q ˙ I = ∂ H ∂ pag I - pag ˙ I = ∂ H ∂ q I - ∂ L ∂ t = D H D t .
{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ dot {q}} _ {i} amp; = {\ frac {\ parcial {\ mathcal {H}}} {\ parcial p_ {i}}} \\ - {\ punto {p}} _ {i} amp; = {\ frac {\ parcial {\ mathcal {H}}} {\ parcial q_ {i}}} \\ - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}} } {\ t parcial}} amp; = {\ frac {d {\ mathcal {H}}} {dt}} \,. \ end {alineado}}} Como en la mecánica de Lagrange, si una coordenada generalizada no aparece en el hamiltoniano, su componente de momento conjugado se conserva.
Simetría y conservación La conservación del momento es una consecuencia matemática de la homogeneidad (cambio de simetría ) del espacio (la posición en el espacio es la cantidad conjugada canónica al momento). Es decir, la conservación del momento es una consecuencia del hecho de que las leyes de la física no dependen de la posición; este es un caso especial del teorema de Noether . Para los sistemas que no tienen esta simetría, puede que no sea posible definir la conservación del momento. Los ejemplos en los que no se aplica la conservación del momento son los espaciotiempos curvos en la relatividad general o los cristales de tiempo en la física de la materia condensada .
Electromagnético Partícula en un campo En las ecuaciones de Maxwell , las fuerzas entre partículas están mediadas por campos eléctricos y magnéticos. La fuerza electromagnética (fuerza de Lorentz ) sobre una partícula con carga q debido a una combinación de campo eléctrico E y campo magnético B es
{\ Displaystyle \ mathbf {F} = q (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}).} (en unidades SI ). Tiene un potencial eléctrico φ ( r, t) y un potencial vectorial magnético A ( r, t). En el régimen no relativista, su impulso generalizado es
{\ Displaystyle \ mathbf {P} = m \ mathbf {\ mathbf {v}} + q \ mathbf {A},} mientras que en la mecánica relativista esto se convierte en
{\ Displaystyle \ mathbf {P} = \ gamma m \ mathbf {\ mathbf {v}} + q \ mathbf {A}.}
La cantidad a veces se denomina impulso potencial. Es el impulso debido a la interacción de la partícula con los campos electromagnéticos. El nombre es una analogía con la energía potencial, que es la energía debida a la interacción de la partícula con los campos electromagnéticos. Estas cantidades forman un cuatro vector, por lo que la analogía es consistente; Además, el concepto de impulso potencial es importante para explicar el llamado impulso oculto de los campos electromagnéticos. {\ Displaystyle V = q \ mathbf {A}} {\ Displaystyle U = q \ varphi}
Conservación En la mecánica newtoniana, la ley de conservación del momento se puede derivar de la ley de acción y reacción , que establece que toda fuerza tiene una fuerza recíproca igual y opuesta. En algunas circunstancias, las partículas cargadas en movimiento pueden ejercer fuerzas entre sí en direcciones no opuestas. Sin embargo, se conserva el momento combinado de las partículas y el campo electromagnético.
Vacío La fuerza de Lorentz imparte un impulso a la partícula, por lo que, según la segunda ley de Newton, la partícula debe impartir un impulso a los campos electromagnéticos.
En el vacío, la cantidad de movimiento por unidad de volumen es
gramo = 1 μ 0 C 2 mi × B ,
{\ Displaystyle \ mathbf {g} = {\ frac {1} {\ mu _ {0} c ^ {2}}} \ mathbf {E} \ times \ mathbf {B} \,,} donde μ 0 es la permeabilidad al vacío y c es la velocidad de la luz . La densidad de momento es proporcional al vector de Poynting S que da la tasa direccional de transferencia de energía por unidad de área:
{\ Displaystyle \ mathbf {g} = {\ frac {\ mathbf {S}} {c ^ {2}}} \,.} Si se va a conservar la cantidad de movimiento sobre el volumen V en una región Q, los cambios en la cantidad de movimiento de la materia a través de la fuerza de Lorentz deben equilibrarse mediante cambios en la cantidad de movimiento del campo electromagnético y la salida de la cantidad de movimiento. Si P mech es el momento de todas las partículas en Q, y las partículas se tratan como un continuo, entonces la segunda ley de Newton da
D PAG mech D t = ∭ Q ( ρ mi + J × B ) D V .
