Momento

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Este artículo trata sobre el impulso lineal. No debe confundirse con el momento o momento angular (física). Este artículo trata sobre el impulso de la física. Para otros usos, consulte Momentum (desambiguación).

Impulso
Impulso de una piscina bola de señal se transfiere a las bolas atormentado después de la colisión.
Símbolos comunes	p, p
Unidad SI	kg⋅m / s
Otras unidades	babosa ⋅ pies / s
¿ Conservado ?	sí
Dimensión	MLT ⁻¹

Sucursales

Fundamentos

Formulaciones

Temas centrales

Rotación

Aceleración angular / desplazamiento / frecuencia / velocidad

Científicos

En la mecánica de Newton, la cantidad de movimiento, de impulso de traslación, o simplemente de momento es el producto de la masa y la velocidad de un objeto. Es una cantidad vectorial, que posee una magnitud y una dirección. Si m es la masa de un objeto yv es su velocidad (también una cantidad vectorial), entonces el momento p del objeto es

\mathbf {p} =m\mathbf {v}.

pag=metro v.

{\ Displaystyle \ mathbf {p} = m \ mathbf {v}.}

\ mathbf {p} = m \ mathbf {v}.

En el Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad de medida del impulso es el kilogramo metro por segundo (kg⋅m / s), que es equivalente al newton-segundo.

La segunda ley del movimiento de Newton establece que la tasa de cambio del momento de un cuerpo es igual a la fuerza neta que actúa sobre él. El momento depende del marco de referencia, pero en cualquier marco inercial es una cantidad conservada, lo que significa que si un sistema cerrado no se ve afectado por fuerzas externas, su momento lineal total no cambia. El momento también se conserva en la relatividad especial (con una fórmula modificada) y, en una forma modificada, en la electrodinámica, la mecánica cuántica, la teoría cuántica de campos y la relatividad general. Es una expresión de una de las simetrías fundamentales del espacio y el tiempo: la simetría traslacional.

Las formulaciones avanzadas de la mecánica clásica, lagrangiana y hamiltoniana, permiten elegir sistemas de coordenadas que incorporan simetrías y restricciones. En estos sistemas, la cantidad conservada es la cantidad de movimiento generalizada y, en general, es diferente de la cantidad de movimiento cinética definida anteriormente. El concepto de momento generalizado se traslada a la mecánica cuántica, donde se convierte en un operador de una función de onda. Los operadores de impulso y posición están relacionados por el principio de incertidumbre de Heisenberg.

En sistemas continuos como los campos electromagnéticos, la dinámica de fluidos y los cuerpos deformables, se puede definir una densidad de momento, y una versión continua de la conservación del momento conduce a ecuaciones como las ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos o la ecuación de Cauchy para sólidos deformables o fluidos.

Contenido

1 newtoniano
- 1.1 Partícula única
- 1.2 Muchas partículas
- 1.3 Relación con la fuerza
- 1.4 Conservación
- 1.5 Dependencia del marco de referencia
- 1.6 Aplicación a colisiones
  - 1.6.1 Colisiones elásticas
  - 1.6.2 Colisiones inelásticas
- 1.7 Múltiples dimensiones
- 1.8 Objetos de masa variable
2 relativista
- 2.1 invariancia de Lorentz
- 2.2 Formulación de cuatro vectores
3 Generalizado
- 3.1 Mecánica lagrangiana
- 3.2 Mecánica hamiltoniana
- 3.3 Simetría y conservación
4 electromagnético
- 4.1 Partícula en un campo
- 4.2 Conservación
  - 4.2.1 Vacío
  - 4.2.2 Medios
5 Mecánica cuántica
6 En cuerpos y fluidos deformables
- 6.1 Conservación en un continuo
- 6.2 Ondas acústicas
7 Historia del concepto
8 Véase también
9 referencias
10 Bibliografía
11 Enlaces externos

newtoniano

El momento es una cantidad vectorial : tiene magnitud y dirección. Dado que el impulso tiene una dirección, se puede usar para predecir la dirección resultante y la velocidad de movimiento de los objetos después de que chocan. A continuación, las propiedades básicas del momento se describen en una dimensión. Las ecuaciones vectoriales son casi idénticas a las ecuaciones escalares (ver múltiples dimensiones ).

Partícula única

El momento de una partícula se representa convencionalmente por la letra p. Es el producto de dos cantidades, la masa de la partícula (representada por la letra m) y su velocidad ( v):

p=mv.

pag=metrov.

{\ Displaystyle p = mv.}

p = mv.

La unidad de impulso es el producto de las unidades de masa y velocidad. En unidades del SI, si la masa está en kilogramos y la velocidad está en metros por segundo, entonces el impulso está en kilogramos metros por segundo (kg⋅m / s). En unidades cgs, si la masa está en gramos y la velocidad en centímetros por segundo, entonces el impulso está en gramos centímetros por segundo (g⋅cm / s).

Al ser un vector, el impulso tiene magnitud y dirección. Por ejemplo, un modelo de avión de 1 kg, que viaja hacia el norte a 1 m / s en vuelo recto y nivelado, tiene un impulso de 1 kg⋅m / s hacia el norte medido con referencia al suelo.

Muchas partículas

El momento de un sistema de partículas es la suma vectorial de sus momentos. Si dos partículas tienen masas respectivas m 1 y m 2, y velocidades v 1 y v 2, el momento total es

{\begin{aligned}pamp;=p_{1}+p_{2}\\amp;=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\,.\end{aligned}}

pag = pag 1 + pag 2 = metro 1 v 1 + metro 2 v 2 .

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} p amp; = p_ {1} + p_ {2} \\ amp; = m_ {1} v_ {1} + m_ {2} v_ {2} \,. \ end {alineado}} }

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} p amp; = p_ {1} + p_ {2} \\ amp; = m_ {1} v_ {1} + m_ {2} v_ {2} \,. \ end {alineado}} }

Los momentos de más de dos partículas se pueden agregar de manera más general con lo siguiente:

p=\sum _{i}m_{i}v_{i}.

pag= ∑ I metro I v I.

{\ Displaystyle p = \ sum _ {i} m_ {i} v_ {i}.}

{\ Displaystyle p = \ sum _ {i} m_ {i} v_ {i}.}

Un sistema de partículas tiene un centro de masa, un punto determinado por la suma ponderada de sus posiciones:

r_{\text{cm}}={\frac {m_{1}r_{1}+m_{2}r_{2}+\cdots }{m_{1}+m_{2}+\cdots }}={\frac {\sum _{i}m_{i}r_{i}}{\sum _{i}m_{i}}}.

r cm= metro 1 r 1 + metro 2 r 2 + ⋯ metro 1 + metro 2 + ⋯= ∑ I metro I r I ∑ I metro I.

{\ Displaystyle r _ {\ text {cm}} = {\ frac {m_ {1} r_ {1} + m_ {2} r_ {2} + \ cdots} {m_ {1} + m_ {2} + \ cdots }} = {\ frac {\ sum _ {i} m_ {i} r_ {i}} {\ sum _ {i} m_ {i}}}.}

{\ Displaystyle r _ {\ text {cm}} = {\ frac {m_ {1} r_ {1} + m_ {2} r_ {2} + \ cdots} {m_ {1} + m_ {2} + \ cdots }} = {\ frac {\ sum _ {i} m_ {i} r_ {i}} {\ sum _ {i} m_ {i}}}.}

Si una o más de las partículas se están moviendo, el centro de masa del sistema generalmente también se moverá (a menos que el sistema esté en rotación pura a su alrededor). Si la masa total de las partículas es, y el centro de masa se mueve a una velocidad v cm, el momento del sistema es:

metro

{\ Displaystyle m}

metro

p=mv_{\text{cm}}.

pag=metro v cm.

{\ Displaystyle p = mv _ {\ text {cm}}.}

p = mv _ {\ text {cm}}.

Esto se conoce como la primera ley de Euler.

Relación con la fuerza

Si la fuerza neta F aplicada a una partícula es constante y se aplica durante un intervalo de tiempo Δ t, el momento de la partícula cambia en una cantidad

\Delta p=F\Delta t\,.

Δpag=FΔt.

{\ Displaystyle \ Delta p = F \ Delta t \,.}

\ Delta p = F \ Delta t \,.

En forma diferencial, esta es la segunda ley de Newton ; la tasa de cambio del momento de una partícula es igual a la fuerza instantánea F que actúa sobre ella,

F={\frac {dp}{dt}}.

F= D pag D t.

