Fuerzas estáticas e intercambio de partículas virtuales

Los campos de fuerza estática son campos, como campos eléctricos, magnéticos o gravitacionales simples, que existen sin excitaciones. El método de aproximación más común que utilizan los físicos para los cálculos de dispersión se puede interpretar como fuerzas estáticas que surgen de las interacciones entre dos cuerpos mediados por partículas virtuales, partículas que existen solo por un corto tiempo determinado por el principio de incertidumbre. Las partículas virtuales, también conocidas como portadoras de fuerza, son bosones, con diferentes bosones asociados con cada fuerza.

La descripción de partículas virtuales de las fuerzas estáticas es capaz de identificar la forma espacial de las fuerzas, como el comportamiento del cuadrado inverso en la ley de Newton de la gravitación universal y en la ley de Coulomb. También puede predecir si las fuerzas son atractivas o repulsivas para cuerpos similares.

La formulación de ruta integral es el lenguaje natural para describir portadores de fuerza. Este artículo utiliza la fórmula integral de trayectoria para describir los portadores de fuerza para los campos de espín 0, 1 y 2. Los piones, fotones y gravitones se incluyen en estas categorías respectivas.

Existen límites para la validez de la imagen de partículas virtuales. La formulación de partículas virtuales se deriva de un método conocido como teoría de la perturbación, que es una aproximación asumiendo que las interacciones no son demasiado fuertes y está pensada para problemas de dispersión, no estados ligados como átomos. Para la fuerza fuerte que une los quarks en nucleones a bajas energías, nunca se ha demostrado que la teoría de la perturbación produzca resultados de acuerdo con los experimentos, por lo que la validez de la imagen de la "partícula mediadora de fuerza" es cuestionable. De manera similar, para los estados ligados, el método falla. En estos casos, la interpretación física debe volver a examinarse. Por ejemplo, los cálculos de la estructura atómica en física atómica o de la estructura molecular en química cuántica no podrían repetirse fácilmente, si es que se repiten, utilizando la imagen de la "partícula mediadora de fuerzas".

El uso de una imagen de "partículas mediadoras de fuerza" (FMPP) es innecesario en la mecánica cuántica no relativista, y la ley de Coulomb se usa como se indica en la física atómica y la química cuántica para calcular tanto los estados ligados como los de dispersión. Una teoría cuántica relativista no perturbativa, en la que se conserva la invariancia de Lorentz, se puede lograr evaluando la ley de Coulomb como una interacción de 4 espacios usando el vector de posición de 3 espacios de un electrón de referencia que obedece a la ecuación de Dirac y la trayectoria cuántica de un segundo electrón que depende solo del tiempo escalado. La trayectoria cuántica de cada electrón en un conjunto se infiere a partir de la corriente de Dirac para cada electrón ajustándolo a un campo de velocidad multiplicado por una densidad cuántica, calculando un campo de posición a partir de la integral de tiempo del campo de velocidad y, finalmente, calculando una trayectoria cuántica. del valor esperado del campo de posición. Las trayectorias cuánticas son, por supuesto, dependientes del espín, y la teoría puede validarse comprobando que se obedece el principio de exclusión de Pauli para una colección de fermiones.

• 1 Fuerzas clásicas
  • 1.1 Fuerza gravitacional
  • 1.2 Fuerza de Coulomb
• 2 Intercambio de partículas virtuales
  • 2.1 Formulación de ruta integral del intercambio de partículas virtuales
    • 2.1.1 La amplitud de probabilidad
    • 2.1.2 Energía de interacción
• 3 Ejemplos seleccionados
  • 3.1 El potencial de Yukawa: la fuerza entre dos nucleones en un núcleo atómico
  • 3.2 Electrostática
    • 3.2.1 El potencial de Coulomb en el vacío
    • 3.2.2 Potencial de culombio en un plasma simple o un gas de electrones
      • 3.2.2.1 Ondas de plasma
      • 3.2.2.2 Plasmones
      • 3.2.2.3 Dos cargas lineales incrustadas en un gas de plasma o de electrones
    • 3.2.3 Potencial de culombio entre dos bucles de corriente incrustados en un campo magnético
      • 3.2.3.1 Energía de interacción para vórtices
      • 3.2.3.2 Campo eléctrico debido a una perturbación de densidad
      • 3.2.3.3 Corrientes con momento angular
        • 3.2.3.3.1 Corrientes en función delta
        • 3.2.3.3.2 Cuasipartículas
        • 3.2.3.3.3 Densidad de carga distribuida sobre una función de onda
  • 3.3 Magnetostática
    • 3.3.1 Interacción de Darwin en el vacío
    • 3.3.2 Interacción de Darwin en un plasma
    • 3.3.3 Interacción magnética entre bucles de corriente en un gas de plasma o de electrones simple
      • 3.3.3.1 La energía de interacción
      • 3.3.3.2 Límite de pequeña distancia entre bucles de corriente
      • 3.3.3.3 Relación con el efecto Hall cuántico
  • 3.4 Gravitación
• 4 referencias

