ end {alineado}}}

El resultado final puede sustituirse por la prueba principal de la siguiente manera:

$$$$ τ = ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I × ( α × Δ r I ) + Δ r I × ( ω × ( ω × Δ r I ) ) ] = ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I × ( α × Δ r I ) + ω × - ( Δ r I ( Δ r I ⋅ ω ) ) ] = ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I × ( α × Δ r I ) + ω × { 0 - Δ r I ( Δ r I ⋅ ω ) } ] = ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I × ( α × Δ r I ) + ω × { [ ω ( Δ r I ⋅ Δ r I ) - ω ( Δ r I ⋅ Δ r I ) ] - Δ r I ( Δ r I ⋅ ω ) } ] ... ω ( Δ r I ⋅ Δ r I ) - ω ( Δ r I ⋅ Δ r I ) = 0 = ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I × ( α × Δ r I ) + ω × { [ ω ( Δ r I ⋅ Δ r I ) - Δ r I ( Δ r I ⋅ ω ) ] - ω ( Δ r I ⋅ Δ r I ) } ] ...  asociatividad de adición {\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ boldsymbol {\ tau}} amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ { i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}))] \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times - ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol { \ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}))] \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol { \ omega}} \ times \ {0 - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}) \}] \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ( {\ boldsymb ol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {[{\ boldsymbol {\ omega}} ({ \ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ omega}} ({\ boldsymbol { \ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})] - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ { i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}) \}] \; \ ldots \; {\ boldsymbol {\ omega}} ({ \ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ omega}} ({\ boldsymbol { \ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) = 0 \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n } m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {[{\ boldsymbol {\ omega}} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol { \ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}})] - {\ boldsymbol {\ omega}} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i } \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \}] \; \ ldots {\ text {asociatividad de adición}} \\\ end {alineado}}} $$$$ = ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I × ( α × Δ r I ) + ω × { ω ( Δ r I ⋅ Δ r I ) - Δ r I ( Δ r I ⋅ ω ) } - ω × ω ( Δ r I ⋅ Δ r I ) ] ...  distributividad de productos cruzados sobre la adición = ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I × ( α × Δ r I ) + ω × { ω ( Δ r I ⋅ Δ r I ) - Δ r I ( Δ r I ⋅ ω ) } - ( Δ r I ⋅ Δ r I ) ( ω × ω ) ] ...  multiplicación escalar de productos cruzados = ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I × ( α × Δ r I ) + ω × { ω ( Δ r I ⋅ Δ r I ) - Δ r I ( Δ r I ⋅ ω ) } - ( Δ r I ⋅ Δ r I ) ( 0 ) ] ...  autoproducto cruzado = ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I × ( α × Δ r I ) + ω × { ω ( Δ r I ⋅ Δ r I ) - Δ r I ( Δ r I ⋅ ω ) } ] = ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I × ( α × Δ r I ) + ω × { Δ r I × ( ω × Δ r I ) } ] ...  vector triple producto = ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I × - ( Δ r I × α ) + ω × { Δ r I × - ( Δ r I × ω ) } ] ...  anticomutatividad de productos cruzados = - ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I × ( Δ r I × α ) + ω × { Δ r I × ( Δ r I × ω ) } ] ...  multiplicación escalar de productos cruzados = - ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I × ( Δ r I × α ) ] + - ∑ I = 1 norte metro I [ ω × { Δ r I × ( Δ r I × ω ) } ] ...  distributividad sumatoria τ = - ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I × ( Δ r I × α ) ] + ω × - ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I × ( Δ r I × ω ) ] ... ω  no es característico de la partícula  PAG I {\ Displaystyle {\ begin {alineado} amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {{\ boldsymbol {\ omega}} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}) \} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ omega}} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})] \; \ ldots {\ text { distributividad entre productos sobre la suma}} \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({ \ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {{\ boldsymbol {\ omega}} ({ \ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ b símbolo antiguo {\ omega}}) \} - ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) ({ \ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ omega}})] \; \ ldots {\ text {multiplicación escalar de productos cruzados}} \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ { i}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {{\ boldsymbol {\ omega}} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta }} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}) \} - ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) (0)] \; \ ldots {\ text {producto cruzado propio}} \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf { r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ { {\ boldsymbol {\ omega}} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i } \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}) \}] \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \}] \; \ ldots {\ text {vector triple producto}} \\ amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ veces - ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ alpha}}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {{\ boldsymbol {\ Delta }} \ mathbf {r} _ {i} \ times - ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ omega}}) \}] \; \ ldots {\ text {anticomutatividad de productos cruzados}} \\ amp; = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ veces ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ alpha}}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {{ \ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ omega}}) \}] \; \ ldots {\ text {multiplicación escalar de productos cruzados}} \\ amp; = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ alpha}})] + - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ omega}}) \}] \; \ ldots {\ text {distributividad de suma}} \\ {\ boldsymbol {\ tau}} amp; = - \ sum _ {i = 1 } ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times { \ boldsymbol {\ alpha}})] + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r } _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ omega}})] \; \ ldots \; {\ boldsymbol {\ omega} } {\ text {no es característico de la partícula}} P_ {i} \ end {alineado}}}

