Péndulo

Este artículo trata sobre el peso suspendido de un pivote. Para la banda, vea Péndulo (banda australiana). Para otros usos, consulte Péndulo (desambiguación). El modelo de "péndulo de gravedad simple" asume que no hay fricción ni resistencia al aire.

Un péndulo es un peso suspendido de un pivote para que pueda oscilar libremente. Cuando un péndulo se desplaza lateralmente desde su posición de equilibrio de reposo, está sujeto a una fuerza restauradora debida a la gravedad que lo acelerará de regreso a la posición de equilibrio. Cuando se libera, la fuerza restauradora que actúa sobre la masa del péndulo hace que oscile alrededor de la posición de equilibrio, oscilando hacia adelante y hacia atrás. El tiempo para un ciclo completo, un swing a la izquierda y un swing a la derecha, se llama período. El período depende de la longitud del péndulo y también en un grado leve de la amplitud, el ancho de oscilación del péndulo.

Desde las primeras investigaciones científicas del péndulo alrededor de 1602 por Galileo Galilei, el movimiento regular de los péndulos se utilizó para el cronometraje y fue la tecnología de cronometraje más precisa del mundo hasta la década de 1930. El reloj de péndulo inventado por Christiaan Huygens en 1658 se convirtió en el cronometrador estándar del mundo, utilizado en hogares y oficinas durante 270 años, y alcanzó una precisión de aproximadamente un segundo por año antes de ser reemplazado como estándar de tiempo por el reloj de cuarzo en la década de 1930. Los péndulos también se utilizan en instrumentos científicos como acelerómetros y sismómetros. Históricamente se utilizaron como gravímetros para medir la aceleración de la gravedad en estudios geofísicos, e incluso como estándar de longitud. La palabra "péndulo" es nueva América, del latín pendulus, que significa 'la mano'.

• 1 péndulo de gravedad simple
• 2 Período de oscilación
• 3 péndulo compuesto
• 4 Historia
  • 4.1 1602: la investigación de Galileo
  • 4.2 1656: El reloj de péndulo
  • 4.3 1673: Horologium Oscillatorium de Huygens
  • 4.4 1721: péndulos con compensación de temperatura
  • 4.5 1851: péndulo de Foucault
  • 4.6 1930: Declive de uso
• 5 Uso para medir el tiempo
  • 5.1 Péndulos de reloj
  • 5.2 Compensación de temperatura
    • 5.2.1 Péndulo de mercurio
    • 5.2.2 Péndulo de parrilla
    • 5.2.3 Invar y cuarzo fundido
  • 5.3 Presión atmosférica
  • 5.4 Gravedad
• 6 Precisión de los péndulos como cronometradores
  • 6.1 Factor Q
  • 6.2 Escape
  • 6.3 La condición Airy
• 7 Medición de la gravedad
  • 7.1 El péndulo de los segundos
  • 7.2 Primeras observaciones
  • 7.3 Péndulo de Kater
  • 7.4 Gravímetros de péndulo posteriores
• 8 Estándar de longitud
  • 8.1 Propuestas tempranas
  • 8.2 El metro
  • 8.3 Gran Bretaña y Dinamarca
• 9 Otros usos
  • 9.1 Sismómetros
  • 9.2 Sintonización de Schuler
  • 9.3 Péndulos acoplados
  • 9.4 Práctica religiosa
  • 9.5 Educación
  • 9.6 Dispositivo de tortura
• 10 Véase también
• 11 notas
• 12 referencias
• 13 Lecturas adicionales
• 14 Enlaces externos

Péndulo de gravedad simple

El péndulo de gravedad simple es un modelo matemático idealizado de un péndulo. Este es un peso (o bob ) en el extremo de una cuerda sin masa suspendida de un pivote, sin fricción. Cuando se le da un empujón inicial, se balanceará hacia adelante y hacia atrás con una amplitud constante. Los péndulos reales están sujetos a fricción y arrastre de aire, por lo que la amplitud de sus oscilaciones disminuye.

Péndulo Animación de un péndulo que muestra las fuerzas que actúan sobre la pesa: la tensión T en la varilla y la fuerza gravitacional mg. Animación de un péndulo que muestra los vectores de velocidad y aceleración.

Periodo de oscilación

El período de un péndulo se alarga a medida que aumenta la amplitud θ 0 (ancho de oscilación). Artículo principal: Péndulo (matemáticas)

El período de oscilación de un péndulo de gravedad simple depende de su longitud, la fuerza local de la gravedad y, en pequeña medida, del ángulo máximo en el que el péndulo se aleja de la vertical, θ 0, llamado amplitud. Es independiente de la masa del bob. Si la amplitud se limita a pequeñas oscilaciones, el período T de un péndulo simple, el tiempo necesario para un ciclo completo, es:

$$T≈2π L gramo θ 0≪1  r a D I a norte(1) {\ Displaystyle T \ approx 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {L} {g}}} \ qquad \ qquad \ qquad \ theta _ {0} \ ll 1 ~ \ mathrm {radian} \ qquad (1) \,}

donde es la longitud del péndulo y es la aceleración local de la gravedad. $$

L {\ Displaystyle L}$$gramo {\ Displaystyle g}

Para oscilaciones pequeñas, el período de oscilación es aproximadamente el mismo para oscilaciones de diferentes tamaños: es decir, el período es independiente de la amplitud. Esta propiedad, llamada isocronismo, es la razón por la que los péndulos son tan útiles para el cronometraje. Las oscilaciones sucesivas del péndulo, incluso si cambian de amplitud, toman la misma cantidad de tiempo.

Para amplitudes mayores, el período aumenta gradualmente con la amplitud, por lo que es más largo que el dado por la ecuación (1). Por ejemplo, a una amplitud de θ 0 = 0,4 radianes (23 °) es un 1% más grande que la dada por (1). El período aumenta asintóticamente (hasta el infinito) cuando θ 0 se acerca a radianes (180 °), porque el valor θ 0 = es un punto de equilibrio inestable para el péndulo. El verdadero período de un péndulo de gravedad simple ideal se puede escribir en varias formas diferentes (ver Péndulo (matemáticas) ), siendo un ejemplo la serie infinita : $$

π {\ Displaystyle \ pi}$$π {\ Displaystyle \ pi}

$$T=2π L gramo [ ∑ norte = 0 ∞ ( ( 2 norte ) ! 2 2 norte ( norte ! ) 2 ) 2 pecado 2 norte ⁡ ( θ 0 2 ) ]=2π L gramo ( 1 + 1 dieciséis θ 0 2 + 11 3072 θ 0 4 + ⋯ ) {\ Displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {L} {g}}} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {\ left (2n \ derecha)!} {2 ^ {2n} \ left (n! \ right) ^ {2}}} \ right) ^ {2} \ sin ^ {2n} \ left ({\ frac {\ theta _ {0} } {2}} \ right) \ right] = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {L} {g}}} \ left (1 + {\ frac {1} {16}} \ theta _ {0} ^ {2} + {\ frac {11} {3072}} \ theta _ {0} ^ {4} + \ cdots \ right)}

donde está en radianes. $$

θ 0 {\ Displaystyle \ theta _ {0}}

La diferencia entre este período real y el período para pequeñas oscilaciones (1) anterior se denomina error circular. En el caso de un reloj de pie típico cuyo péndulo tiene una oscilación de 6 ° y, por lo tanto, una amplitud de 3 ° (0,05 radianes), la diferencia entre el período real y la aproximación de ángulo pequeño (1) asciende a unos 15 segundos por día.

Para pequeñas oscilaciones, el péndulo se aproxima a un oscilador armónico, y su movimiento en función del tiempo, t, es aproximadamente un movimiento armónico simple :

$$θ(t)= θ 0porque⁡ ( 2 π T t + φ ) {\ Displaystyle \ theta (t) = \ theta _ {0} \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {T}} \, t + \ varphi \ right) \,}

donde es un valor constante, que depende de las condiciones iniciales. $$

φ {\ Displaystyle \ varphi}

Para péndulos reales, el período varía ligeramente con factores como la flotabilidad y la resistencia viscosa del aire, la masa de la cuerda o varilla, el tamaño y la forma de la bobina y cómo se une a la cuerda, y la flexibilidad y el estiramiento de la cuerda. la cuerda. En aplicaciones de precisión, es posible que sea necesario aplicar correcciones para estos factores a la ecuación. (1) para dar el período con precisión.

Péndulo compuesto

Cualquier cuerpo rígido oscilante libre para girar alrededor de un eje horizontal fijo se llama péndulo compuesto o péndulo físico. La longitud equivalente apropiada para calcular el período de cualquier péndulo es la distancia desde el pivote hasta el centro de oscilación. Este punto está ubicado debajo del centro de masa a una distancia del pivote tradicionalmente llamado radio de oscilación, que depende de la distribución de masa del péndulo. Si la mayor parte de la masa se concentra en una sacudida relativamente pequeña en comparación con la longitud del péndulo, el centro de oscilación está cerca del centro de masa. $$

L mi q {\ Displaystyle L_ {eq} \;}

Se puede demostrar que el radio de oscilación o la longitud equivalente de cualquier péndulo físico es $$

L mi q {\ Displaystyle L_ {eq} \;}

$$ L mi q= I metro R {\ Displaystyle L_ {eq} = {\ frac {I} {mR}}}

donde es el momento de inercia del péndulo alrededor del punto de pivote, es la masa del péndulo y es la distancia entre el punto de pivote y el centro de masa. Sustituyendo esta expresión en (1) anterior, el período de un péndulo compuesto viene dado por $$

I {\ Displaystyle I \;} $$metro {\ Displaystyle m \;}$$R {\ Displaystyle R \;} $$T {\ Displaystyle T \;}

$$T=2π I metro gramo R {\ Displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {I} {mgR}}}}

para oscilaciones suficientemente pequeñas.

