⟨ norte | a a † | norte ⟩ = ⟨ norte | ( [ a , a † ] + a † a ) | norte ⟩ = ⟨ norte | ( norte + 1 ) | norte ⟩ = norte + 1 ⇒ a † | norte ⟩ = norte + 1 | norte + 1 ⟩ ⇒ | norte ⟩ = a † norte | norte - 1 ⟩ = ( a † ) 2 norte ( norte - 1 ) | norte - 2 ⟩ = ⋯ = ( a † ) norte norte ! | 0 ⟩ .
{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ langle n | aa ^ {\ dagger} | n \ rangle amp; = \ langle n | \ left ([a, a ^ {\ dagger}] + a ^ {\ dagger} a \ right) | n \ rangle = \ langle n | (N + 1) | n \ rangle = n + 1 \\\ Flecha derecha a ^ {\ dagger} | n \ rangle amp; = {\ sqrt {n + 1}} | n + 1 \ rangle \\\ Flecha derecha | n \ rangle amp; = {\ frac {a ^ {\ dagger}} {\ sqrt {n}}} | n-1 \ rangle = {\ frac {(a ^ { \ daga}) ^ {2}} {\ sqrt {n (n-1)}}} | n-2 \ rangle = \ cdots = {\ frac {(a ^ {\ daga}) ^ {n}} { \ sqrt {n!}}} | 0 \ rangle. \ end {alineado}}} Preguntas analíticas El análisis anterior es algebraico, utilizando solo las relaciones de conmutación entre los operadores de subida y bajada. Una vez que se completa el análisis algebraico, uno debe pasar a las preguntas analíticas. Primero, se debe encontrar el estado fundamental, es decir, la solución de la ecuación. En la representación de la posición, esta es la ecuación diferencial de primer orden {\ Displaystyle a \ psi _ {0} = 0}
( X + ℏ metro ω D D X ) ψ 0 = 0
{\ Displaystyle \ left (x + {\ frac {\ hbar} {m \ omega}} {\ frac {d} {dx}} \ right) \ psi _ {0} = 0} cuya solución es fácilmente la gaussiana
ψ 0 ( X ) = C mi - metro ω X 2 2 ℏ
{\ Displaystyle \ psi _ {0} (x) = Ce ^ {- {\ frac {m \ omega x ^ {2}} {2 \ hbar}}}} Conceptualmente, es importante que solo haya una solución de esta ecuación; si hubiera, digamos, dos estados fundamentales linealmente independientes, obtendríamos dos cadenas independientes de vectores propios para el oscilador armónico. Una vez que se calcula el estado fundamental, se puede demostrar inductivamente que los estados excitados son polinomios de Hermite multiplicados por el estado fundamental de Gauss, utilizando la forma explícita del operador de elevación en la representación de posición. También se puede probar que, como se esperaba de la unicidad del estado fundamental, los estados propios de energía de las funciones de Hermite construidos por el método de escalera forman un conjunto completo de funciones ortonormales. {\ Displaystyle \ psi _ {n}}
Conectando explícitamente con la sección anterior, el estado fundamental | 0⟩ en la representación de posición está determinado por, {\ Displaystyle a | 0 \ rangle = 0}
⟨ X ∣ a ∣ 0 ⟩ = 0 ⇒ ( X + ℏ metro ω D D X ) ⟨ X ∣ 0 ⟩ = 0 ⇒
{\ Displaystyle \ left \ langle x \ mid a \ mid 0 \ right \ rangle = 0 \ qquad \ Rightarrow \ left (x + {\ frac {\ hbar} {m \ omega}} {\ frac {d} {dx} } \ right) \ left \ langle x \ mid 0 \ right \ rangle = 0 \ qquad \ Rightarrow} ⟨ X ∣ 0 ⟩ = ( metro ω π ℏ ) 1 4 Exp ( - metro ω 2 ℏ X 2 ) = ψ 0 ,
{\ Displaystyle \ left \ langle x \ mid 0 \ right \ rangle = \ left ({\ frac {m \ omega} {\ pi \ hbar}} \ right) ^ {\ frac {1} {4}} \ exp \ left (- {\ frac {m \ omega} {2 \ hbar}} x ^ {2} \ right) = \ psi _ {0} ~,} por eso
⟨ X ∣ a † ∣ 0 ⟩ = ψ 1 ( X ) ,
{\ Displaystyle \ langle x \ mid a ^ {\ dagger} \ mid 0 \ rangle = \ psi _ {1} (x) ~,} así que, y así sucesivamente. ψ 1 ( X , t ) = ⟨ X ∣ mi - 3 I ω t / 2 a † ∣ 0 ⟩
{\ Displaystyle \ psi _ {1} (x, t) = \ langle x \ mid e ^ {- 3i \ omega t / 2} a ^ {\ dagger} \ mid 0 \ rangle}
Escalas de energía y longitud natural El oscilador armónico cuántico posee escalas naturales de longitud y energía, que pueden usarse para simplificar el problema. Estos se pueden encontrar por no dimensionalización .
