Cuaternión

Este artículo trata sobre los cuaterniones en matemáticas. Para otros usos, consulte Quaternion (desambiguación).

Tabla de multiplicar de cuaterniones

	1	I	j	k
1	1	I	j	k
I	I	−1	k	- j
j	j	- k	−1	I
k	k	j	- i	−1

Gráfico Cayley Q8 que muestra los 6 ciclos de multiplicación por i, j y k. (En el archivo SVG, coloque el cursor sobre un ciclo o haga clic en él para resaltarlo).

En matemáticas, el sistema numérico de cuaterniones amplía los números complejos. Los cuaterniones fueron descritos por primera vez por el matemático irlandés William Rowan Hamilton en 1843 y aplicados a la mecánica en el espacio tridimensional. Hamilton definió un cuaternión como el cociente de dos líneas dirigidas en un espacio tridimensional o, de manera equivalente, como el cociente de dos vectores. La multiplicación de cuaterniones no es conmutativa.

Los cuaterniones se representan generalmente en la forma

$$a+B  I+C  j+D  k {\ Displaystyle a + b \ \ mathbf {i} + c \ \ mathbf {j} + d \ \ mathbf {k}}

donde una, b, c, y d son números reales ; e i, j y k son los cuaterniones básicos.

Los cuaterniones se usan en matemáticas puras, pero también tienen usos prácticos en matemáticas aplicadas, particularmente para cálculos que involucran rotaciones tridimensionales, como en gráficos de computadora tridimensionales, visión por computadora y análisis de textura cristalográfica. Se pueden utilizar junto con otros métodos de rotación, como ángulos de Euler y matrices de rotación, o como alternativa a ellos, según la aplicación.

En el lenguaje matemático moderno, los cuaterniones forman un álgebra de división normalizada asociativa de cuatro dimensiones sobre los números reales y, por lo tanto, también un dominio. El álgebra de cuaterniones es a menudo denota por H (por Hamilton), o en la pizarra negrita por También puede ser dada por las Clifford álgebra clasificaciones de hecho, fue el primero no conmutativo álgebra de división de ser descubierto. $$

H. {\ Displaystyle \ mathbb {H}.} $$ Cl 0 , 2⁡( R)≅ Cl 3 , 0 +⁡( R). {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {0,2} (\ mathbb {R}) \ cong \ operatorname {Cl} _ {3,0} ^ {+} (\ mathbb {R}).}

Según el teorema de Frobenius, el álgebra es uno de los dos únicos anillos de división de dimensión finita que contiene un subanillo adecuado isomórfico a los números reales; el otro son los números complejos. Estos anillos también son álgebras euclidianas de Hurwitz, de las cuales los cuaterniones son el álgebra asociativa más grande. Si se extienden más los cuaterniones, se obtienen los octoniones no asociativos, que es el último álgebra de división normalizada sobre los números reales. (Las sedeniones, la extensión de las octoniones, tienen cero divisores y, por lo tanto, no pueden ser un álgebra de división normalizada). $$

H {\ Displaystyle \ mathbb {H}}

Los cuaterniones unitarios se pueden considerar como una elección de una estructura de grupo en las 3 esferas S ³ que da el grupo Spin (3), que es isomorfo a SU (2) y también a la cobertura universal de SO (3).

Representación gráfica de productos de unidades de cuaternión como rotaciones de 90 ° en los planos de un espacio de 4 dimensiones abarcado por dos de {1, i, j, k }. El factor de la izquierda puede verse como rotado por el factor de la derecha para llegar al producto. Visualmente i  ⋅  j = - ( j  ⋅  i).

• En azul:
  • 1  ⋅ i = i    (1 / i plano)
  • i  ⋅ j = k    (plano i / k)
• En rojo:
  • 1  ⋅ j = j    ( plano 1 / j)
  • j  ⋅ i = - k    (plano j / k)

• 1 Historia
  • 1.1 Cuaterniones en física
• 2 Definición
  • 2.1 Multiplicación de elementos básicos
  • 2.2 Centro
  • 2.3 Producto Hamilton
  • 2.4 Partes escalares y vectoriales
• 3 La conjugación, la norma y la reciprocidad
  • 3.1 Unidad de cuaternión
• 4 propiedades algebraicas
• 5 Cuaterniones y la geometría del espacio
• 6 representaciones matriciales
• 7 teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange
• 8 Cuaterniones como pares de números complejos
• 9 raíces cuadradas
  • 9.1 Raíces cuadradas de −1
    • 9.1.1 Como unión de planos complejos
    • 9.1.2 Subanillos conmutativos
  • 9.2 Raíces cuadradas de cuaterniones arbitrarios
• 10 funciones de una variable de cuaternión
  • 10.1 Funciones exponenciales, logaritmos y de potencia
  • 10.2 Norma geodésica
• 11 grupos de rotación tridimensionales y tetradimensionales
• 12 álgebras de cuaterniones
• 13 Cuaterniones como la parte par de Cl 3,0 (ℝ)
• 14 grupo Brauer
• 15 citas
• 16 Véase también
• 17 notas
• 18 referencias
• 19 Lecturas adicionales
  • 19.1 Libros y publicaciones
  • 19.2 Enlaces y monografías
• 20 Enlaces externos

Historia

Artículo principal: Historia de los cuaterniones. Placa de cuaternión en el puente Brougham (Broom), Dublín, que dice: Aquí, mientras pasaba por allí el 16 de octubre de 1843, Sir William Rowan Hamilton, en un destello de genio, descubrió la fórmula fundamental para la multiplicación de cuaterniones i ² = j ² = k ² = ijk = −1 y la cortó en una piedra de este puente.

Los cuaterniones fueron introducidos por Hamilton en 1843. Precursores importantes de este trabajo incluyeron la identidad de cuatro cuadrados de Euler (1748) y la parametrización de rotaciones generales de Olinde Rodrigues por cuatro parámetros (1840), pero ninguno de estos escritores trató las rotaciones de cuatro parámetros como una álgebra. Carl Friedrich Gauss también había descubierto cuaterniones en 1819, pero este trabajo no se publicó hasta 1900.

Hamilton sabía que los números complejos se podían interpretar como puntos en un plano y estaba buscando una forma de hacer lo mismo con los puntos en el espacio tridimensional. Los puntos en el espacio se pueden representar por sus coordenadas, que son triples de números, y durante muchos años había sabido sumar y restar triples de números. Sin embargo, durante mucho tiempo se había quedado atascado en el problema de la multiplicación y la división. No pudo averiguar cómo calcular el cociente de las coordenadas de dos puntos en el espacio. De hecho, Ferdinand Georg Frobenius demostró más tarde en 1877 que para que un álgebra de división sobre los números reales sea de dimensión finita y asociativa, no puede ser tridimensional, y solo hay tres álgebras de división de este tipo: (números complejos) y (cuaterniones) que tienen dimensión 1, 2 y 4 respectivamente. $$

R , C {\ Displaystyle \ mathbb {R, C}}$$ H {\ Displaystyle \ mathbb {H}}

El gran avance en los cuaterniones se produjo finalmente el lunes 16 de octubre de 1843 en Dublín, cuando Hamilton se dirigía a la Real Academia Irlandesa, donde iba a presidir una reunión del consejo. Mientras caminaba por el camino de sirga del Royal Canal con su esposa, los conceptos detrás de los cuaterniones iban tomando forma en su mente. Cuando se le ocurrió la respuesta, Hamilton no pudo resistir el impulso de esculpir la fórmula de los cuaterniones,

$$ I 2= j 2= k 2= I j k=-1 {\ Displaystyle \ mathbf {i} ^ {2} = \ mathbf {j} ^ {2} = \ mathbf {k} ^ {2} = \ mathbf {i \, j \, k} = -1}

en la piedra del puente Brougham cuando se detuvo en él. Aunque la talla se ha desvanecido desde entonces, ha habido una peregrinación anual desde 1989 llamada Hamilton Walk para científicos y matemáticos que caminan desde el Observatorio Dunsink hasta el puente Royal Canal en recuerdo del descubrimiento de Hamilton.

Al día siguiente, Hamilton escribió una carta a su amigo y colega matemático, John T. Graves, describiendo la línea de pensamiento que condujo a su descubrimiento. Esta carta se publicó más tarde en una carta a London, Edinburgh y Dublin Philosophical Magazine y Journal of Science ; Hamilton afirma:

Y aquí se me ocurrió la idea de que debemos admitir, en algún sentido, una cuarta dimensión del espacio con el propósito de calcular con triples... Un circuito eléctrico pareció cerrarse, y una chispa brilló.

Hamilton llamó un cuaternión a un cuádruple con estas reglas de multiplicación, y dedicó la mayor parte del resto de su vida a estudiarlas y enseñarlas. El tratamiento de Hamilton es más geométrico que el enfoque moderno, que enfatiza las propiedades algebraicas de los cuaterniones. Fundó una escuela de "cuaternionistas" e intentó popularizar los cuaterniones en varios libros. El último y más largo de sus libros, Elements of Quaternions, tenía 800 páginas; fue editado por su hijo y publicado poco después de su muerte.

Después de la muerte de Hamilton, el físico matemático escocés Peter Tait se convirtió en el principal exponente de los cuaterniones. En este momento, los cuaterniones eran un tema de examen obligatorio en Dublín. Los temas de física y geometría que ahora se describirían utilizando vectores, como la cinemática en el espacio y las ecuaciones de Maxwell, se describieron completamente en términos de cuaterniones. Incluso había una asociación de investigación profesional, la Quaternion Society, dedicada al estudio de los cuaterniones y otros sistemas numéricos hipercomplejos.

Desde mediados de la década de 1880, los cuaterniones comenzaron a ser desplazados por el análisis de vectores, que había sido desarrollado por Josiah Willard Gibbs, Oliver Heaviside y Hermann von Helmholtz. El análisis vectorial describió los mismos fenómenos que los cuaterniones, por lo que tomó prestadas algunas ideas y terminología de la literatura sobre cuaterniones. Sin embargo, el análisis de vectores fue conceptualmente más simple y notablemente más limpio, y eventualmente los cuaterniones fueron relegados a un papel menor en matemáticas y física. Un efecto secundario de esta transición es que el trabajo de Hamilton es difícil de comprender para muchos lectores modernos. Las definiciones originales de Hamilton son desconocidas y su estilo de escritura era prolijo y difícil de seguir.

Sin embargo, los cuaterniones han tenido un resurgimiento desde finales del siglo XX, principalmente debido a su utilidad para describir rotaciones espaciales. Las representaciones de rotaciones por cuaterniones son más compactas y más rápidas de calcular que las representaciones por matrices. Además, a diferencia de los ángulos de Euler, no son susceptibles al " bloqueo del cardán ". Por esta razón, los cuaterniones se utilizan en gráficos por computadora, visión por computadora, robótica, teoría de control, procesamiento de señales, control de actitud, física, bioinformática, dinámica molecular, simulaciones por computadora y mecánica orbital. Por ejemplo, es común que los sistemas de control de actitud de las naves espaciales sean comandados en términos de cuaterniones. Los cuaterniones han recibido otro impulso de la teoría de números debido a sus relaciones con las formas cuadráticas.

