Secuencia

Redirecciones "secuenciales" aquí. Para la transmisión manual, consulte Transmisión manual secuencial. Para otros usos, consulte Secuencia (desambiguación).

En matemáticas, una secuencia es una colección enumerada de objetos en los que se permiten repeticiones y el orden importa. Como un conjunto, contiene miembros (también llamados elementos o términos). El número de elementos (posiblemente infinito) se denomina longitud de la secuencia. A diferencia de un conjunto, los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones en una secuencia y, a diferencia de un conjunto, el orden sí importa. Formalmente, una secuencia se puede definir como una función desde los números naturales (las posiciones de los elementos en la secuencia) hasta los elementos en cada posición. La noción de secuencia se puede generalizar a una familia indexada, definida como una función de un conjunto de índices que pueden no ser números a otro conjunto de elementos.

Por ejemplo, (M, A, R, Y) es una secuencia de letras con la letra 'M' primero y la 'Y' al final. Esta secuencia difiere de (A, R, M, Y). Además, la secuencia (1, 1, 2, 3, 5, 8), que contiene el número 1 en dos posiciones diferentes, es una secuencia válida. Las secuencias pueden ser finitas, como en estos ejemplos, o infinitas, como la secuencia de todos los enteros pares positivos (2, 4, 6,...).

La posición de un elemento en una secuencia es su rango o índice ; es el número natural para el que el elemento es la imagen. El primer elemento tiene índice 0 o 1, según el contexto o una convención específica. En el análisis matemático, una secuencia a menudo se indica con letras en la forma de, y, donde el subíndice n se refiere al n- ésimo elemento de la secuencia; por ejemplo, el n- ésimo elemento de la secuencia de Fibonacci generalmente se denota como. $$

a norte {\ Displaystyle a_ {n}}$$ B norte {\ Displaystyle b_ {n}}$$ C norte {\ Displaystyle c_ {n}} $$F {\ Displaystyle F}$$ F norte {\ Displaystyle F_ {n}}

En informática y ciencias de la computación, las secuencias finitas a veces se denominan cadenas, palabras o listas, y los diferentes nombres comúnmente corresponden a diferentes formas de representarlas en la memoria de la computadora ; las secuencias infinitas se llaman corrientes. La secuencia vacía () se incluye en la mayoría de las nociones de secuencia, pero puede excluirse según el contexto.

Una secuencia infinita de números reales (en azul). Esta secuencia no es creciente, decreciente, convergente ni Cauchy. Sin embargo, está limitado.

• 1 Ejemplos y notación
  • 1.1 Ejemplos
  • 1.2 Indexación
  • 1.3 Definiendo una secuencia por recursividad
• 2 Definición formal y propiedades básicas
  • 2.1 Definición
  • 2.2 Finito e infinito
  • 2.3 Creciente y decreciente
  • 2.4 Delimitado
  • 2.5 Subsecuencias
  • 2.6 Otros tipos de secuencias
• 3 Límites y convergencia
  • 3.1 Definición formal de convergencia
  • 3.2 Aplicaciones y resultados importantes
  • 3.3 Secuencias de Cauchy
  • 3.4 Límites infinitos
• Serie 4
• 5 Uso en otros campos de las matemáticas
  • 5.1 Topología
    • 5.1.1 Topología del producto
  • 5.2 Análisis
    • 5.2.1 Espacios de secuencia
  • 5.3 Álgebra lineal
  • 5.4 Álgebra abstracta
    • 5.4.1 Monoide libre
    • 5.4.2 Secuencias exactas
    • 5.4.3 Secuencias espectrales
  • 5.5 Teoría de conjuntos
  • 5.6 Computación
  • 5.7 Corrientes
• 6 Véase también
• 7 notas
• 8 referencias
• 9 Enlaces externos

Ejemplos y notación

Una secuencia se puede considerar como una lista de elementos con un orden particular. Las secuencias son útiles en varias disciplinas matemáticas para estudiar funciones, espacios y otras estructuras matemáticas utilizando las propiedades de convergencia de las secuencias. En particular, las secuencias son la base de las series, que son importantes en el análisis y las ecuaciones diferenciales. Las secuencias también son de interés por sí mismas y se pueden estudiar como patrones o rompecabezas, como en el estudio de los números primos.

Hay varias formas de denotar una secuencia, algunas de las cuales son más útiles para tipos específicos de secuencias. Una forma de especificar una secuencia es enumerar todos sus elementos. Por ejemplo, los primeros cuatro números impares forman la secuencia (1, 3, 5, 7). Esta notación también se usa para secuencias infinitas. Por ejemplo, la secuencia infinita de números enteros impares positivos se escribe como (1, 3, 5, 7,...). Dado que anotar secuencias con puntos suspensivos conduce a la ambigüedad, el listado es más útil para las secuencias infinitas habituales que pueden reconocerse fácilmente a partir de sus primeros elementos. Otras formas de denotar una secuencia se discuten después de los ejemplos.

Ejemplos de

Un mosaico con cuadrados cuyos lados son números de Fibonacci sucesivos en longitud.

Los números primos son los números naturales mayores que 1 que no tienen divisores sino 1 y ellos mismos. Al tomarlos en su orden natural, se obtiene la secuencia (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...). Los números primos se utilizan ampliamente en matemáticas, particularmente en la teoría de números, donde existen muchos resultados relacionados con ellos.