El resultado es que, si la energía se mide en unidades de ħω y la distancia en unidades de √ ħ / ( mω), entonces el hamiltoniano se simplifica a
H = - 1 2 D 2 D X 2 + 1 2 X 2 ,
{\ Displaystyle H = - {\ frac {1} {2}} {d ^ {2} \ over dx ^ {2}} + {\ frac {1} {2}} x ^ {2},} mientras que las funciones propias de energía y los valores propios se simplifican a funciones de Hermite y enteros compensados por la mitad,
ψ norte ( X ) = ⟨ X ∣ norte ⟩ = 1 2 norte norte ! π - 1 / 4 Exp ( - X 2 / 2 ) H norte ( X ) ,
{\ Displaystyle \ psi _ {n} (x) = \ left \ langle x \ mid n \ right \ rangle = {1 \ over {\ sqrt {2 ^ {n} n!}}} ~ \ pi ^ {- 1/4} \ exp (-x ^ {2} / 2) ~ H_ {n} (x),} {\ Displaystyle E_ {n} = n + {\ tfrac {1} {2}} ~,} donde H n ( x) son los polinomios de Hermite .
Para evitar confusiones, estas "unidades naturales" en su mayoría no se adoptarán en este artículo. Sin embargo, con frecuencia son útiles al realizar cálculos, evitando el desorden.
Por ejemplo, la solución fundamental ( propagador ) de H − i∂ t, el operador de Schrödinger dependiente del tiempo para este oscilador, simplemente se reduce al núcleo de Mehler ,
⟨ X ∣ Exp ( - I t H ) ∣ y ⟩ ≡ K ( X , y ; t ) = 1 2 π I pecado t Exp ( I 2 pecado t ( ( X 2 + y 2 ) porque t - 2 X y ) ) ,
{\ Displaystyle \ langle x \ mid \ exp (-itH) \ mid y \ rangle \ equiv K (x, y; t) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi i \ sin t}}} \ exp \ left ({\ frac {i} {2 \ sin t}} \ left ((x ^ {2} + y ^ {2}) \ cos t-2xy \ right) \ right) ~,} donde K ( x, y ; 0) = δ ( x - y). La solución más general para una configuración inicial dada ψ ( x, 0) entonces es simplemente
ψ ( X , t ) = ∫ D y K ( X , y ; t ) ψ ( y , 0 ) .
{\ Displaystyle \ psi (x, t) = \ int dy ~ K (x, y; t) \ psi (y, 0) ~.} Formulación de integral de trayectoria § Oscilador armónico simple Estados coherentes Artículo principal: Estado coherente Los estados coherentes del oscilador armónico son especiales no dispersivas paquetes de ondas , con incertidumbre mínima σ x σ p = ℏ / 2, cuyo observables ' valores esperados evolucionar como un sistema clásico. Son vectores propios del operador de aniquilación, no del hamiltoniano, y forman una base supercompleta que, en consecuencia, carece de ortogonalidad.