Observe que para cualquier vector, se cumple lo siguiente: $$

tu {\ Displaystyle \ mathbf {u} \,}

$$$$ - ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I × ( Δ r I × tu ) ] = - ∑ I = 1 norte metro I ( [ 0 - Δ r 3 , I Δ r 2 , I Δ r 3 , I 0 - Δ r 1 , I - Δ r 2 , I Δ r 1 , I 0] ( [ 0 - Δ r 3 , I Δ r 2 , I Δ r 3 , I 0 - Δ r 1 , I - Δ r 2 , I Δ r 1 , I 0] [ tu 1 tu 2 tu 3]))...  producto cruzado como multiplicación de matrices = - ∑ I = 1 norte metro I ( [ 0 - Δ r 3 , I Δ r 2 , I Δ r 3 , I 0 - Δ r 1 , I - Δ r 2 , I Δ r 1 , I 0] [ - Δ r 3 , I tu 2 + Δ r 2 , I tu 3 + Δ r 3 , I tu 1 - Δ r 1 , I tu 3 - Δ r 2 , I tu 1 + Δ r 1 , I tu 2]) = - ∑ I = 1 norte metro I [ - Δ r 3 , I ( + Δ r 3 , I tu 1 - Δ r 1 , I tu 3 ) + Δ r 2 , I ( - Δ r 2 , I tu 1 + Δ r 1 , I tu 2 ) + Δ r 3 , I ( - Δ r 3 , I tu 2 + Δ r 2 , I tu 3 ) - Δ r 1 , I ( - Δ r 2 , I tu 1 + Δ r 1 , I tu 2 ) - Δ r 2 , I ( - Δ r 3 , I tu 2 + Δ r 2 , I tu 3 ) + Δ r 1 , I ( + Δ r 3 , I tu 1 - Δ r 1 , I tu 3 )] = - ∑ I = 1 norte metro I [ - Δ r 3 , I 2 tu 1 + Δ r 1 , I Δ r 3 , I tu 3 - Δ r 2 , I 2 tu 1 + Δ r 1 , I Δ r 2 , I tu 2 - Δ r 3 , I 2 tu 2 + Δ r 2 , I Δ r 3 , I tu 3 + Δ r 2 , I Δ r 1 , I tu 1 - Δ r 1 , I 2 tu 2 + Δ r 3 , I Δ r 2 , I tu 2 - Δ r 2 , I 2 tu 3 + Δ r 3 , I Δ r 1 , I tu 1 - Δ r 1 , I 2 tu 3] = - ∑ I = 1 norte metro I [ - ( Δ r 2 , I 2 + Δ r 3 , I 2 ) tu 1 + Δ r 1 , I Δ r 2 , I tu 2 + Δ r 1 , I Δ r 3 , I tu 3 + Δ r 2 , I Δ r 1 , I tu 1 - ( Δ r 1 , I 2 + Δ r 3 , I 2 ) tu 2 + Δ r 2 , I Δ r 3 , I tu 3 + Δ r 3 , I Δ r 1 , I tu 1 + Δ r 3 , I Δ r 2 , I tu 2 - ( Δ r 1 , I 2 + Δ r 2 , I 2 ) tu 3] = - ∑ I = 1 norte metro I [ - ( Δ r 2 , I 2 + Δ r 3 , I 2 ) Δ r 1 , I Δ r 2 , I Δ r 1 , I Δ r 3 , I Δ r 2 , I Δ r 1 , I - ( Δ r 1 , I 2 + Δ r 3 , I 2 ) Δ r 2 , I Δ r 3 , I Δ r 3 , I Δ r 1 , I Δ r 3 , I Δ r 2 , I - ( Δ r 1 , I 2 + Δ r 2 , I 2 )] [ tu 1 tu 2 tu 3] = - ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I ] 2 tu - ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I × ( Δ r I × tu ) ] = ( - ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I ] 2 ) tu ... tu  no es característico de  PAG I {\ Displaystyle {\ begin {alineado} - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {u})] amp; = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left ({\ begin {bmatrix } 0 amp; - \ Delta r_ {3, i} amp; \ Delta r_ {2, i} \\\ Delta r_ {3, i} amp; 0 amp; - \ Delta r_ {1, i} \\ - \ Delta r_ {2, i } amp; \ Delta r_ {1, i} amp; 0 \ end {bmatrix}} \ left ({\ begin {bmatrix} 0 amp; - \ Delta r_ {3, i} amp; \ Delta r_ {2, i} \\\ Delta r_ {3, i} amp; 0 amp; - \ Delta r_ {1, i} \\ - \ Delta r_ {2, i} amp; \ Delta r_ {1, i} amp; 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} u_ { 1} \\ u_ {2} \\ u_ {3} \ end {bmatrix}} \ right) \ right) \; \ ldots {\ text {producto cruzado como multiplicación de matrices}} \\ [6pt] amp; = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left ({\ begin {bmatrix} 0 amp; - \ Delta r_ {3, i} amp; \ Delta r_ {2, i} \\\ Delta r_ { 3, i} amp; 0 amp; - \ Delta r_ {1, i} \\ - \ Delta r_ {2, i} amp; \ Delta r_ {1, i} amp; 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} - \ Delta r_ {3, i} \, u_ {2} + \ Delta r_ {2, i} \, u_ {3} \\ + \ Delta r_ {3, i} \, u_ {1} - \ Delta r_ {1, i} \, u_ {3} \\ - \ Delta r_ {2, i} \, u_ {1} + \ Delta r_ {1, i} \, u_ {2} \ end {bmatrix}} \ right) \\ [6pt] amp; = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} {\ begin {bmatrix} - \ Delta r_ {3, i} (+ \ Delta r_ {3, i} \, u_ {1} - \ Delta r_ {1, i} \, u_ {3}) + \ Delta r_ {2, i} (- \ Delta r_ {2, i} \, u_ {1} + \ Delta r_ {1, i} \, u_ {2}) \\ + \ Delta r_ {3, i} (- \ Delta r_ {3, i} \, u_ {2} + \ Delta r_ {2, i} \, u_ {3}) - \ Delta r_ {1, i} (- \ Delta r_ {2, i} \, u_ {1} + \ Delta r_ {1, i} \, u_ {2}) \\ - \ Delta r_ {2, i} (- \ Delta r_ {3, i} \, u_ {2} + \ Delta r_ {2, i} \, u_ {3}) + \ Delta r_ {1, i} (+ \ Delta r_ {3, i } \, u_ {1} - \ Delta r_ {1, i} \, u_ {3}) \ end {bmatrix}} \\ [6pt] amp; = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} {\ begin {bmatrix} - \ Delta r_ {3, i} ^ {2} \, u_ {1} + \ Delta r_ {1, i} \ Delta r_ {3, i} \, u_ {3 } - \ Delta r_ {2, i} ^ {2} \, u_ {1} + \ Delta r_ {1, i} \ Delta r_ {2, i} \, u_ {2} \\ - \ Delta r_ { 3, i} ^ {2} \, u_ {2} + \ Delta r_ {2, i} \ Delta r_ {3, i} \, u_ {3} + \ Delta r_ {2, i} \ Delta r_ { 1, i} \, u_ {1} - \ Delta r_ {1, i} ^ {2} \, u_ {2} \\ + \ Delta r_ {3, i} \ Delta r_ {2, i} \, u_ {2} - \ Delta r_ {2, i} ^ {2} \, u_ {3} + \ Delta r_ {3, i} \ Delta r_ {1, i} \, u_ {1} - \ Delta r_ {1, i} ^ {2} \, u_ {3} \ end {bmatrix}} \\ [6pt] amp; = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} {\ begin {bmatrix } - (\ Delta r_ {2, i} ^ {2} + \ Delta r_ {3, i} ^ {2}) \, u_ {1} + \ Delta r_ {1, i} \ Delta r_ {2, i} \, u_ {2} + \ Delta r_ {1, i} \ Delta r_ {3, i} \, u_ {3} \\ + \ Delta r_ {2, i} \ Delta r_ {1, i} \, u_ {1} - (\ Delta r_ {1, i} ^ {2} + \ Delta r_ {3, i} ^ {2}) \, u_ {2} + \ Delta r_ {2, i} \ Delta r_ {3, i} \, u_ {3} \\ + \ Delta r_ {3, i} \ Delta r_ {1, i} \, u_ {1} + \ Delta r_ {3, i} \ Delta r_ {2, i} \, u_ {2} - (\ Delta r_ { 1, i} ^ {2} + \ Delta r_ {2, i} ^ {2}) \, u_ {3} \ end {bmatrix}} \\ [6pt] amp; = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} {\ begin {bmatrix} - (\ Delta r_ {2, i} ^ {2} + \ Delta r_ {3, i} ^ {2}) amp; \ Delta r_ {1, i } \ Delta r_ {2, i} y \ Delta r_ {1, i} \ Delta r_ {3, i} \\\ Delta r_ {2, i} \ Delta r_ {1, i} y - (\ Delta r_ {1, i} ^ {2} + \ Delta r_ {3, i} ^ {2}) amp; \ Delta r_ {2, i} \ Delta r_ {3, i} \\\ Delta r_ {3, i} \ Delta r_ {1, i} y \ Delta r_ {3, i} \ Delta r_ {2, i} y - (\ Delta r_ {1, i} ^ {2} + \ Delta r_ {2, i} ^ {2}) \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} u_ {1} \\ u_ {2} \\ u_ {3} \ end {bmatrix}} \\ amp; = - \ sum _ {i = 1 } ^ {n} m_ {i} [\ Delta r_ {i}] ^ {2} \ mathbf {u} \\ [6pt] - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{ \ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {u})] amp; = \ left ( - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [\ Delta r_ {i}] ^ {2} \ right) \ mathbf {u} \; \ ldots \; \ mathbf {u} {\ texto {no es característico de}} P_ {i} \ end {alineado}}}