Los números de Fibonacci comprenden la secuencia entera cuyos elementos son la suma de los dos elementos anteriores. Los dos primeros elementos son 0 y 1 o 1 y 1, de modo que la secuencia es (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...).

Otros ejemplos de secuencias incluyen aquellas compuestas por números racionales, números reales y números complejos. La secuencia (.9,.99,.999,.9999,...), por ejemplo, se acerca al número 1. De hecho, cada número real puede escribirse como el límite de una secuencia de números racionales (por ejemplo, a través de su expansión decimal ). Como otro ejemplo, π es el límite de la secuencia (3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,...), que va en aumento. Una secuencia relacionada es la secuencia de dígitos decimales de π, es decir, (3, 1, 4, 1, 5, 9,...). A diferencia de la secuencia anterior, esta secuencia no tiene ningún patrón que sea fácilmente discernible mediante inspección.

La Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros comprende una gran lista de ejemplos de secuencias de números enteros.

Indexación

Otras notaciones pueden ser útiles para secuencias cuyo patrón no se puede adivinar fácilmente o para secuencias que no tienen un patrón como los dígitos de π. Uno de tales notación es la de escribir una fórmula general para el cálculo de la n º plazo como una función de n, encerrarlo entre paréntesis, e incluyen un subíndice que indica el conjunto de valores que n puede tomar. Por ejemplo, en esta notación, la secuencia de números pares podría escribirse como. La secuencia de cuadrados podría escribirse como. La variable n se llama índice y el conjunto de valores que puede tomar se llama conjunto de índices. $$

(2norte ) norte ∈ norte {\ Displaystyle (2n) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$$( norte 2 ) norte ∈ norte {\ Displaystyle (n ^ {2}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

A menudo es útil combinar esta notación con la técnica de tratar los elementos de una secuencia como variables individuales. Esto produce expresiones como, lo que indica una secuencia cuya n -ésimo elemento viene dada por la variable. Por ejemplo: $$

( a norte ) norte ∈ norte {\ Displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$$ a norte {\ Displaystyle a_ {n}}

$$ a 1 = 1 st elemento de  ( a norte ) norte ∈ norte a 2 = 2 nd elemento  a 3 = 3 elemento rd  ⋮ a norte - 1 = ( norte - 1 ) th elemento a norte = norte th elemento a norte + 1 = ( norte + 1 ) th elemento ⋮ {\ Displaystyle {\ begin {alineado} a_ {1} amp; = 1 {\ text {st elemento de}} (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}} \\ a_ {2} amp; = 2 {\ text {nd elemento}} \\ a_ {3} amp; = 3 {\ text {rd elemento}} \\ amp; \; \; \ vdots \\ a_ {n-1} amp; = (n-1) {\ text {th elemento}} \\ a_ {n} amp; = n {\ text {th elemento}} \\ a_ {n + 1} amp; = (n + 1) {\ text {th elemento}} \\ amp; \; \; \ vdots \ end {alineado}}}

Se pueden considerar múltiples secuencias al mismo tiempo usando diferentes variables; por ejemplo, podría ser una secuencia diferente a. Incluso se puede considerar una secuencia de secuencias: denota una secuencia cuyo término m es la secuencia. $$

( B norte ) norte ∈ norte {\ Displaystyle (b_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$$( a norte ) norte ∈ norte {\ Displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$$(( a metro , norte ) norte ∈ norte ) metro ∈ norte {\ Displaystyle ((a_ {m, n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}) _ {m \ in \ mathbb {N}}}$$( a metro , norte ) norte ∈ norte {\ Displaystyle (a_ {m, n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

Una alternativa a escribir el dominio de una secuencia en el subíndice es indicar el rango de valores que puede tomar el índice enumerando sus valores legales más altos y más bajos. Por ejemplo, la notación denota la secuencia de cuadrados de diez términos. Los límites y están permitidos, pero no representan valores válidos para el índice, solo el supremum o infimum de dichos valores, respectivamente. Por ejemplo, la secuencia es la misma que la secuencia y no contiene un término adicional "en el infinito". La secuencia es una secuencia bi-infinita y también se puede escribir como. $$

( k 2 ) k = 1 10 {\ Displaystyle (k ^ {2}) _ {k = 1} ^ {10}}$$(1,4,9,...,100) {\ displaystyle (1, 4, 9, \ ldots, 100)}$$∞ {\ Displaystyle \ infty}$$-∞ {\ Displaystyle - \ infty} $$( a norte ) norte = 1 ∞ {\ Displaystyle (a_ {n}) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$$( a norte ) norte ∈ norte {\ Displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$$( a norte ) norte = - ∞ ∞ {\ Displaystyle (a_ {n}) _ {n = - \ infty} ^ {\ infty}}$$(..., a - 1, a 0, a 1, a 2,...) {\ Displaystyle (\ ldots, a _ {- 1}, a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ ldots)}

En los casos en que se entiende el conjunto de números de indexación, los subíndices y superíndices a menudo se omiten. Es decir, uno simplemente escribe para una secuencia arbitraria. A menudo, se entiende que el índice k va de 1 a ∞. Sin embargo, las secuencias se indexan con frecuencia a partir de cero, como en $$

( a k) {\ Displaystyle (a_ {k})}

$$( a k ) k = 0 ∞=( a 0, a 1, a 2,...). {\ Displaystyle (a_ {k}) _ {k = 0} ^ {\ infty} = (a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ ldots).}

En algunos casos, los elementos de la secuencia están relacionados de forma natural con una secuencia de números enteros cuyo patrón se puede inferir fácilmente. En estos casos, el conjunto de índices puede estar implícito en una lista de los primeros elementos abstractos. Por ejemplo, la secuencia de cuadrados de números impares podría indicarse de cualquiera de las siguientes formas.

