Pi

Este artículo trata sobre la constante matemática. Para la letra griega, vea Pi (letra). Para otros usos, consulte Pi (desambiguación).

Parte de una serie de artículos sobre la
constante matemática π
3.14159 26535 89793 23846 26433...
Usos
Área de un círculo Circunferencia Usar en otras fórmulas
Propiedades
Irracionalidad Trascendencia
Valor
Menos de 22/7 Aproximaciones Memorización
Gente
Arquímedes Liu Hui Zu Chongzhi Aryabhata Madhava Ludolph van Ceulen Seki Takakazu Takebe Kenko William Jones John Machin William Shanks Srinivasa Ramanujan John Wrench Hermanos Chudnovsky Yasumasa Kanada
Historia
Cronología Libro
En cultura
Legislación Día de Pi
Temas relacionados
Cuadrando el circulo Problema de Basilea Seis nueves en π Otros temas relacionados con π
v t mi

El número π ( / p aɪ / ; escrito como " pi ") es una constante matemática, aproximadamente igual a 3,14159. Se define en la geometría euclidiana como la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, y también tiene varias definiciones equivalentes. El número aparece en muchas fórmulas en todas las áreas de las matemáticas y la física. El primer uso conocido de la letra griega π para representar la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro fue realizado por el matemático galés William Jones en 1706. También se la conoce como constante de Arquímedes.

Al ser un número irracional, π no se puede expresar como una fracción común, aunque fracciones como22/7se utilizan comúnmente para aproximarlo. De manera equivalente, su representación decimal nunca termina y nunca se establece en un patrón que se repite permanentemente. Sus dígitos decimales (u otra base ) parecen estar distribuidos aleatoriamente y se supone que satisfacen un tipo específico de aleatoriedad estadística.

Se sabe que π es un número trascendental : no es la raíz de ningún polinomio con coeficientes racionales. La trascendencia de π implica que es imposible resolver el antiguo desafío de cuadrar el círculo con brújula y regla.

Las civilizaciones antiguas, incluidos los egipcios y babilonios, requerían aproximaciones bastante precisas de π para cálculos prácticos. Alrededor del 250 a. C., el matemático griego Arquímedes creó un algoritmo para aproximar π con precisión arbitraria. En el siglo V d.C., las matemáticas chinas se aproximaban a π a siete dígitos, mientras que las matemáticas indias realizaban una aproximación de cinco dígitos, ambas usando técnicas geométricas. La primera fórmula computacional para π, basada en series infinitas, se descubrió un milenio después, cuando la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala descubrió la serie Madhava-Leibniz, documentada en el Yuktibhāṣā, escrito alrededor de 1530.

La invención del cálculo pronto condujo al cálculo de cientos de dígitos de π, suficiente para todos los cálculos científicos prácticos. Sin embargo, en los siglos XX y XXI, matemáticos e informáticos han seguido nuevos enfoques que, cuando se combinan con un poder computacional creciente, extendieron la representación decimal de π a muchos billones de dígitos. La motivación principal de estos cálculos es como un caso de prueba para desarrollar algoritmos eficientes para calcular series numéricas, así como la búsqueda de batir récords. Los extensos cálculos involucrados también se han utilizado para probar supercomputadoras y algoritmos de multiplicación de alta precisión.

Debido a que su definición más elemental se relaciona con el círculo, π se encuentra en muchas fórmulas de trigonometría y geometría, especialmente aquellas relacionadas con círculos, elipses y esferas. En el análisis matemático más moderno, el número se define en cambio utilizando las propiedades espectrales del sistema numérico real, como un valor propio o un período, sin ninguna referencia a la geometría. Aparece, por tanto, en áreas de las matemáticas y las ciencias que poco tienen que ver con la geometría de los círculos, como la teoría de números y la estadística, así como en casi todas las áreas de la física. La ubicuidad de π lo convierte en una de las constantes matemáticas más conocidas, tanto dentro como fuera de la comunidad científica. Se han publicado varios libros dedicados a π, y los cálculos de los dígitos de π que establecen récords a menudo dan como resultado titulares de noticias.

• 1 Fundamentos
  • 1.1 Nombre
  • 1.2 Definición
  • 1.3 Irracionalidad y normalidad
  • 1.4 Trascendencia
  • 1.5 Fracciones continuas
  • 1.6 Valor aproximado y dígitos
  • 1.7 Números complejos e identidad de Euler
• 2 Historia
  • 2.1 Antigüedad
  • 2.2 Era de aproximación de polígonos
  • 2.3 Serie infinita
    • 2.3.1 Tasa de convergencia
  • 2.4 Irracionalidad y trascendencia
  • 2.5 Adopción del símbolo π
• 3 Búsqueda moderna de más dígitos
  • 3.1 Era informática y algoritmos iterativos
  • 3.2 Motivos para calcular π
  • 3.3 Series rápidamente convergentes
  • 3.4 métodos de Monte Carlo
  • 3.5 Algoritmos de espiga
• 4 Papel y caracterizaciones en matemáticas
  • 4.1 Geometría y trigonometría
  • 4.2 Valores propios
  • 4.3 Desigualdades
  • 4.4 Transformada de Fourier y principio de incertidumbre de Heisenberg
  • 4.5 integrales gaussianas
  • 4.6 Geometría proyectiva
  • 4.7 Topología
  • 4.8 Cálculo vectorial
  • 4.9 Fórmula integral de Cauchy
  • 4.10 La función gamma y la aproximación de Stirling
  • 4.11 Teoría de números y función zeta de Riemann
  • 4.12 Serie de Fourier
  • 4.13 Formas modulares y funciones theta
  • 4.14 Distribución de Cauchy y teoría del potencial
  • 4.15 Dinámica compleja
• 5 Fuera de las matemáticas
  • 5.1 Describir fenómenos físicos
  • 5.2 Memorización de dígitos
  • 5.3 En la cultura popular
  • 5.4 En la cultura informática
• 6 Véase también
• 7 referencias
  • 7.1 Notas
  • 7.2 Citas
  • 7.3 Fuentes
  • 7.4 Más lecturas
• 8 Enlaces externos

Fundamentos

Nombre

El símbolo utilizado por los matemáticos para representar la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro es la letra griega minúscula π, a veces escrita como pi, y derivada de la primera letra de la palabra griega perimetros, que significa circunferencia. En inglés, π se pronuncia como "pie" ( / p aɪ / PY ). En el uso matemático, la letra minúscula π se distingue de su contraparte ampliada y en mayúscula Π, que denota un producto de una secuencia, análoga a cómo Σ denota la suma.

La elección del símbolo π se analiza en la sección Adopción del símbolo π.

Definición

La circunferencia de un círculo es un poco más de tres veces más larga que su diámetro. La razón exacta se llama π.

π se define comúnmente como la relación entre la circunferencia C de un círculo y su diámetro d:

$$π= C D. {\ Displaystyle \ pi = {\ frac {C} {d}}.}

La relación C / d es constante, independientemente del tamaño del círculo. Por ejemplo, si un círculo tiene el doble de diámetro que otro círculo, también tendrá el doble de circunferencia, conservando la relación C / d. Esta definición de π utiliza implícitamente la geometría plana (euclidiana) ; aunque la noción de círculo puede extenderse a cualquier geometría curva (no euclidiana), estos nuevos círculos ya no satisfarán la fórmula π = C / d.

Aquí, la circunferencia de un círculo es la longitud del arco alrededor del perímetro del círculo, una cantidad que se puede definir formalmente independientemente de la geometría usando límites, un concepto en cálculo. Por ejemplo, se puede calcular directamente la longitud del arco de la mitad superior del círculo unitario, dada en coordenadas cartesianas por la ecuación x ² + y ² = 1, como la integral :

$$π= ∫ - 1 1 D X 1 - X 2. {\ Displaystyle \ pi = \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {dx} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}.}

Una integral como esta fue adoptada como la definición de π por Karl Weierstrass, quien la definió directamente como una integral en 1841.

La integración ya no se usa comúnmente en una primera definición analítica porque, como explica Remmert 2012, el cálculo diferencial típicamente precede al cálculo integral en el currículo universitario, por lo que es deseable tener una definición de π que no se base en este último. Una de esas definiciones, debida a Richard Baltzer y popularizada por Edmund Landau, es la siguiente: π es el doble del número positivo más pequeño en el que la función coseno es igual a 0. El coseno se puede definir independientemente de la geometría como una serie de potencias o como la solución. de una ecuación diferencial.

En un espíritu similar, π se puede definir usando propiedades del exponencial complejo, exp z, de una variable compleja z. Al igual que el coseno, el exponencial complejo se puede definir de varias formas. El conjunto de números complejos en los que exp z es igual a uno es entonces una progresión aritmética (imaginaria) de la forma:

$${...,-2πI,0,2πI,4πI,...}={2πkI∣k∈ Z} {\ Displaystyle \ {\ dots, -2 \ pi i, 0,2 \ pi i, 4 \ pi i, \ dots \} = \ {2 \ pi ki \ mid k \ in \ mathbb {Z} \}}

y hay un número real positivo único π con esta propiedad.

Una variación más abstracta de la misma idea, haciendo uso de conceptos matemáticos sofisticados de topología y álgebra, es el siguiente teorema: hay un isomorfismo continuo único ( hasta automorfismo ) del grupo R / Z de números reales bajo suma módulo entero ( el grupo circular ), en el grupo multiplicativo de números complejos de valor absoluto uno. El número π se define entonces como la mitad de la magnitud de la derivada de este homomorfismo.

Irracionalidad y normalidad

π es un número irracional, lo que significa que no se puede escribir como la razón de dos números enteros. Fracciones como22/7 y 355/113se usan comúnmente para aproximar π, pero ninguna fracción común (proporción de números enteros) puede ser su valor exacto. Debido a que π es irracional, tiene un número infinito de dígitos en su representación decimal y no se asienta en un patrón de dígitos que se repite infinitamente. Hay varias pruebas de que π es irracional ; generalmente requieren cálculo y se basan en la técnica de reducción ad absurdum. El grado en que π puede aproximarse mediante números racionales (llamado la medida de irracionalidad ) no se conoce con precisión; estimaciones han demostrado que la medida irracionalidad es mayor que la medida de correo o ln 2 pero menor que la medida de los números de Liouville.

Los dígitos de π no tienen un patrón aparente y han pasado las pruebas de aleatoriedad estadística, incluidas las pruebas de normalidad ; un número de longitud infinita se llama normal cuando todas las posibles secuencias de dígitos (de cualquier longitud dada) aparecen con la misma frecuencia. La conjetura de que π es normal no ha sido probada ni refutada.

Desde la llegada de las computadoras, ha estado disponible una gran cantidad de dígitos de π para realizar análisis estadísticos. Yasumasa Kanada ha realizado análisis estadísticos detallados sobre los dígitos decimales de π y los encontró consistentes con la normalidad; por ejemplo, las frecuencias de los diez dígitos del 0 al 9 se sometieron a pruebas de significación estadística y no se encontró evidencia de un patrón. Cualquier secuencia aleatoria de dígitos contiene subsecuencias arbitrariamente largas que parecen no aleatorias, según el teorema del mono infinito. Por lo tanto, debido a que la secuencia de dígitos de π pasa las pruebas estadísticas de aleatoriedad, contiene algunas secuencias de dígitos que pueden parecer no aleatorias, como una secuencia de seis nueve consecutivos que comienza en el lugar decimal 762 de la representación decimal de π.. Esto también se llama el "punto de Feynman" en el folclore matemático, en honor a Richard Feynman, aunque no se conoce ninguna conexión con Feynman.

Trascendencia

Ver también: teorema de Lindemann-Weierstrass Debido a que π es un número trascendental, no es posible elevar el círculo al cuadrado en un número finito de pasos utilizando las herramientas clásicas del compás y la regla no graduada.

Además de ser irracional, π también es un número trascendental, lo que significa que no es la solución de ninguna ecuación polinomial no constante con coeficientes racionales, comox ⁵/120 - x ³/6+ x = 0.