{\ Displaystyle F = {\ frac {dp} {dt}}.}

{\ Displaystyle F = {\ frac {dp} {dt}}.}

Si la fuerza neta experimentada por una partícula cambia en función del tiempo, F ( t), el cambio en la cantidad de movimiento (o impulso J) entre los tiempos t 1 y t 2 es

\Delta p=J=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F(t)\,dt\,.

Δpag=J= ∫ t 1 t 2F(t)Dt.

{\ Displaystyle \ Delta p = J = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} F (t) \, dt \,.}

{\ Displaystyle \ Delta p = J = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} F (t) \, dt \,.}

El impulso se mide en las unidades derivadas del newton segundo (1 N⋅s = 1 kg⋅m / s) o dinas de segundo (1 dyne⋅s = 1 g⋅cm / s)

Bajo el supuesto de masa constante m, es equivalente a escribir

F={\frac {d(mv)}{dt}}=m{\frac {dv}{dt}}=ma,

F= D ( metro v ) D t=metro D v D t=metroa,

{\ Displaystyle F = {\ frac {d (mv)} {dt}} = m {\ frac {dv} {dt}} = ma,}

{\ Displaystyle F = {\ frac {d (mv)} {dt}} = m {\ frac {dv} {dt}} = ma,}

por tanto, la fuerza neta es igual a la masa de la partícula multiplicada por su aceleración.

Ejemplo: un modelo de avión de 1 kg de masa acelera desde el reposo a una velocidad de 6 m / s hacia el norte en 2 s. La fuerza neta requerida para producir esta aceleración es de 3 newtons hacia el norte. El cambio en la cantidad de movimiento es de 6 kg⋅m / s hacia el norte. La tasa de cambio de la cantidad de movimiento es de 3 (kg⋅m / s) / s hacia el norte, lo que equivale numéricamente a 3 newtons.

Conservación

En un sistema cerrado (uno que no intercambia ninguna materia con su entorno y no es actuado por fuerzas externas) el impulso total permanece constante. Este hecho, conocido como la ley de conservación del momento, está implícito en las leyes del movimiento de Newton. Supongamos, por ejemplo, que dos partículas interactúan. Como explica la tercera ley, las fuerzas entre ellos son iguales en magnitud pero opuestas en dirección. Si las partículas están numeradas 1 y 2, la segunda ley establece que F 1 = dp 1/dty F 2 =dp 2/dt. Por lo tanto,

{\frac {dp_{1}}{dt}}=-{\frac {dp_{2}}{dt}},

D pag 1 D t=- D pag 2 D t,

{\ Displaystyle {\ frac {dp_ {1}} {dt}} = - {\ frac {dp_ {2}} {dt}},}

{\ frac {dp_ {1}} {dt}} = - {\ frac {dp_ {2}} {dt}},

con el signo negativo que indica que las fuerzas se oponen. Equivalentemente,

{\frac {d}{dt}}\left(p_{1}+p_{2}\right)=0.

D D t ( pag 1 + pag 2 )=0.

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left (p_ {1} + p_ {2} \ right) = 0.}

{\ frac {d} {dt}} \ left (p_ {1} + p_ {2} \ right) = 0.

Si las velocidades de las partículas son u 1 y u 2 antes de la interacción, y luego son v 1 y v 2, entonces

m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.

metro 1 tu 1+ metro 2 tu 2= metro 1 v 1+ metro 2 v 2.

{\ Displaystyle m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {2} = m_ {1} v_ {1} + m_ {2} v_ {2}.}

m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {2} = m_ {1} v_ {1} + m_ {2} v_ {2}.

Esta ley se cumple sin importar cuán complicada sea la fuerza entre partículas. De manera similar, si hay varias partículas, la cantidad de movimiento intercambiada entre cada par de partículas se suma a cero, por lo que el cambio total en la cantidad de movimiento es cero. Esta ley de conservación se aplica a todas las interacciones, incluidas las colisiones y separaciones causadas por fuerzas explosivas. También se puede generalizar a situaciones en las que las leyes de Newton no se cumplen, por ejemplo, en la teoría de la relatividad y en la electrodinámica.

Dependencia del marco de referencia

El momento es una cantidad mensurable y la medición depende del marco de referencia. Por ejemplo: si una aeronave de masa m kg está volando por el aire a una velocidad de 50 m / s, su momento se puede calcular en 50 m kg.m / s. Si la aeronave vuela con un viento en contra de 5 m / s, su velocidad relativa a la superficie de la Tierra es de solo 45 m / sy su impulso se puede calcular en 45 m kg.m / s. Ambos cálculos son igualmente correctos. En ambos marcos de referencia, se encontrará que cualquier cambio en el momento es consistente con las leyes de la física relevantes.

Suponga que una partícula tiene la posición x en un marco de referencia estacionario. Desde el punto de vista de otro marco de referencia, moviéndose a una velocidad uniforme u, la posición (representada por una coordenada prima) cambia con el tiempo como

x'=x-ut\,.

X ′=X-tut.

{\ Displaystyle x '= x-ut \,.}

x '= x-ut \,.

A esto se le llama transformación galileana. Si la partícula se mueve a velocidaddx/dt= v en el primer marco de referencia, en el segundo, se mueve a velocidad

v'={\frac {dx'}{dt}}=v-u\,.

v ′= D X ′ D t=v-tu.

{\ Displaystyle v '= {\ frac {dx'} {dt}} = vu \,.}

v '= {\ frac {dx'} {dt}} = vu \,.

Como u no cambia, las aceleraciones son las mismas:

a'={\frac {dv'}{dt}}=a\,.

a ′= D v ′ D t=a.

{\ Displaystyle a '= {\ frac {dv'} {dt}} = a \,.}

a '= {\ frac {dv'} {dt}} = a \,.

Por tanto, el impulso se conserva en ambos marcos de referencia. Además, siempre que la fuerza tenga la misma forma, en ambos marcos, la segunda ley de Newton no cambia. Fuerzas como la gravedad newtoniana, que dependen únicamente de la distancia escalar entre objetos, satisfacen este criterio. Esta independencia del marco de referencia se llama relatividad newtoniana o invariancia galileana.

Un cambio de marco de referencia puede, a menudo, simplificar los cálculos de movimiento. Por ejemplo, en una colisión de dos partículas, se puede elegir un marco de referencia, donde una partícula comienza en reposo. Otro marco de referencia de uso común es el marco del centro de masa, uno que se mueve con el centro de masa. En este marco, el impulso total es cero.

Aplicación a colisiones

Por sí sola, la ley de conservación del momento no es suficiente para determinar el movimiento de las partículas después de una colisión. Debe conocerse otra propiedad del movimiento, la energía cinética. Esto no se conserva necesariamente. Si se conserva, la colisión se denomina colisión elástica ; si no, es una colisión inelástica.

Colisiones elásticas

Artículo principal: colisión elástica

Colisión elástica de masas iguales

Colisión elástica de masas desiguales

Una colisión elástica es aquella en la que ninguna energía cinética se transforma en calor o en alguna otra forma de energía. Pueden ocurrir colisiones perfectamente elásticas cuando los objetos no se tocan entre sí, como por ejemplo en la dispersión atómica o nuclear donde la repulsión eléctrica mantiene los objetos separados. Una maniobra de tirachinas de un satélite alrededor de un planeta también puede verse como una colisión perfectamente elástica. Una colisión entre dos bolas de billar es un buen ejemplo de colisión casi totalmente elástica, debido a su alta rigidez, pero cuando los cuerpos entran en contacto siempre hay algo de disipación.

Una colisión elástica frontal entre dos cuerpos se puede representar mediante velocidades en una dimensión, a lo largo de una línea que pasa a través de los cuerpos. Si las velocidades son u 1 y u 2 antes de la colisión y v 1 y v 2 después, las ecuaciones que expresan la conservación del momento y la energía cinética son:

{\begin{aligned}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}amp;=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\\{\tfrac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}amp;={\tfrac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}\,.\end{aligned}}

metro 1 tu 1 + metro 2 tu 2 = metro 1 v 1 + metro 2 v 2

1 2

metro 1 tu 1 2 + 1 2

metro 2 tu 2 2 = 1 2

metro 1 v 1 2 + 1 2

metro 2 v 2 2 . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {2} amp; = m_ {1} v_ {1} + m_ {2} v_ {2} \\ {\ tfrac {1} {2}} m_ {1} u_ {1} ^ {2} + {\ tfrac {1} {2}} m_ {2} u_ {2} ^ {2} amp; = {\ tfrac {1} {2}} m_ {1} v_ {1} ^ {2} + {\ tfrac {1} {2}} m_ {2} v_ {2} ^ {2} \,. \ End {alineado}}}