• $$(1,9,25,...) {\ Displaystyle (1,9,25, \ ldots)}
• $$( a 1, a 3, a 5,...), a k= k 2 {\ Displaystyle (a_ {1}, a_ {3}, a_ {5}, \ ldots), \ qquad a_ {k} = k ^ {2}}
• $$( a 2 k - 1 ) k = 1 ∞, a k= k 2 {\ Displaystyle (a_ {2k-1}) _ {k = 1} ^ {\ infty}, \ qquad a_ {k} = k ^ {2}}
• $$( a k ) k = 1 ∞, a k=(2k-1 ) 2 {\ Displaystyle (a_ {k}) _ {k = 1} ^ {\ infty}, \ qquad a_ {k} = (2k-1) ^ {2}}
• $$ ( ( 2 k - 1 ) 2 ) k = 1 ∞ {\ Displaystyle \ left ((2k-1) ^ {2} \ right) _ {k = 1} ^ {\ infty}}

Además, los subíndices y superíndices podrían haberse omitido en las notaciones tercera, cuarta y quinta, si se entendiera que el conjunto de indexación son los números naturales. En la segunda y tercera viñetas, hay una secuencia bien definida, pero no es la misma que la secuencia indicada por la expresión. $$

( a k ) k = 1 ∞ {\ Displaystyle (a_ {k}) _ {k = 1} ^ {\ infty}}

Definiendo una secuencia por recursividad

Artículo principal: Relación de recurrencia

Las secuencias cuyos elementos están relacionados con los elementos anteriores de forma sencilla se definen a menudo mediante la recursividad. Esto contrasta con la definición de secuencias de elementos en función de sus posiciones.

Para definir una secuencia por recursividad, se necesita una regla, llamada relación de recurrencia, para construir cada elemento en términos de los anteriores. Además, deben proporcionarse suficientes elementos iniciales para que todos los elementos posteriores de la secuencia puedan calcularse mediante aplicaciones sucesivas de la relación de recurrencia.

La secuencia de Fibonacci es un ejemplo clásico simple, definido por la relación de recurrencia

$$ a norte= a norte - 1+ a norte - 2, {\ Displaystyle a_ {n} = a_ {n-1} + a_ {n-2},}

con términos iniciales y. A partir de esto, un cálculo simple muestra que los primeros diez términos de esta secuencia son 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 y 34. $$

a 0=0 {\ Displaystyle a_ {0} = 0}$$ a 1=1 {\ Displaystyle a_ {1} = 1}

Un ejemplo complicado de una secuencia definida por una relación de recurrencia es la secuencia de Recamán, definida por la relación de recurrencia

$$ { a norte = a norte - 1 - norte , si el resultado es positivo y no ya en los términos anteriores, a norte = a norte - 1 + norte , de lo contrario , {\ displaystyle {\ begin {cases} a_ {n} = a_ {n-1} -n, \ quad {\ text {si el resultado es positivo y no está ya en los términos anteriores,}} \\ a_ {n} = a_ {n-1} + n, \ quad {\ text {de lo contrario}}, \ end {cases}}}

con plazo inicial $$

a 0=0. {\ Displaystyle a_ {0} = 0.}

Una recurrencia lineal con coeficientes constantes es una relación de recurrencia de la forma

$$ a norte= C 0+ C 1 a norte - 1+⋯+ C k a norte - k, {\ Displaystyle a_ {n} = c_ {0} + c_ {1} a_ {n-1} + \ dots + c_ {k} a_ {nk},}

donde están las constantes. Existe un método general para expresar el término general de tal secuencia en función de n ; consulte Recurrencia lineal. En el caso de la secuencia de Fibonacci, uno tiene y la función resultante de n viene dada por la fórmula de Binet. $$

C 0,..., C k {\ Displaystyle c_ {0}, \ dots, c_ {k}} $$ a norte {\ Displaystyle a_ {n}} $$ C 0=0, C 1= C 2=1, {\ Displaystyle c_ {0} = 0, c_ {1} = c_ {2} = 1,}

Una secuencia holonómica es una secuencia definida por una relación de recurrencia de la forma

$$ a norte= C 1 a norte - 1+⋯+ C k a norte - k, {\ Displaystyle a_ {n} = c_ {1} a_ {n-1} + \ dots + c_ {k} a_ {nk},}

donde están los polinomios en n. Para la mayoría de las secuencias holonómicas, no existe una fórmula explícita para expresarse explícitamente en función de n. Sin embargo, las secuencias holonómicas juegan un papel importante en varias áreas de las matemáticas. Por ejemplo, muchas funciones especiales tienen una serie de Taylor cuya secuencia de coeficientes es holonómica. El uso de la relación de recurrencia permite un cálculo rápido de los valores de tales funciones especiales. $$

C 1,..., C k {\ Displaystyle c_ {1}, \ dots, c_ {k}} $$ a norte {\ Displaystyle a_ {n}}

No todas las secuencias se pueden especificar mediante una relación de recurrencia. Un ejemplo es la secuencia de números primos en su orden natural (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...).