La trascendencia de π tiene dos consecuencias importantes: Primero, π no se puede expresar usando ninguna combinación finita de números racionales y raíces cuadradas o raíces n -ésimas (como ³ √ 31 o √ 10). En segundo lugar, dado que no se puede construir ningún número trascendental con compás y regla, no es posible " cuadrar el círculo ". En otras palabras, es imposible construir, usando solo el compás y la regla, un cuadrado cuya área sea exactamente igual al área de un círculo dado. La cuadratura de un círculo fue uno de los problemas geométricos importantes de la antigüedad clásica. Los matemáticos aficionados en los tiempos modernos a veces han intentado cuadrar el círculo y reclamar el éxito, a pesar de que es matemáticamente imposible.

Fracciones continuas

La constante π está representada en este mosaico fuera del Edificio de Matemáticas de la Universidad Técnica de Berlín.

Como todos los números irracionales, π no se puede representar como una fracción común (también conocida como fracción simple o vulgar ), por la definición misma de número irracional (es decir, no un número racional). Pero cada número irracional, incluido π, se puede representar mediante una serie infinita de fracciones anidadas, llamadas fracción continua :

$$π=3+ 1 7 + 1 15 + 1 1 + 1 292 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ⋱ {\ Displaystyle \ pi = 3 + \ textstyle {\ cfrac {1} {7+ \ textstyle {\ cfrac {1} {15+ \ textstyle {\ cfrac {1} {1+ \ textstyle {\ cfrac {1} { 292+ \ textstyle {\ cfrac {1} {1+ \ textstyle {\ cfrac {1} {1+ \ textstyle {\ cfrac {1} {1+ \ ddots}}}}}}}}}}}}} }}

Truncar la fracción continua en cualquier punto produce una aproximación racional para π ; los primeros cuatro son 3, 22/7, 333/106 y 355/113. Estos números se encuentran entre las aproximaciones históricas más conocidas y más utilizadas de la constante. Cada aproximación generada de esta manera es la mejor aproximación racional; es decir, cada uno está más cerca de π que cualquier otra fracción con el mismo denominador o uno menor. Debido a que se sabe que π es trascendental, por definición no es algebraico y, por lo tanto, no puede ser un irracional cuadrático. Por lo tanto, π no puede tener una fracción continua periódica. Aunque la fracción continua simple para π (que se muestra arriba) tampoco muestra ningún otro patrón obvio, los matemáticos han descubierto varias fracciones continuas generalizadas que sí lo hacen, como:

$$ π = 4 1 + 1 2 2 + 3 2 2 + 5 2 2 + 7 2 2 + 9 2 2 + ⋱ = 3 + 1 2 6 + 3 2 6 + 5 2 6 + 7 2 6 + 9 2 6 + ⋱ = 4 1 + 1 2 3 + 2 2 5 + 3 2 7 + 4 2 9 + ⋱ {\ displaystyle {\ begin {alineado} \ pi amp; = \ textstyle {\ cfrac {4} {1+ \ textstyle {\ cfrac {1 ^ {2}} {2+ \ textstyle {\ cfrac {3 ^ {2} " } {2+ \ textstyle {\ cfrac {5 ^ {2}} {2+ \ textstyle {\ cfrac {7 ^ {2}} {2+ \ textstyle {\ cfrac {9 ^ {2}} {2+ \ ddots}}}}}}}}}}}} = 3+ \ textstyle {\ cfrac {1 ^ {2}} {6+ \ textstyle {\ cfrac {3 ^ {2}} {6+ \ textstyle {\ cfrac {5 ^ {2}} {6+ \ textstyle {\ cfrac {7 ^ {2}} {6+ \ textstyle {\ cfrac {9 ^ {2}} {6+ \ ddots}}}}}}} }}} \\ [8pt] amp; = \ textstyle {\ cfrac {4} {1+ \ textstyle {\ cfrac {1 ^ {2}} {3+ \ textstyle {\ cfrac {2 ^ {2}} {5 + \ textstyle {\ cfrac {3 ^ {2}} {7+ \ textstyle {\ cfrac {4 ^ {2}} {9+ \ ddots}}}}}}}}}} \ end {alineado}}}

Valor aproximado y dígitos

Algunas aproximaciones de pi incluyen:

• Enteros: 3
• Fracciones: las fracciones aproximadas incluyen (en orden de precisión creciente)22/7, 333/106, 355/113, 52163/16604, 103993/33102, 104348/33215, y 245850922/78256779. (La lista incluye términos seleccionados de OEIS :  A063674 y OEIS :  A063673. )
• Dígitos: Los primeros 50 dígitos decimales son 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510... (ver OEIS :  A000796 )

Dígitos en otros sistemas numéricos

• Los primeros 48 dígitos binarios ( base 2) (llamados bits ) son 11.0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011... (ver OEIS :  A004601 )
• Los primeros 20 dígitos en hexadecimal (base 16) son 3.243F 6A88 85A3 08D3 1319... (ver OEIS :  A062964 )
• Los primeros cinco dígitos sexagesimales (base 60) son 3; 8,29,44,0,47 (ver OEIS :  A060707 )
• Los primeros 38 dígitos en el sistema ternario son 10.010 211 0.122 220 102 110 021 111 102 212 222 201... (ver OEIS :  A004602 )

Números complejos e identidad de Euler

La asociación entre potencias imaginarias del número e y puntos en el círculo unitario centrados en el origen en el plano complejo dada por la fórmula de Euler

Cualquier número complejo, digamos z, se puede expresar usando un par de números reales. En el sistema de coordenadas polar, un número ( radio o r) se utiliza para representar z 's distancia desde el origen del plano complejo, y el otro (ángulo o φ) el sentido antihorario de rotación de la línea real positivo:

$$z=r⋅(porque⁡φ+Ipecado⁡φ), {\ Displaystyle z = r \ cdot (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi),}

donde i es la unidad imaginaria que satisface i ² = −1. La aparición frecuente de π en análisis complejos puede estar relacionada con el comportamiento de la función exponencial de una variable compleja, descrita por la fórmula de Euler :

$$ mi I φ=porque⁡φ+Ipecado⁡φ, {\ Displaystyle e ^ {i \ varphi} = \ cos \ varphi + i \ sin \ varphi,}

donde la constante e es la base del logaritmo natural. Esta fórmula establece una correspondencia entre potencias imaginarias de e y puntos en el círculo unitario centrado en el origen del plano complejo. Establecer φ = π en la fórmula de Euler da como resultado la identidad de Euler, celebrada en matemáticas debido a que contiene las cinco constantes matemáticas más importantes:

$$ mi I π+1=0. {\ Displaystyle e ^ {i \ pi} + 1 = 0.}

Hay n números complejos diferentes z que satisfacen z ⁿ = 1, y estos se denominan " raíces n - ésimas de la unidad " y están dados por la fórmula:

$$ mi 2 π I k / norte(k=0,1,2,...,norte-1). {\ Displaystyle e ^ {2 \ pi ik / n} \ qquad (k = 0,1,2, \ dots, n-1).}

Historia

Artículo principal: Aproximaciones de π Ver también: Cronología del cálculo de π

Antigüedad

Las aproximaciones más conocidas de π que datan antes de la Era Común tenían una precisión de dos decimales; esto se mejoró en matemáticas chinas en particular a mediados del primer milenio, con una precisión de siete lugares decimales. Después de esto, no se hicieron más avances hasta finales del período medieval.

Con base en las medidas de la Gran Pirámide de Giza (c. 2560 a. C.), algunos egiptólogos han afirmado que los antiguos egipcios usaban una aproximación de π como22/7desde el Reino Antiguo. Esta afirmación ha sido recibida con escepticismo. Las primeras aproximaciones escritas de π se encuentran en Babilonia y Egipto, ambos dentro del uno por ciento del valor real. En Babilonia, una tablilla de arcilla fechada entre 1900 y 1600 a. C. tiene una declaración geométrica que, por implicación, trata a π como25/8 = 3,125. En Egipto, el Papiro de Rhind, fechado alrededor de 1650 a. C. pero copiado de un documento fechado en 1850 a. C., tiene una fórmula para el área de un círculo que trata π como (dieciséis/9) ² ≈ 3,16.

Los cálculos astronómicos en el Shatapatha Brahmana (ca. siglo IV a. C.) utilizan una aproximación fraccionaria de339/108 ≈ 3,139 (una precisión de 9 × 10 ⁻⁴). Otras fuentes indias alrededor del año 150 a. C. tratan a π como √ 10  ≈ 3.1622.

Era de aproximación de polígonos

π se puede estimar calculando los perímetros de polígonos circunscritos e inscritos.

El primer algoritmo registrado para calcular rigurosamente el valor de π fue un enfoque geométrico que utiliza polígonos, ideado alrededor del 250 a. C. por el matemático griego Arquímedes. Este algoritmo poligonal dominó durante más de 1.000 años y, como resultado, π a veces se denomina "constante de Arquímedes". Arquímedes calculó los límites superior e inferior de π dibujando un hexágono regular dentro y fuera de un círculo, y doblando sucesivamente el número de lados hasta que alcanzó un polígono regular de 96 lados. Al calcular los perímetros de estos polígonos, demostró que223/71lt; π lt;22/7(es decir, 3,1408 lt; π lt;3,1429). Límite superior de Arquímedes de22/7puede haber llevado a una creencia popular generalizada de que π es igual a22/7. Alrededor del 150 d. C., el científico greco-romano Ptolomeo, en su Almagesto, dio un valor de π de 3,1416, que pudo haber obtenido de Arquímedes o de Apolonio de Perge. Los matemáticos que usaron algoritmos poligonales alcanzaron 39 dígitos de π en 1630, un récord que solo se rompió en 1699 cuando se usaron series infinitas para llegar a 71 dígitos.

Arquímedes desarrolló el enfoque poligonal para aproximar π.

En la antigua China, los valores de π incluían 3,1547 (alrededor de 1 d. C.), √ 10 (100 d. C., aproximadamente 3,1623) y142/45(Siglo III, aproximadamente 3.1556). Alrededor del 265 d.C., el matemático del Reino de Wei, Liu Hui, creó un algoritmo iterativo basado en polígonos y lo usó con un polígono de 3072 lados para obtener un valor de π de 3,1416. Más tarde, Liu inventó un método más rápido para calcular π y obtuvo un valor de 3,14 con un polígono de 96 lados, aprovechando que las diferencias en el área de polígonos sucesivos forman una serie geométrica con un factor de 4. El matemático chino Zu Chongzhi, alrededor del 480 d.C., calculó que 3,1415926 lt; π lt;3,1415927 y sugirió las aproximaciones π ≈355/113= 3,14159292035... y π ≈22/7= 3,142857142857..., que denominó Milü ("relación cercana") y Yuelü ("relación aproximada"), respectivamente, utilizando el algoritmo de Liu Hui aplicado a un polígono de 12,288 lados. Con un valor correcto para sus siete primeros decimales dígitos, este valor de siguió siendo la aproximación más precisa de π disponible durante los siguientes 800 años.

El astrónomo indio Aryabhata usó un valor de 3,1416 en su Āryabhaṭīya (499 d.C.). Fibonacci en c. 1220 calculó 3,1418 usando un método poligonal, independiente de Arquímedes. El autor italiano Dante aparentemente empleó el valor 3+√ 2/10≈ 3,14142.

El astrónomo persa Jamshīd al-Kāshī produjo 9 dígitos sexagesimales, aproximadamente el equivalente a 16 dígitos decimales, en 1424 utilizando un polígono con 3 × 2 ²⁸ lados, que se mantuvo como el récord mundial durante unos 180 años. El matemático francés François Viète en 1579 logró 9 dígitos con un polígono de 3 × 2 ¹⁷ lados. El matemático flamenco Adriaan van Roomen llegó a 15 lugares decimales en 1593. En 1596, el matemático holandés Ludolph van Ceulen alcanzó los 20 dígitos, un récord que luego aumentó a 35 dígitos (como resultado, π se llamaba el "número ludolphiano" en Alemania hasta que principios del siglo 20). El científico holandés Willebrord Snellius alcanzó los 34 dígitos en 1621, y el astrónomo austríaco Christoph Grienberger llegó a los 38 dígitos en 1630 usando 10 ⁴⁰ lados. Christiaan Huygens pudo llegar a 10 decimales en 1654 utilizando un método ligeramente diferente equivalente a la extrapolación de Richardson.