Finalmente, el resultado se usa para completar la prueba principal de la siguiente manera:

$$$$ τ = - ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I × ( Δ r I × α ) ] + ω × - ∑ I = 1 norte metro I Δ r I × ( Δ r I × ω ) ] = ( - ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I ] 2 ) α + ω × ( - ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I ] 2 ) ω {\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ boldsymbol {\ tau}} amp; = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ alpha}})] + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i } \ times {\ boldsymbol {\ omega}})] \\ amp; = \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [\ Delta r_ {i}] ^ {2} \ derecha) {\ boldsymbol {\ alpha}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [\ Delta r_ {i}] ^ {2} \ right) {\ boldsymbol {\ omega}} \ end {alineado}}}

Por lo tanto, el par de torsión resultante en el sistema rígido de partículas está dado por

$$$$ τ= I C α+ ω× I C ω, {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} {\ boldsymbol {\ alpha}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} {\ boldsymbol {\ omega}},}

donde es la matriz de inercia relativa al centro de masa. $$

I C {\ Displaystyle \ mathbf {I_ {C}}}

Teorema del eje paralelo

Artículo principal: teorema del eje paralelo

La matriz de inercia de un cuerpo depende de la elección del punto de referencia. Existe una relación útil entre la matriz de inercia en relación con el centro de masa y la matriz de inercia en relación con otro punto. Esta relación se denomina teorema del eje paralelo. $$

C {\ Displaystyle \ mathbf {C}}$$ R {\ Displaystyle \ mathbf {R}}

Considere la matriz de inercia obtenida para un sistema rígido de partículas medidas con respecto a un punto de referencia, dada por $$

I R {\ Displaystyle \ mathbf {I_ {R}}}$$ R {\ Displaystyle \ mathbf {R}}

$$ I R=- ∑ I = 1 norte metro I [ r I - R ] 2. {\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {R}} = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left [\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf { R} \ derecha] ^ {2}.}

Sea el centro de masa del sistema rígido, entonces $$

C {\ Displaystyle \ mathbf {C}}

$$ R=( R- C)+ C= D+ C, {\ Displaystyle \ mathbf {R} = (\ mathbf {R} - \ mathbf {C}) + \ mathbf {C} = \ mathbf {d} + \ mathbf {C},}

donde es el vector desde el centro de masa hasta el punto de referencia. Utilice esta ecuación para calcular la matriz de inercia, $$

D {\ Displaystyle \ mathbf {d}}$$ C {\ Displaystyle \ mathbf {C}}$$ R {\ Displaystyle \ mathbf {R}}

$$ I R=- ∑ I = 1 norte metro I[ r I- ( C + D ) ] 2=- ∑ I = 1 norte metro I[ ( r I - C )- D ] 2. {\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {R}} = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [\ mathbf {r} _ {i} - \ left (\ mathbf {C} + \ mathbf {d} \ right)] ^ {2} = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [\ left (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C} \ right) - \ mathbf {d}] ^ {2}.}

Distribuir sobre el producto cruzado para obtener

$$ I R=- ( ∑ I = 1 norte metro I [ r I - C ] 2 )+ ( ∑ I = 1 norte metro I [ r I - C ] )[ D]+[ D] ( ∑ I = 1 norte metro I [ r I - C ] )- ( ∑ I = 1 norte metro I )[ D ] 2. {\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {R}} = - \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C}] ^ {2} \ right) + \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C}] \ right) [\ mathbf {d}] + [\ mathbf {d}] \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C }] \ derecha) - \ izquierda (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ derecha) [\ mathbf {d}] ^ {2}.}

El primer término es la matriz de inercia relativa al centro de masa. El segundo y tercer términos son cero por definición del centro de masa. Y el último término es la masa total del sistema multiplicada por el cuadrado de la matriz simétrica sesgada construida a partir de. $$

I C {\ Displaystyle \ mathbf {I_ {C}}}$$ C {\ Displaystyle \ mathbf {C}}$$[ D] {\ Displaystyle [\ mathbf {d}]}$$ D {\ Displaystyle \ mathbf {d}}

El resultado es el teorema del eje paralelo,

$$ I R= I C-METRO[ D ] 2, {\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {R}} = \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} -M [\ mathbf {d}] ^ {2},}

donde es el vector desde el centro de masa hasta el punto de referencia. $$

D {\ Displaystyle \ mathbf {d}}$$ C {\ Displaystyle \ mathbf {C}}$$ R {\ Displaystyle \ mathbf {R}}

Nota sobre el signo menos: Al usar la matriz simétrica sesgada de vectores de posición con respecto al punto de referencia, la matriz de inercia de cada partícula tiene la forma, que es similar a la que aparece en el movimiento plano. Sin embargo, para que esto funcione correctamente se necesita un signo menos. Este signo menos se puede absorber en el término, si se desea, utilizando la propiedad de simetría sesgada de. $$

-metro [ r ] 2 {\ Displaystyle -m \ left [\ mathbf {r} \ right] ^ {2}}$$metro r 2 {\ Displaystyle mr ^ {2}}$$metro [ r ] T [ r ] {\ Displaystyle m \ left [\ mathbf {r} \ right] ^ {\ mathsf {T}} \ left [\ mathbf {r} \ right]}$$[ r] {\ Displaystyle [\ mathbf {r}]}

Momento de inercia escalar en un plano

El momento escalar de inercia`` de un cuerpo alrededor de un eje especificado cuya dirección es especificada por el vector unitario y pasa a través del cuerpo en un punto es el siguiente: $$