Por ejemplo, una varilla rígida uniforme de longitud pivotada alrededor de un extremo tiene un momento de inercia. El centro de masa está ubicado en el centro de la varilla, por lo que al sustituir estos valores en la ecuación anterior se obtiene. Esto muestra que un péndulo de varilla rígida tiene el mismo período que un péndulo simple de 2/3 de su longitud. $$

L {\ Displaystyle L \;}$$I=metro L 2 /3 {\ Displaystyle I = mL ^ {2} / 3 \;}$$R=L /2 {\ Displaystyle R = L / 2 \;}$$T=2π 2 L / 3 gramo {\ Displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {2L / 3g}} \;}

Christiaan Huygens demostró en 1673 que el punto de pivote y el centro de oscilación son intercambiables. Esto significa que si cualquier péndulo se pone boca abajo y se balancea desde un pivote ubicado en su centro de oscilación anterior, tendrá el mismo período que antes y el nuevo centro de oscilación estará en el punto de pivote anterior. En 1817, Henry Kater utilizó esta idea para producir un tipo de péndulo reversible, ahora conocido como péndulo de Kater, para mejorar las mediciones de la aceleración debida a la gravedad.

Historia

Réplica de Zhang Heng 's sismómetro. El péndulo está contenido en el interior.

Uno de los primeros usos conocidos de un péndulo fue un dispositivo sismómetro del siglo I del científico chino de la dinastía Han, Zhang Heng. Su función era balancear y activar una de una serie de palancas después de haber sido perturbada por el temblor de un terremoto lejano. Liberada por una palanca, una pequeña bola caía del dispositivo en forma de urna en una de las ocho bocas de sapo de metal que se encuentran debajo, en los ocho puntos de la brújula, lo que indica la dirección en que se ubicó el terremoto.

Muchas fuentes afirman que el astrónomo egipcio del siglo X Ibn Yunus usó un péndulo para medir el tiempo, pero este fue un error que se originó en 1684 con el historiador británico Edward Bernard.

Durante el Renacimiento, los péndulos grandes bombeados a mano se utilizaron como fuentes de energía para máquinas recíprocas manuales como sierras, fuelles y bombas. Leonardo da Vinci hizo muchos dibujos del movimiento de los péndulos, aunque sin darse cuenta de su valor para el cronometraje.

1602: la investigación de Galileo

El científico italiano Galileo Galilei fue el primero en estudiar las propiedades de los péndulos, comenzando alrededor de 1602. El primer informe existente de su investigación está contenido en una carta a Guido Ubaldo dal Monte, de Padua, fechada el 29 de noviembre de 1602. Su biógrafo y alumno, Vincenzo Viviani, afirmó que su interés se había despertado alrededor de 1582 por el movimiento oscilante de un candelabro en la catedral de Pisa. Galileo descubrió la propiedad crucial que hace que los péndulos sean útiles como cronometradores, llamada isocronismo; el período del péndulo es aproximadamente independiente de la amplitud o ancho de la oscilación. También encontró que el periodo es independiente de la masa de la lenteja, y proporcional a la raíz cuadrada de la longitud del péndulo. Primero empleó péndulos de balanceo libre en aplicaciones simples de sincronización. Su amigo médico, Santorio Santorii, inventó un dispositivo que medía el pulso de un paciente por la longitud de un péndulo; el pulsilogium. En 1641, Galileo dictó a su hijo Vincenzo un diseño para un reloj de péndulo; Vincenzo comenzó la construcción, pero no la había completado cuando murió en 1649. El péndulo fue el primer oscilador armónico utilizado por el hombre.

1656: el reloj de péndulo

El primer reloj de péndulo

En 1656, el científico holandés Christiaan Huygens construyó el primer reloj de péndulo. Esta fue una gran mejora con respecto a los relojes mecánicos existentes; su mejor precisión se mejoró de alrededor de 15 minutos de desviación al día a alrededor de 15 segundos al día. Los péndulos se extendieron por Europa a medida que los relojes existentes se modernizaron con ellos.

El científico inglés Robert Hooke estudió el péndulo cónico alrededor de 1666, que consiste en un péndulo que se balancea libremente en dos dimensiones, con la bobina girando en un círculo o elipse. Usó los movimientos de este dispositivo como modelo para analizar los movimientos orbitales de los planetas. Hooke sugirió a Isaac Newton en 1679 que los componentes del movimiento orbital consistían en un movimiento inercial a lo largo de una dirección tangente más un movimiento atractivo en la dirección radial. Esto jugó un papel en la formulación de Newton de la ley de la gravitación universal. Robert Hooke también fue responsable de sugerir ya en 1666 que el péndulo podría usarse para medir la fuerza de la gravedad.

Durante su expedición a Cayenne, Guayana Francesa en 1671, Jean Richer descubrió que un reloj de péndulo tenía 2+1 ⁄ 2 minutos por día más lento en Cayenne que en París. De esto dedujo que la fuerza de gravedad era menor en Cayena. En 1687, Isaac Newton en Principia Mathematica demostró que esto era debido a que la Tierra no era una verdadera esfera pero ligeramente achatada (aplanada en los polos) de los efectos de la fuerza centrífuga debido a su rotación, haciendo que la gravedad a aumentar con la latitud. Los péndulos portátiles comenzaron a llevarse en viajes a tierras lejanas, como gravímetros de precisiónpara medir la aceleración de la gravedad en diferentes puntos de la Tierra, lo que finalmente dio como resultado modelos precisos de la forma de la Tierra.

1673: Horologium Oscillatorium de Huygens

En 1673, 17 años después de que inventara el reloj de péndulo, Christiaan Huygens publicó su teoría del péndulo, Horologium Oscillatorium sive de motu pendulorum. Marin Mersenne y René Descartes habían descubierto alrededor de 1636 que el péndulo no era del todo isócrono; su período aumentó algo con su amplitud. Huygens analizó este problema determinando qué curva debe seguir un objeto para descender por gravedad al mismo punto en el mismo intervalo de tiempo, independientemente del punto de partida; la llamada curva tautocrona. Mediante un método complicado que fue un uso temprano del cálculo, mostró que esta curva era una cicloide, en lugar del arco circular de un péndulo, confirmando que el péndulo no era isócrono y que la observación del isocronismo de Galileo era precisa solo para pequeñas oscilaciones. Huygens también resolvió el problema de cómo calcular el período de un péndulo de forma arbitraria (llamado péndulo compuesto), descubriendo el centro de oscilación y su intercambiabilidad con el punto de pivote.

El movimiento del reloj existente, el escape de borde, hizo que los péndulos se balancearan en arcos muy amplios de aproximadamente 100 °. Huygens mostró que esto era una fuente de inexactitud, lo que hacía que el período variara con los cambios de amplitud causados ​​por pequeñas variaciones inevitables en la fuerza de impulso del reloj. Para hacer su período isócrono, Huygens montó 'chuletas' de metal con forma cicloidal junto a los pivotes de sus relojes, que restringían el cordón de suspensión y obligaban al péndulo a seguir un arco cicloide (ver péndulo cicloidal ). Esta solución no resultó tan práctica como limitar la oscilación del péndulo a pequeños ángulos de unos pocos grados. La constatación de que sólo las pequeñas oscilaciones eran isócronas motivó el desarrollo del escape del ancla alrededor de 1670, que redujo la oscilación del péndulo en los relojes a 4 ° -6 °.

1721: péndulos con compensación de temperatura

El péndulo de Foucault en 1851 fue la primera demostración de la rotación de la Tierra que no involucró observaciones celestes, y creó una "manía del péndulo". En esta animación, la tasa de precesión se exagera enormemente.

Durante los siglos XVIII y XIX, el papel del reloj de péndulo como el cronometrador más preciso motivó muchas investigaciones prácticas para mejorar los péndulos. Se encontró que una fuente importante de error fue que la varilla del péndulo se expandió y contrajo con los cambios en la temperatura ambiente, cambiando el período de oscilación. Esto se resolvió con la invención de los péndulos con compensación de temperatura, el péndulo de mercurio en 1721 y el péndulo de parrilla en 1726, reduciendo los errores en los relojes de péndulo de precisión a unos pocos segundos por semana.

La precisión de las mediciones de gravedad realizadas con péndulos se vio limitada por la dificultad de encontrar la ubicación de su centro de oscilación. Huygens había descubierto en 1673 que un péndulo tiene el mismo período cuando se cuelga de su centro de oscilación que cuando se cuelga de su pivote, y la distancia entre los dos puntos es igual a la longitud de un péndulo de gravedad simple del mismo período. En 1818, el capitán británico Henry Kater inventó el péndulo reversible de Kater que utilizaba este principio, lo que posibilitaba mediciones muy precisas de la gravedad. Durante el siglo siguiente, el péndulo reversible fue el método estándar para medir la aceleración gravitacional absoluta.

1851: péndulo de Foucault

Artículo principal: péndulo de Foucault

En 1851, Jean Bernard Léon Foucault demostró que el plano de oscilación de un péndulo, como un giroscopio, tiende a permanecer constante independientemente del movimiento del pivote, y que esto podría usarse para demostrar la rotación de la Tierra. Suspendió un péndulo libre para oscilar en dos dimensiones (más tarde llamado péndulo de Foucault ) de la cúpula del Panteón en París. La longitud del cable era de 67 m (220 pies). Una vez que el péndulo se puso en movimiento, se observó que el plano de oscilación precesaba o giraba 360 ° en el sentido de las agujas del reloj en aproximadamente 32 horas. Esta fue la primera demostración de la rotación de la Tierra que no dependía de las observaciones celestes, y estalló una "manía del péndulo", ya que los péndulos de Foucault se exhibieron en muchas ciudades y atrajeron a grandes multitudes.