Series infinitas

Comparación de la convergencia de varias series históricas infinitas para π. S n es la aproximación después de tomar n términos. Cada subparcela subsiguiente amplía el área sombreada horizontalmente en 10 veces. (haga clic para obtener más detalles)

El cálculo de π fue revolucionado por el desarrollo de técnicas de series infinitas en los siglos XVI y XVII. Una serie infinita es la suma de los términos de una secuencia infinita. Las series infinitas permitieron a los matemáticos calcular π con mucha mayor precisión que Arquímedes y otros que usaban técnicas geométricas. Aunque las series infinitas fueron explotadas para π sobre todo por matemáticos europeos como James Gregory y Gottfried Wilhelm Leibniz, el enfoque se descubrió por primera vez en la India en algún momento entre 1400 y 1500 d.C. La primera descripción escrita de una serie infinita que podría usarse para calcular π fue presentada en verso sánscrito por el astrónomo indio Nilakantha Somayaji en su Tantrasamgraha, alrededor del año 1500 d.C. La serie se presenta sin pruebas, pero las pruebas se presentan en una obra india posterior, Yuktibhāṣā, de alrededor de 1530 d.C. Nilakantha atribuye la serie a un matemático indio anterior, Madhava de Sangamagrama, que vivió c. 1350 - c. 1425. Se describen varias series infinitas, incluidas series para seno, tangente y coseno, que ahora se denominan serie Madhava o serie Gregory-Leibniz. Madhava usó series infinitas para estimar π a 11 dígitos alrededor de 1400, pero ese valor fue mejorado alrededor de 1430 por el matemático persa Jamshīd al-Kāshī, usando un algoritmo poligonal.

Isaac Newton usó series infinitas para calcular π a 15 dígitos, luego escribió "Me da vergüenza decirles a cuántas cifras llevé estos cálculos".

La primera secuencia infinita descubierta en Europa fue un producto infinito (en lugar de una suma infinita, que se usa más típicamente en los cálculos π) encontrado por el matemático francés François Viète en 1593:

$$ 2 π= 2 2⋅ 2 + 2 2⋅ 2 + 2 + 2 2⋯ {\ Displaystyle {\ frac {2} {\ pi}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} { 2}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}} {2}} \ cdots}

La segunda secuencia infinita encontrada en Europa, por John Wallis en 1655, también fue un producto infinito:

$$ π 2= ( 2 1⋅ 2 3 )⋅ ( 4 3⋅ 4 5 )⋅ ( 6 5⋅ 6 7 )⋅ ( 8 7⋅ 8 9 )⋯ {\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} = {\ Big (} {\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} {\ Big)} \ cdot { \ Big (} {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} {\ Big)} \ cdot {\ Big (} {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} {\ Big)} \ cdot {\ Big (} {\ frac {8} {7}} \ cdot {\ frac {8} {9}} {\ Big)} \ cdots}

El descubrimiento del cálculo, por el científico inglés Isaac Newton y el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz en la década de 1660, condujo al desarrollo de muchas series infinitas para aproximar π. El mismo Newton usó una serie de arcosin para calcular una aproximación de 15 dígitos de π en 1665 o 1666, y luego escribió: "Me avergüenza decirle a cuántas cifras llevé estos cálculos, sin tener otros asuntos en ese momento".

En Europa, la fórmula de Madhava fue redescubierta por el matemático escocés James Gregory en 1671 y por Leibniz en 1674:

$$arctan⁡z=z- z 3 3+ z 5 5- z 7 7+⋯ {\ Displaystyle \ arctan z = z - {\ frac {z ^ {3}} {3}} + {\ frac {z ^ {5}} {5}} - {\ frac {z ^ {7}} { 7}} + \ cdots}

Esta fórmula, la serie de Gregory-Leibniz, es igual a π / 4 cuando se evalúa con z  = 1. En 1699, el matemático inglés Abraham Sharp usó la serie de Gregory-Leibniz para calcular π a 71 dígitos, rompiendo el récord anterior de 39 dígitos, que se estableció con un algoritmo poligonal. El Gregory-Leibniz para series es simple, pero converge muy lentamente (es decir, se acerca a la respuesta gradualmente), por lo que no se usa en los cálculos π modernos. $$

z= 1 3 {\ textstyle z = {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$$z=1 {\ Displaystyle z = 1}

En 1706, John Machin utilizó la serie Gregory-Leibniz para producir un algoritmo que convergía mucho más rápido:

$$ π 4=4arctan⁡ 1 5-arctan⁡ 1 239. {\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 4 \ arctan {\ frac {1} {5}} - \ arctan {\ frac {1} {239}}.}

Machin alcanzó los 100 dígitos de π con esta fórmula. Otros matemáticos crearon variantes, ahora conocidas como fórmulas tipo Machin, que se utilizaron para establecer varios registros sucesivos para calcular dígitos de π. Las fórmulas tipo Machin siguieron siendo el método más conocido para calcular π hasta bien entrada la era de las computadoras, y se utilizaron para establecer récords durante 250 años, culminando en una aproximación de 620 dígitos en 1946 por Daniel Ferguson, la mejor aproximación lograda sin la ayuda. de un dispositivo de cálculo.

El prodigio calculador Zacharias Dase estableció un récord, quien en 1844 empleó una fórmula similar a Machin para calcular 200 decimales de π en su cabeza a instancias del matemático alemán Carl Friedrich Gauss. El matemático británico William Shanks tardó 15 años en calcular π a 707 dígitos, pero cometió un error en el dígito 528, lo que hizo que todos los dígitos posteriores fueran incorrectos.

Tasa de convergencia

Algunas series infinitas para π convergen más rápido que otras. Dada la elección de dos series infinitas para π, los matemáticos generalmente usarán la que converge más rápidamente porque una convergencia más rápida reduce la cantidad de cálculo necesario para calcular π con cualquier precisión dada. Una serie infinita simple para π es la serie de Gregory-Leibniz :

$$π= 4 1- 4 3+ 4 5- 4 7+ 4 9- 4 11+ 4 13-⋯ {\ Displaystyle \ pi = {\ frac {4} {1}} - {\ frac {4} {3}} + {\ frac {4} {5}} - {\ frac {4} {7}} + {\ frac {4} {9}} - {\ frac {4} {11}} + {\ frac {4} {13}} - \ cdots}

A medida que los términos individuales de esta serie infinita se agregan a la suma, el total se acerca gradualmente a π y, con un número suficiente de términos, puede acercarse tanto a π como se desee. Sin embargo, converge bastante lentamente: después de 500.000 términos, solo produce cinco dígitos decimales correctos de π.

Una serie infinita para π (publicada por Nilakantha en el siglo XV) que converge más rápidamente que la serie de Gregory-Leibniz es: Note que ( n  - 1) n ( n  + 1) = n ³  -  n.

$$π=3+ 4 2 × 3 × 4- 4 4 × 5 × 6+ 4 6 × 7 × 8- 4 8 × 9 × 10+⋯ {\ Displaystyle \ pi = 3 + {\ frac {4} {2 \ times 3 \ times 4}} - {\ frac {4} {4 \ times 5 \ times 6}} + {\ frac {4} {6 \ times 7 \ times 8}} - {\ frac {4} {8 \ times 9 \ times 10}} + \ cdots}

La siguiente tabla compara las tasas de convergencia de estas dos series:

Serie infinita para π	Después del 1er trimestre	Después del segundo trimestre	Después del tercer trimestre	Después del cuarto trimestre	Después del quinto trimestre	Converge para:
$$π= 4 1- 4 3+ 4 5- 4 7+ 4 9- 4 11+ 4 13+⋯ {\ Displaystyle \ pi = {\ frac {4} {1}} - {\ frac {4} {3}} + {\ frac {4} {5}} - {\ frac {4} {7}} + {\ frac {4} {9}} - {\ frac {4} {11}} + {\ frac {4} {13}} + \ cdots}	4.0000	2,66666...	3.4666...	2.8952...	3.3396...	π = 3,1415...
$$π= 3+ 4 2 × 3 × 4- 4 4 × 5 × 6+ 4 6 × 7 × 8+⋯ {\ Displaystyle \ pi = {3} + {\ frac {4} {2 \ times 3 \ times 4}} - {\ frac {4} {4 \ times 5 \ times 6}} + {\ frac {4} {6 \ times 7 \ times 8}} + \ cdots}	3.0000	3.1666...	3.1333...	3.1452...	3.1396...

Después de cinco términos, la suma de la serie de Gregory-Leibniz está dentro de 0.2 del valor correcto de π, mientras que la suma de la serie de Nilakantha está dentro de 0.002 del valor correcto de π. La serie de Nilakantha converge más rápido y es más útil para calcular dígitos de π. Serie que convergen aún más rápido incluyen la serie de Machin y series de Chudnovsky, esta última producción de 14 dígitos decimales correctas por plazo.

Irracionalidad y trascendencia

Ver también: Prueba de que π es irracional y Prueba de que π es trascendental

No todos los avances matemáticos relacionados con π tenían como objetivo aumentar la precisión de las aproximaciones. Cuando Euler resolvió el problema de Basilea en 1735, encontrando el valor exacto de la suma de los cuadrados recíprocos, estableció una conexión entre π y los números primos que más tarde contribuyeron al desarrollo y estudio de la función zeta de Riemann :

$$ π 2 6= 1 1 2+ 1 2 2+ 1 3 2+ 1 4 2+⋯ {\ Displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} = {\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + { \ frac {1} {3 ^ {2}}} + {\ frac {1} {4 ^ {2}}} + \ cdots}

El científico suizo Johann Heinrich Lambert en 1761 demostró que π es irracional, lo que significa que no es igual al cociente de dos números enteros. La demostración de Lambert explotó una representación de fracción continua de la función tangente. El matemático francés Adrien-Marie Legendre demostró en 1794 que π ² también es irracional. En 1882, el matemático alemán Ferdinand von Lindemann demostró que π es trascendental, lo que confirma una conjetura de Legendre y Euler. Hardy y Wright afirman que "las pruebas fueron posteriormente modificadas y simplificadas por Hilbert, Hurwitz y otros escritores".

Adopción del símbolo π

El primer uso conocido de la letra griega π para representar la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro fue realizado por el matemático galés William Jones en 1706. Leonhard Euler popularizó el uso de la letra griega π en obras que publicó en 1736 y 1748.

En los usos más antiguos, la letra griega π era una abreviatura de la palabra griega para periferia ( περιφέρεια ), y se combinaba en proporciones con δ (para diámetro ) o ρ (para radio ) para formar constantes circulares. (Antes de eso, los matemáticos a veces usaban letras como c o p en su lugar.) El primer uso registrado es " " de Oughtred, para expresar la relación entre la periferia y el diámetro en las ediciones de 1647 y posteriores de Clavis Mathematicae. Barrow también usó " " para representar la constante 3.14..., mientras que Gregory usó " " para representar 6.28.... $$

δ.π {\ Displaystyle \ delta. \ pi} $$ π δ {\ textstyle {\ frac {\ pi} {\ delta}}} $$ π ρ {\ textstyle {\ frac {\ pi} {\ rho}}}

El primer uso conocido de la letra griega π solo para representar la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro fue realizado por el matemático galés William Jones en su obra de 1706 Sinopsis Palmariorum Matheseos ; o una Nueva Introducción a las Matemáticas. La letra griega aparece por primera vez allí en la frase "1/2 Periferia ( π)" en la discusión de un círculo con radio uno. Sin embargo, escribe que sus ecuaciones para π provienen de "la pluma lista del verdaderamente ingenioso Sr. John Machin ", lo que lleva a la especulación de que Machin pudo haber empleado la letra griega antes que Jones. La notación de Jones no fue adoptada de inmediato por otros matemáticos, y la notación de fracción todavía se usaba en 1767.