I L {\ Displaystyle I_ {L}}$$ k ^ {\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}$$ R {\ Displaystyle \ mathbf {R}}

$$ I L= k ^⋅ ( - ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I ] 2 ) k ^= k ^⋅ I R k ^= k ^ T I R k ^, {\ Displaystyle I_ {L} = \ mathbf {\ hat {k}} \ cdot \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] ^ {2} \ right) \ mathbf {\ hat {k}} = \ mathbf {\ hat {k}} \ cdot \ mathbf {I} _ {\ mathbf {R}} \ mathbf { \ hat {k}} = \ mathbf {\ hat {k}} ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {I} _ {\ mathbf {R}} \ mathbf {\ hat {k}},}

donde es la matriz de momento de inercia del sistema con respecto al punto de referencia, y es la matriz simétrica de sesgo obtenida del vector. $$

I R {\ Displaystyle \ mathbf {I_ {R}}}$$ R {\ Displaystyle \ mathbf {R}}$$[Δ r I] {\ Displaystyle [\ Delta \ mathbf {r} _ {i}]}$$Δ r I= r I- R {\ Displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i} = \ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {R}}

Esto se deriva de la siguiente manera. Sea un conjunto rígido de partículas,, tenga coordenadas. Elige como punto de referencia y calcular el momento de inercia alrededor de una línea L definido por el vector unitario a través del punto de referencia,. El vector perpendicular de esta línea a la partícula se obtiene quitando el componente sobre el que se proyecta. $$

norte {\ Displaystyle n}$$ PAG I,I=1,...,norte {\ Displaystyle P_ {i}, i = 1,..., n}$$ r I {\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$$ R {\ Displaystyle \ mathbf {R}}$$ k ^ {\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}$$ R {\ Displaystyle \ mathbf {R}}$$ L(t)= R+t k ^ {\ Displaystyle \ mathbf {L} (t) = \ mathbf {R} + t \ mathbf {\ hat {k}}}$$ PAG I {\ Displaystyle P_ {i}}$$Δ r I {\ Displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i}}$$ k ^ {\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}

$$Δ r I ⊥=Δ r I- ( k ^ ⋅ Δ r I ) k ^= ( mi - k ^ k ^ T )Δ r I, {\ Displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i} ^ {\ perp} = \ Delta \ mathbf {r} _ {i} - \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ cdot \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ mathbf {\ hat {k}} = \ left (\ mathbf {E} - \ mathbf {\ hat {k}} \ mathbf {\ hat {k}} ^ {\ mathsf {T}} \ right) \ Delta \ mathbf {r} _ {i},}

donde es la matriz de identidad, para evitar confusiones con la matriz de inercia, y es la matriz de producto exterior formada a partir del vector unitario a lo largo de la línea. $$

mi {\ Displaystyle \ mathbf {E}}$$ k ^ k ^ T {\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {k}} \ mathbf {\ hat {k}} ^ {\ mathsf {T}}}$$ k ^ {\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}$$L {\ Displaystyle L}

Para relacionar este momento escalar de inercia con la matriz de inercia del cuerpo, introduzca la matriz de simetría sesgada de manera que, entonces, tengamos la identidad $$

[ k ^ ] {\ Displaystyle \ left [\ mathbf {\ hat {k}} \ right]}$$ [ k ^ ] y= k ^× y {\ Displaystyle \ left [\ mathbf {\ hat {k}} \ right] \ mathbf {y} = \ mathbf {\ hat {k}} \ times \ mathbf {y}}

$$- [ k ^ ] 2≡ | k ^ | 2 ( mi - k ^ k ^ T )= mi- k ^ k ^ T, {\ Displaystyle - \ left [\ mathbf {\ hat {k}} \ right] ^ {2} \ equiv \ left | \ mathbf {\ hat {k}} \ right | ^ {2} \ left (\ mathbf { E} - \ mathbf {\ hat {k}} \ mathbf {\ hat {k}} ^ {\ mathsf {T}} \ right) = \ mathbf {E} - \ mathbf {\ hat {k}} \ mathbf {\ hat {k}} ^ {\ mathsf {T}},}

señalando que es un vector unitario. $$

k ^ {\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}

La magnitud al cuadrado del vector perpendicular es

$$ | Δ r I ⊥ | 2 = ( - [ k ^ ] 2 Δ r I ) ⋅ ( - [ k ^ ] 2 Δ r I ) = ( k ^ × ( k ^ × Δ r I ) ) ⋅ ( k ^ × ( k ^ × Δ r I ) ) {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ left | \ Delta \ mathbf {r} _ {i} ^ {\ perp} \ right | ^ {2} amp; = \ left (- \ left [\ mathbf {\ hat { k}} \ right] ^ {2} \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ cdot \ left (- \ left [\ mathbf {\ hat {k}} \ right] ^ {2} \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \\ amp; = \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf { r} _ {i} \ right) \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ right) \ end {alineado}}}

La simplificación de esta ecuación utiliza la identidad del producto triple escalar

$$ ( k ^ × ( k ^ × Δ r I ) )⋅ ( k ^ × ( k ^ × Δ r I ) )≡ ( ( k ^ × ( k ^ × Δ r I ) ) × k ^ )⋅ ( k ^ × Δ r I ), {\ Displaystyle \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ right) \ equiv \ left ( \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ right) \ times \ mathbf { \ hat {k}} \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right),}

donde se han intercambiado los productos punto y cruzado. Intercambiar productos y simplificar notando que y son ortogonales: $$

Δ r I {\ Displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i}}$$ k ^ {\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}

$$ ( k ^ × ( k ^ × Δ r I ) ) ⋅ ( k ^ × ( k ^ × Δ r I ) ) = ( ( k ^ × ( k ^ × Δ r I ) ) × k ^ ) ⋅ ( k ^ × Δ r I ) = ( k ^ × Δ r I ) ⋅ ( - Δ r I × k ^ ) = - k ^ ⋅ ( Δ r I × Δ r I × k ^ ) = - k ^ ⋅ [ Δ r I ] 2 k ^ . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} amp; \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ derecha) \ derecha) \ cdot \ izquierda (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ derecha) \\ = {} amp; \ left (\ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ right) \ times \ mathbf {\ hat {k}} \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \\ = {} amp; \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ cdot \ left (- \ Delta \ mathbf {r} _ {i } \ times \ mathbf {\ hat {k}} \ right) \\ = {} amp; - \ mathbf {\ hat {k}} \ cdot \ left (\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {\ hat {k}} \ right) \\ = {} amp; - \ mathbf {\ hat {k}} \ cdot \ left [\ Delta \ mathbf { r} _ {i} \ right] ^ {2} \ mathbf {\ hat {k}}. \ end {alineado}}}

Por lo tanto, el momento de inercia alrededor de la línea a través en la dirección se obtiene a partir del cálculo $$