1930: declive en uso

Alrededor de 1900 se empezaron a utilizar materiales de baja expansión térmica para las varillas de péndulo en los relojes y otros instrumentos de la más alta precisión, primero invar, una aleación de acero al níquel, y luego cuarzo fundido, lo que hizo que la compensación de temperatura fuera trivial. Los péndulos de precisión se alojaban en tanques de baja presión, que mantenían la presión del aire constante para evitar cambios en el período debido a cambios en la flotabilidad del péndulo debido a los cambios de presión atmosférica. Los mejores relojes de péndulo lograron una precisión de alrededor de un segundo por año.

La precisión de cronometraje del péndulo fue superada por el oscilador de cristal de cuarzo, inventado en 1921, y los relojes de cuarzo, inventados en 1927, reemplazaron a los relojes de péndulo como los mejores cronometradores del mundo. Los relojes de péndulo se utilizaron como estándares de tiempo hasta la Segunda Guerra Mundial, aunque el Servicio de Hora Francés continuó usándolos en su conjunto de tiempo estándar oficial hasta 1954. Los gravímetros de péndulo fueron reemplazados por gravímetros de "caída libre" en la década de 1950, pero los instrumentos de péndulo continuaron utilizándose en la década de 1970.

Usar para medir el tiempo

Durante 300 años, desde su descubrimiento alrededor de 1582 hasta el desarrollo del reloj de cuarzo en la década de 1930, el péndulo fue el estándar mundial para el cronometraje preciso. Además de los péndulos de reloj, los péndulos de segundos oscilantes se utilizaron ampliamente como temporizadores de precisión en experimentos científicos en los siglos XVII y XVIII. Los péndulos requieren una gran estabilidad mecánica: un cambio de longitud de solo 0.02%, 0.2 mm en un péndulo de reloj de pie, provocará un error de un minuto por semana.

Péndulos de reloj Péndulo de reloj de caja larga ( reloj de pie ) Péndulo ornamentado en un reloj Comtoise francés Péndulo de mercurio Péndulo de parrilla Péndulo de Ellicott, otro tipo de temperatura compensada Péndulo invar en tanque de baja presión en reloj regulador Riefler, utilizado como estándar de tiempo en EE. UU. Desde 1909 hasta 1929

Péndulos de reloj

Artículo principal: reloj de péndulo Péndulo y escape de ancla de un reloj de pie Animación de escape de ancla, uno de los escapes más utilizados en relojes de péndulo

Los péndulos en relojes (véase el ejemplo a la derecha) se hacen generalmente de un peso o bob (b) suspendido por una varilla de madera o metal (a). Para reducir la resistencia del aire (que representa la mayor parte de la pérdida de energía en los relojes de precisión), el bob es tradicionalmente un disco liso con una sección transversal en forma de lente, aunque en los relojes antiguos a menudo tenía tallas o decoraciones específicas para el tipo de reloj. En los relojes de calidad, la sacudida se hace tan pesada como la suspensión puede soportar y el movimiento puede conducir, ya que esto mejora la regulación del reloj (ver Precisión a continuación). Un peso común para los segundos movimientos de péndulo es de 15 libras (6,8 kg). En lugar de colgar de un pivote, los péndulos de reloj suelen estar sostenidos por un resorte recto corto (d) de cinta metálica flexible. Esto evita la fricción y el "juego" causados ​​por un pivote, y la ligera fuerza de flexión del resorte simplemente se suma a la fuerza de restauración del péndulo. Los relojes de mayor precisión tienen pivotes de hojas de "cuchillo" que descansan sobre placas de ágata. Los impulsos para mantener el péndulo oscilante son proporcionados por un brazo que cuelga detrás del péndulo llamado muleta, (e), que termina en una horquilla, (f) cuyas puntas abrazan la varilla del péndulo. La muleta es empujada hacia adelante y hacia atrás por el escape del reloj, (g, h).

Cada vez que el péndulo pasa por su posición central, suelta un diente de la rueda de escape (g). La fuerza del resorte principal del reloj o un peso impulsor que cuelga de una polea, transmitido a través del tren de engranajes del reloj, hace que la rueda gire y un diente presiona contra una de las paletas (h), dando al péndulo un pequeño empujón. Las ruedas del reloj, adaptadas a la rueda de escape, avanzan una cantidad fija con cada oscilación del péndulo, avanzando las manecillas del reloj a un ritmo constante.

El péndulo siempre tiene un medio para ajustar el período, generalmente mediante una tuerca de ajuste (c) debajo de la bobina que la mueve hacia arriba o hacia abajo en la varilla. Mover el movimiento hacia arriba disminuye la longitud del péndulo, lo que hace que el péndulo oscile más rápido y que el reloj gane tiempo. Algunos relojes de precisión tienen un pequeño peso de ajuste auxiliar en un eje roscado en la bobina, para permitir un ajuste más fino. Algunos relojes de torre y relojes de precisión usan una bandeja unida cerca del punto medio de la varilla del péndulo, a la que se pueden agregar o quitar pequeños pesos. Esto cambia efectivamente el centro de oscilación y permite ajustar la frecuencia sin detener el reloj.

El péndulo debe estar suspendido de un soporte rígido. Durante el funcionamiento, cualquier elasticidad permitirá pequeños movimientos de balanceo imperceptibles del soporte, lo que perturba el período del reloj y produce un error. Los relojes de péndulo deben fijarse firmemente a una pared resistente.

La longitud de péndulo más común en los relojes de calidad, que siempre se usa en los relojes de abuelo, es el péndulo de segundos, de aproximadamente 1 metro (39 pulgadas) de largo. En los relojes de sobremesa, se utilizan péndulos de medio segundo, de 25 cm (9,8 pulgadas) de largo o más cortos. Solo unos pocos relojes de torre grandes utilizan péndulos más largos, el péndulo de 1,5 segundos, 2,25 m (7,4 pies) de largo, u ocasionalmente el péndulo de dos segundos, 4 m (13 pies) que se utiliza en el Big Ben.

Compensación de temperatura

Péndulo de mercurio en el reloj regulador astronómico de Howard, 1887

La mayor fuente de error en los péndulos tempranos fueron los cambios leves en la longitud debido a la expansión térmica y la contracción de la varilla del péndulo con los cambios en la temperatura ambiente. Esto se descubrió cuando la gente notó que los relojes de péndulo funcionaban más lentamente en verano, hasta un minuto por semana (uno de los primeros fue Godefroy Wendelin, según informó Huygens en 1658). La expansión térmica de las varillas del péndulo fue estudiada por primera vez por Jean Picard en 1669. Un péndulo con una varilla de acero se expandirá en aproximadamente 11,3 partes por millón (ppm) con cada aumento de grado Celsius, lo que hará que pierda aproximadamente 0,27 segundos por día por cada grado Celsius. aumento de temperatura, o 9 segundos por día para un cambio de 33 ° C (59 ° F). Las varillas de madera se expanden menos, perdiendo solo unos 6 segundos por día para un cambio de 33 ° C (59 ° F), razón por la cual los relojes de calidad a menudo tenían varillas de péndulo de madera. Había que barnizar la madera para evitar la entrada de vapor de agua, porque los cambios de humedad también afectaban la longitud.

Péndulo de mercurio

El primer dispositivo para compensar este error fue el péndulo de mercurio, inventado por George Graham en 1721. El mercurio metálico líquido se expande en volumen con la temperatura. En un péndulo de mercurio, el peso del péndulo (bob) es un contenedor de mercurio. Con un aumento de temperatura, la varilla del péndulo se alarga, pero el mercurio también se expande y su nivel de superficie se eleva ligeramente en el contenedor, moviendo su centro de masa más cerca del pivote del péndulo. Al usar la altura correcta de mercurio en el recipiente, estos dos efectos se cancelarán, dejando el centro de masa del péndulo y su período sin cambios con la temperatura. Su principal desventaja era que cuando cambiaba la temperatura, la varilla alcanzaba la nueva temperatura rápidamente, pero la masa de mercurio podía tardar uno o dos días en alcanzar la nueva temperatura, lo que hacía que la velocidad se desviara durante ese tiempo. Para mejorar la acomodación térmica a menudo se usaban varios recipientes delgados, hechos de metal. Los péndulos de mercurio fueron el estándar utilizado en los relojes reguladores de precisión en el siglo XX.

Péndulo de parrilla

Diagrama de un péndulo de parrilla A: esquema exterior B: temperatura normal C: temperatura más alta Artículo principal: Péndulo de parrilla

El péndulo compensada más utilizado fue el péndulo campo de juego, inventado en 1726 por John Harrison. Consiste en varillas alternas de dos metales diferentes, uno con menor expansión térmica ( CTE ), acero, y otro con mayor expansión térmica, zinc o latón. Las varillas están conectadas por un marco, como se muestra en el dibujo de la derecha, de modo que un aumento en la longitud de las varillas de zinc empuja la bobina hacia arriba, acortando el péndulo. Con un aumento de temperatura, las varillas de acero de baja expansión alargan el péndulo, mientras que las varillas de zinc de alta expansión lo acortan. Al hacer las varillas de las longitudes correctas, la mayor expansión del zinc anula la expansión de las varillas de acero que tienen una mayor longitud combinada, y el péndulo mantiene la misma longitud con la temperatura.