Cuaterniones en física

El ensayo de PR Girard de 1984 El grupo de cuaterniones y la física moderna discute algunos roles de los cuaterniones en la física. El ensayo muestra cómo varios grupos de covarianza física, a saber, SO (3), el grupo de Lorentz, el grupo de teoría general de la relatividad, el álgebra de Clifford SU (2) y el grupo conforme, pueden relacionarse fácilmente con el grupo de cuaterniones en el álgebra moderna. Girard comenzó discutiendo las representaciones de grupos y representando algunos grupos espaciales de cristalografía. Pasó a la cinemática del movimiento del cuerpo rígido. A continuación, utilizó cuaterniones complejos ( biquaternions ) para representar el grupo de Lorentz de la relatividad especial, incluida la precesión de Thomas. Citó a cinco autores, comenzando con Ludwik Silberstein, quien usó una función potencial de una variable de cuaternión para expresar las ecuaciones de Maxwell en una sola ecuación diferencial. Con respecto a la relatividad general, expresó el vector de Runge-Lenz. Mencionó los biquaternions de Clifford (biquaternions divididos ) como un ejemplo del álgebra de Clifford. Finalmente, invocando el recíproco de un biquaternion, Girard describió mapas conformes en el espacio-tiempo. Entre las cincuenta referencias, Girard incluyó a Alexander Macfarlane y su Bulletin of the Quaternion Society. En 1999 mostró cómo las ecuaciones de la relatividad general de Einstein podrían formularse dentro de un álgebra de Clifford que está directamente relacionada con los cuaterniones.

El descubrimiento de 1924 de que en la mecánica cuántica el espín de un electrón y otras partículas de materia (conocidas como espinores ) pueden describirse utilizando cuaterniones aumentó su interés; Los cuaterniones ayudaron a comprender cómo se pueden distinguir las rotaciones de electrones de 360 ​​° de las de 720 ° (el " truco de la placa "). A partir de 2018, su uso no ha superado a los grupos de rotación.

Definición

Un cuaternión es una expresión de la forma

$$a+B I+C j+D k , {\ Displaystyle a + b \, \ mathbf {i} + c \, \ mathbf {j} + d \, \ mathbf {k} \,}

donde a, b, c, d, son números reales, e i, j, k, son símbolos que pueden interpretarse como vectores unitarios que apuntan a lo largo de los tres ejes espaciales. En la práctica, si uno de a, b, c, d es 0, se omite el término correspondiente; si a, b, c, d son todos cero, el cuaternión es el cuaternión cero, denotado 0; si uno de b, c, d es igual a 1, el término correspondiente se escribe simplemente i, j o k.

Hamilton describe un cuaternión, que consta de una parte escalar y una parte vectorial. El cuaternión se denomina parte vectorial (a veces parte imaginaria) de q, y a es la parte escalar (a veces parte real) de q. Un cuaternión que es igual a su parte real (es decir, su parte vectorial es cero) se denomina cuaternión escalar o real y se identifica con el número real correspondiente. Es decir, los números reales están incrustados en los cuaterniones. (Más propiamente, el campo de números reales es isomorfo a un subconjunto de los cuaterniones. El campo de números complejos también es isomorfo a tres subconjuntos de cuaterniones). Un cuaternión que es igual a su parte vectorial se denomina cuaternión vectorial. $$

q=a+B I+C j+D k {\ Displaystyle q = a + b \, \ mathbf {i} + c \, \ mathbf {j} + d \, \ mathbf {k}} $$B I+C j+D k {\ Displaystyle b \, \ mathbf {i} + c \, \ mathbf {j} + d \, \ mathbf {k}}

El conjunto de cuaterniones se convierte en un espacio vectorial de 4 dimensiones sobre los números reales, con como base, mediante la adición de componentes $$

{ 1 , I , j , k } {\ Displaystyle \ left \ {1, \ mathbf {i}, \ mathbf {j}, \ mathbf {k} \ right \}}

$$( a 1+ B 1 I+ C 1 j+ D 1 k)+( a 2+ B 2 I+ C 2 j+ D 2 k)=( a 1+ a 2)+( B 1+ B 2) I+( C 1+ C 2) j+( D 1+ D 2) k, {\ Displaystyle (a_ {1} + b_ {1} \, \ mathbf {i} + c_ {1} \, \ mathbf {j} + d_ {1} \, \ mathbf {k}) + (a_ {2 } + b_ {2} \, \ mathbf {i} + c_ {2} \, \ mathbf {j} + d_ {2} \, \ mathbf {k}) = (a_ {1} + a_ {2}) + (b_ {1} + b_ {2}) \, \ mathbf {i} + (c_ {1} + c_ {2}) \, \ mathbf {j} + (d_ {1} + d_ {2}) \, \ mathbf {k} \,,}

y la multiplicación escalar por componentes

$$λ(a+B I+C j+D k)=λa+(λB) I+(λC) j+(λD) k. {\ Displaystyle \ lambda (a + b \, \ mathbf {i} + c \, \ mathbf {j} + d \, \ mathbf {k}) = \ lambda a + (\ lambda b) \, \ mathbf {i } + (\ lambda c) \, \ mathbf {j} + (\ lambda d) \, \ mathbf {k}.}

Una estructura de grupo multiplicativo, llamada producto de Hamilton, denotado por yuxtaposición, se puede definir en los cuaterniones de la siguiente manera:

• El verdadero cuaternión 1 es el elemento de identidad.
• Los cuaterniones reales conmutan con todos los demás cuaterniones, es decir aq = qa para cada cuaternión q y cada cuaternión real a. En terminología algebraica esto quiere decir que el campo de los cuaterniones reales es el centro de este álgebra de cuaterniones.
• El producto se da primero para los elementos base (vea la siguiente subsección), y luego se extiende a todos los cuaterniones usando la propiedad distributiva y la propiedad central de los cuaterniones reales. El producto de Hamilton no es conmutativo, sino asociativo, por lo que los cuaterniones forman un álgebra asociativa sobre los números reales.
• Además, cada cuaternión distinto de cero tiene una inversa con respecto al producto de Hamilton:

$$(a+B I+C j+D k ) - 1= 1 a 2 + B 2 + C 2 + D 2(a-B I-C j-D k). {\ Displaystyle (a + b \, \ mathbf {i} + c \, \ mathbf {j} + d \, \ mathbf {k}) ^ {- 1} = {\ frac {1} {a ^ {2 } + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2}}} \, (ab \, \ mathbf {i} -c \, \ mathbf {j} -d \, \ mathbf {k}).}

Por tanto, los cuaterniones forman un álgebra de división.

Multiplicación de elementos básicos

Tabla de multiplicación

La no conmutatividad se enfatiza con cuadrados de colores.

×	1	I	j	k
1	1	I	j	k
I	I	−1	k	- j
j	j	- k	−1	I
k	k	j	- i	−1

La multiplicación con 1 de los elementos básicos i, j y k se define por el hecho de que 1 es una identidad multiplicativa, es decir,

$$ I1=1 I= I, j1=1 j= j, k1=1 k= k. {\ Displaystyle \ mathbf {i} \, 1 = 1 \, \ mathbf {i} = \ mathbf {i}, \ qquad \ mathbf {j} \, 1 = 1 \, \ mathbf {j} = \ mathbf { j}, \ qquad \ mathbf {k} \, 1 = 1 \, \ mathbf {k} = \ mathbf {k} \,.}

Los otros productos de elementos básicos se definen a partir de las reglas de producto para y$$

I {\ Displaystyle \ mathbf {i}}$$ j: {\ Displaystyle \ mathbf {j} \, \ colon}

$$ I 2= j 2=-1 {\ Displaystyle \ mathbf {i} ^ {2} = \ mathbf {j} ^ {2} = - 1}

y

$$ I j = k , j I = - k . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {i \, j} amp; = \ mathbf {k} \,, \ quad amp; \ mathbf {j \, i} amp; = - \ mathbf {k} \,. \ final {alineado}}}

Entonces, las otras reglas de productos se obtienen mediante la sustitución por y la aplicación de la asociatividad y la anticonmutatividad de y (es decir,), que da $$

k {\ Displaystyle \ mathbf {k}}$$ I j, {\ Displaystyle \ mathbf {i \, j},} $$ I {\ Displaystyle \ mathbf {i}}$$ j {\ Displaystyle \ mathbf {j}}$$ I j=- j I {\ Displaystyle \ mathbf {i \, j} = - \ mathbf {j \, i}}

$$ k 2 = - 1 j k = I , k j = - I , k I = j , I k = - j , I j k = - 1 . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {k} ^ {2} amp; = - 1 \, \\\ mathbf {j \, k} amp; = \ mathbf {i} \,, \ quad amp; \ mathbf { k \, j} amp; = - \ mathbf {i} \,, \\\ mathbf {k \, i} amp; = \ mathbf {j} \,, \ quad amp; \ mathbf {i \, k} amp; = - \ mathbf {j} \,, \\\ mathbf {i \, j \, k} amp; = - 1 \,. \ end {alineado}}}

Centrar

El centro de un anillo no conmutativo es el subanillo de elementos c tal que cx = xc para cada x. El centro del álgebra de cuaterniones es el subcampo de los cuaterniones reales. De hecho, es parte de la definición que los cuaterniones reales pertenecen al centro. Por el contrario, si q = a + b i + c j + d k pertenece al centro, entonces

$$0= Iq-q I=2C I j+2D I k=2C k-2D j, {\ Displaystyle 0 = \ mathbf {i} \, qq \, \ mathbf {i} = 2c \, \ mathbf {ij} + 2d \, \ mathbf {ik} = 2c \, \ mathbf {k} -2d \, \ mathbf {j} \,,}

y c = d = 0. Un cálculo similar con j en lugar de i muestra que uno también tiene b = 0. Por tanto, q = a es un cuaternión real.

Los cuaterniones forman un álgebra de división. Esto significa que la no conmutatividad de la multiplicación es la única propiedad que hace que los cuaterniones sean diferentes de un campo. Esta no conmutatividad tiene algunas consecuencias inesperadas, entre ellas que una ecuación polinomial sobre los cuaterniones puede tener más soluciones distintas que el grado del polinomio. Por ejemplo, la ecuación z ² + 1 = 0, tiene infinitas soluciones de cuaterniones, que son los cuaterniones z = b i + c j + d k tales que b ² + c ² + d ² = 1. Por tanto, estas "raíces de –1" forman una esfera unitaria en el espacio tridimensional de los cuaterniones vectoriales.