{\ Displaystyle {\ frac {d \ mathbf {P} _ {\ text {mech}}} {dt}} = \ iiint \ limits _ {Q} \ left (\ rho \ mathbf {E} + \ mathbf {J } \ times \ mathbf {B} \ right) dV \,.} El impulso electromagnético es
PAG campo = 1 μ 0 C 2 ∭ Q mi × B D V ,
{\ Displaystyle \ mathbf {P} _ {\ text {field}} = {\ frac {1} {\ mu _ {0} c ^ {2}}} \ iiint \ limits _ {Q} \ mathbf {E} \ times \ mathbf {B} \, dV \,,} y la ecuación para la conservación de cada componente i del momento es
D D t ( PAG mech + PAG campo ) I = ∬ σ ( ∑ j T I j norte j ) D Σ .
{\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left (\ mathbf {P} _ {\ text {mech}} + \ mathbf {P} _ {\ text {field}} \ right) _ {i} = \ iint \ limits _ {\ sigma} \ left (\ sum \ limits _ {j} T_ {ij} n_ {j} \ right) d \ Sigma \,.} El término de la derecha es una integral sobre la superficie Σ de la superficie σ que representa el flujo de impulso dentro y fuera del volumen, y n j es un componente de la superficie normal de S. La cantidad T ij se llama tensor de tensión de Maxwell , definido como
T I j ≡ ϵ 0 ( mi I mi j - 1 2 δ I j mi 2 ) + 1 μ 0 ( B I B j - 1 2 δ I j B 2 ) .
{\ Displaystyle T_ {ij} \ equiv \ epsilon _ {0} \ left (E_ {i} E_ {j} - {\ frac {1} {2}} \ delta _ {ij} E ^ {2} \ right) + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ left (B_ {i} B_ {j} - {\ frac {1} {2}} \ delta _ {ij} B ^ {2} \Derecha)\,.} Medios de comunicación Los resultados anteriores son para las ecuaciones microscópicas de Maxwell, aplicables a las fuerzas electromagnéticas en el vacío (o en una escala muy pequeña en los medios). Es más difícil definir la densidad de momento en los medios porque la división en electromagnética y mecánica es arbitraria. La definición de densidad de momento electromagnético se modifica para
gramo = 1 C 2 mi × H = S C 2 ,
{\ Displaystyle \ mathbf {g} = {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ mathbf {E} \ times \ mathbf {H} = {\ frac {\ mathbf {S}} {c ^ { 2}}} \,,} donde el campo H H está relacionado con el campo B y la magnetización M por
{\ Displaystyle \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ left (\ mathbf {H} + \ mathbf {M} \ right) \,.} El tensor de tensión electromagnética depende de las propiedades del medio.
Mecánica cuántica Más información: operador Momentum En mecánica cuántica , el impulso se define como un operador autoadjunto en la función de onda . El principio de incertidumbre de Heisenberg define límites sobre la precisión con la que se puede conocer a la vez el momento y la posición de un único sistema observable. En mecánica cuántica, la posición y el momento son variables conjugadas .