Los péndulos de rejilla de zinc-acero están hechos con 5 varillas, pero la expansión térmica del latón es más cercana a la del acero, por lo que las rejillas de latón y acero generalmente requieren 9 varillas. Los péndulos de parrilla se ajustan a los cambios de temperatura más rápido que los péndulos de mercurio, pero los científicos encontraron que la fricción de las varillas que se deslizan en sus orificios en el marco hacía que los péndulos de parrilla se ajustaran en una serie de pequeños saltos. En los relojes de alta precisión, esto provocó que la frecuencia del reloj cambiara repentinamente con cada salto. Más tarde se descubrió que el zinc está sujeto a fluencia. Por estas razones, los péndulos de mercurio se utilizaron en los relojes de mayor precisión, pero las rejillas se utilizaron en los relojes reguladores de calidad.

Los péndulos de rejilla se asociaron tanto con la buena calidad que, hasta el día de hoy, muchos péndulos de reloj ordinarios tienen rejillas decorativas "falsas" que en realidad no tienen ninguna función de compensación de temperatura.

Invar y cuarzo fundido

Alrededor de 1900, se desarrollaron materiales de baja expansión térmica que podrían usarse como varillas de péndulo para hacer innecesaria la compensación de temperatura elaborada. Estos solo se usaron en algunos de los relojes de mayor precisión antes de que el péndulo se volviera obsoleto como estándar de tiempo. En 1896 Charles Édouard Guillaume inventó el níquel de acero de aleación Invar. Esto tiene un CTE de alrededor de 0,5 micropulgadas / (en ° F), lo que resulta en errores de temperatura péndulo sobre 71 ° F de sólo 1,3 segundos por día, y este error residual podría ser compensada a cero con unos pocos centímetros de aluminio bajo el péndulo bob (esto se puede ver en la imagen del reloj de Riefler arriba). Los péndulos invarianos se utilizaron por primera vez en 1898 en el reloj regulador Riefler, que alcanzó una precisión de 15 milisegundos por día. Se utilizaron resortes de suspensión de Elinvar para eliminar la variación de temperatura de la fuerza de restauración del resorte sobre el péndulo. Posteriormente se utilizó cuarzo fundido que tenía un CTE aún más bajo. Estos materiales son la elección para los péndulos modernos de alta precisión.

Presión atmosférica

El efecto del aire circundante sobre un péndulo en movimiento es complejo y requiere que la mecánica de fluidos calcule con precisión, pero para la mayoría de los propósitos, su influencia en el período puede explicarse por tres efectos:

• Según el principio de Arquímedes, el peso efectivo de la bobina se reduce por la flotabilidad del aire que desplaza, mientras que la masa ( inercia ) permanece igual, lo que reduce la aceleración del péndulo durante su oscilación y aumenta el período. Esto depende de la presión del aire y la densidad del péndulo, pero no de su forma.
• El péndulo lleva consigo una cantidad de aire mientras se balancea, y la masa de este aire aumenta la inercia del péndulo, reduciendo nuevamente la aceleración y aumentando el período. Esto depende tanto de su densidad como de su forma.
• La resistencia del aire viscoso reduce la velocidad del péndulo. Esto tiene un efecto insignificante en el período, pero disipa energía, reduciendo la amplitud. Esto reduce el factor Q del péndulo, lo que requiere una fuerza impulsora más fuerte del mecanismo del reloj para mantenerlo en movimiento, lo que provoca una mayor perturbación en el período.

Los aumentos en la presión barométrica aumentan ligeramente el período de un péndulo debido a los dos primeros efectos, en aproximadamente 0,11 segundos por día por kilopascal (0,37 segundos por día por pulgada de mercurio o 0,015 segundos por día por torr ). Los investigadores que utilizaron péndulos para medir la aceleración de la gravedad tuvieron que corregir el período de la presión del aire a la altitud de medición, calculando el período equivalente de un péndulo que oscila en el vacío. Friedrich Tiede hizo funcionar por primera vez un reloj de péndulo en un tanque de presión constante en 1865 en el Observatorio de Berlín, y en 1900 los relojes de mayor precisión se montaron en tanques que se mantenían a una presión constante para eliminar los cambios en la presión atmosférica. Alternativamente, en algunos, un pequeño mecanismo barómetro aneroide unido al péndulo compensaba este efecto.

Gravedad

Los péndulos se ven afectados por los cambios en la aceleración gravitacional, que varía hasta en un 0,5% en diferentes lugares de la Tierra, por lo que los relojes de péndulo de precisión deben recalibrarse después de un movimiento. Incluso mover un reloj de péndulo a la parte superior de un edificio alto puede hacer que pierda un tiempo mensurable debido a la reducción de la gravedad.

Precisión de los péndulos como cronometradores

Los elementos de cronometraje en todos los relojes, que incluyen péndulos, ruedas de equilibrio, los cristales de cuarzo utilizados en los relojes de cuarzo e incluso los átomos que vibran en los relojes atómicos, se denominan en física osciladores armónicos. La razón por la que se utilizan osciladores armónicos en los relojes es que vibran u oscilan a una frecuencia o período resonante específico y resisten la oscilación a otras velocidades. Sin embargo, la frecuencia de resonancia no es infinitamente 'nítida'. Alrededor de la frecuencia de resonancia hay una banda natural estrecha de frecuencias (o períodos), llamada ancho de resonancia o ancho de banda, donde oscilará el oscilador armónico. En un reloj, la frecuencia real del péndulo puede variar aleatoriamente dentro de este ancho de resonancia en respuesta a perturbaciones, pero a frecuencias fuera de esta banda, el reloj no funcionará en absoluto.

Factor Q

Un reloj de péndulo sin sincronía de Shortt, el reloj de péndulo más preciso jamás fabricado, en el museo NIST, Gaithersburg, MD, EE. UU. Mantuvo el tiempo con dos péndulos sincronizados. El péndulo maestro en el tanque de vacío (izquierda) se balanceó sin prácticamente ninguna perturbación y controló el péndulo esclavo en la caja del reloj (derecha) que realizaba las tareas de impulso y cronometraje. Su precisión fue de aproximadamente un segundo por año.

La medida de la resistencia de un oscilador armónico a las perturbaciones de su período de oscilación es un parámetro adimensional llamado factor Q igual a la frecuencia de resonancia dividida por el ancho de resonancia. Cuanto mayor sea la Q, menor será el ancho de resonancia y más constante será la frecuencia o período del oscilador para una perturbación determinada. El recíproco de Q es aproximadamente proporcional a la precisión límite que puede lograr un oscilador armónico como estándar de tiempo.

La Q está relacionada con el tiempo que tardan en extinguirse las oscilaciones de un oscilador. La Q de un péndulo se puede medir contando el número de oscilaciones necesarias para que la amplitud de la oscilación del péndulo decaiga a 1 / e = 36,8% de su oscilación inicial y multiplicando por 2 π.

En un reloj, el péndulo debe recibir impulsos del movimiento del reloj para mantenerlo en movimiento, para reemplazar la energía que el péndulo pierde por la fricción. Estos empujes, aplicados por un mecanismo llamado escape, son la principal fuente de perturbación del movimiento del péndulo. La Q es igual a 2 π veces la energía almacenada en el péndulo, dividida por la energía perdida por fricción durante cada período de oscilación, que es igual a la energía agregada por el escape en cada período. Se puede ver que cuanto menor es la fracción de energía del péndulo que se pierde por fricción, menos energía se necesita agregar, cuanto menor es la perturbación del escape, más `` independiente '' es el péndulo del mecanismo del reloj y la más constante es su período. La Q de un péndulo viene dada por:

$$Q= METRO ω Γ {\ Displaystyle Q = {\ frac {M \ omega} {\ Gamma}} \,}

donde M es la masa del péndulo, ω  = 2 π / T es la frecuencia de oscilación en radianes del péndulo y Γ es la fuerza de amortiguación por fricción sobre el péndulo por unidad de velocidad.

ω está fijado por el período del péndulo y M está limitado por la capacidad de carga y la rigidez de la suspensión. Entonces, la Q de los péndulos de reloj aumenta minimizando las pérdidas por fricción ( Γ). Los péndulos de precisión están suspendidos sobre pivotes de baja fricción que consisten en bordes de forma triangular que descansan sobre placas de ágata. Alrededor del 99% de la pérdida de energía en un péndulo que se balancea libremente se debe a la fricción del aire, por lo que montar un péndulo en un tanque de vacío puede aumentar la Q, y por lo tanto la precisión, en un factor de 100.

La Q de los péndulos varía desde varios miles en un reloj ordinario hasta varios cientos de miles para los péndulos reguladores de precisión que oscilan en el vacío. Un reloj de péndulo casero de calidad podría tener una Q de 10,000 y una precisión de 10 segundos por mes. El reloj de péndulo más preciso producido comercialmente fue el reloj de péndulo libre Shortt-Synchronome, inventado en 1921. Su péndulo maestro Invar balanceándose en un tanque de vacío tenía una Q de 110.000 y una tasa de error de alrededor de un segundo por año.

Su Q de 10 ³ -10 ⁵ es una razón por péndulos son cronometradores más precisas que las ruedas de equilibrio en los relojes, con Q alrededor de 100-300, pero menos preciso que los cristales de cuarzo en los relojes de cuarzo, con la Q de 10 ⁵ -10 ⁶.

Escape

Los péndulos (a diferencia de, por ejemplo, los cristales de cuarzo) tienen un Q lo suficientemente bajo como para que la perturbación causada por los impulsos para mantenerlos en movimiento sea generalmente el factor limitante de la precisión de su cronometraje. Por lo tanto, el diseño del escape, el mecanismo que proporciona estos impulsos, tiene un gran efecto sobre la precisión de un péndulo de reloj. Si los impulsos dados al péndulo por el escape en cada oscilación pudieran ser exactamente idénticos, la respuesta del péndulo sería idéntica y su período sería constante. Sin embargo, esto no se puede lograr; Las inevitables fluctuaciones aleatorias en la fuerza debidas a la fricción de las paletas del reloj, las variaciones de lubricación y los cambios en el par que proporciona la fuente de energía del reloj a medida que se agota, hacen que la fuerza del impulso aplicado por el escape varíe.