{\ begin {alineado} m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {2} amp; = m_ {1} v_ {1} + m_ {2} v_ {2} \\ {\ tfrac {1} {2}} m_ {1} u_ {1} ^ {2} + {\ tfrac {1} {2}} m_ {2} u_ {2} ^ {2} amp; = {\ tfrac {1} {2} } m_ {1} v_ {1} ^ {2} + {\ tfrac {1} {2}} m_ {2} v_ {2} ^ {2} \,. \ end {alineado}}

Un cambio de marco de referencia puede simplificar el análisis de una colisión. Por ejemplo, suponga que hay dos cuerpos de igual masa m, uno estacionario y el otro acercándose al otro a una velocidad v (como en la figura). El centro de masa se mueve a velocidadv/2 y ambos cuerpos se mueven hacia él a gran velocidad v/2. Debido a la simetría, después de la colisión, ambos deben alejarse del centro de masa a la misma velocidad. Sumando la velocidad del centro de masa a ambos, encontramos que el cuerpo que se estaba moviendo ahora está detenido y el otro se está alejando a una velocidad v. Los cuerpos han cambiado sus velocidades. Independientemente de las velocidades de los cuerpos, un cambio al marco del centro de masa nos lleva a la misma conclusión. Por lo tanto, las velocidades finales están dadas por

{\begin{aligned}v_{1}amp;=u_{2}\\v_{2}amp;=u_{1}\,.\end{aligned}}

v 1 = tu 2 v 2 = tu 1 .

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} v_ {1} amp; = u_ {2} \\ v_ {2} amp; = u_ {1} \,. \ end {alineado}}}

{\ begin {alineado} v_ {1} amp; = u_ {2} \\ v_ {2} amp; = u_ {1} \,. \ end {alineado}}

En general, cuando se conocen las velocidades iniciales, las velocidades finales están dadas por

v_{1}=\left({\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{1}+\left({\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{2}\,

v 1= ( metro 1 - metro 2 metro 1 + metro 2 ) tu 1+ ( 2 metro 2 metro 1 + metro 2 ) tu 2

{\ Displaystyle v_ {1} = \ left ({\ frac {m_ {1} -m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ right) u_ {1} + \ left ({\ frac {2m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ right) u_ {2} \,}

v_ {1} = \ left ({\ frac {m_ {1} -m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ right) u_ {1} + \ left ({\ frac {2m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ right) u_ {2} \,

v_{2}=\left({\frac {m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{2}+\left({\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{1}\,.

v 2= ( metro 2 - metro 1 metro 1 + metro 2 ) tu 2+ ( 2 metro 1 metro 1 + metro 2 ) tu 1.

{\ Displaystyle v_ {2} = \ left ({\ frac {m_ {2} -m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ right) u_ {2} + \ left ({\ frac {2m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ right) u_ {1} \,.}

v_ {2} = \ left ({\ frac {m_ {2} -m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ right) u_ {2} + \ left ({\ frac {2m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ right) u_ {1} \,.

Si un cuerpo tiene una masa mucho mayor que el otro, su velocidad se verá poco afectada por una colisión, mientras que el otro cuerpo experimentará un gran cambio.

Colisiones inelásticas

Artículo principal: colisión inelástica

una colisión perfectamente inelástica entre masas iguales

En una colisión inelástica, parte de la energía cinética de los cuerpos en colisión se convierte en otras formas de energía (como calor o sonido ). Los ejemplos incluyen colisiones de tráfico, en las que el efecto de la pérdida de energía cinética se puede ver en los daños a los vehículos; los electrones pierden parte de su energía en los átomos (como en el experimento de Franck-Hertz ); y aceleradores de partículas en los que la energía cinética se convierte en masa en forma de nuevas partículas.

En una colisión perfectamente inelástica (como cuando un insecto golpea un parabrisas), ambos cuerpos tienen el mismo movimiento después. Una colisión frontal inelástica entre dos cuerpos se puede representar mediante velocidades en una dimensión, a lo largo de una línea que pasa a través de los cuerpos. Si las velocidades son u 1 y u 2 antes de la colisión, entonces, en una colisión perfectamente inelástica, ambos cuerpos viajarán con velocidad v después de la colisión. La ecuación que expresa la conservación del momento es:

{\begin{aligned}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}amp;=\left(m_{1}+m_{2}\right)v\,.\end{aligned}}

metro 1 tu 1 + metro 2 tu 2 = ( metro 1 + metro 2 ) v .

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {2} amp; = \ left (m_ {1} + m_ {2} \ right) v \,. \ end { alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {2} amp; = \ left (m_ {1} + m_ {2} \ right) v \,. \ end { alineado}}}

Si un cuerpo está inmóvil para empezar (p. Ej.), La ecuación para la conservación de la cantidad de movimiento es $u_{2}=0$

tu 2=0

{\ Displaystyle u_ {2} = 0}

{\ Displaystyle u_ {2} = 0}

m_{1}u_{1}=\left(m_{1}+m_{2}\right)v\,,

metro 1 tu 1= ( metro 1 + metro 2 )v,

{\ Displaystyle m_ {1} u_ {1} = \ left (m_ {1} + m_ {2} \ right) v \,,}

m_ {1} u_ {1} = \ izquierda (m_ {1} + m_ {2} \ derecha) v \,,

asi que

v={\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}u_{1}\,.

v= metro 1 metro 1 + metro 2 tu 1.

{\ Displaystyle v = {\ frac {m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}} u_ {1} \,.}

v = {\ frac {m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}} u_ {1} \,.

En una situación diferente, si el marco de referencia se mueve a la velocidad final tal que, los objetos se detendrían por una colisión perfectamente inelástica y el 100% de la energía cinética se convertiría en otras formas de energía. En este caso, las velocidades iniciales de los cuerpos serían distintas de cero, o los cuerpos tendrían que ser sin masa. $v=0$

v=0

{\ Displaystyle v = 0}

{\ Displaystyle v = 0}

Una medida de la inelasticidad de la colisión es el coeficiente de restitución C R, definido como la relación entre la velocidad relativa de separación y la velocidad relativa de aproximación. Al aplicar esta medida a una pelota que rebota en una superficie sólida, esto se puede medir fácilmente usando la siguiente fórmula:

C_{\text{R}}={\sqrt {\frac {\text{bounce height}}{\text{drop height}}}}\,.

C R= altura de rebote altura de caída.

{\ displaystyle C _ {\ text {R}} = {\ sqrt {\ frac {\ text {altura de rebote}} {\ text {altura de caída}}}} \,.}

C _ {\ text {R}} = {\ sqrt {\ frac {\ text {altura de rebote}} {\ text {altura de caída}}}} \,.

Las ecuaciones de momento y energía también se aplican a los movimientos de los objetos que comienzan juntos y luego se separan. Por ejemplo, una explosión es el resultado de una reacción en cadena que transforma la energía potencial almacenada en forma química, mecánica o nuclear en energía cinética, energía acústica y radiación electromagnética. Los cohetes también hacen uso de la conservación del impulso: el propulsor se empuja hacia afuera, ganando impulso, y se imparte al cohete un impulso igual y opuesto.

Múltiples dimensiones

Colisión elástica bidimensional. No hay movimiento perpendicular a la imagen, por lo que solo se necesitan dos componentes para representar las velocidades y los momentos. Los dos vectores azules representan velocidades después de la colisión y se suman vectorialmente para obtener la velocidad inicial (roja).

El movimiento real tiene tanto dirección como velocidad y debe estar representado por un vector. En un sistema de coordenadas con ejes x, y, z, la velocidad tiene componentes v x en la dirección x, v y en la dirección y, v z en la dirección z. El vector está representado por un símbolo en negrita:

\mathbf {v} =\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right).

v= ( v X , v y , v z ).

{\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ left (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z} \ right).}

\ mathbf {v} = \ left (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z} \ right).

De manera similar, el impulso es una cantidad vectorial y está representado por un símbolo en negrita:

\mathbf {p} =\left(p_{x},p_{y},p_{z}\right).

pag= ( pag X , pag y , pag z ).

{\ Displaystyle \ mathbf {p} = \ left (p_ {x}, p_ {y}, p_ {z} \ right).}

\ mathbf {p} = \ left (p_ {x}, p_ {y}, p_ {z} \ right).

Las ecuaciones de las secciones anteriores funcionan en forma vectorial si los escalares p y v se reemplazan por los vectores p y v. Cada ecuación vectorial representa tres ecuaciones escalares. Por ejemplo,

\mathbf {p} =m\mathbf {v}

pag=metro v

{\ Displaystyle \ mathbf {p} = m \ mathbf {v}}

\ mathbf {p} = m \ mathbf {v}

representa tres ecuaciones:

{\begin{aligned}p_{x}amp;=mv_{x}\\p_{y}amp;=mv_{y}\\p_{z}amp;=mv_{z}.\end{aligned}}

pag X = metro v X pag y = metro v y pag z = metro v z .