Producto de Hamilton

Para dos elementos a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k y a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k, su producto, llamado producto de Hamilton ( a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k) ( a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k), está determinada por los productos de los elementos básicos y la ley distributiva. La ley distributiva permite expandir el producto para que sea una suma de productos de elementos básicos. Esto da la siguiente expresión:

$$ a 1 a 2 + a 1 B 2 I + a 1 C 2 j + a 1 D 2 k + B 1 a 2 I + B 1 B 2 I 2 + B 1 C 2 I j + B 1 D 2 I k + C 1 a 2 j + C 1 B 2 j I + C 1 C 2 j 2 + C 1 D 2 j k + D 1 a 2 k + D 1 B 2 k I + D 1 C 2 k j + D 1 D 2 k 2 {\ displaystyle {\ begin {alignedat} {4} amp; a_ {1} a_ {2} amp;amp; + a_ {1} b_ {2} \ mathbf {i} amp;amp; + a_ {1} c_ {2} \ mathbf {j} amp;amp; + a_ {1} d_ {2} \ mathbf {k} \\ {} + {} amp; b_ {1} a_ {2} \ mathbf {i} amp;amp; + b_ {1} b_ {2} \ mathbf {i} ^ {2} amp;amp; + b_ {1} c_ {2} \ mathbf {ij} amp;amp; + b_ {1} d_ {2} \ mathbf {ik} \\ {} + {} amp; c_ {1} a_ {2} \ mathbf {j} amp;amp; + c_ {1} b_ {2} \ mathbf {ji} amp;amp; + c_ {1} c_ {2} \ mathbf {j} ^ {2} amp;amp; + c_ {1} d_ {2} \ mathbf {jk} \\ {} + {} amp; d_ {1} a_ {2} \ mathbf {k} amp;amp; + d_ {1} b_ {2} \ mathbf {ki} amp;amp; + d_ {1} c_ {2} \ mathbf {kj} amp;amp; + d_ {1} d_ {2} \ mathbf {k} ^ {2} \ end {alignedat}}}

Ahora los elementos básicos se pueden multiplicar usando las reglas dadas anteriormente para obtener:

$$ a 1 a 2 - B 1 B 2 - C 1 C 2 - D 1 D 2 + ( a 1 B 2 + B 1 a 2 + C 1 D 2 - D 1 C 2 ) I + ( a 1 C 2 - B 1 D 2 + C 1 a 2 + D 1 B 2 ) j + ( a 1 D 2 + B 1 C 2 - C 1 B 2 + D 1 a 2 ) k {\ displaystyle {\ begin {alignedat} {4} amp; a_ {1} a_ {2} amp;amp; - b_ {1} b_ {2} amp;amp; - c_ {1} c_ {2} amp;amp; - d_ {1} d_ {2} \\ {} + {} (amp; a_ {1} b_ {2} amp;amp; + b_ {1} a_ {2} amp;amp; + c_ {1} d_ {2} amp;amp; - d_ {1} c_ {2}) \ mathbf { i} \\ {} + {} (amp; a_ {1} c_ {2} amp;amp; - b_ {1} d_ {2} amp;amp; + c_ {1} a_ {2} amp;amp; + d_ {1} b_ {2}) \ mathbf {j} \\ {} + {} (amp; a_ {1} d_ {2} amp;amp; + b_ {1} c_ {2} amp;amp; - c_ {1} b_ {2} amp;amp; + d_ {1} a_ {2}) \ mathbf {k} \ end {alineado}}}

El producto de dos cuaterniones de rotación será equivalente a la rotación a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k seguida de la rotación a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k.

Partes escalares y vectoriales

Un cuaternión de la forma a + 0 i + 0 j + 0 k, donde a es un número real, se llama escalar, y un cuaternión de la forma 0 + b i + c j + d k, donde b, c, y d son números reales, y al menos uno de b, c o d es distinto de cero, se denomina cuaternión vectorial. Si a + b i + c j + d k es cualquier cuaternión, entonces a se llama su parte escalar y b i + c j + d k se llama su parte vectorial. Aunque cada cuaternión puede verse como un vector en un espacio vectorial de cuatro dimensiones, es común referirse a la parte del vector como vectores en un espacio tridimensional. Con esta convención, un vector es lo mismo que un elemento del espacio vectorial$$

R 3. {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}.}

Hamilton también llamó cuaterniones vectoriales cuaterniones rectos y cuaterniones escalares de números reales (considerados como cuaterniones con parte vectorial cero).

Si un cuaternión se divide en una parte escalar y una parte vectorial, es decir,

$$ q=(r,  v →),   q∈ H,  r∈ R,   v →∈ R 3, {\ Displaystyle \ mathbf {q} = (r, \ {\ vec {v}}), ~~ \ mathbf {q} \ in \ mathbb {H}, ~~ r \ in \ mathbb {R}, ~~ {\ vec {v}} \ in \ mathbb {R} ^ {3},}

entonces las fórmulas para la suma y la multiplicación son

$$( r 1,  v → 1)+( r 2,  v → 2)=( r 1+ r 2,  v → 1+ v → 2), {\ Displaystyle (r_ {1}, \ {\ vec {v}} _ {1}) + (r_ {2}, \ {\ vec {v}} _ {2}) = (r_ {1} + r_ {2}, \ {\ vec {v}} _ {1} + {\ vec {v}} _ {2}),}

$$( r 1,  v → 1)( r 2,  v → 2)=( r 1 r 2- v → 1⋅ v → 2,  r 1 v → 2+ r 2 v → 1+ v → 1× v → 2), {\ Displaystyle (r_ {1}, \ {\ vec {v}} _ {1}) (r_ {2}, \ {\ vec {v}} _ {2}) = (r_ {1} r_ {2 } - {\ vec {v}} _ {1} \ cdot {\ vec {v}} _ {2}, \ r_ {1} {\ vec {v}} _ {2} + r_ {2} {\ vec {v}} _ {1} + {\ vec {v}} _ {1} \ times {\ vec {v}} _ {2}),}

donde " " y " " indican respectivamente el producto escalar y el producto cruzado. $$

⋅ {\ Displaystyle \ cdot}$$× {\ Displaystyle \ times}

La conjugación, la norma y lo recíproco

La conjugación de cuaterniones es análoga a la conjugación de números complejos y a la transposición (también conocida como inversión) de elementos de las álgebras de Clifford. Para definirlo, sea ​​un cuaternión. El conjugado de q es el cuaternión. Se denota por q ^*, q ^t, o q. La conjugación es una involución, lo que significa que es su propia inversa, por lo que conjugar un elemento dos veces devuelve el elemento original. El conjugado de un producto de dos cuaterniones es el producto de los conjugados en orden inverso. Es decir, si p y q son los cuaterniones, entonces ( PQ) ^* = q ^*p ^*, no p ^*q ^*. $$

q=a+B I+C j+D k {\ Displaystyle q = a + b \, \ mathbf {i} + c \, \ mathbf {j} + d \, \ mathbf {k}} $$ q ∗=a-B I-C j-D k {\ Displaystyle q ^ {*} = ab \, \ mathbf {i} -c \, \ mathbf {j} -d \, \ mathbf {k}}$$ q ~ {\ Displaystyle {\ tilde {q}}}

La conjugación de un cuaternión, en marcado contraste con el entorno complejo, se puede expresar con la multiplicación y adición de cuaterniones:

$$ q ∗=- 1 2(q+ Iq I+ jq j+ kq k) . {\ Displaystyle q ^ {*} = - {\ frac {1} {2}} (q + \, \ mathbf {i} \, q \, \ mathbf {i} + \, \ mathbf {j} \, q \, \ mathbf {j} + \, \ mathbf {k} \, q \, \ mathbf {k}) ~.}

La conjugación se puede utilizar para extraer las partes escalares y vectoriales de un cuaternión. La parte escalar de p es 1/2( p + p ^∗), y la parte vectorial de p es1/2( p - p ^∗).

La raíz cuadrada del producto de un cuaternión con su conjugado se llama norma y se denota || q || (Hamilton llamó a esta cantidad el tensor de q, pero esto entra en conflicto con el significado moderno de " tensor "). En fórmulas, esto se expresa de la siguiente manera:

$$‖q‖= q q ∗  = q ∗ q  = a 2 + B 2 + C 2 + D 2   {\ Displaystyle \ lVert q \ rVert = {\ sqrt {\, qq ^ {*} ~}} = {\ sqrt {\, q ^ {*} q ~}} = {\ sqrt {\, a ^ {2 } + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} ~}}}

Este es siempre un número real no negativo, y es el mismo que la norma euclidiana sobre considerado como el espacio vectorial. Al multiplicar un cuaternión por un número real, su norma se escala por el valor absoluto del número. Es decir, si α es real, entonces $$

H {\ Displaystyle \ mathbb {H}}$$ R 4 {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}

$$‖αq‖= | α |‖q‖ . {\ Displaystyle \ lVert \ alpha q \ rVert = \ left | \ alpha \ right | \, \ lVert q \ rVert ~.}

Este es un caso especial del hecho de que la norma es multiplicativa, lo que significa que

$$‖pagq‖=‖pag‖‖q‖ {\ Displaystyle \ lVert pq \ rVert = \ lVert p \ rVert \, \ lVert q \ rVert}

para cualesquiera dos cuaterniones p y q. La multiplicatividad es una consecuencia de la fórmula del conjugado de un producto. Alternativamente, se sigue de la identidad

$$det ( a + I B I D + C I D - C a - I B )= a 2+ B 2+ C 2+ D 2, {\ Displaystyle \ det {\ Bigl (} {\ begin {array} {cc} a + ib amp; id + c \\ id-c amp; a-ib \ end {array}} {\ Bigr)} = a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2},}

(donde i denota la unidad imaginaria habitual) y, por tanto, de la propiedad multiplicativa de los determinantes de matrices cuadradas.

Esta norma hace que sea posible definir la distancia d ( p, q) entre p y q como la norma de su diferencia:

$$D(pag,q)=‖pag-q‖ . {\ Displaystyle d (p, q) = \ lVert pq \ rVert ~.}

Esto crea un espacio métrico. La suma y la multiplicación son continuas en la topología métrica. De hecho, para cualquier escalar, positivo una que posee $$

H {\ Displaystyle \ mathbb {H}}

$$‖(pag+a pag 1+q+a q 1)-(pag+q)‖=a‖ pag 1+ q 1‖. {\ Displaystyle \ lVert (p + ap_ {1} + q + aq_ {1}) - (p + q) \ rVert = a \ lVert p_ {1} + q_ {1} \ rVert \,.}

Continuidad sigue de tomar una a cero en el límite. La continuidad para la multiplicación es similar.