Definición formal y propiedades básicas.

Hay muchas nociones diferentes de secuencias en matemáticas, algunas de las cuales ( por ejemplo, secuencia exacta ) no están cubiertas por las definiciones y notaciones que se presentan a continuación.

Definición

En este artículo, una secuencia se define formalmente como una función cuyo dominio es un intervalo de números enteros. Esta definición cubre varios usos diferentes de la palabra "secuencia", incluidas las secuencias infinitas unilaterales, las secuencias bi-infinitas y las secuencias finitas (ver más abajo las definiciones de este tipo de secuencias). Sin embargo, muchos autores utilizan una definición más estrecha al exigir que el dominio de una secuencia sea el conjunto de números naturales. Esta definición más restringida tiene la desventaja de que descarta las secuencias finitas y las secuencias bi-infinitas, las cuales generalmente se denominan secuencias en la práctica matemática estándar. Otra desventaja es que, si se eliminan los primeros términos de una secuencia, es necesario volver a indexar los términos restantes para ajustarse a esta definición. En algunos contextos, para acortar la exposición, el codominio de la secuencia se fija por contexto, por ejemplo, requiriendo que sea el conjunto R de números reales, el conjunto C de números complejos o un espacio topológico.

Aunque las secuencias son un tipo de función, por lo general se distinguen de las funciones por la notación en que la entrada se escribe como un subíndice en lugar de entre paréntesis, es decir, una n en lugar de una ( n). También existen diferencias terminológicas: el valor de una secuencia en la entrada más baja (a menudo 1) se llama el "primer elemento" de la secuencia, el valor en la segunda entrada más pequeña (a menudo 2) se llama "segundo elemento", Además, mientras que una función abstraída de su entrada generalmente se denota con una sola letra, por ejemplo, f, una secuencia abstraída de su entrada generalmente se escribe mediante una notación como, o simplemente como Aquí A es el dominio o conjunto de índices, de la secuencia. $$

( a norte ) norte ∈ A {\ Displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in A}}$$( a norte). {\ Displaystyle (a_ {n}).}

Las secuencias y sus límites (ver más abajo) son conceptos importantes para estudiar espacios topológicos. Una generalización importante de secuencias es el concepto de redes. Una red es una función de un conjunto dirigido (posiblemente incontable ) a un espacio topológico. Las convenciones de notación para secuencias normalmente también se aplican a las redes.

Finito e infinito

Ver también: ω-language

La longitud de una secuencia se define como el número de términos en la secuencia.

Una secuencia de una longitud finita n también se llama n -tupla. Las secuencias finitas incluyen la secuencia vacía  () que no tiene elementos.

Normalmente, el término secuencia infinita se refiere a una secuencia que es infinita en una dirección y finita en la otra: la secuencia tiene un primer elemento, pero no un elemento final. Tal secuencia se llama secuencia individualmente infinita o secuencia infinita de un solo lado cuando es necesaria la desambiguación. Por el contrario, una secuencia que es infinita en ambas direcciones, es decir, que no tiene un elemento primero ni final, se llama secuencia bi-infinita, secuencia infinita de dos vías o secuencia doblemente infinita. Una función del conjunto Z de todos los enteros en un conjunto, como por ejemplo la secuencia de todos los enteros pares (..., −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8,...), es bi-infinito. Esta secuencia podría denotarse. $$

(2norte ) norte = - ∞ ∞ {\ Displaystyle (2n) _ {n = - \ infty} ^ {\ infty}}

Creciente y decreciente

Se dice que una secuencia aumenta monótonamente si cada término es mayor o igual que el anterior. Por ejemplo, la secuencia se aumenta monotónicamente si y sólo si una n 1 a n para todos n ∈ N. Si cada término consecutivo es estrictamente mayor que (gt;) el término anterior, entonces la secuencia se llama estrictamente monótona creciente. Una secuencia es monótonamente decreciente, si cada término consecutivo es menor o igual que el anterior, y estrictamente monótonamente decreciente, si cada uno es estrictamente menor que el anterior. Si una secuencia aumenta o disminuye, se denomina secuencia monótona. Este es un caso especial de la noción más general de función monótona. $$

( a norte ) norte = 1 ∞ {\ Displaystyle (a_ {n}) _ {n = 1} ^ {\ infty}} $$≥ {\ Displaystyle \ geq}

Los términos no decreciente y no creciente se utilizan a menudo en lugar de creciente y decreciente para evitar cualquier posible confusión con estrictamente creciente y estrictamente decreciente, respectivamente.

Encerrado

Si la secuencia de números reales ( un n) es tal que todos los términos son menos de algún número real de M, a continuación, la secuencia se dice que está delimitada desde arriba. En otras palabras, esto significa que existe M tal que para todo n, un n ≤ M. Cualquier M se denomina límite superior. Del mismo modo, si, para algún m real, a n ≥ m para todo n mayor que algún N, entonces la secuencia está acotada desde abajo y cualquier m de este tipo se denomina límite inferior. Si una secuencia está acotada desde arriba y desde abajo, se dice que la secuencia está acotada.

Subsecuencias

Una subsecuencia de una secuencia dada es una secuencia formada a partir de la secuencia dada eliminando algunos de los elementos sin alterar las posiciones relativas de los elementos restantes. Por ejemplo, la secuencia de enteros pares positivos (2, 4, 6,...) es una subsecuencia de los enteros positivos (1, 2, 3,...). Las posiciones de algunos elementos cambian cuando se eliminan otros elementos. Sin embargo, se conservan las posiciones relativas.