Para una sola partícula descrita en la base de posición, el operador de momento se puede escribir como
{\ Displaystyle \ mathbf {p} = {\ hbar \ over i} \ nabla = -i \ hbar \ nabla \,,} donde ∇ es el operador de gradiente , ħ es la constante de Planck reducida e i es la unidad imaginaria . Ésta es una forma común del operador de impulso, aunque el operador de impulso en otras bases puede adoptar otras formas. Por ejemplo, en el espacio de momento, el operador de momento se representa como
pag ψ ( pag ) = pag ψ ( pag ) ,
{\ Displaystyle \ mathbf {p} \ psi (p) = p \ psi (p) \,,} donde el operador p que actúa sobre una función de onda ψ ( p) produce esa función de onda multiplicada por el valor p, de manera análoga a la forma en que el operador de posición que actúa sobre una función de onda ψ ( x) produce esa función de onda multiplicada por el valor x.
Tanto para objetos masivos como sin masa, el momento relativista está relacionado con la constante de fase por {\ Displaystyle \ beta}
{\ Displaystyle p = \ hbar \ beta} La radiación electromagnética (incluida la luz visible , la luz ultravioleta y las ondas de radio ) es transportada por fotones . Aunque los fotones (el aspecto de partícula de la luz) no tienen masa, todavía tienen impulso. Esto conduce a aplicaciones como la vela solar . El cálculo del impulso de la luz dentro de los medios dieléctricos es algo controvertido (ver la controversia Abraham-Minkowski ).
En cuerpos y fluidos deformables Conservación en un continuo Artículo principal: ecuación de impulso de Cauchy Movimiento de un cuerpo material En campos como la dinámica de fluidos y la mecánica de sólidos , no es factible seguir el movimiento de átomos o moléculas individuales. En cambio, los materiales deben aproximarse mediante un continuo en el que hay una partícula o una parcela de fluido en cada punto al que se le asigna el promedio de las propiedades de los átomos en una pequeña región cercana. En particular, tiene una densidad ρ y una velocidad v que dependen del tiempo ty la posición r. El momento por unidad de volumen es ρ v.
Considere una columna de agua en equilibrio hidrostático . Todas las fuerzas sobre el agua están en equilibrio y el agua está inmóvil. En cualquier gota de agua, se equilibran dos fuerzas. La primera es la gravedad, que actúa directamente sobre cada átomo y molécula del interior. La fuerza gravitacional por unidad de volumen es ρ g, donde g es la aceleración gravitacional . La segunda fuerza es la suma de todas las fuerzas ejercidas sobre su superficie por el agua circundante. La fuerza desde abajo es mayor que la fuerza desde arriba en la cantidad necesaria para equilibrar la gravedad. La fuerza normal por unidad de área es la presión p. La fuerza promedio por unidad de volumen dentro de la gota es el gradiente de presión, por lo que la ecuación de equilibrio de fuerzas es
{\ Displaystyle - \ nabla p + \ rho \ mathbf {g} = 0 \,.} Si las fuerzas no están equilibradas, la gota se acelera. Esta aceleración no es simplemente la derivada parcial∂ v/∂tporque el líquido en un volumen dado cambia con el tiempo. En cambio, se necesita el derivado material :
{\ Displaystyle {\ frac {D} {Dt}} \ equiv {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} + \ mathbf {v} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} \,.} Aplicado a cualquier cantidad física, el derivado material incluye la tasa de cambio en un punto y los cambios debidos a la advección a medida que el fluido pasa por el punto. Por unidad de volumen, la tasa de cambio en la cantidad de movimiento es igual a ρD v/Dt. Esto es igual a la fuerza neta sobre la gota.
Las fuerzas que pueden cambiar el impulso de una gota incluyen el gradiente de presión y gravedad, como se indicó anteriormente. Además, las fuerzas superficiales pueden deformar la gota. En el caso más simple, un esfuerzo de cizallamiento τ, ejercida por una fuerza paralela a la superficie de la gotita, es proporcional a la velocidad de deformación o la velocidad de deformación . Tal esfuerzo cortante ocurre si el fluido tiene un gradiente de velocidad porque el fluido se mueve más rápido en un lado que en otro. Si la velocidad en la dirección x varía con z, la fuerza tangencial en la dirección x por unidad de área normal a la dirección z es
{\ Displaystyle \ sigma _ {zx} = - \ mu {\ frac {\ parcial v_ {x}} {\ parcial z}} \,,} donde μ es la viscosidad . Este también es un flujo , o flujo por unidad de área, de x -momentum a través de la superficie.