Si estas variaciones en la fuerza del escape provocan cambios en el ancho de oscilación del péndulo (amplitud), esto provocará cambios leves correspondientes en el período, ya que (como se discutió en la parte superior) un péndulo con una oscilación finita no es completamente isócrono. Por lo tanto, el objetivo del diseño de escape tradicional es aplicar la fuerza con el perfil adecuado y en el punto correcto del ciclo del péndulo, de modo que las variaciones de fuerza no tengan efecto sobre la amplitud del péndulo. A esto se le llama escape isócrono.

La condición Airy

Los relojeros sabían desde hacía siglos que el efecto perturbador de la fuerza motriz del escape sobre el período de un péndulo es mínimo si se da como un impulso corto cuando el péndulo pasa por su posición de equilibrio inferior. Si el impulso ocurre antes de que el péndulo llegue al fondo, durante la oscilación descendente, tendrá el efecto de acortar el período natural del péndulo, por lo que un aumento en la fuerza impulsora disminuirá el período. Si el impulso ocurre después de que el péndulo llega al fondo, durante la fase ascendente, alargará el período, por lo que un aumento en la fuerza impulsora aumentará el período del péndulo. En 1826, el astrónomo británico George Airy demostró esto; específicamente, demostró que si un péndulo es impulsado por un impulso que es simétrico con respecto a su posición de equilibrio inferior, el período del péndulo no se verá afectado por cambios en la fuerza impulsora. Los escapes más precisos, como el deadbeat, satisfacen aproximadamente esta condición.

Medida de gravedad

La presencia de la aceleración de la gravedad g en la ecuación de periodicidad (1) para un péndulo significa que la aceleración gravitacional local de la Tierra se puede calcular a partir del período de un péndulo. Por tanto, se puede utilizar un péndulo como gravímetro para medir la gravedad local, que varía en más del 0,5% en la superficie de la Tierra. El péndulo de un reloj se ve perturbado por los empujes que recibe del movimiento del reloj, por lo que se utilizaron péndulos de oscilación libre, que fueron los instrumentos estándar de gravimetría hasta la década de 1930.

La diferencia entre los péndulos de reloj y los péndulos gravimétricos es que para medir la gravedad, se debe medir la longitud y el período del péndulo. El período de oscilación libre de los péndulos se podía encontrar con gran precisión comparando su oscilación con un reloj de precisión que se había ajustado para mantener la hora correcta por el paso de las estrellas por encima. En las primeras mediciones, se suspendía un peso en una cuerda frente al péndulo del reloj y se ajustaba su longitud hasta que los dos péndulos oscilaban en sincronismo exacto. Luego se midió la longitud del cordón. A partir de la longitud y el período, g podría calcularse a partir de la ecuación (1).

El péndulo de los segundos

El péndulo de los segundos, un péndulo con un período de dos segundos, por lo que cada oscilación dura un segundo.

El péndulo de segundos, un péndulo con un período de dos segundos, por lo que cada oscilación dura un segundo, se usó ampliamente para medir la gravedad, porque su período se podía medir fácilmente comparándolo con los relojes reguladores de precisión, que todos tenían péndulos de segundos. A finales del siglo XVII, la longitud del péndulo de segundos se convirtió en la medida estándar de la fuerza de la aceleración gravitacional en un lugar. Para 1700, su longitud se había medido con precisión submilimétrica en varias ciudades de Europa. Para un péndulo de segundos, g es proporcional a su longitud:

$$gramo∝L. {\ Displaystyle g \ propto L. \,}

Primeras observaciones

• 1620: el científico británico Francis Bacon fue uno de los primeros en proponer el uso de un péndulo para medir la gravedad, sugiriendo llevar uno a una montaña para ver si la gravedad varía con la altitud.
• 1644: Incluso antes del reloj de péndulo, el sacerdote francés Marin Mersenne determinó por primera vez que la longitud del péndulo de segundos era de 39,1 pulgadas (990 mm), comparando el movimiento de un péndulo con el tiempo que tardaba un peso en caer una distancia medida. También fue el primero en descubrir la dependencia del período de la amplitud del swing.
• 1669: Jean Picard determina la longitud del péndulo de los segundos en París, utilizando una bola de cobre de 1 pulgada (25 mm) suspendida por una fibra de aloe, obteniendo 39,09 pulgadas (993 mm). También hizo los primeros experimentos sobre expansión térmica y contracción de varillas de péndulo con temperatura.
• 1672: La primera observación de que la gravedad variaba en diferentes puntos de la Tierra fue realizada en 1672 por Jean Richer, quien llevó un reloj de péndulo a Cayena, Guayana Francesa y descubrió que había perdido 2+1 ⁄ 2 minutos por día; su péndulo de segundos tuvo que ser acortado en 1+1 ⁄ 4 líneas (2,6 mm) más corto que en París, para mantener la hora correcta. En 1687 Isaac Newton en Principia Mathematica mostró esto era debido a que la Tierra tenía una ligeramente achatada forma (aplanada en los polos) causada por la fuerza centrífuga de su rotación. En latitudes más altas, la superficie estaba más cerca del centro de la Tierra, por lo que la gravedad aumentaba con la latitud. A partir de ese momento, se comenzaron a llevar péndulos a tierras lejanas para medir la gravedad, y se compilaron tablas de la longitud del péndulo de segundos en diferentes lugares de la Tierra. En 1743 Alexis Claude Clairaut creó el primer modelo hidrostático de la Tierra, el teorema de Clairaut, que permitiócalcularla elipticidad de la Tierra a partir de medidas de gravedad. Siguieron modelos progresivamente más precisos de la forma de la Tierra.
• 1687: Newton experimentó con péndulos (descritos en Principia) y descubrió que los péndulos de igual longitud con bobinas hechas de diferentes materiales tenían el mismo período, lo que demuestra que la fuerza gravitacional sobre diferentes sustancias era exactamente proporcional a su masa (inercia). Este principio, llamado principio de equivalencia, confirmado con mayor precisión en experimentos posteriores, se convirtió en la base sobre la que Albert Einstein basó su teoría general de la relatividad.

Medición de Borda amp; Cassini de 1792 de la longitud del péndulo de segundos

• 1737: el matemático francés Pierre Bouguer realizó una sofisticada serie de observaciones de péndulo en las montañas de los Andes, Perú. Usó un péndulo de cobre en forma de cono de doble punta suspendido de un hilo; la sacudida podría invertirse para eliminar los efectos de la densidad no uniforme. Calculó la longitud hasta el centro de oscilación del hilo y el bob combinados, en lugar de utilizar el centro del bob. Corrigió la expansión térmica de la varilla de medición y la presión barométrica, dando sus resultados para un péndulo que oscila en el vacío. Bouguer balanceó el mismo péndulo en tres alturas diferentes, desde el nivel del mar hasta la cima del alto altiplano peruano. La gravedad debe caer con el cuadrado inverso de la distancia desde el centro de la Tierra. Bouguer descubrió que caía más lentamente y atribuyó correctamente la gravedad "extra" al campo gravitacional de la enorme meseta peruana. A partir de la densidad de las muestras de rocas, calculó una estimación del efecto del altiplano sobre el péndulo y, comparándola con la gravedad de la Tierra, pudo hacer la primera estimación aproximada de la densidad de la Tierra.
• 1747: Daniel Bernoulli mostró cómo corregir para el alargamiento del período debido a un ángulo finito de giro θ 0 mediante el uso de la primera corrección para θ 0 ² /16, dando el periodo de un péndulo con una extremadamente pequeña oscilación.
• 1792: Para definir un péndulo estándar de longitud para su uso con el nuevo sistema métrico, en 1792 Jean-Charles de Borda y Jean-Dominique Cassini realizaron una medición precisa del péndulo de segundos en París. Usaron un 1+Bola de platino de 1 ⁄ 2 pulgadas (14 mm) suspendida por un alambre de hierro de 12 pies (3,7 m). Su principal innovación fue una técnica denominada " método de coincidencias " que permitió comparar el período de los péndulos con gran precisión. (Bouguer también había utilizado este método). Se midió el intervalo de tiempo Δ t entre los instantes recurrentes cuando los dos péndulos oscilaron en sincronismo. A partir de esto, se podría calcularla diferencia entre los períodos de los péndulos, T 1 y T 2:

$$ 1 Δ t= 1 T 1- 1 T 2 {\ Displaystyle {\ frac {1} {\ Delta t}} = {\ frac {1} {T_ {1}}} - {\ frac {1} {T_ {2}}} \,}

• 1821: Francesco Carlini hizo observaciones de péndulo en la cima del monte Cenis, Italia, a partir de las cuales, utilizando métodos similares a los de Bouguer, calculó la densidad de la Tierra. Comparó sus medidas con una estimación de la gravedad en su ubicación asumiendo que la montaña no estaba allí, calculada a partir de medidas previas del péndulo cercano al nivel del mar. Sus mediciones mostraron un "exceso" de gravedad, que asignó al efecto de la montaña. Modelando la montaña como un segmento de una esfera de 11 millas (18 km) de diámetro y 1 milla (1,6 km) de altura, a partir de muestras de rocas calculó su campo gravitacional y estimó la densidad de la Tierra en 4,39 veces la del agua. Otros cálculos posteriores de otros dieron valores de 4,77 y 4,95, lo que ilustra las incertidumbres de estos métodos geográficos.