Formalmente, una subsecuencia de la secuencia es cualquier secuencia de la forma, donde es una secuencia estrictamente creciente de enteros positivos. $$

( a norte ) norte ∈ norte {\ Displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$$( a norte k ) k ∈ norte {\ Displaystyle (a_ {n_ {k}}) _ {k \ in \ mathbb {N}}}$$( norte k ) k ∈ norte {\ Displaystyle (n_ {k}) _ {k \ in \ mathbb {N}}}

Otros tipos de secuencias

Algunos otros tipos de secuencias que son fáciles de definir incluyen:

• Una secuencia de números enteros es una secuencia cuyos términos son números enteros.
• Una secuencia polinomial es una secuencia cuyos términos son polinomios.
• Una secuencia de número entero positivo se llama a veces multiplicativo, si una nm = un n un m para todos los pares n, m tal que n y m son primos entre sí. En otros casos, las secuencias a menudo se denominan multiplicativas, si a n = na 1 para todos los n. Además, una secuencia de Fibonacci multiplicativa satisface la relación de recursividad a n = a n −1 a n −2.
• Una secuencia binaria es una secuencia cuyos términos tienen uno de dos valores discretos, por ejemplo, valores de base 2 (0,1,1,0,...), una serie de lanzamientos de monedas (Cara / Cruz) H, T, H, H, T,..., las respuestas a un conjunto de preguntas de Verdadero o Falso (V, F, T, T,...), etc.

Límites y convergencia

Artículo principal: Límite de una secuencia La gráfica de una secuencia convergente ( a n) se muestra en azul. En el gráfico podemos ver que la secuencia converge al límite cero a medida que n aumenta.

Una propiedad importante de una secuencia es la convergencia. Si una secuencia converge, converge a un valor particular conocido como límite. Si una secuencia converge a algún límite, entonces es convergente. Una secuencia que no converge es divergente.

De manera informal, una secuencia tiene un límite si los elementos de la secuencia se acercan cada vez más a algún valor (llamado el límite de la secuencia), y se vuelven y permanecen arbitrariamente cerca, lo que significa que dado un número real mayor que cero, todos menos un número finito de los elementos de la secuencia tiene una distancia de menos de. $$

L {\ Displaystyle L}$$L {\ Displaystyle L}$$D {\ Displaystyle d}$$L {\ Displaystyle L}$$D {\ Displaystyle d}

Por ejemplo, la secuencia que se muestra a la derecha converge al valor 0. Por otro lado, las secuencias (que comienza 1, 8, 27,…) y (que comienza -1, 1, -1, 1,…) son ambos divergentes. $$

a norte= norte + 1 2 norte 2 {\ textstyle a_ {n} = {\ frac {n + 1} {2n ^ {2}}}}$$ B norte= norte 3 {\ textstyle b_ {n} = n ^ {3}}$$ C norte=(-1 ) norte {\ Displaystyle c_ {n} = (- 1) ^ {n}}

Si una secuencia converge, el valor al que converge es único. Este valor se llama límite de la secuencia. Normalmente se indica el límite de una secuencia convergente. Si es una secuencia divergente, entonces la expresión no tiene sentido. $$

( a norte) {\ Displaystyle (a_ {n})}$$ lim norte → ∞ a norte {\ textstyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n}}$$( a norte) {\ Displaystyle (a_ {n})}$$ lim norte → ∞ a norte {\ textstyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n}}

Definición formal de convergencia

Una secuencia de números reales converge a un número real si, para todos, existe un número natural tal que para todos tenemos $$

( a norte) {\ Displaystyle (a_ {n})} $$L {\ Displaystyle L}$$εgt;0 {\ Displaystyle \ varepsilongt; 0}$$norte {\ Displaystyle N}$$norte≥norte {\ Displaystyle n \ geq N}

$$ | a norte-L |lt;ε. {\ Displaystyle | a_ {n} -L | lt;\ varepsilon.}

Si es una secuencia de números complejos en lugar de una secuencia de números reales, esta última fórmula todavía se puede utilizar para definir la convergencia, con la disposición que denota el módulo complejo, es decir. Si es una secuencia de puntos en un espacio métrico, entonces la fórmula se puede usar para definir la convergencia, si la expresión se reemplaza por la expresión, que denota la distancia entre y. $$

( a norte) {\ Displaystyle (a_ {n})}$$ |⋅ | {\ Displaystyle | \ cdot |}$$ |z |= z ∗ z {\ Displaystyle | z | = {\ sqrt {z ^ {*} z}}}$$( a norte) {\ Displaystyle (a_ {n})} $$ | a norte-L | {\ Displaystyle | a_ {n} -L |}$$dist⁡( a norte,L) {\ Displaystyle \ operatorname {dist} (a_ {n}, L)} $$ a norte {\ Displaystyle a_ {n}}$$L {\ Displaystyle L}

Aplicaciones y resultados importantes

Si y son secuencias convergentes, entonces existen los siguientes límites y se pueden calcular de la siguiente manera: $$

