En el espacio tridimensional, un sólido platónico es una normal, convexo poliedro. Está construido por caras poligonales congruentes (idénticas en forma y tamaño), regulares (todos los ángulos iguales y todos los lados iguales) con el mismo número de caras que se encuentran en cada vértice. Cinco sólidos cumplen estos criterios:
Los geómetros han estudiado los sólidos platónicos durante miles de años. Llevan el nombre del antiguo filósofo griego Platón, quien planteó la hipótesis en uno de sus diálogos, el Timeo, de que los elementos clásicos estaban hechos de estos sólidos regulares.
Contenido
- 1 Historia
- 2 coordenadas cartesianas
- 3 propiedades combinatorias
- 4 Clasificación
- 4.1 Prueba geométrica
- 4.2 Prueba topológica
- 5 Propiedades geométricas
- 5.1 ángulos
- 5.2 Radios, área y volumen
- 5.3 Punto en el espacio
- 5.4 propiedad de Rupert
- 6 simetría
- 6.1 Poliedros duales
- 6.2 Grupos de simetría
- 7 En naturaleza y tecnología
- 7.1 Cristales líquidos con simetrías de sólidos platónicos
- 8 Poliedros y politopos relacionados
- 8.1 Poliedros uniformes
- 8.2 Teselaciones regulares
- 8.3 Dimensiones superiores
- 9 Proyección estereográfica
- 10 Véase también
- 11 referencias
- 12 fuentes
- 13 Enlaces externos
Historia
Modelo sólido platónico
de Kepler del Sistema Solar de
Mysterium Cosmographicum (1596)
Asignación a los elementos del Mysterium Cosmographicum de Kepler
Los sólidos platónicos se conocen desde la antigüedad. Se ha sugerido que ciertas bolas de piedra talladas creadas por la gente del Neolítico tardío de Escocia representan estas formas; Sin embargo, estas bolas tienen protuberancias redondeadas en lugar de ser poliédricas, el número de protuberancias con frecuencia difería del número de vértices de los sólidos platónicos, no hay ninguna bola cuyas protuberancias coincidan con los 20 vértices del dodecaedro y la disposición de las protuberancias no fue adecuada. siempre simétrico.
Los antiguos griegos estudiaron extensamente los sólidos platónicos. Algunas fuentes (como Proclus ) le dan crédito a Pitágoras por su descubrimiento. Otra evidencia sugiere que puede haber estado familiarizado solo con el tetraedro, el cubo y el dodecaedro y que el descubrimiento del octaedro y el icosaedro pertenecen a Theaetetus, un contemporáneo de Platón. En cualquier caso, Theaetetus dio una descripción matemática de los cinco y puede haber sido responsable de la primera prueba conocida de que no existen otros poliedros regulares convexos.
Los sólidos platónicos son prominentes en la filosofía de Platón, su homónimo. Platón escribió sobre ellos en el diálogo Timeo c.360 aC en el que asoció cada uno de los cuatro elementos clásicos ( tierra, aire, agua y fuego ) con un sólido regular. La tierra se asoció con el cubo, el aire con el octaedro, el agua con el icosaedro y el fuego con el tetraedro. Había una justificación intuitiva para estas asociaciones: el calor del fuego se siente agudo y punzante (como pequeños tetraedros). El aire está hecho de octaedro; sus componentes minúsculos son tan suaves que apenas se puede sentir. El agua, el icosaedro, sale de la mano cuando se levanta, como si estuviera hecho de bolitas diminutas. Por el contrario, un sólido altamente no esférico, el hexaedro (cubo) representa la "tierra". Estos pequeños sólidos torpes hacen que la suciedad se desmorone y se rompa cuando se recoge en marcada diferencia con el flujo suave del agua. Además, se creía que el cubo era el único sólido regular que tesela el espacio euclidiano para causar la solidez de la Tierra.
Del quinto sólido platónico, el dodecaedro, Platón comentó oscuramente, "... el dios lo usó para arreglar las constelaciones en todo el cielo". Aristóteles añadió un quinto elemento, aithēr (aether en latín, "ether" en inglés) y postuló que los cielos estaban hechos de este elemento, pero no tenía ningún interés en emparejarlo con el quinto sólido de Platón.