Péndulo de Kater

Artículo principal: péndulo de Kater

Péndulo y soporte de Kater

Midiendo la gravedad con el péndulo reversible de Kater, del artículo de 1818 de Kater

Péndulo de un Kater

La precisión de las mediciones de la gravedad principios anteriores estaba limitado por la dificultad de medir la longitud del péndulo, L. L era la longitud de un péndulo de gravedad simple idealizado (descrito en la parte superior), que tiene toda su masa concentrada en un punto al final de la cuerda. En 1673, Huygens había demostrado que el período de un péndulo de barra rígida (llamado péndulo compuesto) era igual al período de un péndulo simple con una longitud igual a la distancia entre el punto de pivote y un punto llamado centro de oscilación, ubicado debajo el centro de gravedad, que depende de la distribución de masa a lo largo del péndulo. Pero no había una forma precisa de determinar el centro de oscilación en un péndulo real.

Para solucionar este problema, los primeros investigadores anteriores se aproximaron lo más posible a un péndulo simple ideal mediante el uso de una esfera de metal suspendida por un cable o cordón ligero. Si el cable era lo suficientemente ligero, el centro de oscilación estaba cerca del centro de gravedad de la bola, en su centro geométrico. Este tipo de péndulo de "bola y alambre" no era muy preciso, porque no se balanceaba como un cuerpo rígido, y la elasticidad del cable hizo que su longitud cambiara levemente a medida que el péndulo se balanceaba.

Sin embargo, Huygens también había demostrado que en cualquier péndulo, el punto de pivote y el centro de oscilación eran intercambiables. Es decir, si un péndulo se volteara y colgara de su centro de oscilación, tendría el mismo período que tenía en la posición anterior, y el antiguo punto de pivote sería el nuevo centro de oscilación.

El físico británico y capitán del ejército Henry Kater en 1817 se dio cuenta de que el principio de Huygens podía usarse para encontrar la longitud de un péndulo simple con el mismo período que un péndulo real. Si se construyera un péndulo con un segundo punto de pivote ajustable cerca de la parte inferior para que pudiera colgarse boca abajo, y el segundo pivote se ajustara hasta que los períodos en los que colgaba de ambos pivotes fueran los mismos, el segundo pivote estaría en el centro de oscilación, y la distancia entre los dos pivotes sería la longitud L de un péndulo simple con el mismo período.

Kater construyó un péndulo reversible (mostrado a la derecha) que consta de una barra de latón con dos pivotes opuestos hechos de hojas cortas triangulares de "cuchillo" (a) cerca de cada extremo. Se puede girar desde cualquier pivote, con las hojas del cuchillo apoyadas en placas de ágata. En lugar de hacer que un pivote sea ajustable, unió los pivotes a un metro de distancia y en su lugar ajustó los períodos con un peso móvil en la varilla del péndulo (b, c). En funcionamiento, el péndulo se cuelga frente a un reloj de precisión y se cronometra el período, luego se pone boca abajo y se cronometra nuevamente el período. El peso se ajusta con el tornillo de ajuste hasta que los períodos sean iguales. Luego, al poner este período y la distancia entre los pivotes en la ecuación (1) se obtiene la aceleración gravitacional g con mucha precisión.

Kater midió el tiempo de oscilación de su péndulo usando el " método de coincidencias " y midió la distancia entre los dos pivotes con un micrómetro. Después de aplicar correcciones para la amplitud finita de oscilación, la flotabilidad de la sacudida, la presión barométrica y la altitud y la temperatura, obtuvo un valor de 39.13929 pulgadas para el péndulo de segundos en Londres, en el vacío, al nivel del mar, a 62 ° F.. La mayor variación de la media de sus 12 observaciones fue de 0,00028 pulgadas, lo que representa una precisión de medición de la gravedad de 7 × 10 ⁻⁶ (7 mGal o 70 µm / s ² ). La medida de Kater se utilizó como estándar oficial de longitud de Gran Bretaña (ver más abajo) desde 1824 hasta 1855.

Los péndulos reversibles (conocidos técnicamente como péndulos "convertibles") que empleaban el principio de Kater se utilizaron para mediciones de gravedad absoluta en la década de 1930.

Gravímetros de péndulo posteriores

La mayor precisión que hizo posible el péndulo de Kater ayudó a hacer de la gravimetría una parte estándar de la geodesia. Dado que la ubicación exacta (latitud y longitud) de la 'estación' donde se realizó la medición de la gravedad era necesaria, las mediciones de la gravedad se convirtieron en parte de la topografía, y se tomaron péndulos en las grandes encuestas geodésicas del siglo XVIII, en particular la Gran Encuesta Trigonométrica de India.

Midiendo la gravedad con un péndulo invariable, Madrás, India, 1821

• Péndulos invariables: Kater introdujo la idea de medidas de gravedad relativa, para complementar las medidas absolutas hechas por un péndulo de Kater. Comparar la gravedad en dos puntos diferentes fue un proceso más fácil que medirla absolutamente por el método Kater. Todo lo que era necesario era cronometrar el período de un péndulo ordinario (pivote único) en el primer punto, luego transportar el péndulo al otro punto y cronometrar su período allí. Dado que la longitud del péndulo era constante, a partir de (1) la relación de las aceleraciones gravitacionales era igual a la inversa de la relación de los períodos al cuadrado, y no fueron necesarias mediciones de longitud de precisión. Entonces, una vez que la gravedad se había medido absolutamente en alguna estación central, por el Kater u otro método preciso, la gravedad en otros puntos se podía encontrar balanceando péndulos en la estación central y luego llevándolos a la otra ubicación y cronometrando su oscilación allí. Kater fabricó un conjunto de péndulos "invariables", con un solo pivote de filo de cuchillo, que fueron llevados a muchos países después de ser balanceados por primera vez en una estación central en el Observatorio de Kew, Reino Unido.
• Experimentos en el pozo de carbón de Airy: a partir de 1826, utilizando métodos similares a los de Bouguer, el astrónomo británico George Airy intentó determinar la densidad de la Tierra mediante mediciones de la gravedad pendular en la parte superior e inferior de una mina de carbón. La fuerza gravitacional debajo de la superficie de la Tierra disminuye en lugar de aumentar con la profundidad, porque según la ley de Gauss, la masa de la capa esférica de la corteza sobre el punto del subsuelo no contribuye a la gravedad. El experimento de 1826 fue abortado por la inundación de la mina, pero en 1854 realizó un experimento mejorado en la mina de carbón de Harton, utilizando péndulos de segundos que se balanceaban sobre placas de ágata, cronometrados por cronómetros de precisión sincronizados por un circuito eléctrico. Encontró que el péndulo inferior era más lento en 2,24 segundos por día. Esto significaba que la aceleración gravitacional en el fondo de la mina, 1250 pies debajo de la superficie, era 1 / 14,000 menos de lo que debería haber sido según la ley del cuadrado inverso; esa es la atracción de la cáscara esférica fue 1 / 14.000 de la atracción de la Tierra. A partir de muestras de roca superficial, estimó la masa de la capa esférica de la corteza y, a partir de esto, estimó que la densidad de la Tierra era 6.565 veces la del agua. Von Sterneck intentó repetir el experimento en 1882 pero encontró resultados inconsistentes.

Péndulo Repsold, 1864

• Péndulo de Repsold-Bessel: Llevaba mucho tiempo y era propenso a errores balancear repetidamente el péndulo de Kater y ajustar los pesos hasta que los períodos fueran iguales. Friedrich Bessel demostró en 1835 que esto era innecesario. Siempre que los períodos estuvieran muy próximos, la gravedad podría calcularse a partir de los dos períodos y el centro de gravedad del péndulo. Entonces, el péndulo reversible no necesitaba ser ajustable, podría ser simplemente una barra con dos pivotes. Bessel también mostró que si el péndulo se hiciera simétrico en forma alrededor de su centro, pero se ponderara internamente en un extremo, los errores debidos a la resistencia del aire se cancelarían. Además, se podría anular otro error debido al diámetro finito de los bordes de la cuchilla si se intercambiaran entre mediciones. Bessel no construyó tal péndulo, pero en 1864 Adolf Repsold, bajo contrato de la Comisión Geodésica Suiza, hizo un péndulo en este sentido. El péndulo Repsold medía unos 56 cm de largo y tenía un período de unos 3 ⁄ 4 de segundo. Fue utilizado ampliamente por agencias geodésicas europeas y con el péndulo Kater en el Survey of India. Charles Pierce y C. Defforges diseñaron péndulos similares de este tipo.

Péndulos utilizados en el gravímetro de Mendenhall, 1890

• Gravímetros Von Sterneck y Mendenhall: En 1887, el científico austrohúngaro Robert von Sterneck desarrolló un pequeño péndulo gravimétrico montado en un tanque de vacío con temperatura controlada para eliminar los efectos de la temperatura y la presión del aire. Utilizaba un "péndulo de medio segundo", que tenía un período cercano a un segundo, de unos 25 cm de largo. El péndulo era irreversible, por lo que el instrumento se utilizó para mediciones de gravedad relativa, pero su pequeño tamaño los hacía pequeños y portátiles. El período del péndulo se recogió reflejando la imagen de una chispa eléctrica creada por un cronómetro de precisión en un espejo montado en la parte superior de la varilla del péndulo. El instrumento Von Sterneck, y un instrumento similar desarrollado por Thomas C. Mendenhall de la US Coast and Geodetic Survey en 1890, se utilizaron ampliamente para estudios en la década de 1920.

El péndulo de Mendenhall era en realidad un cronometrador más preciso que los relojes de mayor precisión de la época, y como el "mejor reloj del mundo" fue utilizado por Albert A. Michelson en sus mediciones de 1924 de la velocidad de la luz en el monte Wilson, California.