Cuaternión de la unidad

Artículo principal: Versor

Un cuaternión de unidad es un cuaternión de norma uno. Dividir un cuaternión q distinto de cero por su norma produce un cuaternión unitario U q llamado versor de q:

$$ Uq= q ‖ q ‖. {\ Displaystyle \ mathbf {U} q = {\ frac {q} {\ lVert q \ rVert}}.}

Cada cuaternión tiene una descomposición polar. $$

q=‖q‖⋅ Uq {\ Displaystyle q = \ lVert q \ rVert \ cdot \ mathbf {U} q}

El uso de la conjugación y la norma permite definir el recíproco de un cuaternión distinto de cero. El producto de un cuaternión con su recíproco debe ser igual a 1, y las consideraciones anteriores implican que el producto de y es 1 (para cualquier orden de multiplicación). Entonces el recíproco de q se define como $$

q {\ Displaystyle q}$$ q ∗ / ‖ q ‖ 2 {\ Displaystyle q ^ {*} / \ left \ Vert q \ right \ | ^ {2}}

$$ q - 1= q ∗ ‖ q ‖ 2. {\ Displaystyle q ^ {- 1} = {\ frac {q ^ {*}} {\ lVert q \ rVert ^ {2}}}.}

Esto hace que sea posible para dividir dos cuaterniones p y q de dos formas diferentes (cuando q no es cero). Es decir, su cociente puede ser p q ⁻¹ o q ⁻¹p  ; en general, estos productos son diferentes, dependiendo del orden de la multiplicación, excepto para el caso especial de que p y q son múltiplos escalares de uno al otro (que incluye el caso en el que p = 0). Por lo tanto, la notaciónpag/qes ambiguo porque no especifica si q divide a la izquierda oa la derecha (si  q ⁻¹ multiplica p a su izquierda oa su derecha).

Propiedades algebraicas

Gráfico de Cayley de Q 8. Las flechas rojas representan la multiplicación de la derecha por i, y las flechas verdes representan la multiplicación de la derecha por j.

El conjunto de todos los cuaterniones es un espacio vectorial sobre los números reales con dimensión  4. La multiplicación de cuaterniones es asociativa y se distribuye sobre la suma de vectores, pero con la excepción del subconjunto escalar, no es conmutativa. Por lo tanto, los cuaterniones son un álgebra asociativa no conmutativa sobre los números reales. Aunque contiene copias de los números complejos, no es un álgebra asociativa sobre los números complejos. $$

H {\ Displaystyle \ mathbb {H}} $$ H {\ Displaystyle \ mathbb {H}}$$ H {\ Displaystyle \ mathbb {H}}

Debido a que es posible dividir cuaterniones, forman un álgebra de división. Esta es una estructura similar a un campo excepto por la no conmutatividad de la multiplicación. Las álgebras de división asociativa de dimensión finita sobre los números reales son muy raras. El Frobenius indica que hay exactamente tres:,, y. La norma hace que los cuaterniones en un álgebra normada y álgebras de división normados en los números reales también son muy raras: el teorema de Hurwitz dice que sólo hay cuatro:,,, y (los octoniones). Los cuaterniones son también un ejemplo de un álgebra de composición y de un álgebra de Banach unital. $$

R {\ Displaystyle \ mathbb {R}}$$ C {\ Displaystyle \ mathbb {C}}$$ H {\ Displaystyle \ mathbb {H}} $$ R {\ Displaystyle \ mathbb {R}}$$ C {\ Displaystyle \ mathbb {C}}$$ H {\ Displaystyle \ mathbb {H}}$$ O {\ Displaystyle \ mathbb {O}}

Gráfico tridimensional de Q 8. Las flechas rojas, verdes y azules representan la multiplicación por i, j y k, respectivamente. Se omite la multiplicación por números negativos para mayor claridad.

Debido a que el producto de cualesquiera dos vectores base es más o menos otro vector base, el conjunto {± 1, ± i, ± j, ± k } forma un grupo bajo la multiplicación. Este grupo no abeliano se llama grupo de cuaterniones y se denota Q 8. El anillo de grupo real de Q 8 es un anillo que también es un espacio vectorial de ocho dimensiones. Tiene un vector base para cada elemento de Los cuaterniones son isomorfos al anillo cociente de por el ideal generado por los elementos 1 + (−1), i + (- i), j + (- j) y k + (- k). Aquí el primer término en cada una de las diferencias es uno de los elementos base 1, i, j y k, y el segundo término es uno de los elementos base −1, - i, - j, y - k, no los inversos aditivos de 1, i, j y k. $$

R[ Q 8] {\ Displaystyle \ mathbb {R} [\ mathrm {Q} _ {8}]}$$ R. {\ Displaystyle \ mathbb {R}.}$$ R[ Q 8]. {\ Displaystyle \ mathbb {R} [\ mathrm {Q} _ {8}].} $$ R[ Q 8] {\ Displaystyle \ mathbb {R} [\ mathrm {Q} _ {8}]}

Cuaterniones y geometría espacial

La parte vectorial de un cuaternión se puede interpretar como un vector de coordenadas en, por lo tanto, las operaciones algebraicas de los cuaterniones reflejan la geometría de Operaciones como el punto vectorial y los productos cruzados se pueden definir en términos de cuaterniones, y esto hace posible aplicar técnicas de cuaternión dondequiera que surjan vectores espaciales. Una aplicación útil de los cuaterniones ha sido la interpolación de las orientaciones de fotogramas clave en gráficos por computadora. $$

R 3; {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3};}$$ R 3. {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}.}

Para el resto de esta sección, i, j y k denotarán los tres vectores base imaginarios de y una base para Reemplazar i por - i, j por - j, yk por - k envía un vector a su inverso aditivo, por lo que el inverso aditivo de un vector es el mismo que su conjugado como cuaternión. Por esta razón, la conjugación a veces se denomina inversa espacial. $$

H {\ Displaystyle \ mathbb {H}}$$ R 3. {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}.}

Para dos vector cuaterniones p = b 1 i + c 1 j + d 1 k y q = b 2 i + c 2 j + d 2 k su producto escalar, por analogía a los vectores en IS $$

R 3, {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3},}

$$pag⋅q= B 1 B 2+ C 1 C 2+ D 1 D 2 . {\ Displaystyle p \ cdot q = b_ {1} b_ {2} + c_ {1} c_ {2} + d_ {1} d_ {2} ~.}

También se puede expresar sin componentes como

$$pag⋅q= 1 2( pag ∗q+ q ∗pag)= 1 2(pag q ∗+q pag ∗). {\ Displaystyle p \ cdot q = \ textstyle {\ frac {1} {2}} (p ^ {*} q + q ^ {*} p) = \ textstyle {\ frac {1} {2}} (pq ^ {*} + qp ^ {*}).}

Esto es igual a las partes escalares de los productos pq ^∗, qp ^∗, p ^∗q y q ^∗p. Tenga en cuenta que sus partes vectoriales son diferentes.

El producto cruzado de p y q en relación con la orientación determinada por la base ordenada i, j, y k es

$$pag×q=( C 1 D 2- D 1 C 2) I+( D 1 B 2- B 1 D 2) j+( B 1 C 2- C 1 B 2) k. {\ Displaystyle p \ times q = (c_ {1} d_ {2} -d_ {1} c_ {2}) \ mathbf {i} + (d_ {1} b_ {2} -b_ {1} d_ {2 }) \ mathbf {j} + (b_ {1} c_ {2} -c_ {1} b_ {2}) \ mathbf {k} \,.}

(Recuerde que la orientación es necesaria para determinar el signo). Esto es igual a la parte vectorial del producto pq (como cuaterniones), así como a la parte vectorial de - q ^∗p ^∗. También tiene la fórmula

$$pag×q= 1 2 ( pag q - q pag ) . {\ Displaystyle p \ times q = \ textstyle {\ tfrac {1} {2}} (pq-qp).}

Para el conmutador, [ p, q ] = pq - qp, de dos cuaterniones vectoriales se obtiene

$$[pag,q]=2pag×q. {\ Displaystyle [p, q] = 2p \ times q.}

En general, dejar que p y q sea cuaterniones y escritura

$$pag= pag s+ pag v, {\ Displaystyle p = p _ {\ text {s}} + p _ {\ text {v}},}

$$q= q s+ q v, {\ Displaystyle q = q _ {\ text {s}} + q _ {\ text {v}},}

donde p es y q s son las partes escalares, y p v y q v son las partes del vector de p y q. Entonces tenemos la fórmula

$$pagq=(pagq ) s+(pagq ) v=( pag s q s- pag v⋅ q v)+( pag s q v+ q s pag v+ pag v× q v). {\ Displaystyle pq = (pq) _ {\ text {s}} + (pq) _ {\ text {v}} = (p _ {\ text {s}} q _ {\ text {s}} - p _ {\ texto {v}} \ cdot q _ {\ text {v}}) + (p _ {\ text {s}} q _ {\ text {v}} + q _ {\ text {s}} p _ {\ text {v} } + p _ {\ text {v}} \ times q _ {\ text {v}}).}

Esto muestra que la no conmutatividad de la multiplicación de cuaterniones proviene de la multiplicación de cuaterniones vectoriales. También muestra que dos cuaterniones se conmutan si y solo si sus partes vectoriales son colineales. Hamilton demostró que este producto calcula el tercer vértice de un triángulo esférico a partir de dos vértices dados y sus longitudes de arco asociadas, que también es un álgebra de puntos en geometría elíptica.

Los cuaterniones de unidad se pueden identificar con rotaciones en y Hamilton los llamó versores. Consulte también Cuaterniones y rotación espacial para obtener más información sobre cómo modelar rotaciones tridimensionales utilizando cuaterniones. $$

R 3 {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}

Consulte Hanson (2005) para ver la visualización de cuaterniones.

Representaciones matriciales

Así como los números complejos se pueden representar como matrices, los cuaterniones también. Hay al menos dos formas de representar cuaterniones como matrices de tal manera que la suma y la multiplicación de cuaterniones se correspondan con la suma y la multiplicación de matrices. Una es usar matrices complejas de 2 × 2 y la otra es usar matrices reales de 4 × 4. En cada caso, la representación dada pertenece a una familia de representaciones relacionadas linealmente. En la terminología del álgebra abstracta, estos son homomorfismos inyectivos de los anillos de la matriz M (2, ℂ) y M (4, ℝ), respectivamente. $$

H {\ Displaystyle \ mathbb {H}}

Usando matrices complejas 2 × 2, el cuaternión a + bi + cj + dk se puede representar como

$$ [ a + B I C + D I - C + D I a - B I]. {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a + bi amp; c + di \\ - c + di amp; a-bi \ end {bmatrix}}.}

Tenga en cuenta que la "i" de los números complejos es distinta de la "i" de los cuaterniones.