Incluyendo el efecto de la viscosidad, las ecuaciones de equilibrio del momento para el flujo incompresible de un fluido newtoniano son
ρ D v D t = - ∇ pag + μ ∇ 2 v + ρ gramo .
{\ Displaystyle \ rho {\ frac {D \ mathbf {v}} {Dt}} = - {\ boldsymbol {\ nabla}} p + \ mu \ nabla ^ {2} \ mathbf {v} + \ rho \ mathbf { g}. \,} Estos se conocen como ecuaciones de Navier-Stokes .
Las ecuaciones de equilibrio de la cantidad de movimiento se pueden extender a materiales más generales, incluidos los sólidos. Para cada superficie con normal en la dirección i y fuerza en la dirección j, hay un componente de tensión σ ij. Los nueve componentes forman el tensor de tensión de Cauchy σ, que incluye tanto la presión como el cortante. La conservación local de la cantidad de movimiento se expresa mediante la ecuación de la cantidad de movimiento de Cauchy :
{\ Displaystyle \ rho {\ frac {D \ mathbf {v}} {Dt}} = {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} + \ mathbf {f} \,,} donde f es la fuerza del cuerpo .
La ecuación de la cantidad de movimiento de Cauchy es ampliamente aplicable a las deformaciones de sólidos y líquidos. La relación entre las tensiones y la velocidad de deformación depende de las propiedades del material (ver Tipos de viscosidad ).
Ondas acústicas Una perturbación en un medio da lugar a oscilaciones u ondas que se propagan lejos de su fuente. En un fluido, los pequeños cambios en la presión p a menudo se pueden describir mediante la ecuación de onda acústica :
∂ 2 pag ∂ t 2 = C 2 ∇ 2 pag ,
{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial ^ {2} p} {\ parcial t ^ {2}}} = c ^ {2} \ nabla ^ {2} p \,,} donde c es la velocidad del sonido . En un sólido, se pueden obtener ecuaciones similares para la propagación de presión ( ondas P ) y cizalladura ( ondas S ).
El flujo, o transporte por unidad de área, de un componente de momento ρv j por una velocidad v i es igual a ρ v j v j. En la aproximación lineal que conduce a la ecuación acústica anterior, el promedio de tiempo de este flujo es cero. Sin embargo, los efectos no lineales pueden dar lugar a un promedio distinto de cero. Es posible que se produzca un flujo de impulso aunque la onda en sí no tenga un impulso medio.
Historia del concepto Ver también: Teoría del ímpetu Aproximadamente en el 530 d. C., trabajando en Alejandría, el filósofo bizantino John Philoponus desarrolló un concepto de impulso en su comentario a la Física de Aristóteles . Aristóteles afirmó que todo lo que se mueve debe mantenerse en movimiento por algo. Por ejemplo, una pelota lanzada debe mantenerse en movimiento mediante movimientos del aire. La mayoría de los escritores continuaron aceptando la teoría de Aristóteles hasta la época de Galileo, pero algunos se mostraron escépticos. Philoponus señaló lo absurdo de la afirmación de Aristóteles de que el movimiento de un objeto es promovido por el mismo aire que se resiste a su paso. En cambio, propuso que se impartiera un ímpetu al objeto en el acto de lanzarlo. Ibn Sīnā (también conocido por su nombre latinizado Avicena ) leyó Philoponus y publicó su propia teoría del movimiento en The Book of Healing en 1020. Estuvo de acuerdo en que el lanzador imparte un ímpetu a un proyectil; pero a diferencia de Philoponus, que creía que era una virtud temporal que declinaría incluso en el vacío, la veía como persistente, que requería fuerzas externas como la resistencia del aire para disiparla. El trabajo de Philoponus, y posiblemente el de Ibn Sīnā, fue leído y refinado por los filósofos europeos Peter Olivi y Jean Buridan . Buridan, quien hacia 1350 fue nombrado rector de la Universidad de París, se refirió a que el ímpetu era proporcional al peso multiplicado por la velocidad. Además, la teoría de Buridan era diferente de la de su predecesor en que no consideraba que el ímpetu se disipara a sí mismo, afirmando que un cuerpo sería detenido por las fuerzas de la resistencia del aire y la gravedad que podrían oponerse a su ímpetu.