Los estados coherentes están indexados por α ∈ ℂ y expresados en | n ⟩ base que
| α ⟩ = ∑ norte = 0 ∞ | norte ⟩ ⟨ norte | α ⟩ = mi - 1 2 | α | 2 ∑ norte = 0 ∞ α norte norte ! | norte ⟩ = mi - 1 2 | α | 2 mi α a † mi - α ∗ a | 0 ⟩
{\ Displaystyle | \ alpha \ rangle = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} | n \ rangle \ langle n | \ alpha \ rangle = e ^ {- {\ frac {1} {2}} | \ alpha | ^ {2}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ alpha ^ {n}} {\ sqrt {n!}}} | n \ rangle = e ^ {- {\ frac {1} {2}} | \ alpha | ^ {2}} e ^ {\ alpha a ^ {\ dagger}} e ^ {- {\ alpha ^ {*} a}} | 0 \ rangle} Debido a y a través de la identidad Kermack-McCrae, la última forma es equivalente a una unitaria operador de desplazamiento que actúa sobre el estado fundamental:. Las funciones de onda del espacio de posición son {\ Displaystyle a \ left | 0 \ right \ rangle = 0} | α ⟩ = mi α a ^ † - α ∗ a ^ | 0 ⟩ = D ( α ) | 0 ⟩
{\ Displaystyle | \ alpha \ rangle = e ^ {\ alpha {\ hat {a}} ^ {\ dagger} - \ alpha ^ {*} {\ hat {a}}} | 0 \ rangle = D (\ alpha) | 0 \ rangle}
ψ α ( X ′ ) = ( metro ω π ℏ ) 1 4 mi I ℏ ⟨ pag ^ ⟩ α X ′ - metro ω 2 ℏ ( X ′ - ⟨ X ^ ⟩ α ) 2
{\ Displaystyle \ psi _ {\ alpha} (x ') = \ left ({\ frac {m \ omega} {\ pi \ hbar}} \ right) ^ {\ frac {1} {4}} e ^ { {\ frac {i} {\ hbar}} \ langle {\ hat {p}} \ rangle _ {\ alpha} x '- {\ frac {m \ omega} {2 \ hbar}} (x' - \ langle {\ hat {x}} \ rangle _ {\ alpha}) ^ {2}}} Dado que los estados coherentes no son estados propios de energía, su evolución temporal no es un simple cambio en la fase de la función de onda. Los estados de tiempo-evolucionado son, sin embargo, también estados coherentes pero con el parámetro de cambio de fase alfa en su lugar:. α ( t ) = α ( 0 ) Exp ( - I ω t )
{\ Displaystyle \ alpha (t) = \ alpha (0) \ exp (-i \ omega t)}
Estados muy emocionados Cuando n es grande, los autoestados se localizan en la región clásica permitida, es decir, la región en la que puede moverse una partícula clásica con energía E n. Los estados propios tienen su pico cerca de los puntos de inflexión: los puntos en los extremos de la región clásicamente permitida donde la partícula clásica cambia de dirección. Este fenómeno se puede verificar mediante la asintótica de los polinomios de Hermite , y también mediante la aproximación WKB .
La frecuencia de oscilación en x es proporcional al momento p ( x) de una partícula clásica de energía E n y posición x. Además, el cuadrado de la amplitud (que determina la densidad de probabilidad) es inversamente proporcional ap ( x), lo que refleja el tiempo que la partícula clásica pasa cerca de x. El comportamiento del sistema en un pequeño vecindario del punto de inflexión no tiene una explicación clásica simple, pero puede modelarse usando una función de Airy . Utilizando las propiedades de la función Airy, se puede estimar que la probabilidad de encontrar la partícula fuera de la región permitida clásicamente es aproximadamente
2 norte 1 / 3 3 2 / 3 Γ 2 ( ) = 1 norte 1 / 3 ⋅ 7.46408092658...
{\ displaystyle {\ frac {2} {n ^ {1/3} 3 ^ {2/3} \ Gamma ^ {2} ({\ tfrac {1} {3}})}} = {\ frac {1 } {n ^ {1/3} \ cdot 7.46408092658...}}} Esto también está dado, asintóticamente, por la integral
1 2 π ∫ 0 ∞ mi ( 2 norte + 1 ) ( X - pecado ( 2 X ) ) D X .
{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {(2n + 1) \ left (x - {\ tfrac {1} {2}} \ sinh (2x) \ derecha)} dx ~.} Soluciones de espacio de fase En la formulación del espacio de fase de la mecánica cuántica, los estados propios del oscilador armónico cuántico en varias representaciones diferentes de la distribución de cuasiprobabilidad se pueden escribir en forma cerrada. El más utilizado de estos es para la distribución de cuasiprobabilidad de Wigner .
Distribución de cuasiprobabilidad de Wigner para el estado propio energético | n ⟩ está, en las unidades naturales se ha descrito anteriormente,
F norte ( X , pag ) = ( - 1 ) norte π ℏ L norte ( 2 ( X 2 + pag 2 ) ) mi - ( X 2 + pag 2 ) ,
{\ Displaystyle F_ {n} (x, p) = {\ frac {(-1) ^ {n}} {\ pi \ hbar}} L_ {n} \ left (2 (x ^ {2} + p ^ {2}) \ derecha) e ^ {- (x ^ {2} + p ^ {2})} ~,} donde L n son los polinomios de Laguerre . Este ejemplo ilustra cómo los polinomios de Hermite y Laguerre están vinculados a través del mapa de Wigner .