L {\ Displaystyle L}$$ R {\ Displaystyle \ mathbf {R}}$$ k ^ {\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}

$$ I L = ∑ I = 1 norte metro I | Δ r I ⊥ | 2 = - ∑ I = 1 norte metro I k ^ ⋅ [ Δ r I ] 2 k ^ = k ^ ⋅ ( - ∑ I = 1 norte metro I [ Δ r I ] 2 ) k ^ = k ^ ⋅ I R k ^ = k ^ T I R k ^ , {\ Displaystyle {\ begin {alineado} I_ {L} amp; = \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} \ left | \ Delta \ mathbf {r} _ {i} ^ {\ perp} \ right | ^ {2} \\ amp; = - \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} \ mathbf {\ hat {k}} \ cdot \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] ^ {2} \ mathbf {\ hat {k}} = \ mathbf {\ hat {k}} \ cdot \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i } \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] ^ {2} \ right) \ mathbf {\ hat {k}} \\ amp; = \ mathbf {\ hat {k}} \ cdot \ mathbf {I} _ {\ mathbf {R}} \ mathbf {\ hat {k}} = \ mathbf {\ hat {k}} ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {I} _ {\ mathbf {R }} \ mathbf {\ hat {k}}, \ end {alineado}}}

donde es la matriz de momentos de inercia del sistema con respecto al punto de referencia. $$

I R {\ Displaystyle \ mathbf {I_ {R}}}$$ R {\ Displaystyle \ mathbf {R}}

Esto muestra que la matriz de inercia se puede utilizar para calcular el momento de inercia de un cuerpo alrededor de cualquier eje de rotación especificado en el cuerpo.

Tensor de inercia

Para el mismo objeto, diferentes ejes de rotación tendrán diferentes momentos de inercia alrededor de esos ejes. En general, los momentos de inercia no son iguales a menos que el objeto sea simétrico en todos los ejes. El tensor de momento de inercia es una forma conveniente de resumir todos los momentos de inercia de un objeto con una cantidad. Puede calcularse con respecto a cualquier punto del espacio, aunque a efectos prácticos se utiliza con mayor frecuencia el centro de masa.

Definición

Para un objeto rígido de masas puntuales, el tensor de momento de inercia está dado por $$

norte {\ Displaystyle N}$$ metro k {\ Displaystyle m_ {k}}

$$$$ I= [ I 11 I 12 I 13 I 21 I 22 I 23 I 31 I 32 I 33]. {\ Displaystyle \ mathbf {I} = {\ begin {bmatrix} I_ {11} amp; I_ {12} amp; I_ {13} \\ I_ {21} amp; I_ {22} amp; I_ {23} \\ I_ {31} amp; I_ {32 } amp; I_ {33} \ end {bmatrix}}.}

Sus componentes se definen como

$$$$ I I j  = D mi F  ∑ k = 1 norte metro k ( ‖ r k ‖ 2 δ I j - X I ( k ) X j ( k ) ) {\ Displaystyle I_ {ij} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left (\ left \ | \ mathbf {r } _ {k} \ right \ | ^ {2} \ delta _ {ij} -x_ {i} ^ {(k)} x_ {j} ^ {(k)} \ right)}

dónde

• $$I {\ Displaystyle i}, Es igual a 1, 2, o 3 para, y, respectivamente,$$j {\ Displaystyle j}$$X {\ Displaystyle x}$$y {\ Displaystyle y}$$z {\ Displaystyle z}
• $$ r k= ( X 1 ( k ) , X 2 ( k ) , X 3 ( k ) ) {\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {k} = \ left (x_ {1} ^ {(k)}, x_ {2} ^ {(k)}, x_ {3} ^ {(k)} \ right)}es el vector a la masa puntual desde el punto sobre el cual se calcula el tensor y$$ metro k {\ Displaystyle m_ {k}}
• $$ δ I j {\ Displaystyle \ delta _ {ij}}es el delta de Kronecker.

Tenga en cuenta que, por definición, es un tensor simétrico. $$

I {\ Displaystyle \ mathbf {I}}

Los elementos diagonales se escriben más sucintamente como

$$$$ I X X   = D mi F   ∑ k = 1 norte metro k ( y k 2 + z k 2 ) , I y y   = D mi F   ∑ k = 1 norte metro k ( X k 2 + z k 2 ) , I z z   = D mi F   ∑ k = 1 norte metro k ( X k 2 + y k 2 ) , {\ Displaystyle {\ begin {alineado} I_ {xx} \ amp; {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left (y_ {k} ^ {2} + z_ {k} ^ {2} \ right), \\ I_ {yy} \ amp; {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ sum _ {k = 1 } ^ {N} m_ {k} \ left (x_ {k} ^ {2} + z_ {k} ^ {2} \ right), \\ I_ {zz} \ amp; {\ stackrel {\ mathrm {def} } {=}} \ \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left (x_ {k} ^ {2} + y_ {k} ^ {2} \ right), \ end {alineado }}}

mientras que los elementos fuera de la diagonal, también llamados productos de inercia, son

$$$$ I X y = I y X   = D mi F   - ∑ k = 1 norte metro k X k y k , I X z = I z X   = D mi F   - ∑ k = 1 norte metro k X k z k , I y z = I z y   = D mi F   - ∑ k = 1 norte metro k y k z k . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} I_ {xy} = I_ {yx} \ amp; {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ - \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ { k} x_ {k} y_ {k}, \\ I_ {xz} = I_ {zx} \ amp; {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ - \ sum _ {k = 1} ^ { N} m_ {k} x_ {k} z_ {k}, \\ I_ {yz} = I_ {zy} \ amp; {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ - \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} y_ {k} z_ {k}. \ End {alineado}}}

Aquí denota el momento de inercia alrededor del eje -cuando los objetos rotan alrededor del eje x, denota el momento de inercia alrededor del eje -cuando los objetos rotan alrededor del eje -y así sucesivamente. $$

I X X {\ Displaystyle I_ {xx}}$$X {\ Displaystyle x}$$ I X y {\ Displaystyle I_ {xy}}$$y {\ Displaystyle y}$$X {\ Displaystyle x}

Estas cantidades se pueden generalizar a un objeto con masa distribuida, descrito por una función de densidad de masa, de manera similar al momento de inercia escalar. Entonces uno tiene

$$$$ I= ∭ Vρ(X,y,z) ( ‖ r ‖ 2 mi 3 - r ⊗ r )DXDyDz, {\ Displaystyle \ mathbf {I} = \ iiint _ {V} \ rho (x, y, z) \ left (\ | \ mathbf {r} \ | ^ {2} \ mathbf {E} _ {3} - \ mathbf {r} \ otimes \ mathbf {r} \ right) \, dx \, dy \, dz,}

donde es su producto exterior, E 3 es la matriz identidad de 3 × 3, y V es una región del espacio que contiene completamente el objeto. $$

r⊗ r {\ Displaystyle \ mathbf {r} \ otimes \ mathbf {r}}

Alternativamente, también se puede escribir en términos del operador de momento angular : $$

[ r] X= r× X {\ Displaystyle [\ mathbf {r}] \ mathbf {x} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {x}}

$$$$ I= ∭ Vρ( r)[ r ] T[ r]DV=- ∭ Qρ( r)[ r ] 2DV {\ Displaystyle \ mathbf {I} = \ iiint _ {V} \ rho (\ mathbf {r}) [\ mathbf {r}] ^ {\ textsf {T}} [\ mathbf {r}] \, dV = - \ iiint _ {Q} \ rho (\ mathbf {r}) [\ mathbf {r}] ^ {2} \, dV}