Euclides describió completamente matemáticamente los sólidos platónicos en los Elementos, el último libro (Libro XIII) del cual está dedicado a sus propiedades. Las proposiciones 13-17 del libro XIII describen la construcción del tetraedro, octaedro, cubo, icosaedro y dodecaedro en ese orden. Para cada sólido, Euclides encuentra la relación entre el diámetro de la esfera circunscrita y la longitud del borde. En la Proposición 18 sostiene que no hay más poliedros convexos regulares. Andreas Speiser ha defendido la opinión de que la construcción de los 5 sólidos regulares es el objetivo principal del sistema deductivo canonizado en los Elementos. Gran parte de la información del Libro XIII probablemente se deriva del trabajo de Theaetetus.
En el siglo XVI, el astrónomo alemán Johannes Kepler intentó relacionar los cinco planetas extraterrestres conocidos en ese momento con los cinco sólidos platónicos. En Mysterium Cosmographicum, publicado en 1596, Kepler propuso un modelo del Sistema Solar en el que los cinco sólidos estaban colocados uno dentro del otro y separados por una serie de esferas inscritas y circunscritas. Kepler propuso que las relaciones de distancia entre los seis planetas conocidos en ese momento podrían entenderse en términos de los cinco sólidos platónicos encerrados dentro de una esfera que representaba la órbita de Saturno. Cada una de las seis esferas correspondía a uno de los planetas ( Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter y Saturno). Los sólidos se ordenaron siendo el más interno el octaedro, seguido por el icosaedro, el dodecaedro, el tetraedro y finalmente el cubo, dictando así la estructura del sistema solar y las relaciones de distancia entre los planetas por los sólidos platónicos. Al final, la idea original de Kepler tuvo que ser abandonada, pero de su investigación surgieron sus tres leyes de la dinámica orbital, la primera de las cuales era que las órbitas de los planetas son elipses en lugar de círculos, cambiando el curso de la física y la astronomía. También descubrió los sólidos de Kepler.
Coordenadas cartesianas
Para los sólidos platónicos centrados en el origen, las coordenadas cartesianas simples de los vértices se dan a continuación. La letra griega φ se usa para representar la proporción áurea 1 + √ 5/2 ≈ 1,6180.
Parámetros | Figura | Tetraedro | Octaedro | Cubo | Icosaedro | Dodecaedro |
| Caras | 4 | 8 | 6 | 20 | 12 |
| Vértices | 4 | 6 (2 × 3) | 8 | 12 (4 × 3) | 20 (8 + 4 × 3) |
| Conjunto de orientación | 1 | 2 | | | 1 | 2 | 1 | 2 |
| Coordenadas de vértice | ( 1, 1, 1) ( 1, −1, −1) (−1, 1, −1) (−1, −1, 1) | (−1, −1, −1) (−1, 1, 1) ( 1, −1, 1) ( 1, 1, −1) | (± 1, 0, 0) ( 0, ± 1, 0) ( 0, 0, ± 1) | (± 1, ± 1, ± 1) | ( 0, ± 1, ± φ) (± 1, ± φ, 0) (± φ, 0, ± 1) | ( 0, ± φ, ± 1) (± φ, ± 1, 0) (± 1, 0, ± φ) | (± 1, ± 1, ± 1) ( 0, ±1/φ, ± φ) (±1/φ, ± φ, 0) (± φ, 0, ±1/φ) | (± 1, ± 1, ± 1) ( 0, ± φ, ±1/φ) (± φ, ±1/φ, 0) (±1/φ, 0, ± φ) |
| Imagen |  |  |  |  |
Las coordenadas para el tetraedro, el dodecaedro y el icosaedro se dan en dos conjuntos de orientación, cada uno de los cuales contiene la mitad del signo y la permutación de la posición de las coordenadas.
Estas coordenadas revelan ciertas relaciones entre los sólidos platónicos: los vértices del tetraedro representan la mitad de los del cubo, como {4,3} o 
, uno de los dos conjuntos de 4 vértices en posiciones dobles, como h {4,3} o 
. Ambas posiciones tetraédricas forman el octaedro estrellado compuesto.