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} p_ {x} amp; = mv_ {x} \\ p_ {y} amp; = mv_ {y} \\ p_ {z} amp; = mv_ {z}. \ end {alineado}} }

{\ begin {alineado} p_ {x} amp; = mv_ {x} \\ p_ {y} amp; = mv_ {y} \\ p_ {z} amp; = mv_ {z}. \ end {alineado}}

Las ecuaciones de energía cinética son excepciones a la regla de reemplazo anterior. Las ecuaciones siguen siendo unidimensionales, pero cada escalar representa la magnitud del vector, por ejemplo,

v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\,.

v 2= v X 2+ v y 2+ v z 2.

{\ Displaystyle v ^ {2} = v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2} \,.}

v ^ {2} = v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2} \,.

Cada ecuación vectorial representa tres ecuaciones escalares. A menudo, las coordenadas se pueden elegir de modo que solo se necesiten dos componentes, como en la figura. Cada componente se puede obtener por separado y los resultados se pueden combinar para producir un resultado vectorial.

Se puede usar una construcción simple que involucre el marco del centro de masa para mostrar que si una esfera elástica estacionaria es golpeada por una esfera en movimiento, las dos saldrán en ángulo recto después de la colisión (como en la figura).

Objetos de masa variable

Ver también: sistema de masa variable

El concepto de impulso juega un papel fundamental en la explicación del comportamiento de objetos de masa variable como un cohete que expulsa combustible o una estrella que acrecienta gas. Al analizar tal objeto, uno trata la masa del objeto como una función que varía con el tiempo: m ( t). La cantidad de movimiento del objeto en el tiempo t es, por lo tanto, p ( t) = m ( t) v ( t). Entonces se podría intentar invocar la segunda ley del movimiento de Newton diciendo que la fuerza externa F sobre el objeto está relacionada con su momento p ( t) por F =dp/dt, pero esto es incorrecto, al igual que la expresión relacionada que se encuentra al aplicar la regla del producto a d ( mv)/dt:

F=m(t){\frac {dv}{dt}}+v(t){\frac {dm}{dt}}.

F=metro(t) D v D t+v(t) D metro D t.

{\ Displaystyle F = m (t) {\ frac {dv} {dt}} + v (t) {\ frac {dm} {dt}}.}

{\ Displaystyle F = m (t) {\ frac {dv} {dt}} + v (t) {\ frac {dm} {dt}}.}

(incorrecto)

Esta ecuación no describe correctamente el movimiento de los objetos de masa variable. La ecuación correcta es

F=m(t){\frac {dv}{dt}}-u{\frac {dm}{dt}},

F=metro(t) D v D t-tu D metro D t,

{\ Displaystyle F = m (t) {\ frac {dv} {dt}} - u {\ frac {dm} {dt}},}

F = m (t) {\ frac {dv} {dt}} - u {\ frac {dm} {dt}},

donde u es la velocidad de la masa expulsada / acretada como se ve en el marco de reposo del objeto. Esto es distinto de v, que es la velocidad del objeto en sí como se ve en un marco inercial.

Esta ecuación se obtiene realizando un seguimiento tanto del impulso del objeto como del impulso de la masa expulsada / acrecida ( dm). Cuando se consideran juntos, el objeto y la masa ( dm) constituyen un sistema cerrado en el que se conserva la cantidad de movimiento total.

P(t+dt)=(m-dm)(v+dv)+dm(v-u)=mv+mdv-udm=P(t)+mdv-udm

PAG(t+Dt)=(metro-Dmetro)(v+Dv)+Dmetro(v-tu)=metrov+metroDv-tuDmetro=PAG(t)+metroDv-tuDmetro

{\ Displaystyle P (t + dt) = (m-dm) (v + dv) + dm (vu) = mv + mdv-udm = P (t) + mdv-udm}

{\ Displaystyle P (t + dt) = (m-dm) (v + dv) + dm (vu) = mv + mdv-udm = P (t) + mdv-udm}

Relativista

Ver también: Masa en relatividad especial y Pruebas de energía e impulso relativistas

Invariancia de Lorentz

La física newtoniana asume que el tiempo y el espacio absolutos existen fuera de cualquier observador; esto da lugar a la invariancia galileana. También da como resultado una predicción de que la velocidad de la luz puede variar de un marco de referencia a otro. Esto es contrario a la observación. En la teoría especial de la relatividad, Einstein mantiene el postulado de que las ecuaciones de movimiento no dependen del marco de referencia, pero asume que la velocidad de la luz c es invariante. Como resultado, la posición y el tiempo en dos marcos de referencia están relacionados por la transformación de Lorentz en lugar de la transformación de Galileo.

Considere, por ejemplo, un sistema de referencia que se mueve en relación con otro a una velocidad v en la dirección x. La transformación de Galileo da las coordenadas del marco en movimiento como

{\begin{aligned}t'amp;=t\\x'amp;=x-vt\end{aligned}}

t ′ = t X ′ = X - v t

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} t 'amp; = t \\ x' amp; = x-vt \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} t 'amp; = t \\ x' amp; = x-vt \ end {alineado}}}

mientras que la transformación de Lorentz da

{\begin{aligned}t'amp;=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'amp;=\gamma \left(x-vt\right)\,\end{aligned}}

t ′ = γ ( t - v X C 2 ) X ′ = γ ( X - v t )

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} t 'amp; = \ gamma \ left (t - {\ frac {vx} {c ^ {2}}} \ right) \\ x' amp; = \ gamma \ left (x- vt \ right) \, \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} t 'amp; = \ gamma \ left (t - {\ frac {vx} {c ^ {2}}} \ right) \\ x' amp; = \ gamma \ left (x- vt \ right) \, \ end {alineado}}}

donde γ es el factor de Lorentz :

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.

γ= 1 1 - v 2 / C 2.

{\ Displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}.}

{\ Displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}.}

La segunda ley de Newton, con masa fija, no es invariante bajo una transformación de Lorentz. Sin embargo, se puede hacer invariante haciendo que la masa inercial m de un objeto sea una función de la velocidad:

m=\gamma m_{0}\,;

metro=γ metro 0;

{\ Displaystyle m = \ gamma m_ {0} \,;}

m = \ gamma m_ {0} \,;

m 0 es la masa invariante del objeto.

El impulso modificado,

\mathbf {p} =\gamma m_{0}\mathbf {v} \,,

pag=γ metro 0 v,

{\ Displaystyle \ mathbf {p} = \ gamma m_ {0} \ mathbf {v} \,,}

\ mathbf {p} = \ gamma m_ {0} \ mathbf {v} \,,

obedece a la segunda ley de Newton:

\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\,.

F= D pag D t.

{\ Displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} \,.}

\ mathbf {F} = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} \,.

Dentro del dominio de la mecánica clásica, momento relativista se aproxima mucho impulso newtoniana: a baja velocidad, γm 0 v es aproximadamente igual a m 0 v, la expresión newtoniana de impulso.

Formulación de cuatro vectores

Artículo principal: Cuatro impulso

En la teoría de la relatividad especial, las cantidades físicas se expresan en términos de cuatro vectores que incluyen el tiempo como una cuarta coordenada junto con las tres coordenadas espaciales. Estos vectores generalmente se representan con letras mayúsculas, por ejemplo, R para la posición. La expresión de los cuatro momentos depende de cómo se expresen las coordenadas. El tiempo puede expresarse en sus unidades normales o multiplicarse por la velocidad de la luz para que todos los componentes del cuatro vector tengan dimensiones de longitud. Si se utiliza la última escala, un intervalo de tiempo adecuado, τ, definido por

c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}\,,

C 2D τ 2= C 2D t 2-D X 2-D y 2-D z 2,

{\ Displaystyle c ^ {2} d \ tau ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} \,,}

c ^ {2} d \ tau ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} \,,

es invariante bajo las transformaciones de Lorentz (en esta expresión y en lo que sigue se ha usado la firma métrica (+ - - -), diferentes autores usan diferentes convenciones). Matemáticamente, esta invariancia se puede asegurar de dos formas: tratando los cuatro vectores como vectores euclidianos y multiplicando el tiempo por √ −1 ; o manteniendo el tiempo como una cantidad real e incrustando los vectores en un espacio de Minkowski. En un espacio de Minkowski, el producto escalar de dos cuatro vectores U = ( U 0, U 1, U 2, U 3) y V = ( V 0, V 1, V 2, V 3) se define como

\mathbf {U} \cdot \mathbf {V} =U_{0}V_{0}-U_{1}V_{1}-U_{2}V_{2}-U_{3}V_{3}\,.