El tensor de inercia se puede usar de la misma manera que la matriz de inercia para calcular el momento escalar de inercia alrededor de un eje arbitrario en la dirección, $$

norte {\ Displaystyle \ mathbf {n}}

$$$$ I norte= norte⋅ I⋅ norte, {\ Displaystyle I_ {n} = \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {I} \ cdot \ mathbf {n},}

donde el producto escalar se toma con los elementos correspondientes en los componentes tensores. Un producto del término de inercia como el que se obtiene mediante el cálculo $$

I 12 {\ Displaystyle I_ {12}}

$$$$ I 12= mi 1⋅ I⋅ mi 2, {\ Displaystyle I_ {12} = \ mathbf {e} _ {1} \ cdot \ mathbf {I} \ cdot \ mathbf {e} _ {2},} y se puede interpretar como el momento de inercia alrededor del eje -cuando el objeto gira alrededor del eje-. $$X {\ Displaystyle x}$$y {\ Displaystyle y}

Los componentes de los tensores de grado dos se pueden ensamblar en una matriz. Para el tensor de inercia, esta matriz viene dada por,

$$$$ I= [ I 11 I 12 I 13 I 21 I 22 I 23 I 31 I 32 I 33]= [ I X X I X y I X z I y X I y y I y z I z X I z y I z z]= [ ∑ k = 1 norte metro k ( y k 2 + z k 2 ) - ∑ k = 1 norte metro k X k y k - ∑ k = 1 norte metro k X k z k - ∑ k = 1 norte metro k X k y k ∑ k = 1 norte metro k ( X k 2 + z k 2 ) - ∑ k = 1 norte metro k y k z k - ∑ k = 1 norte metro k X k z k - ∑ k = 1 norte metro k y k z k ∑ k = 1 norte metro k ( X k 2 + y k 2 )]. {\ Displaystyle \ mathbf {I} = {\ begin {bmatrix} I_ {11} amp; I_ {12} amp; I_ {13} \\ I_ {21} amp; I_ {22} amp; I_ {23} \\ I_ {31} amp; I_ {32 } amp; I_ {33} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} I_ {xx} amp; I_ {xy} amp; I_ {xz} \\ I_ {yx} amp; I_ {yy} amp; I_ {yz} \\ I_ {zx} amp; I_ {zy} amp; I_ {zz} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left (y_ {k} ^ {2} + z_ {k} ^ {2} \ right) amp; - \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} x_ {k} y_ {k} amp; - \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} x_ {k} z_ {k} \\ - \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} x_ {k} y_ {k} amp; \ sum _ {k = 1} ^ { N} m_ {k} \ left (x_ {k} ^ {2} + z_ {k} ^ {2} \ right) amp; - \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} y_ {k } z_ {k} \\ - \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} x_ {k} z_ {k} amp; - \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} y_ {k} z_ {k} amp; \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left (x_ {k} ^ {2} + y_ {k} ^ {2} \ right) \ end {bmatrix}}.}

Es común en la mecánica del cuerpo rígidos para el uso de la notación que identifica explícitamente los, y -axes, tales como y, para los componentes del tensor de inercia. $$

X {\ Displaystyle x}$$y {\ Displaystyle y}$$z {\ Displaystyle z}$$ I X X {\ Displaystyle I_ {xx}}$$ I X y {\ Displaystyle I_ {xy}}

Convención de inercia alternativa

Hay algunas aplicaciones CAD y CAE como SolidWorks, Unigraphics NX / Siemens NX y MSC Adams que utilizan una convención alternativa para los productos de inercia. De acuerdo con esta convención, el signo menos se elimina del producto de fórmulas de inercia y en su lugar se inserta en la matriz de inercia:

$$$$ I X y = I y X   = D mi F   ∑ k = 1 norte metro k X k y k , I X z = I z X   = D mi F   ∑ k = 1 norte metro k X k z k , I y z = I z y   = D mi F   ∑ k = 1 norte metro k y k z k , I = [ I 11 I 12 I 13 I 21 I 22 I 23 I 31 I 32 I 33] = [ I X X - I X y - I X z - I y X I y y - I y z - I z X - I z y I z z]= [ ∑ k = 1 norte metro k ( y k 2 + z k 2 ) - ∑ k = 1 norte metro k X k y k - ∑ k = 1 norte metro k X k z k - ∑ k = 1 norte metro k X k y k ∑ k = 1 norte metro k ( X k 2 + z k 2 ) - ∑ k = 1 norte metro k y k z k - ∑ k = 1 norte metro k X k z k - ∑ k = 1 norte metro k y k z k ∑ k = 1 norte metro k ( X k 2 + y k 2 )]. {\ Displaystyle {\ begin {alineado} I_ {xy} = I_ {yx} \ amp; {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k } x_ {k} y_ {k}, \\ I_ {xz} = I_ {zx} \ amp; {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} x_ {k} z_ {k}, \\ I_ {yz} = I_ {zy} \ amp; {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} y_ {k} z_ {k}, \\ [3pt] \ mathbf {I} = {\ begin {bmatrix} I_ {11} amp; I_ {12} amp; I_ {13} \\ I_ {21 } amp; I_ {22} amp; I_ {23} \\ I_ {31} amp; I_ {32} amp; I_ {33} \ end {bmatrix}} amp; = {\ begin {bmatrix} I_ {xx} amp; - I_ {xy} amp; - I_ {xz} \\ - I_ {yx} amp; I_ {yy} amp; - I_ {yz} \\ - I_ {zx} amp; - I_ {zy} amp; I_ {zz} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left (y_ {k} ^ {2} + z_ {k} ^ {2} \ right) amp; - \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} x_ {k} y_ {k} amp; - \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} x_ {k} z_ {k} \\ - \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} x_ {k} y_ {k} amp; \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left (x_ {k} ^ {2} + z_ {k } ^ {2} \ right) amp; - \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} y_ {k} z_ {k} \\ - \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} x_ {k} z_ {k} amp; - \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} y_ {k} z_ {k} amp; \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left (x_ {k} ^ {2} + y_ {k} ^ {2} \ right) \ end {bmatrix}}. \ end {alineado}}}

Determinar la convención de inercia (método de ejes principales)

Si uno tiene los datos de inercia sin saber qué convención de inercia se ha utilizado, se puede determinar si también tiene los ejes principales. Con el método de ejes principales, se hacen matrices de inercia a partir de los dos supuestos siguientes: $$

( I X X, I y y, I z z, I X y, I X z, I y z) {\ Displaystyle (I_ {xx}, I_ {yy}, I_ {zz}, I_ {xy}, I_ {xz}, I_ {yz})}

1. Se ha utilizado la convención de inercia estándar.$$( I 12= I X y, I 13= I X z, I 23= I y z) {\ Displaystyle (I_ {12} = I_ {xy}, I_ {13} = I_ {xz}, I_ {23} = I_ {yz})}
2. Se ha utilizado la convención de inercia alternativa.$$( I 12=- I X y, I 13=- I X z, I 23=- I y z) {\ Displaystyle (I_ {12} = - I_ {xy}, I_ {13} = - I_ {xz}, I_ {23} = - I_ {yz})}

A continuación, se calculan los vectores propios de las dos matrices. La matriz cuyos autovectores son paralelos a los ejes principales corresponde a la convención de inercia que se ha utilizado.