Mientras tanto, la función Husimi Q de los estados propios del oscilador armónico tiene una forma aún más simple. Si trabajamos en las unidades naturales descritas anteriormente, tenemos
Q norte ( X , pag ) = ( X 2 + pag 2 ) norte norte ! mi - ( X 2 + pag 2 ) π
{\ Displaystyle Q_ {n} (x, p) = {\ frac {(x ^ {2} + p ^ {2}) ^ {n}} {n!}} {\ frac {e ^ {- (x ^ {2} + p ^ {2})}} {\ pi}}} Esta afirmación se puede verificar utilizando la transformada Segal-Bargmann . Específicamente, dado que el operador de elevación en la representación de Segal-Bargmann es simplemente una multiplicación por y el estado fundamental es la función constante 1, los estados del oscilador armónico normalizado en esta representación son simples. En este punto, podemos apelar a la fórmula de la función Q de Husimi en términos de la transformada de Segal-Bargmann. {\ Displaystyle z = x + ip} {\ Displaystyle z ^ {n} / {\ sqrt {n!}}}
Oscilador armónico isotrópico N -dimensional El oscilador armónico unidimensional es fácilmente generalizable a N dimensiones, donde N = 1, 2, 3,.... En una dimensión, la posición de la partícula fue especificada por una sola coordenada , x. En N dimensiones, este se sustituye por N coordenadas de posición, que denominamos x 1,..., x N. Correspondiente a cada coordenada de posición es un impulso; etiquetamos estos p 1,..., p N. Las relaciones canónicas de conmutación entre estos operadores son
[ X I , pag j ] = I ℏ δ I , j [ X I , X j ] = 0 [ pag I , pag j ] = 0
{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {[} x_ {i}, p_ {j} {]} amp; = i \ hbar \ delta _ {i, j} \\ {[} x_ {i}, x_ {j } {]} amp; = 0 \\ {[} p_ {i}, p_ {j} {]} amp; = 0 \ end {alineado}}} El hamiltoniano para este sistema es
H = ∑ I = 1 norte ( pag I 2 2 metro + 1 2 metro ω 2 X I 2 ) .
{\ Displaystyle H = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ left ({p_ {i} ^ {2} \ over 2m} + {1 \ over 2} m \ omega ^ {2} x_ {i } ^ {2} \ right).} Como deja en claro la forma de este hamiltoniano, el oscilador armónico N -dimensional es exactamente análogo a N osciladores armónicos unidimensionales independientes con la misma masa y constante de resorte. En este caso, las cantidades x 1,..., x N se referirían a las posiciones de cada una de las N partículas. Esta es una propiedad conveniente del potencial r 2 , que permite que la energía potencial se separe en términos dependiendo de una coordenada de cada uno.
Esta observación simplifica la solución. Para un conjunto particular de números cuánticos, las funciones propias de energía para el oscilador N- dimensional se expresan en términos de las funciones propias unidimensionales como: { norte } ≡ { norte 1 , norte 2 , ... , norte norte }
{\ Displaystyle \ {n \} \ equiv \ {n_ {1}, n_ {2}, \ dots, n_ {N} \}}
⟨ X | ψ { norte } ⟩ = ∏ I = 1 norte ⟨ X I ∣ ψ norte I ⟩
{\ Displaystyle \ langle \ mathbf {x} | \ psi _ {\ {n \}} \ rangle = \ prod _ {i = 1} ^ {N} \ langle x_ {i} \ mid \ psi _ {n_ { i}} \ rangle} En el método del operador de escalera, definimos N conjuntos de operadores de escalera,
a I = metro ω 2 ℏ ( X I + I metro ω pag I ) , a I † = metro ω 2 ℏ ( X I - I metro ω pag I ) .
{\ Displaystyle {\ begin {alineado} a_ {i} amp; = {\ sqrt {m \ omega \ over 2 \ hbar}} \ left (x_ {i} + {i \ over m \ omega} p_ {i} \ derecha), \\ a_ {i} ^ {\ dagger} amp; = {\ sqrt {m \ omega \ over 2 \ hbar}} \ left (x_ {i} - {i \ over m \ omega} p_ {i} \ right). \ end {alineado}}} Por un procedimiento análogo al del caso unidimensional, podemos mostrar que cada una de la una i y un † i operadores bajar y subir la energía por ℏω respectivamente. El hamiltoniano es
H = ℏ ω ∑ I = 1 norte ( a I † a I + 1 2 ) .