Las coordenadas del icosaedro están relacionadas con dos conjuntos alternos de coordenadas de un octaedro truncado no uniforme, t {3,4} o, también llamado octaedro chato, como s {3,4} o, y visto en el compuesto de dos icosaedros.
Ocho de los vértices del dodecaedro se comparten con el cubo. Completar todas las orientaciones conduce al compuesto de cinco cubos.
Propiedades combinatorias
Un poliedro convexo es un sólido platónico si y solo si
- todas sus caras son polígonos regulares convexos congruentes,
- ninguna de sus caras se cruza excepto en sus bordes, y
- el mismo número de caras se encuentran en cada uno de sus vértices.
Por tanto, cada sólido platónico se puede denotar con un símbolo { p, q } donde
- p es el número de aristas (o, equivalentemente, vértices) de cada cara, y
- q es el número de caras (o, de manera equivalente, aristas) que se encuentran en cada vértice.
El símbolo { p, q }, llamado símbolo de Schläfli, da una descripción combinatoria del poliedro. Los símbolos de Schläfli de los cinco sólidos platónicos se dan en la siguiente tabla.
Toda la demás información combinatoria de estos sólidos, como el número total de vértices ( V), los bordes ( E), y caras ( F), puede determinarse a partir de p y q. Dado que cualquier borde une dos vértices y tiene dos caras adyacentes, debemos tener:
La otra relación entre estos valores viene dada por la fórmula de Euler :
Esto se puede demostrar de muchas formas. Juntas, estas tres relaciones determinan completamente V, E y F:
Intercambio de p y q intercambios F y V, dejando E sin cambios. Para una interpretación geométrica de esta propiedad, consulte § Poliedros duales.
Como configuración
Los elementos de un poliedro se pueden expresar en una matriz de configuración. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas y caras. Los números diagonales dicen cuántos de cada elemento ocurren en todo el poliedro. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna se encuentran en el elemento de la fila o en el mismo. Los pares duales de poliedros tienen sus matrices de configuración giradas 180 grados entre sí.
| {p, q} | Configuraciones platónicas |
| Orden de grupo : g = 8 pq / (4 - ( p - 2) ( q - 2)) | g = 24 | g = 48 | g = 120 |
| v | mi | F | | v | g / 2 q | q | q | | mi | 2 | g / 4 | 2 | | F | pag | pag | g / 2 p | | | | | {3,5} | 12 | 5 | 5 | | 2 | 30 | 2 | | 3 | 3 | 20 | | {5,3} | 20 | 3 | 3 | | 2 | 30 | 2 | | 5 | 5 | 12 | |
Clasificación
El resultado clásico es que solo existen cinco poliedros regulares convexos. Dos argumentos comunes a continuación demuestran que no pueden existir más de cinco sólidos platónicos, pero demostrar positivamente la existencia de cualquier sólido dado es una pregunta separada, una que requiere una construcción explícita.
Prueba geométrica
Redes poligonales alrededor de un vértice  {3,3} Defecto 180 ° |  {3,4} Defecto 120 ° |  {3,5} Defecto 60 ° |  {3,6} Defecto 0 ° |
 {4,3} Defecto 90 ° |  {4,4} Defecto 0 ° |  {5,3} Defecto 36 ° |  {6,3} Defecto 0 ° |
| Un vértice necesita al menos 3 caras y un defecto de ángulo. Un defecto de ángulo de 0 ° llenará el plano euclidiano con un mosaico regular. Según el teorema de Descartes, el número de vértices es 720 ° / defecto. |
El siguiente argumento geométrico es muy similar al dado por Euclides en los Elementos :
- Cada vértice del sólido debe ser un vértice de al menos tres caras.
- En cada vértice del sólido, el total, entre las caras adyacentes, de los ángulos entre sus respectivos lados adyacentes debe ser estrictamente menor a 360 °. La cantidad menor de 360 ° se llama defecto de ángulo.