Derivación de los componentes tensoriales

La distancia de una partícula desde el eje de rotación que pasa por el origen en la dirección es, donde es vector unitario. El momento de inercia sobre el eje es $$

r {\ Displaystyle r}$$ X {\ Displaystyle \ mathbf {x}}$$ norte ^ {\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {n}}}$$ | X - ( X ⋅ norte ^ ) norte ^ | {\ Displaystyle \ left | \ mathbf {x} - \ left (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ right) \ mathbf {\ hat {n}} \ right |}$$ norte ^ {\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {n}}}

$$$$I=metro r 2=metro ( X - ( X ⋅ norte ^ ) norte ^ )⋅ ( X - ( X ⋅ norte ^ ) norte ^ )=metro ( X 2 - 2 X ( X ⋅ norte ^ ) norte ^ + ( X ⋅ norte ^ ) 2 norte ^ 2 )=metro ( X 2 - ( X ⋅ norte ^ ) 2 ). {\ Displaystyle I = mr ^ {2} = m \ left (\ mathbf {x} - \ left (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ right) \ mathbf {\ hat {n }} \ derecha) \ cdot \ left (\ mathbf {x} - \ left (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ right) \ mathbf {\ hat {n}} \ right) = m \ left (\ mathbf {x} ^ {2} -2 \ mathbf {x} \ left (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ right) \ mathbf {\ hat {n }} + \ left (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ right) ^ {2} \ mathbf {\ hat {n}} ^ {2} \ right) = m \ left ( \ mathbf {x} ^ {2} - \ left (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ right) ^ {2} \ right).}

Reescribe la ecuación usando la transposición de la matriz :

$$$$I=metro ( X T X - norte ^ T X X T norte ^ )=metro⋅ norte ^ T ( X T X ⋅ mi 3 - X X T ) norte ^, {\ Displaystyle I = m \ left (\ mathbf {x} ^ {\ textsf {T}} \ mathbf {x} - \ mathbf {\ hat {n}} ^ {\ textsf {T}} \ mathbf {x} \ mathbf {x} ^ {\ textsf {T}} \ mathbf {\ hat {n}} \ right) = m \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} ^ {\ textsf {T}} \ left (\ mathbf {x} ^ {\ textsf {T}} \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {E_ {3}} - \ mathbf {x} \ mathbf {x} ^ {\ textsf {T}} \ right) \ mathbf {\ hat {n}},}

donde E 3 es la matriz identidad de 3 × 3.

Esto conduce a una fórmula tensorial para el momento de inercia.

$$$$I=metro [ norte 1 norte 2 norte 3] [ y 2 + z 2 - X y - X z - y X X 2 + z 2 - y z - z X - z y X 2 + y 2] [ norte 1 norte 2 norte 3]. {\ Displaystyle I = m {\ begin {bmatrix} n_ {1} amp; n_ {2} amp; n_ {3} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} y ^ {2} + z ^ {2} amp; - xy amp; -xz \\ - yx amp; x ^ {2} + z ^ {2} amp; - yz \\ - zx amp; -zy amp; x ^ {2} + y ^ {2} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} n_ {1 } \\ n_ {2} \\ n_ {3} \ end {bmatrix}}.}

Para partículas múltiples, solo necesitamos recordar que el momento de inercia es aditivo para ver que esta fórmula es correcta.

Tensor de inercia de traducción

Artículo principal: Teorema del eje paralelo § Generalización del tensor

Sea el tensor de inercia de un cuerpo calculado en su centro de masa y sea ​​el vector de desplazamiento del cuerpo. El tensor de inercia del cuerpo trasladado con respecto a su centro de masa original viene dado por: $$

I 0 {\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {0}} $$ R {\ Displaystyle \ mathbf {R}}

$$$$ I= I 0+metro[( R⋅ R) mi 3- R⊗ R] {\ Displaystyle \ mathbf {I} = \ mathbf {I} _ {0} + m [(\ mathbf {R} \ cdot \ mathbf {R}) \ mathbf {E} _ {3} - \ mathbf {R} \ otimes \ mathbf {R}]} donde es la masa del cuerpo, E 3 es la matriz identidad de 3 × 3 y es el producto externo. $$metro {\ Displaystyle m}$$⊗ {\ Displaystyle \ otimes}

Tensor de inercia de rotación

Sea la

matriz que representa la rotación de un cuerpo. El tensor de inercia del cuerpo girado viene dado por: $$ R {\ Displaystyle \ mathbf {R}} $$$$ I= R I 0 R T {\ Displaystyle \ mathbf {I} = \ mathbf {R} \ mathbf {I_ {0}} \ mathbf {R} ^ {\ textsf {T}}}

Matriz de inercia en diferentes marcos de referencia

El uso de la matriz de inercia en la segunda ley de Newton supone que sus componentes se calculan en relación con los ejes paralelos al sistema inercial y no en relación con un sistema de referencia fijo en el cuerpo. Esto significa que a medida que el cuerpo se mueve, los componentes de la matriz de inercia cambian con el tiempo. Por el contrario, los componentes de la matriz de inercia medidos en un marco fijo al cuerpo son constantes.

Estructura del cuerpo

Sea la matriz de inercia de la estructura de la carrocería relativa al centro de masa y defina la orientación de la estructura de la carrocería con respecto a la estructura de inercia mediante la matriz de rotación, de modo que, $$

I C B {\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} ^ {B}}$$ A {\ Displaystyle \ mathbf {A}}

$$ X= A y, {\ Displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {A} \ mathbf {y},}

donde los vectores en el marco de coordenadas fijas del cuerpo tienen coordenadas en el marco de inercia. Entonces, la matriz de inercia del cuerpo medida en el marco de inercia viene dada por $$

y {\ Displaystyle \ mathbf {y}}$$ X {\ Displaystyle \ mathbf {x}}

$$ I C= A I C B A T. {\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} = \ mathbf {A} \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} ^ {B} \ mathbf {A} ^ {\ mathsf {T }}.}

Observe que cambia a medida que el cuerpo se mueve, mientras que permanece constante. $$

A {\ Displaystyle \ mathbf {A}}$$ I C B {\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} ^ {B}}

Ejes principales

Medida en la estructura de la carrocería, la matriz de inercia es una matriz simétrica real constante. Una matriz simétrica real tiene la descomposición propia en el producto de una matriz de rotación y una matriz diagonal, dada por $$