{\ Displaystyle H = \ hbar \ omega \, \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ left (a_ {i} ^ {\ dagger} \, a_ {i} + {\ frac {1} {2 }}\Derecha).} Este hamiltoniano es invariante bajo el grupo de simetría dinámica U ( N) (el grupo unitario en N dimensiones), definido por
U a I † U † = ∑ j = 1 norte a j † U j I para todos U ∈ U ( norte ) ,
{\ Displaystyle U \, a_ {i} ^ {\ dagger} \, U ^ {\ dagger} = \ sum _ {j = 1} ^ {N} a_ {j} ^ {\ dagger} \, U_ {ji } \ quad {\ text {para todos}} \ quad U \ in U (N),} donde es un elemento en la representación matricial de definición de U ( N). {\ Displaystyle U_ {ji}}
Los niveles de energía del sistema son
mi = ℏ ω [ ( norte 1 + ⋯ + norte norte ) + norte 2 ] .
{\ Displaystyle E = \ hbar \ omega \ left [(n_ {1} + \ cdots + n_ {N}) + {N \ over 2} \ right].} norte I = 0 , 1 , 2 , ... ( el nivel de energía en dimensión I ) .
{\ Displaystyle n_ {i} = 0,1,2, \ dots \ quad ({\ text {el nivel de energía en la dimensión}} i).} Como en el caso unidimensional, la energía se cuantifica. La energía del estado fundamental es N veces la energía fundamental unidimensional, como esperaríamos usando la analogía con N osciladores unidimensionales independientes. Hay una diferencia más: en el caso unidimensional, cada nivel de energía corresponde a un estado cuántico único. En las dimensiones N, a excepción del estado fundamental, los niveles de energía están degenerados, lo que significa que hay varios estados con la misma energía.
La degeneración se puede calcular con relativa facilidad. Como ejemplo, considere el caso tridimensional: Defina n = n 1 + n 2 + n 3. Todos los estados con la misma n tendrán la misma energía. Para un n dado, elegimos un n 1 particular. Entonces n 2 + n 3 = n - n 1. Hay n - n 1 + 1 pares posibles { n 2, n 3 }. n 2 puede tomar los valores 0 a n - n 1, y para cada n 2 el valor de n 3 es fijo. Por tanto, el grado de degeneración es:
gramo norte = ∑ norte 1 = 0 norte norte - norte 1 + 1 = ( norte + 1 ) ( norte + 2 ) 2
{\ Displaystyle g_ {n} = \ sum _ {n_ {1} = 0} ^ {n} n-n_ {1} +1 = {\ frac {(n + 1) (n + 2)} {2} }} Fórmula para general N y n [ g n siendo la dimensión de la irreducible simétrica n º representación poder del grupo unitario U ( N) ]:
gramo norte = ( norte + norte - 1 norte )
{\ Displaystyle g_ {n} = {\ binom {N + n-1} {n}}} El caso especial N = 3, dado arriba, se sigue directamente de esta ecuación general. Sin embargo, esto solo es cierto para partículas distinguibles, o una partícula en N dimensiones (ya que las dimensiones son distinguibles). Para el caso de N bosones en una trampa armónica de una sola dimensión, las escalas degeneración como el número de formas de partición de un número entero n usando números enteros de menos de o igual a N.
gramo norte = pag ( norte - , norte )
{\ Displaystyle g_ {n} = p (N _ {-}, n)} Esto surge debido a la restricción de poner N cuantos en un estado ket donde y, que son las mismas restricciones que en la partición entera. ∑ k = 0 ∞ k norte k = norte
{\ Displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} kn_ {k} = n} ∑ k = 0 ∞ norte k = norte
{\ Displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} n_ {k} = N}
Ejemplo: oscilador armónico isotrópico 3D Mathematica que se usó para generar los gráficos está en la parte superior La ecuación de Schrödinger para una partícula en un oscilador armónico tridimensional esféricamente simétrico se puede resolver explícitamente mediante la separación de variables; vea este artículo para el presente caso. Este procedimiento es análogo a la separación realizada en el problema del átomo similar al hidrógeno , pero con un potencial esférico simétrico diferente.
V ( r ) = 1 2 μ ω 2 r 2 ,
{\ Displaystyle V (r) = {1 \ over 2} \ mu \ omega ^ {2} r ^ {2},} donde μ es la masa de la partícula. Debido a que m se usará a continuación para el número cuántico magnético, la masa se indica mediante μ, en lugar de m, como anteriormente en este artículo.