U⋅ V= U 0 V 0- U 1 V 1- U 2 V 2- U 3 V 3.

{\ Displaystyle \ mathbf {U} \ cdot \ mathbf {V} = U_ {0} V_ {0} -U_ {1} V_ {1} -U_ {2} V_ {2} -U_ {3} V_ {3 } \,.}

\ mathbf {U} \ cdot \ mathbf {V} = U_ {0} V_ {0} -U_ {1} V_ {1} -U_ {2} V_ {2} -U_ {3} V_ {3} \,.

En todos los sistemas de coordenadas, la ( contravariante ) relativista de cuatro velocidades se define por

\mathbf {U} \equiv {\frac {d\mathbf {R} }{d\tau }}=\gamma {\frac {d\mathbf {R} }{dt}}\,,

U≡ D R D τ=γ D R D t,

{\ Displaystyle \ mathbf {U} \ equiv {\ frac {d \ mathbf {R}} {d \ tau}} = \ gamma {\ frac {d \ mathbf {R}} {dt}} \,,}

\ mathbf {U} \ equiv {\ frac {d \ mathbf {R}} {d \ tau}} = \ gamma {\ frac {d \ mathbf {R}} {dt}} \,,

y el (contravariante) de cuatro momentos es

\mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} \,,

PAG= metro 0 U,

{\ Displaystyle \ mathbf {P} = m_ {0} \ mathbf {U} \,,}

\ mathbf {P} = m_ {0} \ mathbf {U} \,,

donde m 0 es la masa invariante. Si R = ( ct, x, y, z) (en el espacio de Minkowski), entonces

\mathbf {P} =\gamma m_{0}\left(c,\mathbf {v} \right)=(mc,\mathbf {p})\,.

PAG=γ metro 0 ( C , v )=(metroC, pag).

{\ Displaystyle \ mathbf {P} = \ gamma m_ {0} \ left (c, \ mathbf {v} \ right) = (mc, \ mathbf {p}) \,.}

{\ Displaystyle \ mathbf {P} = \ gamma m_ {0} \ left (c, \ mathbf {v} \ right) = (mc, \ mathbf {p}) \,.}

Usando la equivalencia masa-energía de Einstein, E = mc ², esto se puede reescribir como

\mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)\,.

PAG= ( mi C , pag ).

{\ Displaystyle \ mathbf {P} = \ left ({\ frac {E} {c}}, \ mathbf {p} \ right) \,.}

\ mathbf {P} = \ left ({\ frac {E} {c}}, \ mathbf {p} \ right) \,.

Por lo tanto, la conservación de cuatro momentos es invariante de Lorentz e implica la conservación tanto de la masa como de la energía.

La magnitud del cuatro-vector de la cantidad de movimiento es igual am 0 c:

\|\mathbf {P} \|^{2}=\mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =\gamma ^{2}m_{0}^{2}\left(c^{2}-v^{2}\right)=(m_{0}c)^{2}\,,

‖ PAG ‖ 2= PAG⋅ PAG= γ 2 metro 0 2 ( C 2 - v 2 )=( metro 0C ) 2,

{\ Displaystyle \ | \ mathbf {P} \ | ^ {2} = \ mathbf {P} \ cdot \ mathbf {P} = \ gamma ^ {2} m_ {0} ^ {2} \ left (c ^ { 2} -v ^ {2} \ right) = (m_ {0} c) ^ {2} \,,}

{\ Displaystyle \ | \ mathbf {P} \ | ^ {2} = \ mathbf {P} \ cdot \ mathbf {P} = \ gamma ^ {2} m_ {0} ^ {2} \ left (c ^ { 2} -v ^ {2} \ right) = (m_ {0} c) ^ {2} \,,}

y es invariante en todos los marcos de referencia.

La relación relativista energía-momento es válida incluso para partículas sin masa como los fotones; al establecer m 0 = 0 se sigue que

E=pc\,.

mi=pagC.

{\ Displaystyle E = pc \,.}

E = pc \,.

En un juego de "billar" relativista, si una partícula estacionaria es golpeada por una partícula en movimiento en una colisión elástica, las trayectorias formadas por las dos formarán un ángulo agudo. Esto es diferente al caso no relativista en el que viajan en ángulos rectos.

El cuatro momento de una onda plana se puede relacionar con una onda de cuatro vectores

\mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)=\hbar \mathbf {K} =\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)

PAG= ( mi C , pag → )=ℏ K=ℏ ( ω C , k → )

{\ Displaystyle \ mathbf {P} = \ left ({\ frac {E} {c}}, {\ vec {\ mathbf {p}}} \ right) = \ hbar \ mathbf {K} = \ hbar \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, {\ vec {\ mathbf {k}}} \ right)}

{\ Displaystyle \ mathbf {P} = \ left ({\ frac {E} {c}}, {\ vec {\ mathbf {p}}} \ right) = \ hbar \ mathbf {K} = \ hbar \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, {\ vec {\ mathbf {k}}} \ right)}

Para una partícula, la relación entre los componentes temporales, E = ħ ω, es la relación de Planck-Einstein, y la relación entre los componentes espaciales, p = ħ k, describe una onda de materia de De Broglie.

Generalizado

Ver también: Mecánica analítica

Las leyes de Newton pueden ser difíciles de aplicar a muchos tipos de movimiento porque el movimiento está limitado por restricciones. Por ejemplo, una cuenta en un ábaco está obligada a moverse a lo largo de su alambre y una sacudida de péndulo está obligada a oscilar a una distancia fija del pivote. Muchas de estas restricciones se pueden incorporar cambiando las coordenadas cartesianas normales a un conjunto de coordenadas generalizadas que pueden ser menos numerosas. Se han desarrollado métodos matemáticos refinados para resolver problemas de mecánica en coordenadas generalizadas. Introducen un momento generalizado, también conocido como momento canónico o conjugado, que amplía los conceptos de momento lineal y momento angular. Para distinguirlo del momento generalizado, el producto de la masa y la velocidad también se conoce como momento mecánico, cinético o cinemático. Los dos métodos principales se describen a continuación.

Mecánica lagrangiana

En la mecánica lagrangiana, un lagrangiano se define como la diferencia entre la energía cinética T y la energía potencial V:

{\mathcal {L}}=T-V\,.

L=T-V.

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = TV \,.}

{\ mathcal {L}} = TV \,.

Si las coordenadas generalizadas se representan como un vector q = ( q 1, q 2,..., q N) y la diferenciación de tiempo se representa con un punto sobre la variable, entonces las ecuaciones de movimiento (conocidas como Lagrange o Euler– Ecuaciones de Lagrange ) son un conjunto de N ecuaciones:

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{j}}}=0\,.

D D t ( ∂ L ∂ q ˙ j )- ∂ L ∂ q j=0.

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ izquierda ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot {q}} _ {j}}} \ derecha) - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial q_ {j}}} = 0 \,.}

{\ frac {d} {dt}} \ izquierda ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot {q}} _ {j}}} \ derecha) - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial q_ {j}}} = 0 \,.

Si una coordenada q i no es una coordenada cartesiana, el componente de momento generalizado asociado p i no tiene necesariamente las dimensiones del momento lineal. Incluso si q i es una coordenada cartesiana, p i no será el mismo que el momento mecánico si el potencial depende de la velocidad. Algunas fuentes representan el impulso cinemático mediante el símbolo Π.

En este marco matemático, un momento generalizado se asocia con las coordenadas generalizadas. Sus componentes se definen como

p_{j}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\,.

pag j= ∂ L ∂ q ˙ j.

{\ Displaystyle p_ {j} = {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot {q}} _ {j}}} \,.}

p_ {j} = {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot {q}} _ {j}}} \,.

Se dice que cada componente p j es el momento conjugado de la coordenada q j.

Ahora bien, si una determinada coordenada q i no aparece en el lagrangiano (aunque podría aparecer su derivada en el tiempo), entonces

p_{j}={\text{constant}}\,.

pag j= constante.

{\ Displaystyle p_ {j} = {\ text {constante}} \,.}

p_ {j} = {\ text {constante}} \,.

Ésta es la generalización de la conservación del impulso.

Incluso si las coordenadas generalizadas son solo las coordenadas espaciales ordinarias, los momentos conjugados no son necesariamente las coordenadas del momento ordinario. Un ejemplo se encuentra en la sección sobre electromagnetismo.