- Los polígonos regulares de seis o más lados tienen solo ángulos de 120 ° o más, por lo que la cara común debe ser el triángulo, el cuadrado o el pentágono. Para estas diferentes formas de caras, se aplica lo siguiente:
- Caras triangulares
- Cada vértice de un triángulo regular mide 60 °, por lo que una forma puede tener 3, 4 o 5 triángulos que se unen en un vértice; estos son el tetraedro, el octaedro y el icosaedro, respectivamente.
- Caras cuadradas
- Cada vértice de un cuadrado es de 90 °, por lo que solo es posible una disposición con tres caras en un vértice, el cubo.
- Caras pentagonales
- Cada vértice mide 108 °; de nuevo, sólo es posible una disposición de tres caras en un vértice, el dodecaedro.
En total, esto hace 5 posibles sólidos platónicos.
Prueba topológica
Se puede realizar una prueba puramente topológica utilizando solo información combinatoria sobre los sólidos. La clave es la observación de Euler de que V - E + F = 2, y el hecho de que pF = 2 E = qV, donde p representa el número de aristas de cada cara yq el número de aristas que se encuentran en cada vértice. Combinando estas ecuaciones se obtiene la ecuación
Proyecciones ortográficas y diagramas de Schlegel con ciclos hamiltonianos de los vértices de los cinco sólidos platónicos: solo el octaedro tiene un camino o ciclo euleriano, al extender su camino con el punteado
La manipulación algebraica simple da
Dado que E es estrictamente positivo, debemos tener
Usando el hecho de que p y q deben ser al menos 3, uno puede ver fácilmente que solo hay cinco posibilidades para { p, q }:
- {3, 3}, {4, 3}, {3, 4}, {5, 3}, {3, 5}.
Propiedades geometricas
Anglos
Hay una serie de ángulos asociados con cada sólido platónico. El ángulo diedro es el ángulo interior entre dos planos de caras cualesquiera. El ángulo diedro, θ, del sólido { p, q } viene dado por la fórmula
Esto a veces se expresa más convenientemente en términos de la tangente por
La cantidad h (llamada número de Coxeter ) es 4, 6, 6, 10 y 10 para el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro, respectivamente.
La deficiencia angular en el vértice de un poliedro es la diferencia entre la suma de los ángulos de las caras en ese vértice y 2 π. El defecto, δ, en cualquier vértice de los sólidos platónicos { p, q } es
Según un teorema de Descartes, esto es igual a 4 π dividido por el número de vértices (es decir, el defecto total en todos los vértices es 4 π).
El análogo tridimensional de un ángulo plano es un ángulo sólido. El ángulo sólido, Ω, en el vértice de un sólido platónico está dado en términos del ángulo diedro por
Esto se sigue de la fórmula del exceso esférico para un polígono esférico y del hecho de que la figura del vértice del poliedro { p, q } es un q -gon regular.
El ángulo sólido de una cara subtendida desde el centro de un sólido platónico es igual al ángulo sólido de una esfera completa (4 π estereorradián) dividido por el número de caras. Esto es igual a la deficiencia angular de su dual.
Los diversos ángulos asociados con los sólidos platónicos se tabulan a continuación. Los valores numéricos de los ángulos sólidos se dan en estereorradianes. La constante φ =1 + √ 5/2es la proporción áurea.
| Poliedro | Ángulo diedro ( θ) | broncearse θ/2 | Defecto ( δ) | Ángulo sólido del vértice ( Ω) | Ángulo sólido de cara |
| tetraedro | 70,53 ° |  |  |  | |
| cubo | 90 ° |  |  |  |  |
| octaedro | 109,47 ° |  |  |  | |
| dodecaedro | 116,57 ° |  |  |  |  |
| icosaedro | 138,19 ° |  | |  | |
Radios, área y volumen
Otra virtud de la regularidad es que todos los sólidos platónicos poseen tres esferas concéntricas:
Los radios de estas esferas se denominan circunradio, radio medio y radio interno. Estas son las distancias desde el centro del poliedro hasta los vértices, los puntos medios de los bordes y los centros de las caras, respectivamente. El radio circunferencial R y el radio interno r del sólido { p, q } con una longitud de borde a están dados por