La solución dice
ψ k l metro ( r , θ , ϕ ) = norte k l r l mi - ν r 2 L k ( l + 1 2 ) ( 2 ν r 2 ) Y l metro ( θ , ϕ )
{\ Displaystyle \ psi _ {klm} (r, \ theta, \ phi) = N_ {kl} r ^ {l} e ^ {- \ nu r ^ {2}} L_ {k} ^ {(l + {1 \ over 2})} (2 \ nu r ^ {2}) Y_ {lm} (\ theta, \ phi)} dónde
norte k l = 2 ν 3 π 2 k + 2 l + 3 k ! ν l ( 2 k + 2 l + 1 ) ! !
{\ Displaystyle N_ {kl} = {\ sqrt {{\ sqrt {\ frac {2 \ nu ^ {3}} {\ pi}}} {\ frac {2 ^ {k + 2l + 3} \; k! \; \ nu ^ {l}} {(2k + 2l + 1) !!}}}} ~~} {\ Displaystyle \ nu \ equiv {\ mu \ omega \ over 2 \ hbar} ~} L k ( l + 1 2 ) ( 2 ν r 2 )
{\ Displaystyle {L_ {k}} ^ {(l + {1 \ over 2})} (2 \ nu r ^ {2})} son polinomios de Laguerre generalizados ; El orden k del polinomio es un número entero no negativo;
{\ Displaystyle Y_ {lm} (\ theta, \ phi) \,} función armónica esférica ; ħ es la constante de Planck reducida: {\ Displaystyle \ hbar \ equiv {\ frac {h} {2 \ pi}} ~.} El valor propio de energía es
mi = ℏ ω ( 2 k + l + 3 2 ) .
{\ Displaystyle E = \ hbar \ omega \ left (2k + l + {\ frac {3} {2}} \ right) ~.} La energía generalmente se describe mediante el número cuántico único
{\ Displaystyle n \ equiv 2k + l ~.} Como k es un número entero no negativo, para cada n par tenemos ℓ = 0, 2,..., n - 2, n y para cada n impar tenemos ℓ = 1, 3,..., n - 2, n. El número cuántico magnético m es un número entero que satisface −ℓ ≤ m ≤ ℓ, por lo que para cada n y ℓ hay 2 ℓ + 1 estados cuánticos diferentes, etiquetados por m. Por tanto, la degeneración en el nivel n es
∑ l = ... , norte - 2 , norte ( 2 l + 1 ) = ( norte + 1 ) ( norte + 2 ) 2 ,
{\ Displaystyle \ sum _ {l = \ ldots, n-2, n} (2l + 1) = {(n + 1) (n + 2) \ over 2} ~,} donde la suma comienza en 0 o 1, según n sea par o impar. Este resultado está de acuerdo con la fórmula de dimensión anterior y equivale a la dimensionalidad de una representación simétrica de SU (3), el grupo de degeneración relevante.
Aplicaciones Celosía de osciladores armónicos: fonones Ver también: Cuantización canónica Podemos extender la noción de oscilador armónico a una red unidimensional de muchas partículas. Considere una cadena armónica de mecánica cuántica unidimensional de N átomos idénticos. Este es el modelo mecánico cuántico más simple de una red, y veremos cómo surgen los fonones . El formalismo que desarrollaremos para este modelo es fácilmente generalizable a dos y tres dimensiones.
Como en la sección anterior, denotamos las posiciones de las masas por x 1, x 2,..., medidas a partir de sus posiciones de equilibrio (es decir, x i = 0 si la partícula i está en su posición de equilibrio). En dos o más dimensiones, las x i son cantidades vectoriales. El hamiltoniano para este sistema es
H = ∑ I = 1 norte pag I 2 2 metro + 1 2 metro ω 2 ∑ { I j } ( norte norte ) ( X I - X j ) 2 ,
{\ Displaystyle \ mathbf {H} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} {p_ {i} ^ {2} \ over 2m} + {1 \ over 2} m \ omega ^ {2} \ sum _ {\ {ij \} (nn)} (x_ {i} -x_ {j}) ^ {2} ~,} donde m es la masa (supuestamente uniforme) de cada átomo, y x i y p i son los operadores de posición y momento para el i- ésimo átomo y la suma se realiza sobre los vecinos más cercanos (nn). Sin embargo, se acostumbra reescribir el hamiltoniano en términos de los modos normales del vector de onda en lugar de en términos de las coordenadas de las partículas, de modo que se pueda trabajar en el espacio de Fourier más conveniente.