René Descartes creía que se conserva la "cantidad de movimiento" ( latín : quantitas motus) total en el universo, donde la cantidad de movimiento se entiende como el producto del tamaño y la velocidad. Esto no debe interpretarse como una afirmación de la ley moderna del momento, ya que no tenía un concepto de masa distinto del peso y el tamaño y, lo que es más importante, creía que lo que se conservaba es la velocidad y no la velocidad. Entonces, para Descartes, si un objeto en movimiento rebotara en una superficie, cambiando su dirección pero no su velocidad, no habría ningún cambio en su cantidad de movimiento. Galileo , en sus Dos nuevas ciencias , usó la palabra italiana impeto para describir de manera similar la cantidad de movimiento de Descartes.
Leibniz , en su " Discurso sobre metafísica ", dio un argumento en contra de la construcción de Descartes de la conservación de la "cantidad de movimiento" usando un ejemplo de dejar caer bloques de diferentes tamaños a diferentes distancias. Señala que la fuerza se conserva pero la cantidad de movimiento, entendida como el producto del tamaño y la velocidad de un objeto, no se conserva.
Christiaan Huygens concluyó bastante pronto que las leyes de Descartes para la colisión elástica de dos cuerpos debían ser incorrectas y formuló las leyes correctas. Un paso importante fue su reconocimiento de la invariancia galileana de los problemas. Sus opiniones tardaron muchos años en circular. Se los pasó en persona a William Brouncker y Christopher Wren en Londres, en 1661. Lo que Spinoza escribió a Henry Oldenburg sobre ellos, en 1666, que fue durante la Segunda Guerra Anglo-Holandesa , fue guardado. De hecho, Huygens las había elaborado en un manuscrito De motu corporum ex percussione en el período 1652-1652. La guerra terminó en 1667 y Huygens anunció sus resultados a la Royal Society en 1668. Los publicó en el Journal des sçavans en 1669.
El primer enunciado correcto de la ley de conservación del momento fue el matemático inglés John Wallis en su obra de 1670, Mechanica sive De Motu, Tractatus Geometricus: "el estado inicial del cuerpo, ya sea de reposo o de movimiento, persistirá" y " Si la fuerza es mayor que la resistencia, se producirá movimiento ". Wallis usó el impulso para la cantidad de movimiento y vis para la fuerza. La Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica de Newton , cuando se publicó por primera vez en 1687, mostró un análisis similar de las palabras que se utilizarían para el impulso matemático. Su Definición II define quantitas motus, "cantidad de movimiento", como "que surge de la velocidad y la cantidad de materia conjuntamente", lo que la identifica como cantidad de movimiento. Así, cuando en la Ley II se refiere a mutatio motus, "cambio de movimiento", al ser proporcional a la fuerza impresa, generalmente se le considera como momento y no movimiento. Solo quedaba asignar un término estándar a la cantidad de movimiento. El primer uso de "impulso" en su sentido matemático apropiado no está claro, pero en la época de la Miscellanea de Jennings en 1721, cinco años antes de la edición final de los Principia Mathematica de Newton, el impulso M o "cantidad de movimiento" se definía para los estudiantes como "un rectángulo", el producto de Q y V, donde Q es "cantidad de material" y V es "velocidad",s/t.
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