Esta representación tiene las siguientes propiedades:

• Restricción dos cualquiera de b, c y d a cero produce una representación de los números complejos. Por ejemplo, establecer c = d = 0 produce una representación de matriz compleja diagonal de números complejos, y establecer b = d = 0 produce una representación de matriz real.
• La norma de un cuaternión (la raíz cuadrada del producto con su conjugado, como ocurre con los números complejos) es la raíz cuadrada del determinante de la matriz correspondiente.
• El conjugado de un cuaternión corresponde a la transpuesta conjugada de la matriz.
• Por restricción, esta representación produce un isomorfismo entre el subgrupo de cuaterniones unitarios y su imagen SU (2). Topológicamente, los cuaterniones unitarios son las 3 esferas, por lo que el espacio subyacente de SU (2) también es una 3 esfera. El grupo SU (2) es importante para describir el espín en mecánica cuántica ; ver matrices de Pauli.
• Existe una fuerte relación entre las unidades de cuaterniones y las matrices de Pauli. Obtener las ocho matrices unitarias cuaternión mediante la adopción de un, b, c y d, establecer tres de ellos en cero y la cuarta a 1 o -1. Al multiplicar dos matrices de Pauli cualesquiera siempre se obtiene una matriz de unidad de cuaternión, todas excepto -1. Se obtiene −1 a través de i ² = j ² = k ² = ijk = −1; por ejemplo, la última igualdad es

$$ I j k = σ 1 σ 2 σ 3 σ 1 σ 2 σ 3 = - 1 {\ Displaystyle {\ begin {alineado} ijk = \ sigma _ {1} \ sigma _ {2} \ sigma _ {3} \ sigma _ {1} \ sigma _ {2} \ sigma _ {3} = - 1 \ end {alineado}}}

Usando matrices reales de 4 × 4, ese mismo cuaternión se puede escribir como

$$ [ a - B - C - D B a - D C C D a - B D - C B a]=a [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1]+B [ 0 - 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 - 1 0 0 1 0]+C [ 0 0 - 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 - 1 0 0]+D [ 0 0 0 - 1 0 0 - 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0]. {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a amp; -b amp; -c amp; -d \\ b amp; a amp; -d amp; c \\ c amp; d amp; a amp; -b \\ d amp; -c amp; b amp; a \ end {bmatrix}} = a {\ begin {bmatrix} 1 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 1 amp; 0 amp; 0 \ \ 0 amp; 0 amp; 1 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 1 \ end {bmatrix}} + b {\ begin {bmatrix} 0 amp; -1 amp; 0 amp; 0 \\ 1 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; -1 \\ 0 amp; 0 amp; 1 amp; 0 \ end {bmatrix}} + c {\ begin {bmatrix amp; 0 amp; 0 amp; -1 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 1 \\ 1 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; -1 amp; 0 amp; 0 \ end {bmatrix}} + d {\ begin {bmatrix} 0 amp; 0 amp; 0 amp; -1 \\ 0 amp; 0 amp; -1 amp; 0 \\ 0 amp; 1 amp; 0 amp; 0 \\ 1 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \ end {bmatrix}}.}

Sin embargo, la representación de cuaterniones en M (4, ℝ) no es única. Por ejemplo, el mismo cuaternión también se puede representar como

$$ [ a D - B - C - D a C - B B - C a - D C B D a]=a [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1]+B [ 0 0 - 1 0 0 0 0 - 1 1 0 0 0 0 1 0 0]+C [ 0 0 0 - 1 0 0 1 0 0 - 1 0 0 1 0 0 0]+D [ 0 1 0 0 - 1 0 0 0 0 0 0 - 1 0 0 1 0]. {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a amp; d amp; -b amp; -c \\ - d amp; a amp; c amp; -b \\ b amp; -c amp; a amp; -d \\ c amp; b amp; d amp; a \ end {bmatrix}} = a {\ begin {bmatrix} 1 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 1 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 1 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 1 \ end {bmatrix}} + b {\ begin {bmatrix} 0 amp; 0 amp; -1 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; -1 \\ 1 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 1 amp; 0 amp; 0 \ end {bmatrix}} + c {\ begin {bmatrix} 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; -1 \ 0 amp; 0 amp; 1 amp; 0 \\ 0 amp; -1 amp; 0 amp; 0 \\ 1 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \ end {bmatrix}} + d {\ begin {bmatrix} 0 amp; 1 amp; 0 amp; 0 \\ - 1 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; -1 \\ 0 amp; 0 amp; 1 amp; 0 \ end {bmatrix}}.}

Existen 48 representaciones matriciales distintas de esta forma en las que una de las matrices representa la parte escalar y las otras tres son todas asimétricas. Más precisamente, hay 48 conjuntos de cuádruples de matrices con estas restricciones de simetría tales que una función que envía 1, i, j y k a las matrices en el cuádruple es un homomorfismo, es decir, envía sumas y productos de cuaterniones a sumas. y productos de matrices. En esta representación, el conjugado de un cuaternión corresponde a la transposición de la matriz. La cuarta potencia de la norma de un cuaternión es el determinante de la matriz correspondiente. Al igual que con la representación compleja de 2 × 2 anterior, se pueden producir nuevamente números complejos restringiendo los coeficientes de manera adecuada; por ejemplo, como bloques de matrices diagonales con dos bloques de 2 × 2 estableciendo c = d = 0.

Cada representación matricial de 4 × 4 de los cuaterniones corresponde a una tabla de multiplicar de los cuaterniones unitarios. Por ejemplo, la última representación matricial dada arriba corresponde a la tabla de multiplicar

×	a	D	- b	- c
a	a	D	−b	−c
−d	−d	a	C	−b
B	B	- c	a	- d
C	C	B	D	a

que es isomorfo - hasta - a $$

{a↦1,B↦I,C↦j,D↦k} {\ Displaystyle \ {a \ mapsto 1, b \ mapsto i, c \ mapsto j, d \ mapsto k \}}

×	1	k	- i	- j
1	1	k	- i	- j
- k	- k	1	j	- i
I	I	- j	1	- k
j	j	I	k	1

Restringir cualquier tabla de multiplicar para que tenga la identidad en la primera fila y columna y para que los signos de los encabezados de fila sean opuestos a los de los encabezados de columna, entonces hay 3 opciones posibles para la segunda columna (ignorando el signo), 2 posibles opciones para la tercera columna (ignorando el signo) y 1 opción posible para la cuarta columna (ignorando el signo); eso hace 6 posibilidades. Luego, la segunda columna puede elegirse como positiva o negativa, la tercera columna puede elegirse como positiva o negativa, y la cuarta columna puede elegirse como positiva o negativa, dando 8 posibilidades para el signo. Al multiplicar las posibilidades para las posiciones de las letras y sus signos se obtiene 48. Luego, reemplazando 1 con a, i con b, j con c, yk con d y eliminando los encabezados de fila y columna, se obtiene una representación matricial de a + b i + c j + d k.

Teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange

Artículo principal: teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange

Los cuaterniones también se utilizan en una de las demostraciones del teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange en la teoría de números, que establece que cada entero no negativo es la suma de cuatro cuadrados enteros. Además de ser un teorema elegante por derecho propio, el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange tiene aplicaciones útiles en áreas de las matemáticas fuera de la teoría de números, como la teoría del diseño combinatorio. La prueba basada en cuaterniones utiliza cuaterniones de Hurwitz, un subanillo del anillo de todos los cuaterniones para los que existe un análogo del algoritmo euclidiano.

Cuaterniones como pares de números complejos

Artículo principal: construcción Cayley-Dickson

Los cuaterniones se pueden representar como pares de números complejos. Desde esta perspectiva, los cuaterniones son el resultado de aplicar la construcción de Cayley-Dickson a los números complejos. Esta es una generalización de la construcción de números complejos como pares de números reales.

Sea un espacio vectorial bidimensional sobre los números complejos. Elija una base que consta de dos elementos 1 y j. A en vector puede escribirse en términos de los elementos de la base 1 y j como $$

C 2 {\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$$ C 2 {\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}

$$(a+BI)1+(C+DI) j. {\ Displaystyle (a + bi) 1+ (do + di) \ mathbf {j} \,.}

Si definimos j ² = −1 e i j = - j i, entonces podemos multiplicar dos vectores usando la ley distributiva. El uso de k como una notación abreviada para el producto i j conduce a las mismas reglas de multiplicación que los cuaterniones habituales. Por lo tanto, el vector anterior de números complejos corresponde al cuaternión a + bi + c j + d k. Si escribimos los elementos de como pares ordenados y los cuaterniones como cuádruples, entonces la correspondencia es $$

C 2 {\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}

$$(a+BI, C+DI)↔(a,B,C,D). {\ Displaystyle (a + bi, \ c + di) \ leftrightarrow (a, b, c, d).}

Raíces cuadradas

Raíces cuadradas de −1

En los números complejos, solo hay dos números, i y - i, cuyo cuadrado es −1. En hay infinitas raíces cuadradas de menos uno: la solución del cuaternión para la raíz cuadrada de −1 es la esfera unitaria en Para ver esto, sea q = a + b i + c j + d k un cuaternión, y suponga que su cuadrado es −1. En términos de una, b, c, y d, esto significa $$

C, {\ Displaystyle \ mathbb {C},}$$ H {\ Displaystyle \ mathbb {H}} $$ R 3. {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}.}

$$ a 2- B 2- C 2- D 2=-1, {\ Displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2} -d ^ {2} = - 1,}

$$2aB=0, {\ displaystyle 2ab = 0,}

$$2aC=0, {\ displaystyle 2ac = 0,}

$$2aD=0. {\ displaystyle 2ad = 0.}

Para satisfacer las tres últimas ecuaciones, ya sea un = 0 o b, c, y d son todos 0. El último es imposible porque una es un número real y la primera ecuación implicaría que un ² = -1. Por lo tanto, a = 0 y b ² + c ² + d ² = 1. En otras palabras: un cuaternión cuadra a -1 si y solo si es un cuaternión vectorial con norma 1. Por definición, el conjunto de todos estos vectores forma la esfera unitaria.

Solo los cuaterniones reales negativos tienen infinitas raíces cuadradas. Todos los demás tienen solo dos (o uno en el caso de 0).

Como unión de planos complejos

Cada par de raíces cuadradas de -1 crea una copia distinta de los números complejos dentro de los cuaterniones. Si q ² = −1, entonces la copia está determinada por la función

$$a+B - 1 ↦a+Bq. {\ Displaystyle a + b {\ sqrt {-1 \,}} \ mapsto a + bq \,.}

Este es un inyectiva homomorfismo de anillos de a que define un campo isomorfismo de sobre su imagen. Las imágenes de las incrustaciones correspondientes a q y - q son idénticas. $$

C {\ Displaystyle \ mathbb {C}}$$ H, {\ Displaystyle \ mathbb {H},} $$ C {\ Displaystyle \ mathbb {C}}

Cada cuaternión no real genera una subálgebra de los cuaterniones que es isomórfica y, por lo tanto, es un subespacio plano de escritura q como la suma de su parte escalar y su parte vectorial: $$

C, {\ Displaystyle \ mathbb {C},}$$ H: {\ Displaystyle \ mathbb {H} \ colon}

$$q= q s+ q → v. {\ Displaystyle q = q_ {s} + {\ vec {q}} _ {v}.}

Descomponga aún más la parte del vector como el producto de su norma y su versor :

$$q= q s+‖ q → v‖⋅ U q → v= q s+ q v ‖ q v ‖. {\ Displaystyle q = q_ {s} + \ lVert {\ vec {q}} _ {v} \ rVert \ cdot \ mathbf {U} {\ vec {q}} _ {v} = q_ {s} + { \ frac {q_ {v}} {\ | q_ {v} \ |}}.}