Fuerzas clásicas

La fuerza ejercida por una masa sobre otra y la fuerza ejercida por una carga sobre otra son sorprendentemente similares. Ambos caen como el cuadrado de la distancia entre los cuerpos. Ambos son proporcionales al producto de las propiedades de los cuerpos, masa en el caso de la gravitación y carga en el caso de la electrostática.

También tienen una diferencia sorprendente. Dos masas se atraen, mientras que dos cargas iguales se repelen.

En ambos casos, los cuerpos parecen actuar entre sí a distancia. El concepto de campo se inventó para mediar en la interacción entre los cuerpos, eliminando así la necesidad de actuar a distancia. La fuerza gravitacional está mediada por el campo gravitacional y la fuerza de Coulomb está mediada por el campo electromagnético.

Fuerza gravitacional

La fuerza gravitacional sobre una masa ejercida por otra masa es $$

metro {\ Displaystyle m}$$METRO {\ Displaystyle M}

$$ F=-GRAMO metro METRO r 2 r ^=metro gramo ( r ), {\ Displaystyle \ mathbf {F} = -G {mM \ over {r} ^ {2}} \, \ mathbf {\ hat {r}} = m \ mathbf {g} \ left (\ mathbf {r} \ Derecha),}

donde G es la constante gravitacional, r es la distancia entre las masas y es el vector unitario de masa a masa. $$

r ^ {\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {r}}} $$METRO {\ Displaystyle M}$$metro {\ Displaystyle m}

La fuerza también se puede escribir

$$ F=metro gramo ( r ), {\ Displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {g} \ left (\ mathbf {r} \ right),}

donde es el campo gravitacional descrito por la ecuación de campo $$

gramo ( r ) {\ Displaystyle \ mathbf {g} \ left (\ mathbf {r} \ right)}

$$∇⋅ gramo=-4πGRAMO ρ metro, {\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {g} = -4 \ pi G \ rho _ {m},}

donde es la densidad de masa en cada punto del espacio. $$

ρ metro {\ Displaystyle \ rho _ {m}}

Fuerza de coulomb

La fuerza de Coulomb electrostática sobre una carga ejercida por una carga es ( unidades SI ) $$

q {\ Displaystyle q}$$Q {\ displaystyle Q}

$$ F= 1 4 π ε 0 q Q r 2 r ^, {\ Displaystyle \ mathbf {F} = {1 \ over 4 \ pi \ varepsilon _ {0}} {qQ \ over r ^ {2}} \ mathbf {\ hat {r}},}

donde es la permitividad del vacío, es la separación de las dos cargas y es un vector unitario en la dirección de carga a carga. $$

ε 0 {\ Displaystyle \ varepsilon _ {0}} $$r {\ Displaystyle r}$$ r ^ {\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {r}}} $$Q {\ displaystyle Q}$$q {\ Displaystyle q}

La fuerza de Coulomb también se puede escribir en términos de un campo electrostático :

$$ F=q mi ( r ), {\ Displaystyle \ mathbf {F} = q \ mathbf {E} \ left (\ mathbf {r} \ right),}

dónde

$$∇⋅ mi= ρ q ε 0; {\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho _ {q}} {\ varepsilon _ {0}}};}

$$

ρ q {\ Displaystyle \ rho _ {q}}siendo la densidad de carga en cada punto del espacio.

Intercambio de partículas virtuales

En la teoría de la perturbación, las fuerzas se generan mediante el intercambio de partículas virtuales. La mecánica del intercambio de partículas virtuales se describe mejor con la formulación integral de trayectoria de la mecánica cuántica. Sin embargo, hay ideas que se pueden obtener sin entrar en la maquinaria de las integrales de trayectoria, como por qué las fuerzas gravitacionales y electrostáticas clásicas caen como el cuadrado inverso de la distancia entre cuerpos.

Formulación de ruta integral del intercambio de partículas virtuales

Una partícula virtual se crea por una perturbación del estado de vacío, y la partícula virtual se destruye cuando es absorbida nuevamente al estado de vacío por otra perturbación. Se imagina que las perturbaciones se deben a cuerpos que interactúan con el campo de la partícula virtual.