Q {\ Displaystyle \ mathbf {Q}}$$ Λ {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Lambda}}}

$$ I C B= Q Λ Q T, {\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} ^ {B} = \ mathbf {Q} {\ boldsymbol {\ Lambda}} \ mathbf {Q} ^ {\ mathsf {T}},}

dónde

$$ Λ= [ I 1 0 0 0 I 2 0 0 0 I 3]. {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Lambda}} = {\ begin {bmatrix} I_ {1} amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; I_ {2} amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; I_ {3} \ end {bmatrix}}.}

Las columnas de la matriz de rotación definen las direcciones de los ejes principales del cuerpo, y las constantes, y se llaman los

momentos principales de inercia. Este resultado fue mostrado por primera vez por JJ Sylvester (1852), y es una forma de la ley de inercia de Sylvester. El eje principal con el momento de inercia más alto a veces se denomina eje de la figura o eje de la figura. $$ Q {\ Displaystyle \ mathbf {Q}}$$ I 1 {\ Displaystyle I_ {1}}$$ I 2 {\ Displaystyle I_ {2}}$$ I 3 {\ Displaystyle I_ {3}}

Cuando todos los momentos de inercia principales son distintos, los ejes principales que pasan por el centro de masa se especifican de forma única y el cuerpo rígido se denomina techo asimétrico. Si dos momentos principales son iguales, el cuerpo rígido se llama techo simétrico y no hay una opción única para los dos ejes principales correspondientes. Si los tres momentos principales son iguales, el cuerpo rígido se llama parte superior esférica (aunque no es necesario que sea esférico) y cualquier eje puede considerarse un eje principal, lo que significa que el momento de inercia es el mismo con respecto a cualquier eje.

Los ejes principales suelen estar alineados con los ejes de simetría del objeto. Si un cuerpo rígido tiene un eje de simetría de orden, lo que significa que es simétrico bajo rotaciones de

360 ° / m alrededor del eje dado, ese eje es un eje principal. Cuando, el cuerpo rígido es una parte superior simétrica. Si un cuerpo rígido tiene al menos dos ejes de simetría que no son paralelos o perpendiculares entre sí, es una parte superior esférica, por ejemplo, un cubo o cualquier otro sólido platónico. $$metro {\ Displaystyle m} $$metrogt;2 {\ Displaystyle mgt; 2}

El movimiento de los vehículos se describe a menudo en términos de guiñada, cabeceo y balanceo que normalmente corresponden aproximadamente a rotaciones alrededor de los tres ejes principales. Si el vehículo tiene simetría bilateral, entonces uno de los ejes principales corresponderá exactamente al eje transversal (cabeceo).

Un ejemplo práctico de este fenómeno matemático es la tarea rutinaria automotriz de equilibrar un neumático, que básicamente significa ajustar la distribución de masa de una rueda de automóvil de manera que su eje principal de inercia esté alineado con el eje para que la rueda no se tambalee.

Las moléculas rotativas también se clasifican en cimas asimétricas, simétricas o esféricas, y la estructura de sus espectros rotacionales es diferente para cada tipo.

Elipsoide

Un elipsoide con los semi-principales diámetros marcados, y.$$a {\ Displaystyle a}$$B {\ Displaystyle b}$$C {\ Displaystyle c}

La matriz del momento de inercia en las coordenadas del cuerpo-marco es una forma cuadrática que define una superficie en el cuerpo llamada elipsoide de Poinsot. Sea la matriz de inercia relativa al centro de masa alineada con los ejes principales, luego la superficie $$

Λ {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Lambda}}}

$$ X T Λ X=1, {\ Displaystyle \ mathbf {x} ^ {\ mathsf {T}} {\ boldsymbol {\ Lambda}} \ mathbf {x} = 1,}

o

$$ I 1 X 2+ I 2 y 2+ I 3 z 2=1, {\ Displaystyle I_ {1} x ^ {2} + I_ {2} y ^ {2} + I_ {3} z ^ {2} = 1,}

define un elipsoide en la estructura del cuerpo. Escribe esta ecuación en la forma,

$$ ( X 1 / I 1 ) 2+ ( y 1 / I 2 ) 2+ ( z 1 / I 3 ) 2=1, {\ Displaystyle \ left ({\ frac {x} {1 / {\ sqrt {I_ {1}}}}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {1 / {\ sqrt {I_ {2}}}}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {z} {1 / {\ sqrt {I_ {3}}}}} \ right) ^ {2} = 1,}

para ver que los diámetros semi-principales de este elipsoide están dados por

$$a= 1 I 1,B= 1 I 2,C= 1 I 3. {\ Displaystyle a = {\ frac {1} {\ sqrt {I_ {1}}}}, \ quad b = {\ frac {1} {\ sqrt {I_ {2}}}}, \ quad c = { \ frac {1} {\ sqrt {I_ {3}}}}.}

Dejemos que un punto en este elipsoide se defina en términos de su magnitud y dirección, donde es un vector unitario. Entonces la relación presentada anteriormente, entre la matriz de inercia y el momento escalar de inercia alrededor de un eje en la dirección, produce $$

X {\ Displaystyle \ mathbf {x}}$$ X=‖ X‖ norte {\ Displaystyle \ mathbf {x} = \ | \ mathbf {x} \ | \ mathbf {n}}$$ norte {\ Displaystyle \ mathbf {n}}$$ I norte {\ Displaystyle I _ {\ mathbf {n}}}$$ norte {\ Displaystyle \ mathbf {n}}

$$ X T Λ X=‖ X ‖ 2 norte T Λ norte=‖ X ‖ 2 I norte=1. {\ Displaystyle \ mathbf {x} ^ {\ mathsf {T}} {\ boldsymbol {\ Lambda}} \ mathbf {x} = \ | \ mathbf {x} \ | ^ {2} \ mathbf {n} ^ { \ mathsf {T}} {\ boldsymbol {\ Lambda}} \ mathbf {n} = \ | \ mathbf {x} \ | ^ {2} I _ {\ mathbf {n}} = 1.}

Por tanto, la magnitud de un punto en la dirección del elipsoide de inercia es $$

X {\ Displaystyle \ mathbf {x}}$$ norte {\ Displaystyle \ mathbf {n}}

$$‖ X‖= 1 I norte. {\ Displaystyle \ | \ mathbf {x} \ | = {\ frac {1} {\ sqrt {I _ {\ mathbf {n}}}}}.}

Ver también

• Momento central
• Lista de momentos de inercia
• Lámina plana
• Energía rotacional
• Momento de factor de inercia

Referencias

enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Momentos de inercia.

• Momento angular y rotación del cuerpo rígido en dos y tres dimensiones
• Notas de clase sobre rotación de cuerpos rígidos y momentos de inercia
• El tensor del momento de inercia
• Una lección introductoria sobre el momento de inercia: mantener un poste vertical que no se caiga (simulación de Java)
• Tutorial sobre la búsqueda de momentos de inercia, con problemas y soluciones en varias formas básicas.
• Notas sobre la mecánica de la manipulación: el tensor de inercia angular