(Tenga en cuenta que esto no es el mismo que.) El versor de la parte de vector de q, es un versor derecha con -1 como su cuadrado. Una verificación sencilla muestra que $$

q s+‖q‖⋅ Uq {\ Displaystyle q_ {s} + \ lVert q \ rVert \ cdot \ mathbf {U} q}$$ U q → v {\ Displaystyle \ mathbf {U} {\ vec {q}} _ {v}}

$$a+B - 1 ↦a+B U q → v {\ Displaystyle a + b {\ sqrt {-1 \,}} \ mapsto a + b \ mathbf {U} {\ vec {q}} _ {v}}

define un homomorfismo inyectivo de álgebras normativas desde los cuaterniones. Bajo este homomorfismo, q es la imagen del número complejo. $$

C {\ Displaystyle \ mathbb {C}}$$ q s+‖ q → v‖I {\ Displaystyle q_ {s} + \ lVert {\ vec {q}} _ {v} \ rVert i}

Como es la unión de las imágenes de todos estos homomorfismos, esto permite ver los cuaterniones como una unión de planos complejos que se cruzan en la línea real. Cada uno de estos planos complejos contiene exactamente un par de puntos antípodas de la esfera de raíces cuadradas de menos uno. $$

H {\ Displaystyle \ mathbb {H}}

Subanillos conmutativos

La relación de los cuaterniones entre sí dentro de los subplanos complejos de también se puede identificar y expresar en términos de subanillos conmutativos. Específicamente, ya que dos cuaterniones p y q conmute (es decir, pq = qp) solamente si se encuentran en la misma subplano complejo de, el perfil de como una unión de aviones complejos surge cuando se trata de encontrar todos los subanillos conmutativa de la cuaternión anillo. $$

H {\ Displaystyle \ mathbb {H}} $$ H {\ Displaystyle \ mathbb {H}}$$ H {\ Displaystyle \ mathbb {H}}

Raíces cuadradas de cuaterniones arbitrarios

Cualquier cuaternión (representado aquí en representación escalar-vector) tiene al menos una raíz cuadrada que resuelve la ecuación. Al observar las partes escalar y vectorial en esta ecuación por separado, se obtienen dos ecuaciones, que cuando se resuelven dan las soluciones $$

q=(r, v →) {\ Displaystyle \ mathbf {q} = (r, \, {\ vec {v}})}$$ q=(X, y →) {\ Displaystyle {\ sqrt {\ mathbf {q}}} = (x, \, {\ vec {y}})}$$ q 2=(X, y → ) 2= q {\ Displaystyle {\ sqrt {\ mathbf {q}}} ^ {2} = (x, \, {\ vec {y}}) ^ {2} = \ mathbf {q}}

$$

q= ( r , v → )=± ( ‖ q ‖ + r 2 ,   v → ‖ v → ‖ ‖ q ‖ - r 2 ), {\ Displaystyle {\ sqrt {\ mathbf {q}}} = {\ sqrt {(r, \, {\ vec {v}} \,)}} = \ pm \ left ({\ sqrt {\ frac {\ | \ mathbf {q} \ | + r} {2}}}, \ {\ frac {\ vec {v}} {\ | {\ vec {v}} \ |}} {\ sqrt {\ frac {\ | \ mathbf {q} \ | -r} {2}}} \ derecha),}

donde es la norma de y es la norma de. Para cualquier cuaternión escalar, esta ecuación proporciona las raíces cuadradas correctas si se interpreta como un vector unitario arbitrario. $$

‖ v →‖= v → ⋅ v →= - v → 2 {\ Displaystyle \ | {\ vec {v}} \ | = {\ sqrt {{\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}}}} = {\ sqrt {- {\ vec {v}} ^ {2}}}}$$ v → {\ Displaystyle {\ vec {v}}}$$‖ q‖= q ∗ q= r 2+‖ v → ‖ 2 {\ Displaystyle \ | \ mathbf {q} \ | = {\ sqrt {\ mathbf {q} ^ {*} \ mathbf {q}}} = r ^ {2} + \ | {\ vec {v}} \ | ^ {2}}$$ q {\ Displaystyle \ mathbf {q}}$$ q {\ Displaystyle \ mathbf {q}}$$ v → ‖ v → ‖ {\ Displaystyle {\ frac {\ vec {v}} {\ | {\ vec {v}} \ |}}}

Por lo tanto, los cuaterniones no escalares, distintos de cero, o los cuaterniones escalares positivos, tienen exactamente dos raíces, mientras que 0 tiene exactamente una raíz (0), y los cuaterniones escalares negativos tienen infinitas raíces, que son los cuaterniones vectoriales ubicados en, es decir, donde la parte escalar es cero y la parte vectorial está ubicada en la 2-esfera con radio. $$

{0}× S 2( - r) {\ Displaystyle \ {0 \} \ times S ^ {2} ({\ sqrt {-r}})} $$ - r {\ Displaystyle {\ sqrt {-r}}}

Funciones de una variable de cuaternión

Artículo principal: análisis cuaterniónico Los conjuntos de Julia y los conjuntos de Mandelbrot se pueden extender a los cuaterniones, pero deben usar secciones transversales para ser renderizados visualmente en 3 dimensiones. Este conjunto de Julia tiene una sección transversal en el plano xy.

Al igual que las funciones de una variable compleja, las funciones de una variable de cuaternión sugieren modelos físicos útiles. Por ejemplo, los campos eléctricos y magnéticos originales descritos por Maxwell eran funciones de una variable de cuaternión. Ejemplos de otras funciones incluyen la extensión del conjunto de Mandelbrot y los conjuntos de Julia en un espacio de 4 dimensiones.

Funciones exponenciales, logaritmos y de potencia

Dado un cuaternión,

$$q=a+B I+C j+D k=a+ v {\ Displaystyle q = a + b \ mathbf {i} + c \ mathbf {j} + d \ mathbf {k} = a + \ mathbf {v}}

el exponencial se calcula como

$$Exp⁡(q)= ∑ norte = 0 ∞ q norte norte != mi a ( porque ⁡ ‖ v ‖ + v ‖ v ‖ pecado ⁡ ‖ v ‖ )   {\ Displaystyle \ exp (q) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {n}} {n!}} = e ^ {a} \ left (\ cos \ | \ mathbf {v} \ | + {\ frac {\ mathbf {v}} {\ | \ mathbf {v} \ |}} \ sin \ | \ mathbf {v} \ | \ right) ~~}

y el logaritmo es

$$en⁡(q)=en⁡‖q‖+ v ‖ v ‖arccos⁡ a ‖ q ‖   {\ Displaystyle \ ln (q) = \ ln \ | q \ | + {\ frac {\ mathbf {v}} {\ | \ mathbf {v} \ |}} \ arccos {\ frac {a} {\ | q \ |}} ~~}

De ello se deduce que la descomposición polar de un cuaternión puede escribirse

$$q=‖q‖ mi norte ^ φ=‖q‖ ( porque ⁡ ( φ ) + norte ^ pecado ⁡ ( φ ) ), {\ Displaystyle q = \ | q \ | e ^ {{\ hat {n}} \ varphi} = \ | q \ | \ left (\ cos (\ varphi) + {\ hat {n}} \ sin (\ varphi) \ derecha),}

donde el angulo $$

φ {\ Displaystyle \ varphi}

$$a=‖q‖porque⁡(φ) {\ Displaystyle a = \ | q \ | \ cos (\ varphi)}

y el vector unitario está definido por: $$

norte ^ {\ Displaystyle {\ hat {n}}}

$$ v= norte ^‖ v‖= norte ^‖q‖pecado⁡(φ). {\ Displaystyle \ mathbf {v} = {\ hat {n}} \ | \ mathbf {v} \ | = {\ hat {n}} \ | q \ | \ sin (\ varphi) \,.}

Cualquier unidad de cuaternión puede expresarse en forma polar como:

$$q=Exp⁡ ( norte ^ φ ) {\ Displaystyle q = \ exp {({\ hat {n}} \ varphi)}}.

La potencia de un cuaternión elevado a un exponente arbitrario (real) x viene dada por:

$$ q X=‖q ‖ X mi norte ^ X φ=‖q ‖ X ( porque ⁡ ( X φ ) + norte ^ pecado ⁡ ( X φ ) ) . {\ Displaystyle q ^ {x} = \ | q \ | ^ {x} e ^ {{\ hat {n}} x \ varphi} = \ | q \ | ^ {x} \ left (\ cos (x \ varphi) + {\ hat {n}} \, \ sin (x \ varphi) \ derecha) ~.}

Norma geodésica

La distancia geodésica d g ( p, q) entre la unidad de cuaterniones p y q se define como:

$$ D gramo(pag,q)=‖en⁡( pag - 1q)‖. {\ Displaystyle d _ {\ text {g}} (p, q) = \ lVert \ ln (p ^ {- 1} q) \ rVert.}

y asciende al valor absoluto de la mitad del ángulo subtendido por p y q lo largo de un gran arco de la S ³ esfera. Este ángulo también se puede calcular a partir del producto escalar del cuaternión sin el logaritmo como:

$$arccos⁡(2(pag⋅q ) 2-1). {\ Displaystyle \ arccos (2 (p \ cdot q) ^ {2} -1).}

Grupos de rotación tridimensionales y tetradimensionales.

Artículos principales: Cuaterniones y rotación espacial y operador de Rotación (espacio vectorial)

La palabra " conjugación ", además del significado dado anteriormente, también puede significar tomar un elemento a a r a r ⁻¹ donde r es algún cuaternión distinto de cero. Todos los elementos que se conjugan a un elemento dado (en este sentido de la palabra conjugado) tienen la misma parte real y la misma norma de la parte vectorial. (Así, el conjugado en el otro sentido es uno de los conjugados en este sentido).

Así, el grupo multiplicativo de cuaterniones distintos de cero actúa por conjugación sobre la copia de que consta de cuaterniones con parte real igual a cero. La conjugación por un cuaternión unitario (un cuaternión de valor absoluto 1) con la parte real cos ( φ) es una rotación en un ángulo 2 φ, siendo el eje de rotación la dirección de la parte del vector. Las ventajas de los cuaterniones son: $$

R 3 {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}

• Evitar el bloqueo del cardán, un problema con sistemas como los ángulos de Euler.
• Más rápido y compacto que las matrices.
• Representación no singular (en comparación con los ángulos de Euler, por ejemplo).
• Los pares de cuaterniones unitarios representan una rotación en el espacio 4D (ver Rotaciones en el espacio euclidiano 4 dimensional: Álgebra de rotaciones 4D ).

El conjunto de todos los cuaterniones unitarios ( versores ) forma un S ^{3 de} 3 esferas y un grupo (un grupo de Lie ) bajo multiplicación, doble cubriendo el grupo SO (3, ℝ) de matrices ortogonales reales de 3 × 3  del determinante  1 ya que dos unidades los cuaterniones corresponden a cada rotación bajo la correspondencia anterior. Vea el truco del plato.

Más información: Grupos de puntos en tres dimensiones

La imagen de un subgrupo de versores es un grupo de puntos y, a la inversa, la preimagen de un grupo de puntos es un subgrupo de versores. La preimagen de un grupo de puntos finito recibe el mismo nombre, con el prefijo binario. Por ejemplo, la preimagen del grupo icosaédrico es el grupo icosaédrico binario.