Euler comenzó a usar la forma de una sola letra a partir de su Ensayo explicando las propiedades del aire de 1727, aunque usó π = 6.28..., la relación entre la periferia y el radio, en este y en algunos escritos posteriores. Euler usó por primera vez π = 3.14... en su obra Mechanica de 1736, y continuó en su obra de 1748 muy leída Introductio in analysin infinitorum (escribió: "en aras de la brevedad escribiremos este número como π ; por lo tanto, π es igual a la mitad de la circunferencia de un círculo de radio de 1 "). Debido a que Euler tenía una gran correspondencia con otros matemáticos en Europa, el uso de la letra griega se extendió rápidamente, y la práctica se adoptó universalmente a partir de entonces en el mundo occidental, aunque la definición todavía variaba entre 3,14... y 6,28... hasta 1761..

Búsqueda moderna de más dígitos

Era informática y algoritmos iterativos

John von Neumann fue parte del equipo que utilizó por primera vez una computadora digital, ENIAC, para calcular π.

El algoritmo iterativo de Gauss-Legendre : inicializar

$$ a 0=1, B 0= 1 2, t 0= 1 4, pag 0=1. {\ Displaystyle \ scriptstyle a_ {0} = 1, \ quad b_ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}, \ quad t_ {0} = {\ frac {1} {4} }, \ quad p_ {0} = 1.}

Iterar

$$ a norte + 1= a norte + B norte 2, B norte + 1= a norte B norte, {\ Displaystyle \ scriptstyle a_ {n + 1} = {\ frac {a_ {n} + b_ {n}} {2}}, \ quad \ quad b_ {n + 1} = {\ sqrt {a_ {n} b_ {n}}},}

$$ t norte + 1= t norte- pag norte( a norte- a norte + 1 ) 2, pag norte + 1=2 pag norte. {\ Displaystyle \ scriptstyle t_ {n + 1} = t_ {n} -p_ {n} (a_ {n} -a_ {n + 1}) ^ {2}, \ quad \ quad p_ {n + 1} = 2p_ {n}.}

Entonces, una estimación de π viene dada por

$$π≈ ( a norte + B norte ) 2 4 t norte. {\ Displaystyle \ scriptstyle \ pi \ approx {\ frac {(a_ {n} + b_ {n}) ^ {2}} {4t_ {n}}}.}

El desarrollo de las computadoras a mediados del siglo XX revolucionó nuevamente la búsqueda de dígitos de π. Los matemáticos John Wrench y Levi Smith alcanzaron los 1.120 dígitos en 1949 usando una calculadora de escritorio. Usando una serie infinita de tangente inversa (arctan), un equipo liderado por George Reitwiesner y John von Neumann ese mismo año logró 2.037 dígitos con un cálculo que tomó 70 horas de tiempo de computadora en la computadora ENIAC. El récord, siempre apoyándose en una serie arctan, se batió repetidamente (7.480 dígitos en 1957; 10.000 dígitos en 1958; 100.000 dígitos en 1961) hasta alcanzar 1 millón de dígitos en 1973.

Dos desarrollos adicionales alrededor de 1980 aceleraron una vez más la capacidad de calcular π. Primero, el descubrimiento de nuevos algoritmos iterativos para calcular π, que eran mucho más rápidos que las series infinitas; y en segundo lugar, la invención de algoritmos de multiplicación rápida que podían multiplicar números grandes muy rápidamente. Tales algoritmos son particularmente importantes en los cálculos π modernos porque la mayor parte del tiempo de la computadora se dedica a la multiplicación. Incluyen el algoritmo de Karatsuba, la multiplicación de Toom-Cook y los métodos basados ​​en la transformada de Fourier.

Los algoritmos iterativos fueron publicados de forma independiente en 1975-1976 por el físico Eugene Salamin y el científico Richard Brent. Estos evitan la dependencia de series infinitas. Un algoritmo iterativo repite un cálculo específico, cada iteración utiliza las salidas de los pasos anteriores como entradas, y produce un resultado en cada paso que converge al valor deseado. En realidad, el enfoque fue inventado más de 160 años antes por Carl Friedrich Gauss, en lo que ahora se denomina método de la media aritmética-geométrica (método AGM) o algoritmo de Gauss-Legendre. Modificado por Salamin y Brent, también se lo conoce como el algoritmo de Brent-Salamin.

Los algoritmos iterativos se utilizaron ampliamente después de 1980 porque son más rápidos que los algoritmos de series infinitas: mientras que las series infinitas normalmente aumentan el número de dígitos correctos de forma aditiva en términos sucesivos, los algoritmos iterativos generalmente multiplican el número de dígitos correctos en cada paso. Por ejemplo, el algoritmo de Brent-Salamin duplica el número de dígitos en cada iteración. En 1984, los hermanos John y Peter Borwein produjeron un algoritmo iterativo que cuadruplica el número de dígitos en cada paso; y en 1987, uno que aumenta el número de dígitos cinco veces en cada paso. Los métodos iterativos fueron utilizados por el matemático japonés Yasumasa Kanada para establecer varios récords para calcular π entre 1995 y 2002. Esta rápida convergencia tiene un precio: los algoritmos iterativos requieren significativamente más memoria que las series infinitas.

Motivos para calcular π

A medida que los matemáticos descubrieron nuevos algoritmos y las computadoras estuvieron disponibles, el número de dígitos decimales conocidos de π aumentó drásticamente. La escala vertical es logarítmica.

Para la mayoría de los cálculos numéricos que involucran π, un puñado de dígitos proporciona suficiente precisión. Según Jörg Arndt y Christoph Haenel, treinta y nueve dígitos son suficientes para realizar la mayoría de los cálculos cosmológicos, porque esa es la precisión necesaria para calcular la circunferencia del universo observable con una precisión de un átomo. Teniendo en cuenta los dígitos adicionales necesarios para compensar los errores de redondeo computacional, Arndt concluye que unos pocos cientos de dígitos serían suficientes para cualquier aplicación científica. A pesar de esto, la gente ha trabajado arduamente para calcular π a miles y millones de dígitos. Este esfuerzo puede atribuirse en parte a la compulsión humana de batir récords, y esos logros con π suelen aparecer en los titulares de todo el mundo. También tienen beneficios prácticos, como probar supercomputadoras, probar algoritmos de análisis numérico (incluidos los algoritmos de multiplicación de alta precisión ); y dentro de las matemáticas puras, proporcionando datos para evaluar la aleatoriedad de los dígitos de π.

Serie rápidamente convergente

Srinivasa Ramanujan, trabajando de forma aislada en la India, produjo muchas series innovadoras para la informática π.

Las calculadoras π modernas no utilizan algoritmos iterativos exclusivamente. Se descubrieron nuevas series infinitas en las décadas de 1980 y 1990 que son tan rápidas como los algoritmos iterativos, pero son más simples y menos intensivas en memoria. Los algoritmos iterativos rápidos se anticiparon en 1914, cuando el matemático indio Srinivasa Ramanujan publicó docenas de fórmulas nuevas e innovadoras para π, notables por su elegancia, profundidad matemática y rápida convergencia. Una de sus fórmulas, basada en ecuaciones modulares, es

$$ 1 π= 2 2 9801 ∑ k = 0 ∞ ( 4 k ) ! ( 1103 + 26390 k ) k ! 4 ( 396 4 k ). {\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} = {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {9801}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( 4k)! (1103 + 26390k)} {k! ^ {4} \ left (396 ^ {4k} \ right)}}.}

Esta serie converge mucho más rápidamente que la mayoría de las series arctan, incluida la fórmula de Machin. Bill Gosper fue el primero en usarlo para avances en el cálculo de π, estableciendo un récord de 17 millones de dígitos en 1985. Las fórmulas de Ramanujan anticiparon los algoritmos modernos desarrollados por los hermanos Borwein ( Jonathan y Peter ) y los hermanos Chudnovsky. La fórmula de Chudnovsky desarrollada en 1987 es

$$ 1 π= 12 640320 3 / 2 ∑ k = 0 ∞ ( 6 k ) ! ( 13591409 + 545140134 k ) ( 3 k ) ! k ! 3 ( - 640320 ) 3 k. {\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} = {\ frac {12} {640320 ^ {3/2}}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(6k)! (13591409 + 545140134k)} {(3k)! \, K! ^ {3} (- 640320) ^ {3k}}}.}

Produce alrededor de 14 dígitos de π por término, y se ha utilizado para varios cálculos de π que establecen récords, incluido el primero en superar los mil millones (10 ⁹) dígitos en 1989 por los hermanos Chudnovsky, 10 billones (10 ¹³) dígitos en 2011 por Alexander Yee y Shigeru Kondo, más de 22 billones de dígitos en 2016 por Peter Trueb y 50 billones de dígitos por Timothy Mullican en 2020. Para fórmulas similares, vea también la serie Ramanujan – Sato.

En 2006, el matemático Simon Plouffe utilizó el algoritmo de relación de enteros PSLQ para generar varias fórmulas nuevas para π, de acuerdo con la siguiente plantilla:

$$ π k= ∑ norte = 1 ∞ 1 norte k ( a q norte - 1 + B q 2 norte - 1 + C q 4 norte - 1 ), {\ Displaystyle \ pi ^ {k} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {k}}} \ left ({\ frac {a} {q ^ { n} -1}} + {\ frac {b} {q ^ {2n} -1}} + {\ frac {c} {q ^ {4n} -1}} \ right),}

donde q es e ^π (constante de Gelfond), k es un número impar y a, b, c son ciertos números racionales que Plouffe calculó.

Métodos de Montecarlo

Aguja de Buffon. Needles una y b se dejan caer al azar. Los puntos aleatorios se colocan en el cuadrante de un cuadrado con un círculo inscrito en él. Los métodos de Monte Carlo, basados ​​en ensayos aleatorios, se pueden utilizar para aproximar π.

Los métodos de Monte Carlo, que evalúan los resultados de múltiples ensayos aleatorios, se pueden utilizar para crear aproximaciones de π. La aguja de Buffon es una de esas técnicas: si una aguja de longitud ℓ se deja caer n veces sobre una superficie en la que se dibujan líneas paralelas a t unidades de distancia, y si x de esas veces se detiene cruzando una línea ( x  gt; 0), entonces uno puede aproximar π basado en los conteos:

$$π≈ 2 norte ℓ X t. {\ Displaystyle \ pi \ approx {\ frac {2n \ ell} {xt}}.}

Otro método de Monte Carlo para calcular π es dibujar un círculo inscrito en un cuadrado y colocar puntos al azar en el cuadrado. La proporción de puntos dentro del círculo al número total de puntos será aproximadamente igual a π / 4.

Cinco paseos aleatorios con 200 pasos. La media muestral de | W 200 | es μ = 56/5, por lo que 2 (200) μ ⁻² ≈ 3.19 está dentro de 0.05 de π.

Otra forma de calcular π usando la probabilidad es comenzar con un recorrido aleatorio, generado por una secuencia de lanzamientos de monedas (justos): variables aleatorias independientes X k tales que X k ∈ {−1,1} con probabilidades iguales. El paseo aleatorio asociado es

$$ W norte= ∑ k = 1 norte X k {\ Displaystyle W_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} X_ {k}}

de modo que, para cada n, W n se extrae de una distribución binomial desplazada y escalada. A medida que n varía, W n define un proceso estocástico (discreto). Entonces π se puede calcular mediante

$$π= lim norte → ∞ 2 norte mi [ | W norte | ] 2. {\ Displaystyle \ pi = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {2n} {E [| W_ {n} |] ^ {2}}}.}

Este método de Monte Carlo es independiente de cualquier relación con los círculos y es una consecuencia del teorema del límite central, que se analiza a continuación.

Estos métodos de Monte Carlo para aproximar π son muy lentos en comparación con otros métodos y no proporcionan ninguna información sobre el número exacto de dígitos que se obtienen. Por lo tanto, nunca se utilizan para aproximar π cuando se desea velocidad o precisión.