( a norte) {\ Displaystyle (a_ {n})}$$( B norte) {\ Displaystyle (b_ {n})}

• $$ lim norte → ∞( a norte± B norte)= lim norte → ∞ a norte± lim norte → ∞ B norte {\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} (a_ {n} \ pm b_ {n}) = \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} \ pm \ lim _ {n \ to \ infty} b_ {n}}
• $$ lim norte → ∞C a norte=C lim norte → ∞ a norte {\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} ca_ {n} = c \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n}} para todos los números reales $$C {\ Displaystyle c}
• $$ lim norte → ∞( a norte B norte)= ( lim norte → ∞ a norte ) ( lim norte → ∞ B norte ) {\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} (a_ {n} b_ {n}) = \ left (\ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} \ right) \ left (\ lim _ {n \ to \ infty} b_ {n} \ right)}
• $$ lim norte → ∞ a norte B norte= lim norte → ∞ a norte lim norte → ∞ B norte {\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = {\ frac {\ lim \ limits _ {n \ to \ infty} a_ {n} } {\ lim \ limits _ {n \ to \ infty} b_ {n}}}}, siempre que $$ lim norte → ∞ B norte≠0 {\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} b_ {n} \ neq 0}
• $$ lim norte → ∞ a norte pag= ( lim norte → ∞ a norte ) pag {\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} ^ {p} = \ left (\ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} \ right) ^ {p}}para todos y$$paggt;0 {\ Displaystyle pgt; 0}$$ a nortegt;0 {\ Displaystyle a_ {n}gt; 0}

Es más:

• Si para todos es mayor que algunos, entonces.$$ a norte≤ B norte {\ Displaystyle a_ {n} \ leq b_ {n}}$$norte {\ Displaystyle n}$$norte {\ Displaystyle N}$$ lim norte → ∞ a norte≤ lim norte → ∞ B norte {\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} \ leq \ lim _ {n \ to \ infty} b_ {n}}
• ( Teorema de compresión ) Si es una secuencia tal que para todos y, entonces es convergente, y.$$( C norte) {\ Displaystyle (c_ {n})}$$ a norte≤ C norte≤ B norte {\ Displaystyle a_ {n} \ leq c_ {n} \ leq b_ {n}}$$nortegt;norte {\ Displaystyle ngt; N} $$ lim norte → ∞ a norte= lim norte → ∞ B norte=L {\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = \ lim _ {n \ to \ infty} b_ {n} = L} $$( C norte) {\ Displaystyle (c_ {n})}$$ lim norte → ∞ C norte=L {\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} c_ {n} = L}
• Si una secuencia es acotada y monótona, entonces es convergente.
• Una secuencia es convergente si y solo si todas sus subsecuencias son convergentes.

Secuencias de Cauchy

Artículo principal: secuencia de Cauchy La gráfica de una secuencia de Cauchy ( X n), mostrada en azul, como X n versus n. En el gráfico, la secuencia parece converger hasta un límite a medida que la distancia entre términos consecutivos en la secuencia se hace más pequeña a medida que n aumenta. En los números reales, cada secuencia de Cauchy converge hasta algún límite.

Una secuencia de Cauchy es una secuencia cuyos términos se acercan arbitrariamente a medida que n se vuelve muy grande. La noción de secuencia de Cauchy es importante en el estudio de secuencias en espacios métricos y, en particular, en el análisis real. Un resultado particularmente importante en el análisis real es la caracterización de Cauchy de la convergencia para secuencias:

Una secuencia de números reales es convergente (en los reales) si y solo si es Cauchy.

Por el contrario, hay secuencias de Cauchy de números racionales que no son convergentes en los racionales, por ejemplo, la secuencia definida por x 1 = 1 y x n +1 =x n +2/x n/2 es Cauchy, pero no tiene límite racional, cf. aquí. De manera más general, cualquier secuencia de números racionales que converja en un número irracional es Cauchy, pero no convergente cuando se interpreta como una secuencia en el conjunto de números racionales.

Los espacios métricos que satisfacen la caracterización Cauchy de convergencia para secuencias se denominan espacios métricos completos y son particularmente agradables para el análisis.

Límites infinitos

En cálculo, es común definir la notación para secuencias que no convergen en el sentido discutido anteriormente, pero que en cambio se vuelven y permanecen arbitrariamente grandes, o se vuelven y permanecen arbitrariamente negativas. Si se vuelve arbitrariamente grande como, escribimos $$

a norte {\ Displaystyle a_ {n}}$$norte→∞ {\ Displaystyle n \ to \ infty}

$$ lim norte → ∞ a norte=∞. {\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = \ infty.}

En este caso decimos que la secuencia diverge, o que converge al infinito. Un ejemplo de secuencia de un tipo es un n = n.

Si se vuelve arbitrariamente negativo (es decir, negativo y de gran magnitud) como, escribimos $$

a norte {\ Displaystyle a_ {n}}$$norte→∞ {\ Displaystyle n \ to \ infty}

$$ lim norte → ∞ a norte=-∞ {\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = - \ infty}

y decir que la secuencia diverge o converge al infinito negativo.