• Gravímetros de péndulo doble: A partir de 1875, la creciente precisión de las mediciones del péndulo reveló otra fuente de error en los instrumentos existentes: el movimiento del péndulo provocó un ligero balanceo del soporte del trípode utilizado para sostener los péndulos portátiles, introduciendo un error. En 1875 Charles S Peirce calculó que las mediciones de la longitud del péndulo de segundos realizadas con el instrumento Repsold requerían una corrección de 0,2 mm debido a este error. En 1880 C. Defforges usó un interferómetro de Michelson para medir el balanceo del soporte de forma dinámica, y se agregaron interferómetros al aparato estándar de Mendenhall para calcular las correcciones del balanceo. Un método para prevenir este error fue sugerido por primera vez en 1877 por Hervé Faye y defendido por Peirce, Cellérier y Furtwangler: montar dos péndulos idénticos en el mismo soporte, balanceándose con la misma amplitud, 180 ° fuera de fase. El movimiento opuesto de los péndulos anularía cualquier fuerza lateral sobre el soporte. La idea se opuso debido a su complejidad, pero a principios del siglo XX, el dispositivo Von Sterneck y otros instrumentos se modificaron para balancear múltiples péndulos simultáneamente.

Péndulos de cuarzo utilizados en el gravímetro del golfo, 1929

• Gravímetro de golfo: uno de los últimos y más precisos gravímetros de péndulo fue el aparato desarrollado en 1929 por Gulf Research and Development Co. Utilizaba dos péndulos hechos de cuarzo fundido, cada uno de 10,7 pulgadas (270 mm) de longitud con un período de 0,89 segundos., balanceándose sobre pivotes de filo de cuchillo de pyrex, 180 ° fuera de fase. Se montaron en una cámara de vacío con control de temperatura y humedad permanentemente sellada. Las cargas electrostáticas parásitas de los péndulos de cuarzo tuvieron que descargarse exponiéndolos a una sal radiactiva antes de su uso. El período se detectó reflejando un haz de luz de un espejo en la parte superior del péndulo, registrado por un registrador gráfico y comparado con un oscilador de cristal de precisión calibrado contra la señal de tiempo de radio WWV. Este instrumento tenía una precisión de (0,3–0,5) × 10 ⁻⁷ (30–50 microgals o 3–5 nm / s ²). Se utilizó en la década de 1960.

Los gravímetros de péndulo relativo fueron reemplazados por el gravímetro de resorte de longitud cero más simple de LaCoste, inventado en 1934 por Lucien LaCoste. Los gravímetros de péndulo absolutos (reversibles) fueron reemplazados en la década de 1950 por gravímetros de caída libre, en los que se deja caer un peso en un tanque de vacío y su aceleración se mide con un interferómetro óptico.

Estándar de longitud

Debido a que la aceleración de la gravedad es constante en un punto dado de la Tierra, el período de un péndulo simple en un lugar determinado depende solo de su longitud. Además, la gravedad varía solo ligeramente en diferentes lugares. Casi desde el descubrimiento del péndulo hasta principios del siglo XIX, esta propiedad llevó a los científicos a sugerir el uso de un péndulo de un período determinado como estándar de longitud.

Hasta el siglo XIX, los países basaban sus sistemas de medición de longitudes en prototipos, estándares primarios de barras de metal, como el patio estándar en Gran Bretaña conservado en las Casas del Parlamento, y el toise estándar en Francia, conservado en París. Estos eran vulnerables a daños o destrucción a lo largo de los años y, debido a la dificultad de comparar prototipos, la misma unidad a menudo tenía diferentes longitudes en ciudades distantes, creando oportunidades para el fraude. Durante la Ilustración, los científicos abogaron por un estándar de longitud que se basara en alguna propiedad de la naturaleza que pudiera determinarse mediante la medición, creando un estándar universal e indestructible. El período de los péndulos se podía medir con mucha precisión midiéndolos con los relojes que establecían las estrellas. Un péndulo estándar equivalía a definir la unidad de longitud por la fuerza gravitacional de la Tierra, a todos los efectos constante, y el segundo, que estaba definido por la tasa de rotación de la Tierra, también constante. La idea era que cualquier persona, en cualquier lugar de la Tierra, podía recrear el estándar construyendo un péndulo que oscilaba con el período definido y midiendo su longitud.

Prácticamente todas las propuestas se basaban en el péndulo de segundos, en el que cada oscilación (medio período ) toma un segundo, que mide aproximadamente un metro (39 pulgadas) de largo, porque a fines del siglo XVII se había convertido en un estándar para medir la gravedad (ver sección previa). En el siglo XVIII, su longitud se había medido con precisión submilimétrica en varias ciudades de Europa y de todo el mundo.

La atracción inicial del estándar de longitud del péndulo fue que se creía (por los primeros científicos como Huygens y Wren) que la gravedad era constante sobre la superficie de la Tierra, por lo que un péndulo dado tenía el mismo período en cualquier punto de la Tierra. Por tanto, la longitud del péndulo estándar podría medirse en cualquier lugar y no estaría vinculada a ninguna nación o región determinada; sería un estándar mundial verdaderamente democrático. Aunque Richer descubrió en 1672 que la gravedad varía en diferentes puntos del globo, la idea de un estándar de longitud de péndulo siguió siendo popular, porque se descubrió que la gravedad solo varía con la latitud. La aceleración gravitacional aumenta suavemente desde el ecuador hasta los polos, debido a la forma achatada de la Tierra, por lo que en cualquier latitud dada (línea este-oeste), la gravedad era lo suficientemente constante como para que la longitud de un péndulo de segundos fuera la misma dentro de la capacidad de medición. del siglo XVIII. Por tanto, la unidad de longitud podría definirse en una latitud determinada y medirse en cualquier punto a lo largo de esa latitud. Por ejemplo, un péndulo estándar definido a 45 ° de latitud norte, una opción popular, podría medirse en partes de Francia, Italia, Croacia, Serbia, Rumania, Rusia, Kazajstán, China, Mongolia, Estados Unidos y Canadá. Además, podría recrearse en cualquier lugar en el que se haya medido con precisión la aceleración gravitacional.

A mediados del siglo XIX, las mediciones de péndulo cada vez más precisas de Edward Sabine y Thomas Young revelaron que la gravedad, y por lo tanto la longitud de cualquier patrón de péndulo, variaba considerablemente con características geológicas locales como montañas y densas rocas subterráneas. Por lo tanto, se tuvo que definir un estándar de longitud de péndulo en un solo punto de la Tierra y solo se podía medir allí. Esto quitó gran parte del atractivo del concepto y se abandonaron los esfuerzos para adoptar estándares de péndulo.

Propuestas tempranas

Uno de los primeros en sugerir definir la longitud con un péndulo fue el científico flamenco Isaac Beeckman, quien en 1631 recomendó hacer del péndulo de segundos "la medida invariable para todas las personas en todo momento y en todos los lugares". Marin Mersenne, el primero que mide el péndulo segundo en 1644, también sugirió. La primera propuesta oficial para un patrón de péndulo fue hecha por la Royal Society británica en 1660, defendida por Christiaan Huygens y Ole Rømer, basándose en el trabajo de Mersenne, y Huygens en Horologium Oscillatorium propuso un "pie horario" definido como 1/3 del péndulo de segundos. Christopher Wren fue otro de los primeros partidarios. La idea de un péndulo estándar de longitud debe haber sido familiar para la gente ya en 1663, porque Samuel Butler la satiriza en Hudibras :

Sobre el banco los manejaré

Que la vibración de este péndulo

Hará todas las yardas de Taylor de una

Opinión unánime

En 1671, Jean Picard propuso un "pie universal" definido por un péndulo en su influyente Mesure de la Terre. Gabriel Mouton, alrededor de 1670, sugirió definir el toise por un péndulo de segundos o un minuto de grado terrestre. Un plan para un sistema completo de unidades basado en el péndulo fue propuesto en 1675 por el erudito italiano Tito Livio Burratini. En Francia, en 1747, el geógrafo Charles Marie de la Condamine propuso definir la longitud mediante un péndulo de segundos en el ecuador; ya que en esta ubicación la oscilación de un péndulo no sería distorsionada por la rotación de la Tierra. James Steuart (1780) y George Skene Keith también fueron partidarios.

A fines del siglo XVIII, cuando muchas naciones estaban reformando sus sistemas de peso y medida, el péndulo de segundos fue la opción principal para una nueva definición de longitud, defendida por científicos prominentes en varias naciones importantes. En 1790, el entonces secretario de Estado de los Estados Unidos, Thomas Jefferson, propuso al Congreso un 'sistema métrico' decimalizado integral de los Estados Unidos basado en el péndulo de segundos a 38 ° de latitud norte, la latitud media de los Estados Unidos. No se tomó ninguna medida sobre esta propuesta. En Gran Bretaña, el principal defensor del péndulo fue el político John Riggs Miller. Cuando sus esfuerzos por promover un sistema métrico conjunto británico-franco-estadounidense fracasaron en 1790, propuso un sistema británico basado en la longitud del péndulo de segundos en Londres. Esta norma fue adoptada en 1824 (abajo).

El metro

En las discusiones que llevaron a la adopción francesa del sistema métrico en 1791, el principal candidato para la definición de la nueva unidad de longitud, el metro, fue el péndulo de segundos a 45 ° de latitud norte. Fue defendido por un grupo liderado por el político francés Talleyrand y el matemático Antoine Nicolas Caritat de Condorcet. Esta fue una de las tres opciones finales consideradas por el comité de la Academia de Ciencias de Francia. Sin embargo, el 19 de marzo de 1791, el comité optó por basar el metro en la longitud del meridiano a través de París. Se rechazó una definición de péndulo debido a su variabilidad en diferentes ubicaciones y porque definía la longitud por una unidad de tiempo. (Sin embargo, desde 1983 el metro se ha definido oficialmente en términos de la longitud del segundo y la velocidad de la luz). Una posible razón adicional es que la radical Academia francesa no quiso basar su nuevo sistema en el segundo, un Unidad tradicional y no decimal del Antiguo Régimen.