Algoritmos de espiga

En 1995 se descubrieron dos algoritmos que abrieron nuevas vías de investigación sobre π. Se denominan algoritmos de grifo porque, como el agua que gotea de un grifo, producen dígitos únicos de π que no se reutilizan una vez calculados. Esto contrasta con las series infinitas o los algoritmos iterativos, que retienen y usan todos los dígitos intermedios hasta que se produce el resultado final.

Los matemáticos Stan Wagon y Stanley Rabinowitz produjeron un algoritmo spigot simple en 1995. Su velocidad es comparable a los algoritmos arctan, pero no tan rápida como los algoritmos iterativos.

Otro algoritmo de espiga, el algoritmo de extracción de dígitos BBP, fue descubierto en 1995 por Simon Plouffe:

$$π= ∑ k = 0 ∞ 1 dieciséis k ( 4 8 k + 1 - 2 8 k + 4 - 1 8 k + 5 - 1 8 k + 6 ). {\ Displaystyle \ pi = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {16 ^ {k}}} \ left ({\ frac {4} {8k + 1}} - { \ frac {2} {8k + 4}} - {\ frac {1} {8k + 5}} - {\ frac {1} {8k + 6}} \ right).}

Esta fórmula, a diferencia de otras anteriores, puede producir cualquier dígito hexadecimal individual de π sin calcular todos los dígitos anteriores. Los dígitos binarios individuales se pueden extraer de dígitos hexadecimales individuales y los dígitos octales se pueden extraer de uno o dos dígitos hexadecimales. Se han descubierto variaciones del algoritmo, pero aún no se ha encontrado ningún algoritmo de extracción de dígitos que produzca rápidamente dígitos decimales. Una aplicación importante de los algoritmos de extracción de dígitos es validar nuevas afirmaciones de cálculos de registro π: después de reclamar un nuevo registro, el resultado decimal se convierte a hexadecimal, y luego se utiliza un algoritmo de extracción de dígitos para calcular varios dígitos hexadecimales aleatorios cerca del final; si coinciden, esto proporciona una medida de confianza de que todo el cálculo es correcto.

Entre 1998 y 2000, el proyecto de computación distribuida PiHex utilizó la fórmula de Bellard (una modificación del algoritmo BBP) para calcular el cuatrillonésimo (10 ^15º) bit de π, que resultó ser 0. En septiembre de 2010, Yahoo! El empleado utilizó la aplicación Hadoop de la compañía en mil computadoras durante un período de 23 días para calcular 256 bits de π en el bit dos billonésimo (2 × 10 ^15º), que también resulta ser cero.

Papel y caracterizaciones en matemáticas

Debido a que π está estrechamente relacionado con el círculo, se encuentra en muchas fórmulas de los campos de la geometría y la trigonometría, en particular las que se refieren a círculos, esferas o elipses. Otras ramas de la ciencia, como la estadística, la física, el análisis de Fourier y la teoría de números, también incluyen π en algunas de sus fórmulas importantes.

Geometría y trigonometría

El área del círculo es igual a π veces el área sombreada. El área del círculo unitario es π.

π aparece en fórmulas para áreas y volúmenes de formas geométricas basadas en círculos, como elipses, esferas, conos y toros. A continuación se muestran algunas de las fórmulas más comunes que involucran π.

• La circunferencia de un círculo con radio r es 2π r.
• El área de un círculo con radio r es π r ².
• El volumen de una esfera con radio r es4/3π r ³.
• El área de la superficie de una esfera con radio r es 4π r ².

Las fórmulas anteriores son casos especiales del volumen de la bola n- dimensional y el área de la superficie de su límite, la esfera ( n −1) -dimensional, que se dan a continuación.

Medir el ancho de un triángulo de Reuleaux como la distancia entre líneas de apoyo paralelas. Debido a que esta distancia no depende de la dirección de las líneas, el triángulo de Reuleaux es una curva de ancho constante.

Aparte de los círculos, existen otras curvas de ancho constante (orbiformes). Según el teorema de Barbier, toda curva de ancho constante tiene un perímetro π veces su ancho. El triángulo de Reuleaux (formado por la intersección de tres círculos, cada uno centrado donde se cruzan los otros dos círculos) tiene el área más pequeña posible por su ancho y el círculo el más grande. También existen curvas suaves no circulares de ancho constante.

Las integrales definidas que describen la circunferencia, el área o el volumen de formas generadas por círculos generalmente tienen valores que involucran π. Por ejemplo, una integral que especifica la mitad del área de un círculo de radio uno viene dada por:

$$ ∫ - 1 1 1 - X 2DX= π 2. {\ Displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \, dx = {\ frac {\ pi} {2}}.}

En esa integral, la función √ 1 -  x ² representa la mitad superior de un círculo (la raíz cuadrada es una consecuencia del teorema de Pitágoras ), y la integral ∫¹ _{−1calcula el área entre esa mitad de un círculo y el eje x.}

Las funciones seno y coseno se repiten con el período 2 π.

Las funciones trigonométricas se basan en ángulos y los matemáticos generalmente usan radianes como unidades de medida. π juega un papel importante en los ángulos medidos en radianes, que se definen de modo que un círculo completo abarque un ángulo de 2 π radianes. La medida del ángulo de 180 ° es igual a π radianes y 1 ° = π / 180 radianes.

Las funciones trigonométricas comunes tienen períodos que son múltiplos de π ; por ejemplo, el seno y el coseno tienen un período 2 π, por lo que para cualquier ángulo θ y cualquier entero k,

$$pecado⁡θ=pecado⁡ ( θ + 2 π k )  y porque⁡θ=porque⁡ ( θ + 2 π k ). {\ Displaystyle \ sin \ theta = \ sin \ left (\ theta +2 \ pi k \ right) {\ text {y}} \ cos \ theta = \ cos \ left (\ theta +2 \ pi k \ right).}

Autovalores

Los armónicos de una cuerda vibrante son funciones propias de la segunda derivada y forman una progresión armónica. Los valores propios asociados forman la progresión aritmética de múltiplos enteros de π.

Muchas de las apariciones de π en las fórmulas de las matemáticas y las ciencias tienen que ver con su estrecha relación con la geometría. Sin embargo, π también aparece en muchas situaciones naturales que aparentemente no tienen nada que ver con la geometría.

En muchas aplicaciones, juega un papel destacado como valor propio. Por ejemplo, una cuerda vibrante idealizada se puede modelar como el gráfico de una función f en el intervalo unitario [0,1], con extremos fijos f (0) = f (1) = 0. Los modos de vibración de la cuerda son soluciones de la ecuación diferencial, o. Por lo tanto, λ es un valor propio del operador de la segunda derivada y está limitado por la teoría de Sturm-Liouville a tomar solo ciertos valores específicos. Debe ser positivo, ya que el operador es negativo definido, por lo que es conveniente escribir λ = ν ², donde νgt; 0 se llama número de onda. Entonces f ( x) = sin (π x) satisface las condiciones de contorno y la ecuación diferencial con ν = π. $$

F ″(X)+λF(X)=0 {\ Displaystyle f '' (x) + \ lambda f (x) = 0}$$ F ″(t)=-λF(X) {\ Displaystyle f '' (t) = - \ lambda f (x)} $$F↦ F ″ {\ Displaystyle f \ mapsto f ''}

El valor π es, de hecho, el menor valor del número de onda y está asociado con el modo fundamental de vibración de la cuerda. Una forma de mostrar esto es estimando la energía, que satisface la desigualdad de Wirtinger : para una función f  : [0, 1] →$$

C {\ Displaystyle \ mathbb {C}} con f (0) = f (1) = 0 y f, f ' ambos cuadrados integrables, tenemos:

$$ π 2 ∫ 0 1 |F(X) | 2DX≤ ∫ 0 1 | F ′(X) | 2DX, {\ Displaystyle \ pi ^ {2} \ int _ {0} ^ {1} | f (x) | ^ {2} \, dx \ leq \ int _ {0} ^ {1} | f '(x) | ^ {2} \, dx,}

con igualdad precisamente cuando f es un múltiplo de sin (π x). Aquí π aparece como una constante óptima en la desigualdad de Wirtinger, y se sigue que es el número de onda más pequeño, utilizando la caracterización variacional del valor propio. Como consecuencia, π es el valor singular más pequeño del operador derivado en el espacio de funciones en [0,1] que desaparece en ambos extremos (el espacio de Sobolev ). $$

H 0 1[0,1] {\ Displaystyle H_ {0} ^ {1} [0,1]}

Desigualdades

La antigua ciudad de Cartago fue la solución a un problema isoperimétrico, según una leyenda contada por Lord Kelvin ( Thompson 1894): aquellas tierras que bordean el mar que la reina Dido podía encerrar por todos los demás lados dentro de una sola piel de buey determinada, cortada en tiras.

El número π sirve aparece en problemas de valores propios similares en análisis de dimensiones superiores. Como se mencionó anteriormente, se puede caracterizar por su papel como la mejor constante en la desigualdad isoperimétrica : el área A encerrada por una curva de Jordan plana de perímetro P satisface la desigualdad

$$4πA≤ PAG 2, {\ Displaystyle 4 \ pi A \ leq P ^ {2},}

y la igualdad se logra claramente para el círculo, ya que en ese caso A = π r ² y P = 2π r.

En última instancia, como consecuencia de la desigualdad isoperimétrica, π aparece en la constante óptima para la desigualdad crítica de Sobolev en n dimensiones, lo que, por lo tanto, caracteriza el papel de π también en muchos fenómenos físicos, por ejemplo, los de la teoría clásica del potencial. En dos dimensiones, la desigualdad crítica de Sobolev es

$$2π‖F ‖ 2≤‖∇F ‖ 1 {\ Displaystyle 2 \ pi \ | f \ | _ {2} \ leq \ | \ nabla f \ | _ {1}}

para f una función suave con soporte compacto en R ², es el gradiente de f, y se refieren respectivamente a la norma L ² y L ¹. La desigualdad de Sobolev es equivalente a la desigualdad isoperimétrica (en cualquier dimensión), con las mismas mejores constantes. $$

∇F {\ Displaystyle \ nabla f} $$‖F ‖ 2 {\ Displaystyle \ | f \ | _ {2}}$$‖∇F ‖ 1 {\ Displaystyle \ | \ nabla f \ | _ {1}}

La desigualdad de Wirtinger también se generaliza a desigualdades de Poincaré de dimensiones superiores que proporcionan las mejores constantes para la energía de Dirichlet de una membrana n- dimensional. Específicamente, π es la mayor constante tal que

$$π≤ ( ∫ GRAMO | ∇ tu | 2 ) 1 / 2 ( ∫ GRAMO | tu | 2 ) 1 / 2 {\ Displaystyle \ pi \ leq {\ frac {\ left (\ int _ {G} | \ nabla u | ^ {2} \ right) ^ {1/2}} {\ left (\ int _ {G} | u | ^ {2} \ right) ^ {1/2}}}}

para todos los subconjuntos convexos G de R ⁿ de diámetro 1, y funciones cuadradas integrables u en G de media cero. Así como la desigualdad de Wirtinger es la forma variacional del problema de valores propios de Dirichlet en una dimensión, la desigualdad de Poincaré es la forma variacional del problema de valores propios de Neumann, en cualquier dimensión.

Transformada de Fourier y principio de incertidumbre de Heisenberg

Una animación de una geodésica en el grupo de Heisenberg, que muestra la estrecha conexión entre el grupo de Heisenberg, la isoperimetría y la constante π. La altura acumulada de la geodésica es igual al área de la porción sombreada del círculo unitario, mientras que la longitud del arco (en la métrica de Carnot-Carathéodory ) es igual a la circunferencia.