El grupo de versores es isomorfo a SU (2), el grupo de matrices unitarias complejas de 2 × 2 del determinante  1.

Deje A el conjunto de cuaterniones de la forma de un + b i + c j + d k donde a, b, c, y d son o bien todos los números enteros o todas las medias números enteros. El conjunto A es un anillo (de hecho, un dominio ) y una red y se llama el anillo de los cuaterniones de Hurwitz. Hay 24 cuaterniones unitarios en este anillo, y son los vértices de una celda regular de 24 con el símbolo de Schläfli {3,4,3}. Corresponden a la doble cubierta del grupo de simetría rotacional del tetraedro regular. De manera similar, los vértices de una celda 600 regular con el símbolo de Schläfli {3,3,5 } se pueden tomar como icosianos unitarios, correspondientes a la doble cobertura del grupo de simetría rotacional del icosaedro regular. La doble cobertura del grupo de simetría rotacional del octaedro regular corresponde a los cuaterniones que representan los vértices de la celda 288 difenoidal.

Álgebras de cuaterniones

Artículo principal: Álgebra de cuaterniones

Los cuaterniones se pueden generalizar en otras álgebras llamadas álgebras de cuaterniones. Tome F ser cualquier campo con diferente característica de 2, y una y b a ser elementos de F ; un álgebra asociativa unitaria de cuatro dimensiones se puede definir más de F con base 1, i, j, y ij, donde i ² = una, j ² = b y ij = - ji (tan (ij) ² = - ab).

Quaternion álgebras son isomorfos con el álgebra de 2 x 2  matrices más de F o álgebras forma de división sobre F, dependiendo de la elección de una y b.

Cuaterniones como la parte par de Cl 3,0 (ℝ)

Artículo principal: Spinor § Tres dimensiones

La utilidad de los cuaterniones para cálculos geométricos se puede generalizar a otras dimensiones identificando los cuaterniones como la parte par del álgebra de Clifford.Esta es un álgebra asociativa multivectorial construida a partir de elementos básicos fundamentales σ 1 , σ 2 , σ 3 utilizando las reglas del producto. $$

Cl 3 , 0 +⁡( R) {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {3,0} ^ {+} (\ mathbb {R})}$$ Cl 3 , 0⁡( R). {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {3,0} (\ mathbb {R}).}

$$ σ 1 2= σ 2 2= σ 3 2=1, {\ Displaystyle \ sigma _ {1} ^ {2} = \ sigma _ {2} ^ {2} = \ sigma _ {3} ^ {2} = 1,}

$$ σ I σ j=- σ j σ I(j≠I). {\ Displaystyle \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} = - \ sigma _ {j} \ sigma _ {i} \ qquad (j \ neq i).}

Si estos elementos de la base fundamental se toman para representar vectores en el espacio 3D, entonces resulta que la reflexión de un vector r en un plano perpendicular a un vector unitario w se puede escribir:

$$ r ′=-wrw. {\ Displaystyle r ^ {\ prime} = - w \, r \, w.}

Dos reflexiones hacen una rotación en un ángulo dos veces mayor que el ángulo entre los dos planos de reflexión, por lo que

$$ r ′ ′= σ 2 σ 1r σ 1 σ 2 {\ Displaystyle r ^ {\ prime \ prime} = \ sigma _ {2} \ sigma _ {1} \, r \, \ sigma _ {1} \ sigma _ {2}}

corresponde a una rotación de 180 ° en el plano que contiene σ 1 y σ 2. Esto es muy similar a la fórmula del cuaternión correspondiente,

$$ r ′ ′=- kr k. {\ Displaystyle r ^ {\ prime \ prime} = - \ mathbf {k} \, r \, \ mathbf {k}.}

De hecho, los dos son idénticos, si hacemos la identificación

$$ k= σ 2 σ 1, I= σ 3 σ 2, j= σ 1 σ 3, {\ Displaystyle \ mathbf {k} = \ sigma _ {2} \ sigma _ {1} \,, \ quad \ mathbf {i} = \ sigma _ {3} \ sigma _ {2} \,, \ quad \ mathbf {j} = \ sigma _ {1} \ sigma _ {3} \,,}

y es sencillo confirmar que esto preserva las relaciones de Hamilton

$$ I 2= j 2= k 2= I j k=-1 . {\ Displaystyle \ mathbf {i} ^ {2} = \ mathbf {j} ^ {2} = \ mathbf {k} ^ {2} = \ mathbf {i \, j \, k} = -1 ~.}

En esta imagen, los llamados "cuaterniones vectoriales" (es decir, cuaterniones imaginarios puros) no corresponden a vectores sino a bivectores, cantidades con magnitud y orientaciones asociadas con planos 2D particulares en  lugar de direcciones 1D . La relación con los números complejos también se vuelve más clara: en 2D, con dos direcciones vectoriales σ 1 y σ 2, solo hay un elemento base bivector σ 1 σ 2, por lo que solo hay un imaginario. Pero en 3D, con tres direcciones vectoriales, hay tres elementos base bivector σ 1 σ 2, σ 2 σ 3, σ 3 σ 1, entonces tres imaginarios.

Este razonamiento se extiende más allá. En el álgebra de Clifford hay seis elementos básicos de bivector, ya que con cuatro direcciones vectoriales básicas diferentes, se pueden definir seis pares diferentes y, por lo tanto, seis planos diferentes linealmente independientes. Las rotaciones en tales espacios usando estas generalizaciones de cuaterniones, llamados rotores, pueden ser muy útiles para aplicaciones que involucran coordenadas homogéneas. Pero es solo en 3D que el número de bivectores de base es igual al número de vectores de base, y cada bivector puede identificarse como un pseudovector. $$

Cl 4 , 0⁡( R), {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {4,0} (\ mathbb {R}),}

Hay varias ventajas de colocar cuaterniones en este entorno más amplio:

• Los rotores son una parte natural del álgebra geométrica y se entienden fácilmente como la codificación de una doble reflexión.
• En álgebra geométrica, un rotor y los objetos sobre los que actúa viven en el mismo espacio. Esto elimina la necesidad de cambiar las representaciones y codificar nuevas estructuras y métodos de datos, lo que tradicionalmente se requiere cuando se aumenta el álgebra lineal con cuaterniones.
• Los rotores son universalmente aplicables a cualquier elemento del álgebra, no solo a vectores y otros cuaterniones, sino también a líneas, planos, círculos, esferas, rayos, etc.
• En el modelo conforme de la geometría euclidiana, los rotores permiten la codificación de rotación, traslación y escalado en un solo elemento del álgebra, actuando universalmente sobre cualquier elemento. En particular, esto significa que los rotores pueden representar rotaciones alrededor de un eje arbitrario, mientras que los cuaterniones están limitados a un eje que pasa por el origen.
• Las transformaciones codificadas por rotor hacen que la interpolación sea particularmente sencilla.
• Los rotores se trasladan naturalmente a los espacios pseudoeuclidianos, por ejemplo, el espacio de Minkowski de la relatividad especial. En tales espacios, los rotores se pueden usar para representar de manera eficiente los aumentos de Lorentz y para interpretar fórmulas que involucren las matrices gamma.

Para obtener más detalles sobre los usos geométricos de las álgebras de Clifford, consulte Álgebra geométrica.

Grupo Brauer

Más información: Grupo Brauer

Los cuaterniones son "esencialmente" el único álgebra simple central (no trivial) (CSA) sobre los números reales, en el sentido de que cada CSA sobre los números reales es equivalente de Brauer a los números reales o los cuaterniones. Explícitamente, el grupo de Brauer de los números reales consta de dos clases, representadas por los números reales y los cuaterniones, donde el grupo de Brauer es el conjunto de todos los CSA, hasta la relación de equivalencia de un CSA que es un anillo de matriz sobre otro. Según el teorema de Artin-Wedderburn (específicamente, la parte de Wedderburn), las CSA son todas álgebras matriciales sobre un álgebra de división y, por lo tanto, los cuaterniones son el único álgebra de división no trivial sobre los números reales.

Los CSA: anillos sobre un campo, que son álgebras simples (no tienen ideales bilaterales no triviales, al igual que los campos) cuyo centro es exactamente el campo, son un análogo no conmutativo de los campos de extensión y son más restrictivos que las extensiones de anillo generales.. El hecho de que los cuaterniones sean la única CSA no trivial sobre los números reales (hasta la equivalencia) puede compararse con el hecho de que los números complejos son la única extensión de campo no trivial de los números reales.

Citas

Lo considero una falta de elegancia, o imperfección, en los cuaterniones, o más bien en el estado en el que se ha desarrollado hasta ahora, siempre que se hace o parece necesario recurrir a x, y, z, etc.

-  William Rowan Hamilton

Se dice que el tiempo tiene una sola dimensión y que el espacio tiene tres dimensiones.... El cuaternión matemático participa de ambos elementos; en lenguaje técnico puede decirse que es "tiempo más espacio", o "espacio más tiempo": y en este sentido tiene, o al menos implica una referencia a, cuatro dimensiones. Y cómo podría estar ceñido el Uno del Tiempo, del Espacio los Tres, en la Cadena de los Símbolos.

-  William Rowan Hamilton

Los cuaterniones vinieron de Hamilton después de haber hecho su muy buen trabajo; y, aunque maravillosamente ingeniosos, han sido un mal puro para quienes los han tocado de alguna manera, incluido Clerk Maxwell.

-  W. Thompson, Lord Kelvin (1892)

Más tarde me di cuenta de que, en lo que respecta al análisis de vectores que requería, el cuaternión no solo no era necesario, sino que era un mal positivo de magnitud no despreciable; y que al evitarlo, el establecimiento del análisis vectorial se hizo bastante simple y su funcionamiento también simplificado, y que podría armonizarse convenientemente con el trabajo cartesiano ordinario.

-  Oliver Heaviside (1893)

Ni las matrices, ni los cuaterniones ni los vectores ordinarios fueron eliminados de estos diez capítulos [adicionales]. Porque, a pesar del poder indiscutible del cálculo tensorial moderno, esos lenguajes matemáticos más antiguos continúan, en mi opinión, ofreciendo ventajas conspicuas en el campo restringido de la relatividad especial. Además, tanto en la ciencia como en la vida cotidiana, el dominio de más de un idioma también es valioso, ya que amplía nuestros puntos de vista, es propicio para la crítica y protege contra la hipóstasis [base débil] de la cuestión expresada. por palabras o símbolos matemáticos.

-  Ludwik Silberstein (1924)

... los cuaterniones parecen exudar un aire de decadencia del siglo XIX, como una especie bastante fracasada en la lucha por la vida de las ideas matemáticas. Es cierto que los matemáticos todavía guardan un lugar cálido en sus corazones para las notables propiedades algebraicas de los cuaterniones, pero, por desgracia, tal entusiasmo significa poco para el científico físico más testarudo.