Introducimos, entonces, un conjunto de N "coordenadas normales" Q k, definidas como las transformadas discretas de Fourier de las x s, y N "momentos conjugados" Π definidos como las transformadas de Fourier de las p s,
Q k = 1 norte ∑ l mi I k a l X l
{\ Displaystyle Q_ {k} = {1 \ over {\ sqrt {N}}} \ sum _ {l} e ^ {ikal} x_ {l}} Π k = 1 norte ∑ l mi - I k a l pag l .
{\ Displaystyle \ Pi _ {k} = {1 \ over {\ sqrt {N}}} \ sum _ {l} e ^ {- ikal} p_ {l} ~.} La cantidad k n resultará ser el número de onda del fonón, es decir, 2 π dividido por la longitud de onda . Toma valores cuantificados, porque el número de átomos es finito.
Esto preserva las relaciones de conmutación deseadas en el espacio real o en el espacio vectorial de ondas.
[ X l , pag metro ] = I ℏ δ l , metro [ Q k , Π k ′ ] = 1 norte ∑ l , metro mi I k a l mi - I k ′ a metro [ X l , pag metro ] = I ℏ norte ∑ metro mi I a metro ( k - k ′ ) = I ℏ δ k , k ′ [ Q k , Q k ′ ] = [ Π k , Π k ′ ] = 0 .
{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ left [x_ {l}, p_ {m} \ right] amp; = i \ hbar \ delta _ {l, m} \\\ left [Q_ {k}, \ Pi _ {k '} \ right] amp; = {1 \ over N} \ sum _ {l, m} e ^ {ikal} e ^ {- ik'am} [x_ {l}, p_ {m}] \\ amp; = {i \ hbar \ over N} \ sum _ {m} e ^ {iam (k-k ')} = i \ hbar \ delta _ {k, k'} \\\ left [Q_ {k}, Q_ {k '} \ right] amp; = \ left [\ Pi _ {k}, \ Pi _ {k'} \ right] = 0 ~. \ end {alineado}}} Del resultado general
∑ l X l X l + metro = 1 norte ∑ k k ′ Q k Q k ′ ∑ l mi I a l ( k + k ′ ) mi I a metro k ′ = ∑ k Q k Q - k mi I a metro k ∑ l pag l 2 = ∑ k Π k Π - k ,
{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ sum _ {l} x_ {l} x_ {l + m} amp; = {1 \ over N} \ sum _ {kk '} Q_ {k} Q_ {k'} \ suma _ {l} e ^ {ial \ left (k + k '\ right)} e ^ {iamk'} = \ sum _ {k} Q_ {k} Q _ {- k} e ^ {iamk} \\\ suma _ {l} {p_ {l}} ^ {2} amp; = \ sum _ {k} \ Pi _ {k} \ Pi _ {- k} ~, \ end {alineado}}} Es fácil demostrar, a través de la trigonometría elemental, que el término de energía potencial es
1 2 metro ω 2 ∑ j ( X j - X j + 1 ) 2 = 1 2 metro ω 2 ∑ k Q k Q - k ( 2 - mi I k a - mi - I k a ) = 1 2 metro ∑ k ω k 2 Q k Q - k ,
{\ Displaystyle {1 \ over 2} m \ omega ^ {2} \ sum _ {j} (x_ {j} -x_ {j + 1}) ^ {2} = {1 \ over 2} m \ omega ^ {2} \ sum _ {k} Q_ {k} Q _ {- k} (2-e ^ {ika} -e ^ {- ika}) = {1 \ over 2} m \ sum _ {k} {\ omega _ {k}} ^ {2} Q_ {k} Q _ {- k} ~,} dónde
ω k = 2 ω 2 ( 1 - porque ( k a ) ) .
{\ Displaystyle \ omega _ {k} = {\ sqrt {2 \ omega ^ {2} (1- \ cos (ka))}} ~.} El hamiltoniano puede escribirse en el espacio vectorial de onda como
H = 1 2 metro ∑ k ( Π k Π - k + metro 2 ω k 2 Q k Q - k ) .
{\ Displaystyle \ mathbf {H} = {1 \ over {2m}} \ sum _ {k} \ left ({\ Pi _ {k} \ Pi _ {- k}} + m ^ {2} \ omega _ {k} ^ {2} Q_ {k} Q _ {- k} \ derecha) ~.} Tenga en cuenta que los acoplamientos entre las variables de posición se han transformado; si Q sy Π s fueran hermitianos (que no lo son), el hamiltoniano transformado describiría N osciladores armónicos desacoplados.