Mecánica hamiltoniana

En la mecánica hamiltoniana, el lagrangiano (una función de las coordenadas generalizadas y sus derivadas) se reemplaza por un hamiltoniano que es una función de las coordenadas generalizadas y el momento. El hamiltoniano se define como

{\mathcal {H}}\left(\mathbf {q},\mathbf {p},t\right)=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {L}}\left(\mathbf {q},{\dot {\mathbf {q} }},t\right)\,,

H ( q , pag , t )= pag⋅ q ˙- L ( q , q ˙ , t ),

{\ Displaystyle {\ mathcal {H}} \ left (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t \ right) = \ mathbf {p} \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}} - { \ mathcal {L}} \ left (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}, t \ right) \,,}

{\ mathcal {H}} \ left (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t \ right) = \ mathbf {p} \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}} - {\ mathcal { L}} \ left (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}, t \ right) \,,

donde el impulso se obtiene diferenciando el lagrangiano como se indicó anteriormente. Las ecuaciones de movimiento hamiltonianas son

{\begin{aligned}{\dot {q}}_{i}amp;={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\\-{\dot {p}}_{i}amp;={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}\\-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}amp;={\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}\,.\end{aligned}}

q ˙ I = ∂ H ∂ pag I - pag ˙ I = ∂ H ∂ q I - ∂ L ∂ t = D H D t .

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ dot {q}} _ {i} amp; = {\ frac {\ parcial {\ mathcal {H}}} {\ parcial p_ {i}}} \\ - {\ punto {p}} _ {i} amp; = {\ frac {\ parcial {\ mathcal {H}}} {\ parcial q_ {i}}} \\ - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}} } {\ t parcial}} amp; = {\ frac {d {\ mathcal {H}}} {dt}} \,. \ end {alineado}}}

{\ begin {alineado} {\ dot {q}} _ {i} amp; = {\ frac {\ parcial {\ mathcal {H}}} {\ parcial p_ {i}}} \\ - {\ dot {p }} _ {i} amp; = {\ frac {\ parcial {\ mathcal {H}}} {\ parcial q_ {i}}} \\ - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial t}} amp; = {\ frac {d {\ mathcal {H}}} {dt}} \,. \ end {alineado}}

Como en la mecánica de Lagrange, si una coordenada generalizada no aparece en el hamiltoniano, su componente de momento conjugado se conserva.

Simetría y conservación

La conservación del momento es una consecuencia matemática de la homogeneidad (cambio de simetría ) del espacio (la posición en el espacio es la cantidad conjugada canónica al momento). Es decir, la conservación del momento es una consecuencia del hecho de que las leyes de la física no dependen de la posición; este es un caso especial del teorema de Noether. Para los sistemas que no tienen esta simetría, puede que no sea posible definir la conservación del momento. Los ejemplos en los que no se aplica la conservación del momento son los espaciotiempos curvos en la relatividad general o los cristales de tiempo en la física de la materia condensada.

Electromagnético

Partícula en un campo

En las ecuaciones de Maxwell, las fuerzas entre partículas están mediadas por campos eléctricos y magnéticos. La fuerza electromagnética (fuerza de Lorentz ) sobre una partícula con carga q debido a una combinación de campo eléctrico E y campo magnético B es

\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B}).

F=q( mi+ v× B).

{\ Displaystyle \ mathbf {F} = q (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}).}

\ mathbf {F} = q (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}).

(en unidades SI ). Tiene un potencial eléctrico φ ( r, t) y un potencial vectorial magnético A ( r, t). En el régimen no relativista, su impulso generalizado es

\mathbf {P} =m\mathbf {\mathbf {v} } +q\mathbf {A},

PAG=metro v+q A,

{\ Displaystyle \ mathbf {P} = m \ mathbf {\ mathbf {v}} + q \ mathbf {A},}

{\ Displaystyle \ mathbf {P} = m \ mathbf {\ mathbf {v}} + q \ mathbf {A},}

mientras que en la mecánica relativista esto se convierte en

$\mathbf {P} =\gamma m\mathbf {\mathbf {v} } +q\mathbf {A}.$

PAG=γmetro v+q A.

{\ Displaystyle \ mathbf {P} = \ gamma m \ mathbf {\ mathbf {v}} + q \ mathbf {A}.}

{\ Displaystyle \ mathbf {P} = \ gamma m \ mathbf {\ mathbf {v}} + q \ mathbf {A}.}

La cantidad a veces se denomina impulso potencial. Es el impulso debido a la interacción de la partícula con los campos electromagnéticos. El nombre es una analogía con la energía potencial, que es la energía debida a la interacción de la partícula con los campos electromagnéticos. Estas cantidades forman un cuatro vector, por lo que la analogía es consistente; Además, el concepto de impulso potencial es importante para explicar el llamado impulso oculto de los campos electromagnéticos. $V=q\mathbf {A}$

V=q A

{\ Displaystyle V = q \ mathbf {A}}

{\ Displaystyle V = q \ mathbf {A}}

U=q\varphi

U=qφ

{\ Displaystyle U = q \ varphi}

{\ Displaystyle U = q \ varphi}

Conservación

En la mecánica newtoniana, la ley de conservación del momento se puede derivar de la ley de acción y reacción, que establece que toda fuerza tiene una fuerza recíproca igual y opuesta. En algunas circunstancias, las partículas cargadas en movimiento pueden ejercer fuerzas entre sí en direcciones no opuestas. Sin embargo, se conserva el momento combinado de las partículas y el campo electromagnético.

Vacío

La fuerza de Lorentz imparte un impulso a la partícula, por lo que, según la segunda ley de Newton, la partícula debe impartir un impulso a los campos electromagnéticos.

En el vacío, la cantidad de movimiento por unidad de volumen es

\mathbf {g} ={\frac {1}{\mu _{0}c^{2}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} \,,

gramo= 1 μ 0 C 2 mi× B,

{\ Displaystyle \ mathbf {g} = {\ frac {1} {\ mu _ {0} c ^ {2}}} \ mathbf {E} \ times \ mathbf {B} \,,}

\ mathbf {g} = {\ frac {1} {\ mu _ {0} c ^ {2}}} \ mathbf {E} \ times \ mathbf {B} \,,

donde μ 0 es la permeabilidad al vacío y c es la velocidad de la luz. La densidad de momento es proporcional al vector de Poynting S que da la tasa direccional de transferencia de energía por unidad de área:

\mathbf {g} ={\frac {\mathbf {S} }{c^{2}}}\,.

gramo= S C 2.

{\ Displaystyle \ mathbf {g} = {\ frac {\ mathbf {S}} {c ^ {2}}} \,.}

\ mathbf {g} = {\ frac {\ mathbf {S}} {c ^ {2}}} \,.

Si se va a conservar la cantidad de movimiento sobre el volumen V en una región Q, los cambios en la cantidad de movimiento de la materia a través de la fuerza de Lorentz deben equilibrarse mediante cambios en la cantidad de movimiento del campo electromagnético y la salida de la cantidad de movimiento. Si P mech es el momento de todas las partículas en Q, y las partículas se tratan como un continuo, entonces la segunda ley de Newton da

{\frac {d\mathbf {P} _{\text{mech}}}{dt}}=\iiint \limits _{Q}\left(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \right)dV\,.

D PAG mech D t= ∭ Q ( ρ mi + J × B )DV.

{\ Displaystyle {\ frac {d \ mathbf {P} _ {\ text {mech}}} {dt}} = \ iiint \ limits _ {Q} \ left (\ rho \ mathbf {E} + \ mathbf {J } \ times \ mathbf {B} \ right) dV \,.}

{\ Displaystyle {\ frac {d \ mathbf {P} _ {\ text {mech}}} {dt}} = \ iiint \ limits _ {Q} \ left (\ rho \ mathbf {E} + \ mathbf {J } \ times \ mathbf {B} \ right) dV \,.}

El impulso electromagnético es

\mathbf {P} _{\text{field}}={\frac {1}{\mu _{0}c^{2}}}\iiint \limits _{Q}\mathbf {E} \times \mathbf {B} \,dV\,,

PAG campo= 1 μ 0 C 2 ∭ Q mi× BDV,

{\ Displaystyle \ mathbf {P} _ {\ text {field}} = {\ frac {1} {\ mu _ {0} c ^ {2}}} \ iiint \ limits _ {Q} \ mathbf {E} \ times \ mathbf {B} \, dV \,,}

{\ Displaystyle \ mathbf {P} _ {\ text {field}} = {\ frac {1} {\ mu _ {0} c ^ {2}}} \ iiint \ limits _ {Q} \ mathbf {E} \ times \ mathbf {B} \, dV \,,}

y la ecuación para la conservación de cada componente i del momento es

{\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {P} _{\text{mech}}+\mathbf {P} _{\text{field}}\right)_{i}=\iint \limits _{\sigma }\left(\sum \limits _{j}T_{ij}n_{j}\right)d\Sigma \,.