La constante π también aparece como un parámetro espectral crítico en la transformada de Fourier. Esta es la transformada integral, que lleva una función integrable de valor complejo f en la línea real a la función definida como:

$$ F ^(ξ)= ∫ - ∞ ∞F(X) mi - 2 π I X ξDX. {\ Displaystyle {\ hat {f}} (\ xi) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) e ^ {- 2 \ pi ix \ xi} \, dx.}

Aunque existen varias convenciones diferentes para la transformada de Fourier y su inversa, dicha convención debe involucrar a π en alguna parte. Sin embargo, la definición anterior es la más canónica, dando el operador unitario único en L ² que también es un homomorfismo de álgebra de L ¹ a L ^∞.

El principio de incertidumbre de Heisenberg también contiene el número π. El principio de incertidumbre da un límite inferior agudo en la medida en que es posible localizar una función tanto en el espacio como en la frecuencia: con nuestras convenciones para la transformada de Fourier,

$$ ( ∫ - ∞ ∞ X 2 | F ( X ) | 2 D X ) ( ∫ - ∞ ∞ ξ 2 | F ^ ( ξ ) | 2 D ξ )≥ ( 1 4 π ∫ - ∞ ∞ | F ( X ) | 2 D X ) 2. {\ Displaystyle \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {2} | f (x) | ^ {2} \, dx \ right) \ left (\ int _ {- \ infty } ^ {\ infty} \ xi ^ {2} | {\ hat {f}} (\ xi) | ^ {2} \, d \ xi \ right) \ geq \ left ({\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | f (x) | ^ {2} \, dx \ right) ^ {2}.}

La consecuencia física, acerca de la incertidumbre en las observaciones simultáneas de posición y momento de un sistema de mecánica cuántica, se analiza a continuación. La aparición de π en las fórmulas del análisis de Fourier es en última instancia una consecuencia del teorema de Stone-von Neumann, que afirma la unicidad de la representación de Schrödinger del grupo de Heisenberg.

Integrales gaussianas

Una gráfica de la función gaussiana ƒ ( x) = e ^{- x 2}. La región coloreada entre la función y el eje x tiene un área √ π.

Los campos de probabilidad y estadística utilizan frecuentemente la distribución normal como un modelo simple para fenómenos complejos; por ejemplo, los científicos generalmente asumen que el error de observación en la mayoría de los experimentos sigue una distribución normal. La función gaussiana, que es la función de densidad de probabilidad de la distribución normal con media μ y desviación estándar σ, naturalmente contiene π:

$$F(X)= 1 σ 2 π mi - ( X - μ ) 2 / ( 2 σ 2 ). {\ Displaystyle f (x) = {1 \ over \ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}} \, e ^ {- (x- \ mu) ^ {2} / (2 \ sigma ^ {2}) }.}

El factor de hace que el área bajo la gráfica de f sea igual a uno, como se requiere para una distribución de probabilidad. Esto se sigue de un cambio de variables en la integral gaussiana : $$

1 2 π {\ Displaystyle {\ tfrac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}}}

$$ ∫ - ∞ ∞ mi - tu 2Dtu= π {\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- u ^ {2}} \, du = {\ sqrt {\ pi}}}

que dice que el área bajo la curva de campana básica en la figura es igual a la raíz cuadrada de π.

π se puede calcular a partir de la distribución de ceros de un proceso de Wiener unidimensional

El teorema del límite central explica el papel central de las distribuciones normales y, por tanto, de π, en la probabilidad y la estadística. Este teorema está finalmente conectado con la caracterización espectral de π como el valor propio asociado con el principio de incertidumbre de Heisenberg, y el hecho de que la igualdad se cumple en el principio de incertidumbre solo para la función gaussiana. De manera equivalente, π es la constante única que hace que la distribución normal gaussiana e ^{-π x 2 sea} igual a su propia transformada de Fourier. De hecho, según Howe (1980), "todo el asunto" de establecer los teoremas fundamentales del análisis de Fourier se reduce a la integral gaussiana.

Geometría proyectiva

Sea V el conjunto de todas las funciones reales dos veces diferenciables que satisfacen la ecuación diferencial ordinaria. Entonces V es un espacio vectorial real bidimensional, con dos parámetros correspondientes a un par de condiciones iniciales para la ecuación diferencial. Para cualquiera, sea ​​la evaluación funcional, que asocia a cada uno el valor de la función f en el punto real t. Entonces, para cada t, el kernel de es un subespacio lineal unidimensional de V. Por lo tanto, define una función desde la línea real hasta la línea proyectiva real. Esta función es periódica y la cantidad π se puede caracterizar como el período de este mapa. $$

F: R→ R {\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}} $$ F ″(X)+F(X)=0 {\ Displaystyle f '' (x) + f (x) = 0} $$t∈ R {\ Displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$$ mi t:V→ R {\ Displaystyle e_ {t}: V \ to \ mathbb {R}}$$F∈V {\ Displaystyle f \ in V}$$ mi t(F)=F(t) {\ Displaystyle e_ {t} (f) = f (t)} $$ mi t {\ Displaystyle e_ {t}}$$t↦ker⁡ mi t {\ Displaystyle t \ mapsto \ ker e_ {t}}$$ R→ PAG(V) {\ Displaystyle \ mathbb {R} \ to \ mathbb {P} (V)}

Topología

Uniformización del cuartico de Klein, una superficie del género tres y característica de Euler -4, como cociente del plano hiperbólico por el grupo de simetría PSL (2,7) del plano de Fano. El área hiperbólica de un dominio fundamental es 8π, según Gauss-Bonnet.

La constante π aparece en la fórmula de Gauss-Bonnet que relaciona la geometría diferencial de las superficies con su topología. Específicamente, si una superficie compacta Σ tiene una curvatura de Gauss K, entonces

$$ ∫ ΣKDA=2πχ(Σ) {\ Displaystyle \ int _ {\ Sigma} K \, dA = 2 \ pi \ chi (\ Sigma)}

donde χ ( Σ) es la característica de Euler, que es un número entero. Un ejemplo es el área de superficie de una esfera S de curvatura 1 (de modo que su radio de curvatura, que coincide con su radio, también es 1.) La característica de Euler de una esfera se puede calcular a partir de sus grupos de homología y se encuentra que es igual a dos. Así tenemos

$$A(S)= ∫ S1DA=2π⋅2=4π {\ Displaystyle A (S) = \ int _ {S} 1 \, dA = 2 \ pi \ cdot 2 = 4 \ pi}

reproduciendo la fórmula para el área de la superficie de una esfera de radio 1.

La constante aparece en muchas otras fórmulas integrales en topología, en particular, aquellas que involucran clases características a través del homomorfismo de Chern-Weil.

Cálculo vectorial

Las técnicas de cálculo vectorial se pueden entender en términos de descomposiciones en armónicos esféricos (mostrado)

El cálculo vectorial es una rama del cálculo que se ocupa de las propiedades de los campos vectoriales y tiene muchas aplicaciones físicas, como la electricidad y el magnetismo. El potencial newtoniano para una fuente puntual Q situada en el origen de un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional es

$$V( X)=- k Q | X | {\ Displaystyle V (\ mathbf {x}) = - {\ frac {kQ} {| \ mathbf {x} |}}}

que representa la energía potencial de una unidad de masa (o carga) colocada a una distancia | x | de la fuente, y k es una constante dimensional. El campo, denotado aquí por E, que puede ser el campo gravitacional (newtoniano) o el campo eléctrico (Coulomb), es el gradiente negativo del potencial:

$$ mi=-∇V. {\ Displaystyle \ mathbf {E} = - \ nabla V.}

Los casos especiales incluyen la ley de Coulomb y la ley de gravitación universal de Newton. La ley de Gauss establece que el flujo hacia afuera del campo a través de cualquier superficie lisa, simple, cerrada y orientable S que contenga el origen es igual a 4 π kQ:

$$4πkQ= {\ Displaystyle 4 \ pi kQ =} $$ S {\ Displaystyle {\ scriptstyle S}} $$ mi⋅D A. {\ Displaystyle \ mathbf {E} \ cdot d \ mathbf {A}.}

Es estándar absorber este factor de 4π en la constante k, pero este argumento muestra por qué debe aparecer en alguna parte. Además, 4π es el área de la superficie de la esfera unitaria, pero no hemos asumido que S es la esfera. Sin embargo, como consecuencia del teorema de la divergencia, debido a que la región alejada del origen es vacío (libre de fuente), solo la clase de homología de la superficie S en R ³ \ {0} es lo que importa en el cálculo de la integral, por lo que puede ser reemplazado por cualquier superficie conveniente en la misma clase de homología, en particular, una esfera, donde se pueden usar coordenadas esféricas para calcular la integral.

Una consecuencia de la ley de Gauss es que el Laplaciano negativo del potencial V es igual a 4π kQ multiplicado por la función delta de Dirac :

$$ΔV( X)=-4πkQδ( X). {\ Displaystyle \ Delta V (\ mathbf {x}) = - 4 \ pi kQ \ delta (\ mathbf {x}).}

A partir de esto se obtienen distribuciones más generales de materia (o carga) por convolución, dando la ecuación de Poisson

$$ΔV( X)=-4πkρ( X) {\ Displaystyle \ Delta V (\ mathbf {x}) = - 4 \ pi k \ rho (\ mathbf {x})}

donde ρ es la función de distribución.

La ecuación de Einstein establece que la curvatura del espacio-tiempo es producida por el contenido de materia-energía.

La constante π también juega un papel análogo en los potenciales tetradimensionales asociados con las ecuaciones de Einstein, una fórmula fundamental que forma la base de la teoría general de la relatividad y describe la interacción fundamental de la gravitación como resultado de que el espacio-tiempo está curvado por materia y energía :

$$ R μ ν- 1 2R gramo μ ν+Λ gramo μ ν= 8 π GRAMO C 4 T μ ν, {\ Displaystyle R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} Rg _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu},}

donde R μν es el tensor de curvatura de Ricci, R es la curvatura escalar, g μν es el tensor métrico, Λ es la constante cosmológica, G es la constante gravitacional de Newton, c es la velocidad de la luz en el vacío y T μν es la tensión– tensor de energía. El lado izquierdo de la ecuación de Einstein es un análogo no lineal del laplaciano del tensor métrico, y se reduce al límite del campo débil, con el término jugando el papel de un multiplicador de Lagrange, y el lado derecho es el análogo de la función de distribución, multiplicado por 8π. $$

Λgramo {\ Displaystyle \ Lambda g}

Fórmula integral de Cauchy

Las funciones analíticas complejas se pueden visualizar como una colección de líneas de corriente y equipotenciales, sistemas de curvas que se cruzan en ángulos rectos. Aquí se ilustra el logaritmo complejo de la función Gamma.

Una de las herramientas clave en el análisis complejo es la integración de contorno de una función sobre una curva de Jordan γ orientada positivamente ( rectificable ). Una forma de la fórmula integral de Cauchy establece que si un punto z 0 es interior a γ, entonces

$$ ∮ γ D z z - z 0=2πI. {\ Displaystyle \ oint _ {\ gamma} {\ frac {dz} {z-z_ {0}}} = 2 \ pi i.}

Aunque la curva γ no es un círculo y, por lo tanto, no tiene ninguna conexión obvia con la constante π, una prueba estándar de este resultado utiliza el teorema de Morera, que implica que la integral es invariante bajo la homotopía de la curva, por lo que puede ser deformado en un círculo y luego integrado explícitamente en coordenadas polares. De manera más general, es cierto que si una curva cerrada rectificable γ no contiene z 0, entonces la integral anterior es 2π i veces el número de devanado de la curva.

La forma general de la fórmula integral de Cauchy establece la relación entre los valores de una función analítica compleja f ( z) en la curva de Jordan γ y el valor de f ( z) en cualquier punto interior z 0 de γ:

$$ ∮ γ F ( z ) z - z 0Dz=2πIF( z 0) {\ Displaystyle \ oint _ {\ gamma} {f (z) \ over z-z_ {0}} \, dz = 2 \ pi if (z_ {0})}

siempre que f ( z) sea ​​analítico en la región encerrada por γ y se extienda continuamente a γ. La fórmula integral de Cauchy es un caso especial del teorema del residuo, que si g ( z) es una función meromórfica, la región encerrada por γ y es continua en una vecindad de γ, entonces

$$ ∮ γgramo(z)Dz=2πI∑Res⁡(gramo, a k) {\ Displaystyle \ oint _ {\ gamma} g (z) \, dz = 2 \ pi i \ sum \ operatorname {Res} (g, a_ {k})}

donde la suma es de los residuos en los polos de g ( z).