Serie

Artículo principal: Serie (matemáticas)

Una serie es, informalmente hablando, la suma de los términos de una secuencia. Es decir, es una expresión de la forma o, donde es una secuencia de números reales o complejos. Las sumas parciales de una serie son las expresiones resultantes de reemplazar el símbolo de infinito con un número finito, es decir, la N- ésima suma parcial de la serie es el número $$

∑ norte = 1 ∞ a norte {\ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$$ a 1+ a 2+⋯ {\ Displaystyle a_ {1} + a_ {2} + \ cdots}$$( a norte) {\ Displaystyle (a_ {n})}$$ ∑ norte = 1 ∞ a norte {\ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}

$$ S norte= ∑ norte = 1 norte a norte= a 1+ a 2+⋯+ a norte. {\ Displaystyle S_ {N} = \ sum _ {n = 1} ^ {N} a_ {n} = a_ {1} + a_ {2} + \ cdots + a_ {N}.}

Las sumas parciales en sí mismas forman una secuencia, que se llama secuencia de sumas parciales de la serie. Si la secuencia de sumas parciales converge, decimos que la serie es convergente y el límite se llama valor de la serie. La misma notación se usa para denotar una serie y su valor, es decir, escribimos. $$

( S norte ) norte ∈ norte {\ Displaystyle (S_ {N}) _ {N \ in \ mathbb {N}}}$$ ∑ norte = 1 ∞ a norte {\ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$$ ∑ norte = 1 ∞ a norte {\ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$$ lim norte → ∞ S norte {\ textstyle \ lim _ {N \ to \ infty} S_ {N}}$$ ∑ norte = 1 ∞ a norte= lim norte → ∞ S norte {\ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} = \ lim _ {N \ to \ infty} S_ {N}}

Uso en otros campos de las matemáticas.

Topología

Las secuencias juegan un papel importante en la topología, especialmente en el estudio de espacios métricos. Por ejemplo:

• Un espacio métrico es compacto exactamente cuando es secuencialmente compacto.
• Una función de un espacio métrico a otro espacio métrico es continua exactamente cuando toma secuencias convergentes a secuencias convergentes.
• Un espacio métrico es un espacio conectado si y solo si, siempre que el espacio se divide en dos conjuntos, uno de los dos conjuntos contiene una secuencia que converge a un punto en el otro conjunto.
• Un espacio topológico es separable exactamente cuando hay una secuencia densa de puntos.

Las secuencias se pueden generalizar a redes o filtros. Estas generalizaciones permiten extender algunos de los teoremas anteriores a espacios sin métricas.

Topología de producto

El producto topológico de una secuencia de espacios topológicos es el producto cartesiano de esos espacios, equipados con una topología natural llamada topología de producto.

Más formalmente, dada una secuencia de espacios, el espacio del producto $$

( X I ) I ∈ norte {\ Displaystyle (X_ {i}) _ {i \ in \ mathbb {N}}}

$$X: = ∏ I ∈ norte X I, {\ Displaystyle X: = \ prod _ {i \ in \ mathbb {N}} X_ {i},}

se define como el conjunto de todas las secuencias tales que para cada i, es un elemento de. Las proyecciones canónicas son los mapas p i  : X → X i definidos por la ecuación. Entonces, la topología del producto en X se define como la topología más burda (es decir, la topología con la menor cantidad de conjuntos abiertos) para la cual todas las proyecciones p i son continuas. La topología del producto a veces se denomina topología de Tychonoff. $$

( X I ) I ∈ norte {\ Displaystyle (x_ {i}) _ {i \ in \ mathbb {N}}}$$ X I {\ Displaystyle x_ {i}}$$ X I {\ Displaystyle X_ {i}} $$ pag I(( X j ) j ∈ norte)= X I {\ Displaystyle p_ {i} ((x_ {j}) _ {j \ in \ mathbb {N}}) = x_ {i}}

Análisis

En análisis, cuando se habla de secuencias, generalmente se considerarán secuencias de la forma

$$( X 1, X 2, X 3,...)  o ( X 0, X 1, X 2,...) {\ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ dots) {\ text {o}} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, \ dots)}

es decir, infinitas secuencias de elementos indexados por números naturales.

Puede ser conveniente que la secuencia comience con un índice diferente de 1 o 0. Por ejemplo, la secuencia definida por x n = 1 / log ( n) se definiría solo para n ≥ 2. Cuando se habla de tales secuencias infinitas, Por lo general, es suficiente (y no cambia mucho para la mayoría de las consideraciones) asumir que los miembros de la secuencia se definen al menos para todos los índices lo suficientemente grandes, es decir, mayores que algunos N dados.

El tipo más elemental de sucesiones son las numéricas, es decir, sucesiones de números reales o complejos. Este tipo se puede generalizar a secuencias de elementos de algún espacio vectorial. En el análisis, los espacios vectoriales considerados son a menudo espacios funcionales. Incluso de manera más general, se pueden estudiar secuencias con elementos en algún espacio topológico.

Espacios de secuencia

Artículo principal: Espacio de secuencia

Un espacio de secuencia es un espacio vectorial cuyos elementos son secuencias infinitas de números reales o complejos. De manera equivalente, es un espacio funcional cuyos elementos son funciones desde los números naturales hasta el campo K, donde K es el campo de números reales o el campo de números complejos. El conjunto de todas estas funciones se identifica naturalmente con el conjunto de todas las posibles secuencias infinitas con elementos en K, y se puede convertir en un espacio vectorial bajo las operaciones de suma puntual de funciones y multiplicación escalar puntual. Todos los espacios de secuencia son subespacios lineales de este espacio. Los espacios de secuencia suelen estar equipados con una norma, o al menos la estructura de un espacio vectorial topológico.