-  Simon L. Altmann (1986)

Ver también

• Conversión entre cuaterniones y ángulos de Euler
• Cuaternión dual
• Número complejo dual
• Álgebra exterior
• Orden de cuaternión de Hurwitz
• Cuaternión hiperbólico
• Esfera Lénárt
• Matrices de Pauli
• Matriz cuaterniónica
• Politopo cuaterniónico
• Espacio proyectivo cuaterniónico
• Rotaciones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones
• Slerp
• Cuaternión dividido
• Tesseract

Notas

Referencias

Otras lecturas

Libros y publicaciones

• Hamilton, William Rowan (1844). "Sobre cuaterniones, o sobre un nuevo sistema de imaginarios en álgebra". Revista Filosófica. 25 (3): 489–495. doi : 10.1080 / 14786444408645047. *
• Hamilton, William Rowan (1853), " Conferencias sobre cuaterniones ". Real Academia Irlandesa.
• Hamilton (1866) Elementos de Quaternions University of Dublin Press. Editado por William Edwin Hamilton, hijo del autor fallecido.
• Hamilton (1899) Elements of Quaternions volumen I, (1901) volumen II. Editado por Charles Jasper Joly ; publicado por Longmans, Green amp; Co. .
• Tait, Peter Guthrie (1873), " Un tratado elemental sobre cuaterniones ". 2ª ed., Cambridge, [Ing.]: The University Press.
• Maxwell, James Clerk (1873), " Tratado sobre electricidad y magnetismo ". Clarendon Press, Oxford.
• Tait, Peter Guthrie (1886), " " Archived copy ". Archivado desde el original el 8 de agosto de 2014. Consultado el 26 de junio de 2005.CS1 maint: copia archivada como título ( enlace ) CS1 maint: URL no apta ( enlace )". MA Sec. RSE Encyclopædia Britannica, novena edición, 1886, Vol. XX, págs. 160-164. (Archivo PostScript bzip)
• Joly, Charles Jasper (1905). Un manual de cuaterniones. Macmillan. LCCN   05036137.
• Macfarlane, Alexander (1906). Análisis de vectores y cuaterniones (4ª ed.). Wiley. LCCN   16000048.
• Chisholm, Hugh, ed. (1911). "Álgebra" . Encyclopædia Britannica (11ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge.( Ver sección sobre cuaterniones).
• Finkelstein, David; Jauch, Josef M.; Schiminovich, Samuel; Speiser, David (1962). "Fundamentos de la mecánica cuántica del cuaternión". J. Math. Phys. 3 (2): 207–220. doi : 10.1063 / 1.1703794.
• Du Val, Patrick (1964). Homografías, cuaterniones y rotaciones. Monografías matemáticas de Oxford. Prensa de Clarendon. LCCN   64056979.
• Crowe, Michael J. (1967), A History of Vector Analysis : The Evolution of the Idea of ​​a Vectorial System, University of Notre Dame Press. Examina los sistemas de vectores mayores y menores del siglo XIX (Hamilton, Möbius, Bellavitis, Clifford, Grassmann, Tait, Peirce, Maxwell, Macfarlane, MacAuley, Gibbs, Heaviside).
• Altmann, Simon L. (1989). "Hamilton, Rodrigues y el escándalo del Quaternion". Revista de Matemáticas. 62 (5): 291-308. doi : 10.1080 / 0025570X.1989.11977459.
• Adler, Stephen L. (1995). Mecánica cuántica cuaterniónica y campos cuánticos. Serie internacional de monografías sobre física. 88. Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN   0-19-506643-X. LCCN   94006306.
• Ward, JP (1997). Cuaterniones y números de Cayley: álgebra y aplicaciones. Académico Kluwer. ISBN   0-7923-4513-4.
• Kantor, IL; Solodnikov, AS (1989). Números hipercomplejos, una introducción elemental a las álgebras. Springer-Verlag. ISBN   0-387-96980-2.
• Gürlebeck, Klaus; Sprössig, Wolfgang (1997). Cálculo cuaterniónico y de Clifford para físicos e ingenieros. Métodos matemáticos en la práctica. 1. Wiley. ISBN   0-471-96200-7. LCCN   98169958.
• Kuipers, Jack (2002). Cuaterniones y secuencias de rotación: un manual básico con aplicaciones a órbitas, aeroespacial y realidad virtual. Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN   0-691-10298-8.
• Conway, John Horton ; Smith, Derek A. (2003). Sobre cuaterniones y octoniones: su geometría, aritmética y simetría. AK Peters. ISBN   1-56881-134-9. ( revisión ).
• Jack, PM (2003). "El espacio físico como una estructura de cuaternión, I: ecuaciones de Maxwell. Una breve nota". arXiv : matemáticas-ph / 0307038.
• Kravchenko, Vladislav (2003). Análisis cuaterniónico aplicado. Heldermann Verlag. ISBN   3-88538-228-8.
• Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004). Álgebras, anillos y módulos. 1. Saltador. ISBN   1-4020-2690-0.
• Hanson, Andrew J. (2006). Visualización de cuaterniones. Elsevier. ISBN   0-12-088400-3.
• Binz, Ernst; Pods, Sonja (2008). "1. El campo sesgado de los cuaterniones". Geometría de los grupos de Heisenberg. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN   978-0-8218-4495-3.
• Doran, Chris JL ; Lasenby, Anthony N. (2003). Álgebra geométrica para físicos. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN   978-0-521-48022-2.
• Vince, John A. (2008). Álgebra geométrica para gráficos por computadora. Saltador. ISBN   978-1-84628-996-5.
• Para las moléculas que pueden considerarse cuerpos rígidos clásicos, la simulación por computadora de dinámica molecular emplea cuaterniones. Fueron introducidos por primera vez con este propósito por Evans, DJ (1977). "Sobre la representación del espacio de orientación". Mol. Phys. 34 (2): 317–325. doi : 10.1080 / 00268977700101751.
• Zhang, Fuzhen (1997). "Cuaterniones y matrices de cuaterniones". Álgebra lineal y sus aplicaciones. 251: 21–57. doi : 10.1016 / 0024-3795 (95) 00543-9.
• Ron Goldman (2010). Repensar los cuaterniones: teoría y computación. Morgan y Claypool. ISBN   978-1-60845-420-4.
• Eves, Howard (1976), Introducción a la historia de las matemáticas (4a ed.), Nueva York: Holt, Rinehart y Winston, ISBN   0-03-089539-1

Enlaces y monografías

• "Avisos de cuaterniones". Avisos y materiales relacionados con las presentaciones de la conferencia Quaternion
• "Quaternion", Enciclopedia de Matemáticas, EMS Press, 2001 [1994]
• "Preguntas frecuentes". Matrix y Quaternion. 1,21.
• Dulce, Doug. "Haciendo Física con Cuaterniones".
• Cuaterniones para gráficos por computadora y mecánica (Gernot Hoffman)
• Gsponer, Andre; Hurni, Jean-Pierre (2002). "La herencia física de Sir WR Hamilton". arXiv : matemáticas-ph / 0201058.
• Wilkins, DR "Investigación de Hamilton sobre cuaterniones".
• Grossman, David J. "Quaternion Julia Fractals". ] Fractales de Julia del Quaternion de Raytraced 3D
• "Quaternion Math y conversiones". Gran página que explica las matemáticas básicas con enlaces a fórmulas de conversión de rotación directa.
• Mathews, John H. "Bibliografía para cuaterniones". Archivado desde el original el 2 de septiembre de 2006.
• "Poderes del cuaternión". GameDev.net.
• Hanson, Andrew. "Visualización de la página de inicio de Quaternions". Archivado desde el original el 5 de noviembre de 2006.
• Karney, Charles FF (enero de 2007). "Cuaterniones en modelado molecular". J. Mol. Grafico. Mod. 25 (5): 595–604. arXiv : física / 0506177. doi : 10.1016 / j.jmgm.2006.04.002. PMID   16777449. S2CID   6690718.
• Mebius, Johan E. (2005). "Una prueba basada en matrices del teorema de representación de cuaterniones para rotaciones de cuatro dimensiones". arXiv : matemáticas / 0501249.
• Mebius, Johan E. (2007). "Derivación de la fórmula de Euler-Rodrigues para rotaciones tridimensionales a partir de la fórmula general para rotaciones tetradimensionales". arXiv : matemáticas / 0701759.
• "Paseo de Hamilton". Departamento de Matemáticas, NUI Maynooth.
• "Uso de cuaterniones para representar la rotación". OpenGL: tutoriales. Archivado desde el original el 15 de diciembre de 2007.
• David Erickson, Investigación y Desarrollo de Defensa de Canadá (DRDC), Derivación completa de la matriz de rotación de la representación de cuaterniones unitarios en el documento DRDC TR 2005-228.
• Martínez, Alberto. "Matemáticas negativas, cómo las reglas matemáticas pueden doblarse positivamente". Departamento de Historia, Universidad de Texas. Archivado desde el original el 24 de septiembre de 2011.
• Stahlke, D. "Cuaterniones en la mecánica clásica" (PDF).
• Morier-Genoud, Sophie; Ovsienko, Valentin (2008). "Bueno, papá, ¿puedes multiplicar trillizos?". arXiv : 0810.5562 [ math.AC ].describe cómo los cuaterniones se pueden convertir en un álgebra conmutativa sesgada graduada por Z / 2 × Z / 2 × Z / 2.
• Joyce, Helen (noviembre de 2004). "Cuaterniones curiosos". presentado por John Baez.
• Ibáñez, Luis. "Tutorial de Cuaterniones. Parte I" (PDF). Archivado desde el original (PDF) el 4 de febrero de 2012. Consultado el 5 de diciembre de 2011. Parte II (PDF; utilizando la terminología de Hamilton, que difiere del uso moderno)
• Ghiloni, R.; Moretti, V.; Perotti, A. (2013). "Cálculo funcional de corte continuo en espacios de Hilbert cuaterniónicos". Rev. Math. Phys. 25 (4): 1350006–126. arXiv : 1207.0666. Código Bibliográfico : 2013RvMaP..2550006G. doi : 10.1142 / S0129055X13500062. S2CID   119651315. Ghiloni, R.; Moretti, V.; Perotti, A. (2017). "Representaciones espectrales de operadores normales a través de entrelazamiento de medidas valoradas de proyección cuaterniónica". Rev. Math. Phys. 29: 1750034. arXiv : 1602.02661. doi : 10.1142 / S0129055X17500349. dos artículos expositivos sobre cálculo funcional continuo y teoría espectral en espacios de Hilbert cuaterniónicos útiles en mecánica cuántica cuaterniónica rigurosa.
• Cuaterniones la aplicación de Android muestra el cuaternión correspondiente a la orientación del dispositivo.
• Rotating Objects Using Quaternions artículo que habla del uso de Quaternions para la rotación en videojuegos / gráficos de computadora.

enlaces externos

El Álgebra de composición asociativa de Wikibook tiene una página sobre el tema de: Cuaterniones

Busque cuaternión en Wikcionario, el diccionario gratuito.

• Medios relacionados con los cuaterniones en Wikimedia Commons
• Cuaterniones - Visualización