La función gamma y la aproximación de Stirling

La fibración de Hopf de la 3-esfera, por círculos de Villarceau, sobre la compleja línea proyectiva con su métrica Fubini-Study (se muestran tres paralelos). La identidad S 3 (1) / S 2 (1) = π / 2 es una consecuencia.

La función factorial n ! es el producto de todos los enteros positivos hasta n. La función gamma extiende el concepto de factorial (normalmente definido solo para enteros no negativos) a todos los números complejos, excepto a los enteros reales negativos. Cuando la función gamma se evalúa en medios enteros, el resultado contiene π ; por ejemplo y. $$

Γ(1 /2)= π {\ Displaystyle \ Gamma (1/2) = {\ sqrt {\ pi}}}$$Γ(5 /2)= 3 π 4 {\ estilo de texto \ Gamma (5/2) = {\ frac {3 {\ sqrt {\ pi}}} {4}}}

La función gamma está definida por su desarrollo de productos Weierstrass :

$$Γ(z)= mi - γ z z ∏ norte = 1 ∞ mi z / norte 1 + z / norte {\ Displaystyle \ Gamma (z) = {\ frac {e ^ {- \ gamma z}} {z}} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {z / n} } {1 + z / n}}}

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni. Evaluada en z = 1/2 y al cuadrado, la ecuación Γ (1/2) ² = π se reduce a la fórmula del producto de Wallis. La función gamma también está conectada con la función zeta de Riemann y las identidades del determinante funcional, en el que la constante π juega un papel importante.

La función gamma se utiliza para calcular el volumen V n ( r) de la bola n- dimensional de radio r en el espacio euclidiano n -dimensional, y el área de superficie S n −1 ( r) de su límite, el ( n −1) -esfera dimensional :

$$ V norte(r)= π norte / 2 Γ ( norte 2 + 1 ) r norte, {\ Displaystyle V_ {n} (r) = {\ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma \ left ({\ frac {n} {2}} + 1 \ right)}} r ^ { norte},}

$$ S norte - 1(r)= norte π norte / 2 Γ ( norte 2 + 1 ) r norte - 1. {\ Displaystyle S_ {n-1} (r) = {\ frac {n \ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma \ left ({\ frac {n} {2}} + 1 \ right)}} r ^ {n-1}.}

Además, de la ecuación funcional se deduce que

$$2πr= S norte + 1 ( r ) V norte ( r ). {\ Displaystyle 2 \ pi r = {\ frac {S_ {n + 1} (r)} {V_ {n} (r)}}.}

La función gamma se puede utilizar para crear una aproximación simple a la función factorial n ! para n grande: que se conoce como aproximación de Stirling. Equivalentemente, $$

norte!∼ 2 π norte ( norte mi ) norte {\ textstyle n! \ sim {\ sqrt {2 \ pi n}} \ left ({\ frac {n} {e}} \ right) ^ {n}}

$$π= lim norte → ∞ mi 2 norte norte ! 2 2 norte 2 norte + 1. {\ Displaystyle \ pi = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {e ^ {2n} n! ^ {2}} {2n ^ {2n + 1}}}.}

Como una aplicación geométrica de la aproximación de Stirling, sea Δ n el simplex estándar en el espacio euclidiano n- dimensional, y ( n  + 1) Δ n denota el simplex que tiene todos sus lados escalados por un factor de n  + 1. Luego

$$Vol.⁡((norte+1) Δ norte)= ( norte + 1 ) norte norte !∼ mi norte + 1 2 π norte. {\ Displaystyle \ operatorname {Vol} ((n + 1) \ Delta _ {n}) = {\ frac {(n + 1) ^ {n}} {n!}} \ sim {\ frac {e ^ { n + 1}} {\ sqrt {2 \ pi n}}}.}

La conjetura de volumen de Ehrhart es que este es el límite superior (óptimo) del volumen de un cuerpo convexo que contiene solo un punto de celosía.

Teoría de números y función zeta de Riemann

Cada primo tiene un grupo Prüfer asociado, que son localizaciones aritméticas del círculo. Las funciones L de la teoría analítica de números también se localizan en cada primo p. Solución del problema de Basilea mediante la conjetura de Weil : el valor de ζ (2) es el área hiperbólica de un dominio fundamental del grupo modular, multiplicado por π / 2.

La función zeta de Riemann ζ ( s) se utiliza en muchas áreas de las matemáticas. Cuando se evalúa en s = 2, se puede escribir como

$$ζ(2)= 1 1 2+ 1 2 2+ 1 3 2+⋯ {\ Displaystyle \ zeta (2) = {\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2 }}} + \ cdots}

Encontrar una solución simple para esta serie infinita fue un problema famoso en matemáticas llamado problema de Basilea. Leonhard Euler resolvió en 1735 cuando se demostró que era igual a ¸ ² /6. El resultado de Euler conduce al resultado de la teoría de números de que la probabilidad de que dos números aleatorios sean relativamente primos (es decir, que no tengan factores compartidos) es igual a 6 / π ². Esta probabilidad se basa en la observación de que la probabilidad de que cualquier número sea divisible por un primo p es 1 / p (por ejemplo, cada séptimo entero es divisible por 7.) Por lo tanto, la probabilidad de que dos números sean ambos divisibles por este primo es 1 / p ², y la probabilidad de que al menos uno de ellos no lo sea es 1 - 1 / p ². Para primos distintos, estos eventos de divisibilidad son mutuamente independientes; por lo que la probabilidad de que dos números sean primos relativos viene dada por un producto sobre todos los primos:

$$ ∏ pag ∞ ( 1 - 1 pag 2 ) = ( ∏ pag ∞ 1 1 - pag - 2 ) - 1 = 1 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ = 1 ζ ( 2 ) = 6 π 2 ≈ 61 % . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ prod _ {p} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {1} {p ^ {2}}} \ right) amp; = \ left (\ prod _ {p} ^ {\ infty} {\ frac {1} {1-p ^ {- 2}}} \ right) ^ {- 1} \\ [4pt] amp; = {\ frac {1} {1+ { \ frac {1} {2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + \ cdots}} \\ [4pt] amp; = {\ frac {1} {\ zeta ( 2)}} = {\ frac {6} {\ pi ^ {2}}} \ approx 61 \%. \ End {alineado}}}

Esta probabilidad se puede usar junto con un generador de números aleatorios para aproximar π usando un enfoque de Monte Carlo.

La solución al problema de Basilea implica que la cantidad π derivada geométricamente está conectada de manera profunda a la distribución de números primos. Este es un caso especial de la conjetura de Weil sobre los números de Tamagawa, que afirma la igualdad de productos infinitos similares de cantidades aritméticas, localizados en cada primo p, y una cantidad geométrica: el recíproco del volumen de un cierto espacio localmente simétrico. En el caso del problema de Basilea, es el hiperbólico 3-múltiple SL 2 ( R) / SL 2 ( Z).

La función zeta también satisface la ecuación funcional de Riemann, que involucra tanto a π como a la función gamma:

$$ζ(s)= 2 s π s - 1 pecado⁡ ( π s 2 ) Γ(1-s) ζ(1-s). {\ Displaystyle \ zeta (s) = 2 ^ {s} \ pi ^ {s-1} \ \ sin \ left ({\ frac {\ pi s} {2}} \ right) \ \ Gamma (1-s) \ \ zeta (1-s).}

Además, la derivada de la función zeta satisface

$$Exp⁡(- ζ ′(0))= 2 π. {\ Displaystyle \ exp (- \ zeta '(0)) = {\ sqrt {2 \ pi}}.}

Una consecuencia es que π puede obtenerse del determinante funcional del oscilador armónico. Este determinante funcional se puede calcular mediante la expansión de un producto y es equivalente a la fórmula del producto de Wallis. El cálculo se puede reformular en mecánica cuántica, específicamente en el enfoque variacional del espectro del átomo de hidrógeno.

series de Fourier

π aparece en caracteres de números p-ádicos (mostrados), que son elementos de un grupo Prüfer. La tesis de Tate hace un uso intensivo de esta maquinaria.

La constante π también aparece naturalmente en las series de Fourier de funciones periódicas. Las funciones periódicas son funciones en el grupo T = R / Z de partes fraccionarias de números reales. La descomposición de Fourier muestra que una función de valor complejo f en T puede escribirse como una superposición lineal infinito de caracteres unitarios de T. Es decir, homomorfismos de grupo continuo de T al grupo circular U (1) de números complejos de módulo unitario. Es un teorema que todo carácter de T es uno de los exponenciales complejos. $$

mi norte(X)= mi 2 π I norte X {\ Displaystyle e_ {n} (x) = e ^ {2 \ pi inx}}

Hay un carácter único en T, hasta una conjugación compleja, que es un isomorfismo de grupo. Usando la medida de Haar en el grupo circular, la constante π es la mitad de la magnitud de la derivada Radon-Nikodym de este carácter. Los otros caracteres tienen derivadas cuyas magnitudes son múltiplos integrales positivos de 2 π. Como resultado, la constante π es el número único tal que el grupo T, equipado con su medida Haar, es Pontrjagin dual a la red de múltiplos enteros de 2 π. Ésta es una versión de la fórmula de suma de Poisson unidimensional.

Formas modulares y funciones theta

Las funciones theta se transforman bajo el entramado de períodos de una curva elíptica.

La constante π está conectada de manera profunda con la teoría de formas modulares y funciones theta. Por ejemplo, el algoritmo de Chudnovsky involucra de manera esencial el invariante j de una curva elíptica.

Las formas modulares son funciones holomorfas en el semiplano superior caracterizadas por sus propiedades de transformación bajo el grupo modular (o sus varios subgrupos), una red en el grupo. Un ejemplo es la función theta de Jacobi $$

S L 2( Z) {\ Displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {Z})}$$ S L 2( R) {\ Displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {R})}

$$θ(z,τ)= ∑ norte = - ∞ ∞ mi 2 π I norte z + I π norte 2 τ {\ Displaystyle \ theta (z, \ tau) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {2 \ pi inz + i \ pi n ^ {2} \ tau}}

que es una especie de forma modular llamada forma de Jacobi. Esto a veces se escribe en términos del nomo. $$

q= mi π I τ {\ Displaystyle q = e ^ {\ pi i \ tau}}

La constante π es la constante única que hace que la función theta de Jacobi sea una forma automórfica, lo que significa que se transforma de una manera específica. Ciertas identidades son válidas para todas las formas automórficas. Un ejemplo es

$$θ(z+τ,τ)= mi - π I τ - 2 π I zθ(z,τ), {\ Displaystyle \ theta (z + \ tau, \ tau) = e ^ {- \ pi i \ tau -2 \ pi iz} \ theta (z, \ tau),}

lo que implica que θ se transforma como una representación bajo el grupo discreto de Heisenberg. Las formas modulares generales y otras funciones theta también involucran π, una vez más debido al teorema de Stone-von Neumann.

Distribución de Cauchy y teoría del potencial

La bruja de Agnesi, llamada así por Maria Agnesi (1718-1799), es una construcción geométrica de la gráfica de la distribución de Cauchy.

La distribución de Cauchy

$$gramo(X)= 1 π⋅ 1 X 2 + 1 {\ Displaystyle g (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ cdot {\ frac {1} {x ^ {2} +1}}}

es una función de densidad de probabilidad. La probabilidad total es igual a uno, debido a la integral:

$$ ∫ - ∞ ∞ 1 X 2 + 1DX=π. {\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x ^ {2} +1}} \, dx = \ pi.}

La entropía de Shannon de la distribución de Cauchy es igual a ln (4π), que también involucra a π.

La distribución de Cauchy gobierna el paso de partículas brownianas a través de una membrana.