D D t ( PAG mech + PAG campo ) I= ∬ σ ( ∑ j T I j norte j )DΣ.

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left (\ mathbf {P} _ {\ text {mech}} + \ mathbf {P} _ {\ text {field}} \ right) _ {i} = \ iint \ limits _ {\ sigma} \ left (\ sum \ limits _ {j} T_ {ij} n_ {j} \ right) d \ Sigma \,.}

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left (\ mathbf {P} _ {\ text {mech}} + \ mathbf {P} _ {\ text {field}} \ right) _ {i} = \ iint \ limits _ {\ sigma} \ left (\ sum \ limits _ {j} T_ {ij} n_ {j} \ right) d \ Sigma \,.}

El término de la derecha es una integral sobre la superficie Σ de la superficie σ que representa el flujo de impulso dentro y fuera del volumen, y n j es un componente de la superficie normal de S. La cantidad T ij se llama tensor de tensión de Maxwell, definido como

T_{ij}\equiv \epsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{2}\right)\,.

T I j≡ ϵ 0 ( mi I mi j - 1 2 δ I j mi 2 )+ 1 μ 0 ( B I B j - 1 2 δ I j B 2 ).

{\ Displaystyle T_ {ij} \ equiv \ epsilon _ {0} \ left (E_ {i} E_ {j} - {\ frac {1} {2}} \ delta _ {ij} E ^ {2} \ right) + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ left (B_ {i} B_ {j} - {\ frac {1} {2}} \ delta _ {ij} B ^ {2} \Derecha)\,.}

T_ {ij} \ equiv \ epsilon _ {0} \ left (E_ {i} E_ {j} - {\ frac {1} {2}} \ delta _ {ij} E ^ {2} \ right) + { \ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ left (B_ {i} B_ {j} - {\ frac {1} {2}} \ delta _ {ij} B ^ {2} \ right) \,.

Medios de comunicación

Los resultados anteriores son para las ecuaciones microscópicas de Maxwell, aplicables a las fuerzas electromagnéticas en el vacío (o en una escala muy pequeña en los medios). Es más difícil definir la densidad de momento en los medios porque la división en electromagnética y mecánica es arbitraria. La definición de densidad de momento electromagnético se modifica para

\mathbf {g} ={\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {E} \times \mathbf {H} ={\frac {\mathbf {S} }{c^{2}}}\,,

gramo= 1 C 2 mi× H= S C 2,

{\ Displaystyle \ mathbf {g} = {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ mathbf {E} \ times \ mathbf {H} = {\ frac {\ mathbf {S}} {c ^ { 2}}} \,,}

\ mathbf {g} = {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ mathbf {E} \ times \ mathbf {H} = {\ frac {\ mathbf {S}} {c ^ {2}} } \,,

donde el campo H H está relacionado con el campo B y la magnetización M por

\mathbf {B} =\mu _{0}\left(\mathbf {H} +\mathbf {M} \right)\,.

B= μ 0 ( H + METRO ).

{\ Displaystyle \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ left (\ mathbf {H} + \ mathbf {M} \ right) \,.}

\ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ left (\ mathbf {H} + \ mathbf {M} \ right) \,.

El tensor de tensión electromagnética depende de las propiedades del medio.

Mecánica cuántica

Más información: operador Momentum

En mecánica cuántica, el impulso se define como un operador autoadjunto en la función de onda. El principio de incertidumbre de Heisenberg define límites sobre la precisión con la que se puede conocer a la vez el momento y la posición de un único sistema observable. En mecánica cuántica, la posición y el momento son variables conjugadas.

Para una sola partícula descrita en la base de posición, el operador de momento se puede escribir como

\mathbf {p} ={\hbar \over i}\nabla =-i\hbar \nabla \,,

pag= ℏ I∇=-Iℏ∇,

{\ Displaystyle \ mathbf {p} = {\ hbar \ over i} \ nabla = -i \ hbar \ nabla \,,}

\ mathbf {p} = {\ hbar \ over i} \ nabla = -i \ hbar \ nabla \,,

donde ∇ es el operador de gradiente, ħ es la constante de Planck reducida e i es la unidad imaginaria. Ésta es una forma común del operador de impulso, aunque el operador de impulso en otras bases puede adoptar otras formas. Por ejemplo, en el espacio de momento, el operador de momento se representa como

\mathbf {p} \psi (p)=p\psi (p)\,,

pagψ(pag)=pagψ(pag),

{\ Displaystyle \ mathbf {p} \ psi (p) = p \ psi (p) \,,}

\ mathbf {p} \ psi (p) = p \ psi (p) \,,

donde el operador p que actúa sobre una función de onda ψ ( p) produce esa función de onda multiplicada por el valor p, de manera análoga a la forma en que el operador de posición que actúa sobre una función de onda ψ ( x) produce esa función de onda multiplicada por el valor x.

Tanto para objetos masivos como sin masa, el momento relativista está relacionado con la constante de fase por $\beta$

{\ Displaystyle \ beta}

\beta

p=\hbar \beta

pag=ℏβ

{\ Displaystyle p = \ hbar \ beta}

{\ Displaystyle p = \ hbar \ beta}

La radiación electromagnética (incluida la luz visible, la luz ultravioleta y las ondas de radio ) es transportada por fotones. Aunque los fotones (el aspecto de partícula de la luz) no tienen masa, todavía tienen impulso. Esto conduce a aplicaciones como la vela solar. El cálculo del impulso de la luz dentro de los medios dieléctricos es algo controvertido (ver la controversia Abraham-Minkowski ).

En cuerpos y fluidos deformables

Conservación en un continuo

Artículo principal: ecuación de impulso de Cauchy

Movimiento de un cuerpo material

En campos como la dinámica de fluidos y la mecánica de sólidos, no es factible seguir el movimiento de átomos o moléculas individuales. En cambio, los materiales deben aproximarse mediante un continuo en el que hay una partícula o una parcela de fluido en cada punto al que se le asigna el promedio de las propiedades de los átomos en una pequeña región cercana. En particular, tiene una densidad ρ y una velocidad v que dependen del tiempo ty la posición r. El momento por unidad de volumen es ρ v.

Considere una columna de agua en equilibrio hidrostático. Todas las fuerzas sobre el agua están en equilibrio y el agua está inmóvil. En cualquier gota de agua, se equilibran dos fuerzas. La primera es la gravedad, que actúa directamente sobre cada átomo y molécula del interior. La fuerza gravitacional por unidad de volumen es ρ g, donde g es la aceleración gravitacional. La segunda fuerza es la suma de todas las fuerzas ejercidas sobre su superficie por el agua circundante. La fuerza desde abajo es mayor que la fuerza desde arriba en la cantidad necesaria para equilibrar la gravedad. La fuerza normal por unidad de área es la presión p. La fuerza promedio por unidad de volumen dentro de la gota es el gradiente de presión, por lo que la ecuación de equilibrio de fuerzas es

-\nabla p+\rho \mathbf {g} =0\,.

-∇pag+ρ gramo=0.

{\ Displaystyle - \ nabla p + \ rho \ mathbf {g} = 0 \,.}

- \ nabla p + \ rho \ mathbf {g} = 0 \,.

Si las fuerzas no están equilibradas, la gota se acelera. Esta aceleración no es simplemente la derivada parcial∂ v/∂tporque el líquido en un volumen dado cambia con el tiempo. En cambio, se necesita el derivado material :

{\frac {D}{Dt}}\equiv {\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\,.

D D t≡ ∂ ∂ t+ v⋅ ∇.

{\ Displaystyle {\ frac {D} {Dt}} \ equiv {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} + \ mathbf {v} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} \,.}

{\ frac {D} {Dt}} \ equiv {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} + \ mathbf {v} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} \,.

Aplicado a cualquier cantidad física, el derivado material incluye la tasa de cambio en un punto y los cambios debidos a la advección a medida que el fluido pasa por el punto. Por unidad de volumen, la tasa de cambio en la cantidad de movimiento es igual a ρD v/Dt. Esto es igual a la fuerza neta sobre la gota.

Las fuerzas que pueden cambiar el impulso de una gota incluyen el gradiente de presión y gravedad, como se indicó anteriormente. Además, las fuerzas superficiales pueden deformar la gota. En el caso más simple, un esfuerzo de cizallamiento τ, ejercida por una fuerza paralela a la superficie de la gotita, es proporcional a la velocidad de deformación o la velocidad de deformación. Tal esfuerzo cortante ocurre si el fluido tiene un gradiente de velocidad porque el fluido se mueve más rápido en un lado que en otro. Si la velocidad en la dirección x varía con z, la fuerza tangencial en la dirección x por unidad de área normal a la dirección z es

\sigma _{zx}=-\mu {\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\,,

σ z X=-μ ∂ v X ∂ z,

{\ Displaystyle \ sigma _ {zx} = - \ mu {\ frac {\ parcial v_ {x}} {\ parcial z}} \,,}

{\ Displaystyle \ sigma _ {zx} = - \ mu {\ frac {\ parcial v_ {x}} {\ parcial z}} \,,}

donde μ es la viscosidad. Este también es un flujo, o flujo por unidad de área, de x -momentum a través de la superficie.