Las mayoría de los espacios secuencias importantes en el análisis son los l ^p espacios, que consiste en la p -power secuencias sumable, con el p -norma. Estos son casos especiales de espacios L ^p para la medida de conteo en el conjunto de números naturales. Otras clases importantes de secuencias, como las secuencias convergentes o las secuencias nulas, forman espacios de secuencia, denominados respectivamente c y c 0, con la norma sup. Cualquier espacio de secuencia también puede equiparse con la topología de convergencia puntual, bajo la cual se convierte en un tipo especial de espacio de Fréchet llamado espacio FK.

Álgebra lineal

Las secuencias sobre un campo también pueden verse como vectores en un espacio vectorial. Específicamente, el conjunto de secuencias con valor F (donde F es un campo) es un espacio funcional (de hecho, un espacio de producto ) de funciones con valor F sobre el conjunto de números naturales.

Álgebra abstracta

El álgebra abstracta emplea varios tipos de secuencias, incluidas secuencias de objetos matemáticos como grupos o anillos.

Monoide libre

Artículo principal: monoide libre

Si A es un conjunto, el monoide libre sobre A (denotado A ^*, también llamado estrella de Kleene de A) es un monoide que contiene todas las secuencias finitas (o cadenas) de cero o más elementos de A, con la operación binaria de concatenación. El semigrupo libre A ⁺ es el subgrupo de A ^{* que} contiene todos los elementos excepto la secuencia vacía.

Secuencias exactas

Artículo principal: secuencia exacta

En el contexto de la teoría de grupos, una secuencia

$$ GRAMO 0 → F 1 GRAMO 1 → F 2 GRAMO 2 → F 3⋯ → F norte GRAMO norte {\ displaystyle G_ {0} \; {\ xrightarrow {f_ {1}}} \; G_ {1} \; {\ xrightarrow {f_ {2}}} \; G_ {2} \; {\ xrightarrow {f_ {3}}} \; \ cdots \; {\ xrightarrow {f_ {n}}} \; G_ {n}}

de grupos y homomorfismos de grupo se llama exacta, si la imagen (o rango ) de cada homomorfismo es igual al núcleo del siguiente:

$$ I metro( F k)= k mi r( F k + 1) {\ Displaystyle \ mathrm {im} (f_ {k}) = \ mathrm {ker} (f_ {k + 1})}

La secuencia de grupos y homomorfismos puede ser finita o infinita.

Se puede hacer una definición similar para algunas otras estructuras algebraicas. Por ejemplo, se podría tener una secuencia exacta de espacios vectoriales y mapas lineales, o de módulos y homomorfismos de módulos.

Secuencias espectrales

Artículo principal: secuencia espectral

En álgebra homológica y topología algebraica, una secuencia espectral es un medio de calcular grupos de homología tomando aproximaciones sucesivas. Las secuencias espectrales son una generalización de secuencias exactas y, desde su introducción por Jean Leray  ( 1946), se han convertido en una importante herramienta de investigación, particularmente en la teoría de la homotopía.

Teoría de conjuntos

Una secuencia de índice ordinal es una generalización de una secuencia. Si α es un ordinal límite y X es un conjunto, una secuencia de-α indexada de elementos de X es una función de α a X. En esta terminología, una secuencia con índice ω es una secuencia ordinaria.

Informática

En informática, las secuencias finitas se denominan listas. Las secuencias potencialmente infinitas se denominan corrientes. Las secuencias finitas de caracteres o dígitos se denominan cadenas.

Corrientes

Las secuencias infinitas de dígitos (o caracteres ) extraídas de un alfabeto finito son de particular interés en la informática teórica. A menudo se las denomina simplemente secuencias o flujos, en contraposición a cadenas finitas. Las secuencias binarias infinitas, por ejemplo, son secuencias infinitas de bits (caracteres extraídos del alfabeto {0, 1}). El conjunto C = {0, 1} ^∞ de todas las secuencias binarias infinitas a veces se denomina espacio de Cantor.

Una secuencia binaria infinita puede representar un lenguaje formal (un conjunto de cadenas) estableciendo el n-  ésimo bit de la secuencia en 1 si y solo si la n-  ésima cadena (en orden shortlex ) está en el idioma. Esta representación es útil en el método de diagonalización para pruebas.

Ver también

• Enumeración
• Enciclopedia en línea de secuencias de enteros
• Relación de recurrencia
• Espacio de secuencia

Operaciones

• Producto Cauchy

Ejemplos de

• Señal de tiempo discreto
• Secuencia de Farey
• secuencia Fibonacci
• Secuencia de mirar y decir
• Secuencia de Thue-Morse
• Lista de secuencias de enteros

Tipos

• ± 1 secuencia
• Progresión aritmética
• Secuencia automática
• Secuencia de Cauchy
• Secuencia constante-recursiva
• Progresión geométrica
• Progresión armónica
• Secuencia holonómica
• Secuencia regular
• Secuencia binaria pseudoaleatoria
• Secuencia aleatoria

Conceptos relacionados

• Lista (informática)
• Net (topología) (una generalización de secuencias)
• Secuencia de índice ordinal
• Recursión (informática)
• Set (matemáticas)
• Tupla
• Permutación

Notas

Referencias

enlaces externos

Busque la secuencia en Wiktionary, el diccionario gratuito.

Busque enumerar  o recopilar en Wiktionary, el diccionario gratuito.

• "Secuencia", Enciclopedia de Matemáticas, EMS Press, 2001 [1994]
• La enciclopedia en línea de secuencias de enteros
• Diario de secuencias de enteros (gratis)