La distribución de Cauchy juega un papel importante en la teoría del potencial porque es la medida de Furstenberg más simple, el núcleo de Poisson clásico asociado con un movimiento browniano en un semiplano. Las funciones armónicas conjugadas y también la transformada de Hilbert están asociadas con las asintóticas del núcleo de Poisson. La transformada de Hilbert H es la transformada integral dada por el valor principal de Cauchy de la integral singular

$$HF(t)= 1 π ∫ - ∞ ∞ F ( X ) D X X - t. {\ Displaystyle Hf (t) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {f (x) \, dx} {xt}}.}

La constante π es el factor de normalización único (positivo) tal que H define una estructura compleja lineal en el espacio de Hilbert de funciones de valor real integrables al cuadrado en la línea real. La transformada de Hilbert, como la transformada de Fourier, se puede caracterizar puramente en términos de sus propiedades de transformación en el espacio de Hilbert L ² ( R): hasta un factor de normalización, es el operador lineal acotado único que conmuta con dilataciones positivas y anti- conmuta con todos los reflejos de la línea real. La constante π es el factor de normalización único que hace que esta transformación sea unitaria.

Dinámica compleja

π se puede calcular a partir del conjunto de Mandelbrot, contando el número de iteraciones necesarias antes de que el punto (−0,75, ε) diverja.

David Boll descubrió una ocurrencia de π en el conjunto fractal de Mandelbrot en 1991. Él examinó el comportamiento del conjunto de Mandelbrot cerca del "cuello" en (−0,75, 0). Si se consideran puntos con coordenadas (−0,75, ε), ya que ε tiende a cero, el número de iteraciones hasta la divergencia para el punto multiplicado por ε converge a π. El punto (0.25 + ε, 0) en la cúspide del gran "valle" en el lado derecho del conjunto de Mandelbrot se comporta de manera similar: el número de iteraciones hasta la divergencia multiplicado por la raíz cuadrada de ε tiende a π.

Fuera de las matemáticas

Describir fenómenos físicos

Aunque no es una constante física, π aparece de forma rutinaria en las ecuaciones que describen los principios fundamentales del universo, a menudo debido a la relación de π con el círculo y con los sistemas de coordenadas esféricas. Una fórmula simple del campo de la mecánica clásica da el período aproximado T de un péndulo simple de longitud L, oscilando con una pequeña amplitud ( g es la aceleración gravitacional de la Tierra ):

$$T≈2π L gramo. {\ Displaystyle T \ approx 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {L} {g}}}.}

Una de las fórmulas clave de la mecánica cuántica es el principio de incertidumbre de Heisenberg, que muestra que la incertidumbre en la medición de la posición de una partícula (Δ x) y el momento (Δ p) no puede ser arbitrariamente pequeña al mismo tiempo (donde h es la constante de Planck ):

$$ΔXΔpag≥ h 4 π. {\ Displaystyle \ Delta x \, \ Delta p \ geq {\ frac {h} {4 \ pi}}.}

El hecho de que π sea ​​aproximadamente igual a 3 juega un papel en la vida relativamente larga del ortopositronio. La vida útil inversa al orden más bajo en la constante de estructura fina α es

$$ 1 τ=2 π 2 - 9 9 πmetro α 6, {\ displaystyle {\ frac {1} {\ tau}} = 2 {\ frac {\ pi ^ {2} -9} {9 \ pi}} m \ alpha ^ {6},}

donde m es la masa del electrón.

π está presente en algunas fórmulas de ingeniería estructural, como la fórmula de pandeo derivada por Euler, que da la carga axial máxima F que una columna larga y delgada de longitud L, módulo de elasticidad E y momento de inercia de área I puede soportar sin pandeo:

$$F= π 2 mi I L 2. {\ Displaystyle F = {\ frac {\ pi ^ {2} EI} {L ^ {2}}}.}

El campo de la dinámica de fluidos contiene π en la ley de Stokes, que se aproxima a la fuerza de fricción F ejercida sobre pequeños objetos esféricos de radio R, que se mueven con velocidad v en un fluido con viscosidad dinámica η:

$$F=6πηRv. {\ Displaystyle F = 6 \ pi \ eta Rv.}

En electromagnetismo, la constante de permeabilidad al vacío μ 0 aparece en las ecuaciones de Maxwell, que describen las propiedades de los campos eléctricos y magnéticos y la radiación electromagnética. Antes del 20 de mayo de 2019, se definía exactamente como

$$ μ 0=4π× 10 - 7  H / m≈1.2566370614...× 10 - 6  N / A 2. {\ Displaystyle \ mu _ {0} = 4 \ pi \ times 10 ^ {- 7} {\ text {H / m}} \ approx 1.2566370614 \ ldots \ times 10 ^ {- 6} {\ text {N / A }} ^ {2}.}

Una relación para la velocidad de la luz en el vacío, c se puede derivar de las ecuaciones de Maxwell en el medio del vacío clásico usando una relación entre μ 0 y la constante eléctrica (permitividad del vacío), ε 0 en unidades SI:

$$C= 1 μ 0 ε 0. {\ Displaystyle c = {1 \ over {\ sqrt {\ mu _ {0} \ varepsilon _ {0}}}}.}

En condiciones ideales (pendiente suave uniforme sobre un sustrato erosionable homogéneamente), la sinuosidad de un río serpenteante se aproxima a π. La sinuosidad es la relación entre la longitud real y la distancia en línea recta desde la fuente hasta la boca. Las corrientes más rápidas a lo largo de los bordes exteriores de las curvas de un río causan más erosión que a lo largo de los bordes interiores, lo que empuja las curvas aún más hacia afuera y aumenta la curva general del río. Sin embargo, ese bucle eventualmente hace que el río se doble sobre sí mismo en algunos lugares y se "cortocircuite", creando un lago en forma de arco de buey en el proceso. El equilibrio entre estos dos factores opuestos conduce a una relación media de π entre la longitud real y la distancia directa entre la fuente y la boca.

Memorizando dígitos

Artículo principal: Piphilology

La pirología es la práctica de memorizar una gran cantidad de dígitos de π, y los récords mundiales se mantienen en los récords mundiales Guinness. El récord de memorización de dígitos de π, certificado por Guinness World Records, es de 70.000 dígitos, recitado en India por Rajveer Meena en 9 horas y 27 minutos el 21 de marzo de 2015. En 2006, Akira Haraguchi, un ingeniero japonés jubilado, afirmó haber recitado 100.000 lugares decimales, pero la afirmación no fue verificada por Guinness World Records.

Una técnica común es memorizar una historia o un poema en el que las longitudes de las palabras representan los dígitos de π: la primera palabra tiene tres letras, la segunda palabra tiene una, la tercera tiene cuatro, la cuarta tiene una, la quinta tiene cinco y pronto. Estas ayudas para la memorización se denominan mnemotécnicas. Un ejemplo temprano de un mnemónico para pi, originalmente ideado por el científico inglés James Jeans, es "Cómo quiero una bebida, alcohólico por supuesto, después de las intensas conferencias sobre mecánica cuántica". Cuando se usa un poema, a veces se lo denomina piem. Se han compuesto poemas para memorizar π en varios idiomas además del inglés. Los memorizadores de π que establecen récords generalmente no se basan en poemas, sino que usan métodos como recordar patrones numéricos y el método de loci.

Algunos autores han utilizado los dígitos de π para establecer una nueva forma de escritura restringida, donde se requieren las longitudes de las palabras para representar los dígitos de π. El Cadaeic Cadenza contiene los primeros 3835 dígitos de π de esta manera, y el libro de longitud completa No es un despertador contiene 10.000 palabras, cada uno representando un dígito de π.

En la cultura popular

Una tarta de pi. Los pasteles son circulares, y "pastel" y π son homófonos, lo que hace que el pastel sea un tema frecuente de juegos de palabras.

Quizás debido a la simplicidad de su definición y su omnipresente presencia en las fórmulas, π se ha representado en la cultura popular más que otros constructos matemáticos.

En la coproducción del documental de 2008 Open University y BBC, The Story of Maths, emitido en octubre de 2008 por BBC Four, el matemático británico Marcus du Sautoy muestra una visualización de la fórmula (históricamente primera exacta) para calcular π cuando visita India y explora su Contribuciones a la trigonometría.

En el Palais de la Découverte (un museo de ciencia en París) hay una sala circular conocida como la sala pi. En su pared están inscritos 707 dígitos de π. Los dígitos son grandes caracteres de madera unidos al techo en forma de cúpula. Los dígitos se basaron en un cálculo de 1874 realizado por el matemático inglés William Shanks, que incluía un error que comenzaba en el dígito 528. El error se detectó en 1946 y se corrigió en 1949.

En la novela Contact de Carl Sagan, se sugiere que el creador del universo enterró un mensaje en lo profundo de los dígitos de π. Los dígitos de π también se han incorporado a la letra de la canción "Pi" del álbum Aerial de Kate Bush.

En el episodio Wolf in the Fold de Star Trek, una computadora fuera de control está contenida al recibir instrucciones de "Calcular hasta el último dígito el valor de π ", aunque " π es una figura trascendental sin resolución".

En los Estados Unidos, el Día de Pi cae el 14 de marzo (escrito el 14 de marzo al estilo estadounidense) y es popular entre los estudiantes. π y su representación digital son a menudo utilizados por autodenominados " geeks matemáticos " para bromas internas entre grupos de mentalidad matemática y tecnológica. Varias aclamaciones universitarias en el Instituto de Tecnología de Massachusetts incluyen "3.14159". El Día de Pi en 2015 fue particularmente significativo porque la fecha y la hora 14/03/15 9:26:53 reflejaban muchos más dígitos de pi. En partes del mundo donde las fechas se indican comúnmente en formato de día / mes / año, el 22 de julio representa el "Día de aproximación Pi", como 22/7 = 3,142857.

Durante la subasta de 2011 de la cartera de patentes de tecnología valiosa de Nortel, Google realizó una serie de ofertas inusualmente específicas basadas en constantes matemáticas y científicas, incluida π.

En 1958 Albert Eagle propuso reemplazar π por τ ( tau ), donde τ = π / 2, para simplificar fórmulas. Sin embargo, no se conocen otros autores que utilicen τ de esta forma. Algunas personas usan un valor diferente, τ = 2 π = 6.28318..., argumentando que τ, como el número de radianes en una vuelta, o como la razón entre la circunferencia de un círculo y su radio en lugar de su diámetro, es más natural que π y simplifica muchas fórmulas. Los medios de comunicación han informado de festejos de esta cifra, porque equivale aproximadamente a 6,28, al hacer el 28 de junio "Día Tau" y comerse "el doble del pastel". Sin embargo, este uso de τ no se ha abierto camino en las matemáticas convencionales. Tau se agregó al lenguaje de programación Python (como math.tau) en la versión 3.6

En 1897, un matemático aficionado intentó persuadir a la legislatura de Indiana para que aprobara el Indiana Pi Bill, que describía un método para cuadrar el círculo y contenía texto que implicaba varios valores incorrectos para π, incluido 3.2. El proyecto de ley es notorio como un intento de establecer un valor de constante científica por mandato legislativo. El proyecto de ley fue aprobado por la Cámara de Representantes de Indiana, pero rechazado por el Senado, lo que significa que no se convirtió en ley.

En la cultura informática

En la cultura de Internet contemporánea, los individuos y las organizaciones suelen rendir homenaje al número π. Por ejemplo, el científico informático Donald Knuth dejó que los números de versión de su programa TeX se acercaran a π. Las versiones son 3, 3.1, 3.14, etc.

Ver también

• Aproximaciones de π
• Cronología del cálculo de π
• Lista de constantes matemáticas
• Día de Pi

Referencias

Notas

Citas

Fuentes

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enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Pi.

• 10 millones de lugares decimales
• "Pi" en Wolfram Mathworld
• Representaciones de Pi en Wolfram Alpha
• Demostración de Lambert (1761) de la irracionalidad de π, BibNum en línea y analizado (PDF).
• π motor de búsqueda de 2 mil millones de dígitos de búsqueda de π, e y √ 2