Incluyendo el efecto de la viscosidad, las ecuaciones de equilibrio del momento para el flujo incompresible de un fluido newtoniano son

\rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=-{\boldsymbol {\nabla }}p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\rho \mathbf {g}.\,

ρ D v D t=- ∇pag+μ ∇ 2 v+ρ gramo.

{\ Displaystyle \ rho {\ frac {D \ mathbf {v}} {Dt}} = - {\ boldsymbol {\ nabla}} p + \ mu \ nabla ^ {2} \ mathbf {v} + \ rho \ mathbf { g}. \,}

\ rho {\ frac {D \ mathbf {v}} {Dt}} = - {\ boldsymbol {\ nabla}} p + \ mu \ nabla ^ {2} \ mathbf {v} + \ rho \ mathbf {g}. \,

Estos se conocen como ecuaciones de Navier-Stokes.

Las ecuaciones de equilibrio de la cantidad de movimiento se pueden extender a materiales más generales, incluidos los sólidos. Para cada superficie con normal en la dirección i y fuerza en la dirección j, hay un componente de tensión σ ij. Los nueve componentes forman el tensor de tensión de Cauchy σ, que incluye tanto la presión como el cortante. La conservación local de la cantidad de movimiento se expresa mediante la ecuación de la cantidad de movimiento de Cauchy :

\rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}={\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f} \,,

ρ D v D t= ∇⋅ σ+ F,

{\ Displaystyle \ rho {\ frac {D \ mathbf {v}} {Dt}} = {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} + \ mathbf {f} \,,}

\ rho {\ frac {D \ mathbf {v}} {Dt}} = {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} + \ mathbf {f} \,,

donde f es la fuerza del cuerpo.

La ecuación de la cantidad de movimiento de Cauchy es ampliamente aplicable a las deformaciones de sólidos y líquidos. La relación entre las tensiones y la velocidad de deformación depende de las propiedades del material (ver Tipos de viscosidad ).

Ondas acústicas

Una perturbación en un medio da lugar a oscilaciones u ondas que se propagan lejos de su fuente. En un fluido, los pequeños cambios en la presión p a menudo se pueden describir mediante la ecuación de onda acústica :

{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}p\,,

∂ 2 pag ∂ t 2= C 2 ∇ 2pag,

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial ^ {2} p} {\ parcial t ^ {2}}} = c ^ {2} \ nabla ^ {2} p \,,}

{\ frac {\ parcial ^ {2} p} {\ parcial t ^ {2}}} = c ^ {2} \ nabla ^ {2} p \,,

donde c es la velocidad del sonido. En un sólido, se pueden obtener ecuaciones similares para la propagación de presión ( ondas P ) y cizalladura ( ondas S ).

El flujo, o transporte por unidad de área, de un componente de momento ρv j por una velocidad v i es igual a ρ v j v j. En la aproximación lineal que conduce a la ecuación acústica anterior, el promedio de tiempo de este flujo es cero. Sin embargo, los efectos no lineales pueden dar lugar a un promedio distinto de cero. Es posible que se produzca un flujo de impulso aunque la onda en sí no tenga un impulso medio.

Historia del concepto

Ver también: Teoría del ímpetu

Aproximadamente en el 530 d. C., trabajando en Alejandría, el filósofo bizantino John Philoponus desarrolló un concepto de impulso en su comentario a la Física de Aristóteles. Aristóteles afirmó que todo lo que se mueve debe mantenerse en movimiento por algo. Por ejemplo, una pelota lanzada debe mantenerse en movimiento mediante movimientos del aire. La mayoría de los escritores continuaron aceptando la teoría de Aristóteles hasta la época de Galileo, pero algunos se mostraron escépticos. Philoponus señaló lo absurdo de la afirmación de Aristóteles de que el movimiento de un objeto es promovido por el mismo aire que se resiste a su paso. En cambio, propuso que se impartiera un ímpetu al objeto en el acto de lanzarlo. Ibn Sīnā (también conocido por su nombre latinizado Avicena ) leyó Philoponus y publicó su propia teoría del movimiento en The Book of Healing en 1020. Estuvo de acuerdo en que el lanzador imparte un ímpetu a un proyectil; pero a diferencia de Philoponus, que creía que era una virtud temporal que declinaría incluso en el vacío, la veía como persistente, que requería fuerzas externas como la resistencia del aire para disiparla. El trabajo de Philoponus, y posiblemente el de Ibn Sīnā, fue leído y refinado por los filósofos europeos Peter Olivi y Jean Buridan. Buridan, quien hacia 1350 fue nombrado rector de la Universidad de París, se refirió a que el ímpetu era proporcional al peso multiplicado por la velocidad. Además, la teoría de Buridan era diferente de la de su predecesor en que no consideraba que el ímpetu se disipara a sí mismo, afirmando que un cuerpo sería detenido por las fuerzas de la resistencia del aire y la gravedad que podrían oponerse a su ímpetu.

René Descartes creía que se conserva la "cantidad de movimiento" ( latín : quantitas motus) total en el universo, donde la cantidad de movimiento se entiende como el producto del tamaño y la velocidad. Esto no debe interpretarse como una afirmación de la ley moderna del momento, ya que no tenía un concepto de masa distinto del peso y el tamaño y, lo que es más importante, creía que lo que se conservaba es la velocidad y no la velocidad. Entonces, para Descartes, si un objeto en movimiento rebotara en una superficie, cambiando su dirección pero no su velocidad, no habría ningún cambio en su cantidad de movimiento. Galileo, en sus Dos nuevas ciencias, usó la palabra italiana impeto para describir de manera similar la cantidad de movimiento de Descartes.

Leibniz, en su " Discurso sobre metafísica ", dio un argumento en contra de la construcción de Descartes de la conservación de la "cantidad de movimiento" usando un ejemplo de dejar caer bloques de diferentes tamaños a diferentes distancias. Señala que la fuerza se conserva pero la cantidad de movimiento, entendida como el producto del tamaño y la velocidad de un objeto, no se conserva.

Christiaan Huygens concluyó bastante pronto que las leyes de Descartes para la colisión elástica de dos cuerpos debían ser incorrectas y formuló las leyes correctas. Un paso importante fue su reconocimiento de la invariancia galileana de los problemas. Sus opiniones tardaron muchos años en circular. Se los pasó en persona a William Brouncker y Christopher Wren en Londres, en 1661. Lo que Spinoza escribió a Henry Oldenburg sobre ellos, en 1666, que fue durante la Segunda Guerra Anglo-Holandesa, fue guardado. De hecho, Huygens las había elaborado en un manuscrito De motu corporum ex percussione en el período 1652-1652. La guerra terminó en 1667 y Huygens anunció sus resultados a la Royal Society en 1668. Los publicó en el Journal des sçavans en 1669.

El primer enunciado correcto de la ley de conservación del momento fue el matemático inglés John Wallis en su obra de 1670, Mechanica sive De Motu, Tractatus Geometricus: "el estado inicial del cuerpo, ya sea de reposo o de movimiento, persistirá" y " Si la fuerza es mayor que la resistencia, se producirá movimiento ". Wallis usó el impulso para la cantidad de movimiento y vis para la fuerza. La Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica de Newton, cuando se publicó por primera vez en 1687, mostró un análisis similar de las palabras que se utilizarían para el impulso matemático. Su Definición II define quantitas motus, "cantidad de movimiento", como "que surge de la velocidad y la cantidad de materia conjuntamente", lo que la identifica como cantidad de movimiento. Así, cuando en la Ley II se refiere a mutatio motus, "cambio de movimiento", al ser proporcional a la fuerza impresa, generalmente se le considera como momento y no movimiento. Solo quedaba asignar un término estándar a la cantidad de movimiento. El primer uso de "impulso" en su sentido matemático apropiado no está claro, pero en la época de la Miscellanea de Jennings en 1721, cinco años antes de la edición final de los Principia Mathematica de Newton, el impulso M o "cantidad de movimiento" se definía para los estudiantes como "un rectángulo", el producto de Q y V, donde Q es "cantidad de material" y V es "velocidad",s/t.

Ver también

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Referencias

Bibliografía

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enlaces externos

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