La amplitud de probabilidad

El uso de unidades naturales,, se da la amplitud de probabilidad para la creación, propagación, y la destrucción de una partícula virtual, en la integral de caminos por $$

ℏ=C=1 {\ Displaystyle \ hbar = c = 1}

$$Z≡⟨0 |Exp⁡ ( - I H ^ T ) |0⟩=Exp⁡ ( - I mi T )=∫DφExp⁡ ( I S [ φ ] )=Exp⁡ ( I W ) {\ Displaystyle Z \ equiv \ langle 0 | \ exp \ left (-i {\ hat {H}} T \ right) | 0 \ rangle = \ exp \ left (-iET \ right) = \ int D \ varphi \ ; \ exp \ left (i {\ mathcal {S}} [\ varphi] \ right) \; = \ exp \ left (iW \ right)}

donde es el operador hamiltoniano, es el tiempo transcurrido, es el cambio de energía debido a la perturbación, es el cambio en la acción debido a la perturbación, es el campo de la partícula virtual, la integral es sobre todos los caminos y se da la acción clásica por $$

H ^ {\ Displaystyle {\ hat {H}}} $$T {\ Displaystyle T}$$mi {\ Displaystyle E}$$W=-miT {\ Displaystyle W = -ET}$$φ {\ Displaystyle \ varphi}

$$ S[φ]=∫ D 4X L [ φ ( X ) ] {\ Displaystyle {\ mathcal {S}} [\ varphi] = \ int \ mathrm {d} ^ {4} x \; {{\ mathcal {L}} [\ varphi (x)] \,}}

donde está la densidad lagrangiana. $$

L[φ(X)] {\ Displaystyle {\ mathcal {L}} [\ varphi (x)]}

Aquí, la métrica del espacio-tiempo viene dada por

$$ η μ ν= ( 1 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 - 1). {\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} 1 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; -1 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; -1 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; -1 \ end {pmatrix}}.}

La integral de ruta a menudo se puede convertir a la forma

$$Z=∫Exp⁡ [ I ∫ D 4 X ( 1 2 φ O ^ φ + J φ ) ]Dφ {\ Displaystyle Z = \ int \ exp \ left [i \ int d ^ {4} x \ left ({\ frac {1} {2}} \ varphi {\ hat {O}} \ varphi + J \ varphi \ derecha) \ derecha] D \ varphi}

donde es un operador diferencial con y funciones de espacio-tiempo. El primer término del argumento representa la partícula libre y el segundo término representa la perturbación del campo de una fuente externa como una carga o una masa. $$

O ^ {\ Displaystyle {\ hat {O}}}$$φ {\ Displaystyle \ varphi}$$J {\ Displaystyle J}

La integral se puede escribir (ver Integrales comunes en la teoría cuántica de campos )

$$Z∝Exp⁡ ( I W ( J ) ) {\ Displaystyle Z \ propto \ exp \ left (iW \ left (J \ right) \ right)}

dónde

$$W ( J )=- 1 2∬ D 4X D 4yJ ( X )D ( X - y )J ( y ) {\ Displaystyle W \ left (J \ right) = - {1 \ over 2} \ iint d ^ {4} x \; d ^ {4} y \; J \ left (x \ right) D \ left (xy \ right) J \ left (y \ right)}

es el cambio en la acción debido a las perturbaciones y el propagador es la solución de $$

D ( X - y ) {\ Displaystyle D \ left (xy \ right)}

$$ O ^D ( X - y )= δ 4 ( X - y ) {\ Displaystyle {\ hat {O}} D \ left (xy \ right) = \ delta ^ {4} \ left (xy \ right)}.

Energía de interacción

Suponemos que hay dos perturbaciones puntuales que representan dos cuerpos y que las perturbaciones son inmóviles y constantes en el tiempo. Las alteraciones se pueden escribir

$$J ( X )= ( J 1 + J 2 , 0 , 0 , 0 ) {\ Displaystyle J \ left (x \ right) = \ left (J_ {1} + J_ {2}, 0,0,0 \ right)}

$$ J 1= a 1 δ 3 ( X → - X → 1 ) {\ Displaystyle J_ {1} = a_ {1} \ delta ^ {3} \ left ({\ vec {x}} - {\ vec {x}} _ {1} \ right)}

$$ J 2= a 2 δ 3 ( X → - X → 2 ) {\ Displaystyle J_ {2} = a_ {2} \ delta ^ {3} \ left ({\ vec {x}} - {\ vec {x}} _ {2} \ right)}

donde las funciones delta están en el espacio, las perturbaciones están ubicadas en y, y los coeficientes y son las fuerzas de las perturbaciones. $$