La forma de la cuantificación depende de la elección de las condiciones de contorno; para simplificar, imponemos condiciones de contorno periódicas, definiendo el átomo ( N + 1) como equivalente al primer átomo. Físicamente, esto corresponde a unir la cadena por sus extremos. La cuantificación resultante es
k = k norte = 2 norte π norte a norte = 0 , ± 1 , ± 2 , ... , ± norte 2 .
{\ Displaystyle k = k_ {n} = {2n \ pi \ over Na} \ quad {\ hbox {for}} \ n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots, \ pm {N \ over 2 }. \} El límite superior de n viene de la longitud de onda mínima, que es el doble de la celosía espaciado una, como se discutió anteriormente.
Los valores propios del oscilador armónico o los niveles de energía para el modo ω k son
mi norte = ( 1 2 + norte ) ℏ ω k norte = 0 , 1 , 2 , 3 , ...
{\ Displaystyle E_ {n} = \ left ({1 \ over 2} + n \ right) \ hbar \ omega _ {k} \ quad {\ hbox {para}} \ quad n = 0,1,2,3, \ ldots} Si ignoramos la energía del punto cero, entonces los niveles están espaciados uniformemente en
ℏ ω , 2 ℏ ω , 3 ℏ ω , ...
{\ Displaystyle \ hbar \ omega, \, 2 \ hbar \ omega, \, 3 \ hbar \ omega, \, \ ldots} Por lo tanto, se debe suministrar una cantidad exacta de energía ħω a la red del oscilador armónico para empujarla al siguiente nivel de energía. De manera análoga al caso de los fotones cuando se cuantifica el campo electromagnético , el cuanto de energía vibratoria se llama fonón .
Todos los sistemas cuánticos muestran propiedades similares a ondas y partículas. Las propiedades de tipo partícula del fonón se comprenden mejor utilizando los métodos de segunda cuantificación y técnicas de operador que se describen más adelante.
En el límite del continuo, a → 0, N → ∞, mientras que Na se mantiene fijo. La canónica coordenadas Q k incumbencia a los modos de impulso desconectados de un campo escalar,, mientras que el índice de localización i ( no la variable dinámica de desplazamiento) se convierte en el parámetro x argumento del campo escalar,. {\ Displaystyle \ phi _ {k}} {\ Displaystyle \ phi (x, t)}
Vibraciones moleculares Artículo principal: Vibración molecular Las vibraciones de una molécula diatómica son un ejemplo de una versión de dos cuerpos del oscilador armónico cuántico. En este caso, la frecuencia angular viene dada por {\ Displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ frac {k} {\ mu}}}} donde es la masa reducida y y son las masas de los dos átomos. μ = metro 1 metro 2 metro 1 + metro 2
{\ Displaystyle \ mu = {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}} {\ Displaystyle m_ {1}} {\ Displaystyle m_ {2}} El átomo de Hooke es un modelo simple del átomo de helio que utiliza el oscilador armónico cuántico. Modelado de fonones, como se discutió anteriormente. Una carga con masa en un campo magnético uniforme es un ejemplo de un oscilador armónico cuántico unidimensional: cuantificación de Landau . {\ Displaystyle q} {\ Displaystyle m} {\ Displaystyle \ mathbf {B}} Ver también Referencias enlaces externos
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Algunas trayectorias de un oscilador armónico según las leyes de Newton de la mecánica clásica (A – B), y según la ecuación de Schrödinger de la mecánica cuántica (C – H). En A – B, la partícula (representada como una bola unida a un resorte ) oscila hacia adelante y hacia atrás. En C – H, se muestran algunas soluciones a la Ecuación de Schrödinger, donde el eje horizontal es la posición y el eje vertical es la parte real (azul) o la parte imaginaria (rojo) de la función de onda. C, D, E, F, pero no G, H, son autoestados de energía. H es un estado coherente, un estado cuántico que se aproxima a la trayectoria clásica. 
Representaciones de función de onda para los primeros ocho estados propios ligados, n = 0 a 7. El eje horizontal muestra la posición x. 
Densidades de probabilidad correspondientes. 
Densidades de probabilidad | ψ n ( x) | 2 para los estados propios ligados, comenzando con el estado fundamental ( n = 0) en la parte inferior y aumentando en energía hacia la parte superior. El eje horizontal muestra la posición x, y los colores más brillantes representan densidades de probabilidad más altas.