Aunque no está definida por el péndulo, la longitud final elegida para el metro, 10 ⁻⁷ del arco del meridiano del polo al ecuador, estaba muy cerca de la longitud del péndulo de segundos (0,9937 m), dentro del 0,63%. Aunque en ese momento no se dio ninguna razón para esta elección en particular, probablemente fue para facilitar el uso del péndulo de segundos como patrón secundario, como se propuso en el documento oficial. De modo que la unidad de longitud estándar del mundo moderno está ciertamente estrechamente vinculada históricamente con el péndulo de los segundos.

Gran Bretaña y Dinamarca

Gran Bretaña y Dinamarca parecen ser las únicas naciones que (por un corto tiempo) basaron sus unidades de longitud en el péndulo. En 1821, la pulgada danesa se definió como 1/38 de la longitud del péndulo de segundos solares medios a 45 ° de latitud en el meridiano de Skagen, al nivel del mar, en el vacío. El parlamento británico aprobó la Ley de Pesos y Medidas Imperiales en 1824, una reforma del sistema estándar británico que declaraba que si se destruía el patio estándar prototipo, se recuperaría definiendo la pulgada para que la longitud del péndulo de segundos solares en Londres, al nivel del mar, en el vacío, a 62 ° F era 39.1393 pulgadas. Esto también se convirtió en el estándar de EE. UU., Ya que en ese momento EE. UU. Usaba medidas británicas. Sin embargo, cuando el patio del prototipo se perdió en el incendio de las Casas del Parlamento de 1834, resultó imposible recrearlo con precisión a partir de la definición del péndulo, y en 1855 Gran Bretaña derogó el estándar del péndulo y volvió a los estándares del prototipo.

Otros usos

Sismómetros

Un péndulo en el que la varilla no es vertical sino casi horizontal se utilizó en los primeros sismómetros para medir los temblores de la Tierra. La sacudida del péndulo no se mueve cuando lo hace su montaje, y la diferencia en los movimientos se registra en una tabla de batería.

Afinación Schuler

Artículo principal: afinación Schuler

Como lo explicó por primera vez Maximilian Schuler en un artículo de 1923, un péndulo cuyo período es exactamente igual al período orbital de un satélite hipotético que orbita justo encima de la superficie de la Tierra (unos 84 minutos) tenderá a permanecer apuntando al centro de la Tierra cuando su el apoyo se desplaza repentinamente. Este principio, llamado ajuste de Schuler, se utiliza en sistemas de guía inercial en barcos y aviones que operan en la superficie de la Tierra. No se utiliza un péndulo físico, pero el sistema de control que mantiene estable la plataforma inercial que contiene los giroscopios se modifica para que el dispositivo actúe como si estuviera sujeto a dicho péndulo, manteniendo la plataforma siempre mirando hacia abajo mientras el vehículo se mueve sobre la superficie curva de la tierra.

Péndulos acoplados

Dos péndulos con el mismo período acoplados suspendiéndolos de una cuerda de soporte común. La oscilación se alterna entre los dos. Repetición del experimento de Huygens que muestra la sincronización de dos relojes

En 1665 Huygens hizo una observación curiosa sobre los relojes de péndulo. Se habían colocado dos relojes en su repisa y notó que habían adquirido un movimiento opuesto. Es decir, sus péndulos latían al unísono pero en la dirección opuesta; 180 ° fuera de fase. Independientemente de cómo se iniciaron los dos relojes, se encontró que eventualmente volver a este estado, con lo que la observación primero registrado de un oscilador acoplado.

La causa de este comportamiento fue que los dos péndulos se afectaban entre sí mediante leves movimientos de la repisa de soporte. Este proceso se denomina arrastre o bloqueo de modo en física y se observa en otros osciladores acoplados. Los péndulos sincronizados se han utilizado en relojes y se utilizaron ampliamente en gravímetros a principios del siglo XX. Aunque Huygens solo observó sincronización fuera de fase, investigaciones recientes han demostrado la existencia de sincronización en fase, así como estados de "muerte" en los que uno o ambos relojes se detienen.

Práctica religiosa

Péndulo en la Catedral Metropolitana, Ciudad de México.

El movimiento pendular también aparece en las ceremonias religiosas. El incensario oscilante llamado incensario, también conocido como incensario, es un ejemplo de péndulo. Los péndulos también se ven en muchas reuniones en el este de México, donde marcan el cambio de las mareas en el día en que las mareas están en su punto más alto. Ver también péndulos para adivinación y radiestesia.

Educación

Los péndulos se utilizan ampliamente en la educación científica como un ejemplo de oscilador armónico, para enseñar dinámica y movimiento oscilatorio. Un uso es demostrar la ley de conservación de la energía. Un objeto pesado, como una bola de boliche o una bola de demolición, está sujeto a una cuerda. Luego, el peso se mueve a unas pocas pulgadas de la cara de un voluntario, luego se suelta y se deja balancear y regresar. En la mayoría de los casos, el peso invierte la dirección y luego vuelve a (casi) la misma posición que la ubicación de liberación original, es decir, a una pequeña distancia de la cara del voluntario, lo que deja al voluntario ileso. En ocasiones, el voluntario se lesiona si el voluntario no se detiene o el péndulo se suelta inicialmente con un empujón (de modo que cuando regresa supera la posición de liberación).

Dispositivo de tortura

Se afirma que el péndulo fue utilizado como instrumento de tortura y ejecución por la Inquisición española en el siglo XVIII. La acusación está contenida en el libro de 1826 La historia de la Inquisición de España del sacerdote, historiador y activista liberal español Juan Antonio Llorente. Un péndulo oscilante cuyo filo es la hoja de un cuchillo desciende lentamente hacia un prisionero atado hasta que le corta el cuerpo. Este método de tortura llegó a la conciencia popular a través del cuento de 1842 " El pozo y el péndulo " del autor estadounidense Edgar Allan Poe, pero existe un considerable escepticismo de que realmente se haya utilizado.

La mayoría de las fuentes informadas se muestran escépticas de que esta tortura se haya utilizado alguna vez. La única evidencia de su uso es un párrafo en el prefacio de la Historia de Llorente de 1826, que relata un relato de segunda mano de un solo prisionero liberado del calabozo de la Inquisición en Madrid en 1820, quien supuestamente describió el método de tortura del péndulo. Fuentes modernas señalan que debido a la advertencia de Jesús contra el derramamiento de sangre, a los inquisidores solo se les permitió usar métodos de tortura que no derramaran sangre, y el método del péndulo habría violado esta restricción. Una teoría es que Llorente entendió mal el relato que escuchó; el prisionero en realidad se refería a otra tortura común de la Inquisición, el strappado (garrucha), en el que el prisionero tiene las manos atadas a la espalda y es izado del suelo con una cuerda atada a sus manos. Este método también se conoce como "péndulo". La popular historia de terror de Poe y la conciencia pública de los otros métodos brutales de la Inquisición han mantenido vivo el mito de este elaborado método de tortura.

Ver también

• Péndulo de Rayleigh-Lorentz
• Péndulos de Barton
• Péndulo de Blackburn
• Péndulo cónico
• Péndulo cicloidal
• Péndulo de Doubochinski
• Péndulo doble
• Péndulo doble invertido
• Péndulo de foucault
• Péndulo de furuta
• Péndulo de parrilla
• Péndulo de rueda de inercia
• Péndulo invertido
• Armonógrafo (también conocido como "péndulo de Lissajous")
• Péndulo de Kapitza
• Péndulo de Kater
• Metrónomo
• Péndulo N
• Péndulo (matemáticas)
• Relój de péndulo
• Falacia del cohete péndulo
• Péndulo cuántico
• Péndulo de segundos
• Movimiento armónico simple
• Péndulo esférico
• Péndulo de primavera
• Péndulo de torsión

Notas

El valor de g reflejado por el período de un péndulo varía de un lugar a otro. La fuerza gravitacional varía con la distancia desde el centro de la Tierra, es decir, con la altitud, o debido a que la forma de la Tierra es achatada, g varía con la latitud. Una causa más importante de esta reducción de g en el ecuador es que el ecuador gira a una revolución por día, por lo que la aceleración de la fuerza gravitacional se cancela parcialmente allí por la fuerza centrífuga.

Referencias

Otras lecturas

• GL Baker y JA Blackburn (2009). El péndulo: un estudio de caso en física (Oxford University Press).
• M. Gitterman (2010). El péndulo caótico (World Scientific).
• Michael R. Matthews, Arthur Stinner, Colin F. Gauld (2005) El péndulo: perspectivas científicas, históricas, filosóficas y educativas, Springer
• Matthews, Michael R.; Gauld, Colin; Stinner, Arthur (2005). "El péndulo: su lugar en la ciencia, la cultura y la pedagogía". Ciencia y Educación. 13 (4/5): 261–277. Código Bibliográfico : 2004Sc amp; Ed..13..261M. doi : 10.1023 / b: sced.0000041867.60452.18. S2CID   195221704.
• Schlomo Silbermann, (2014) "Péndulo fundamental; El camino de ninguna parte" (Libro)
• Matthys, Robert J. (2004). Relojes de péndulo precisos. Reino Unido: Oxford Univ. Presionar. ISBN   978-0-19-852971-2.
• Nelson, Robert; MG Olsson (febrero de 1986). "El péndulo - Física rica de un sistema simple". Revista estadounidense de física. 54 (2): 112–121. Código Bibliográfico : 1986AmJPh..54..112N. doi : 10.1119 / 1.14703.
• LP Pook (2011). Comprensión de los péndulos: una breve introducción (Springer).

enlaces externos

Medios relacionados con péndulos en Wikimedia Commons