X → 1 {\ Displaystyle {\ vec {x}} _ {1}}$$ X → 2 {\ Displaystyle {\ vec {x}} _ {2}}$$ a 1 {\ Displaystyle a_ {1}}$$ a 2 {\ Displaystyle a_ {2}}

Si descuidamos las auto-interacciones de las perturbaciones, entonces W se convierte en

$$W ( J )=-∬ D 4X D 4y J 1 ( X ) 1 2 [ D ( X - y ) + D ( y - X ) ] J 2 ( y ) {\ Displaystyle W \ left (J \ right) = - \ iint d ^ {4} x \; d ^ {4} y \; J_ {1} \ left (x \ right) {1 \ over 2} \ left [D \ left (xy \ right) + D \ left (yx \ right) \ right] J_ {2} \ left (y \ right)},

que se puede escribir

$$W ( J )=-T a 1 a 2∫ D 3 k ( 2 π ) 3D ( k ) ∣ k 0 = 0Exp⁡ ( I k → ⋅ ( X → 1 - X → 2 ) ) {\ Displaystyle W \ left (J \ right) = - Ta_ {1} a_ {2} \ int {d ^ {3} k \ over (2 \ pi) ^ {3}} \; \; D \ left ( k \ right) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; \ exp \ left (i {\ vec {k}} \ cdot \ left ({\ vec {x}} _ {1} - {\ vec {x}} _ {2} \ right) \ right)}.

Aquí está la transformada de Fourier de $$

D ( k ) {\ Displaystyle D \ left (k \ right)}

$$ 1 2 [ D ( X - y ) + D ( y - X ) ] {\ Displaystyle {1 \ over 2} \ left [D \ left (xy \ right) + D \ left (yx \ right) \ right]}.

Finalmente, el cambio de energía debido a las perturbaciones estáticas del vacío es

$$ mi=- W T= a 1 a 2∫ D 3 k ( 2 π ) 3D ( k ) ∣ k 0 = 0Exp⁡ ( I k → ⋅ ( X → 1 - X → 2 ) ) {\ Displaystyle E = - {W \ over T} = a_ {1} a_ {2} \ int {d ^ {3} k \ over (2 \ pi) ^ {3}} \; \; D \ left ( k \ right) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; \ exp \ left (i {\ vec {k}} \ cdot \ left ({\ vec {x}} _ {1} - {\ vec {x}} _ {2} \ right) \ right)}.

Si esta cantidad es negativa, la fuerza es atractiva. Si es positivo, la fuerza es repulsiva.

Ejemplos de corrientes estáticas, inmóviles e interactuantes son el potencial de Yukawa, el potencial de Coulomb en el vacío y el potencial de Coulomb en un gas de plasma o de electrones simple.

La expresión de la energía de interacción se puede generalizar a la situación en la que las partículas puntuales se mueven, pero el movimiento es lento en comparación con la velocidad de la luz. Algunos ejemplos son la interacción de Darwin en el vacío y la interacción de Darwin en un plasma.

Finalmente, la expresión de la energía de interacción se puede generalizar a situaciones en las que las perturbaciones no son partículas puntuales, sino posiblemente cargas lineales, tubos de cargas o vórtices de corriente. Por ejemplo, dos cargas lineales incrustadas en un plasma o gas de electrones, el potencial de Coulomb entre dos bucles de corriente incrustados en un campo magnético y la interacción magnética entre bucles de corriente en un simple plasma o gas de electrones. Como se ve en el ejemplo de interacción de Coulomb entre tubos de carga, que se muestra a continuación, estas geometrías más complicadas pueden conducir a fenómenos tan exóticos como números cuánticos fraccionarios.

Ejemplos seleccionados

El potencial de Yukawa: la fuerza entre dos nucleones en un núcleo atómico

Considere la densidad lagrangiana de spin -0

$$ L[φ(X)]= 1 2 [ ( ∂ φ ) 2 - metro 2 φ 2 ] {\ Displaystyle {\ mathcal {L}} [\ varphi (x)] = {1 \ over 2} \ left [\ left (\ partial \ varphi \ right) ^ {2} -m ^ {2} \ varphi ^ {2} \ right]}.

La ecuación de movimiento para este lagrangiano es la ecuación de Klein-Gordon

$$ ∂ 2φ+ metro 2φ=0 {\ estilo de visualización \ parcial ^ {2} \ varphi + m ^ {2} \ varphi = 0}.

Si agregamos una perturbación, la amplitud de probabilidad se convierte en

$$Z=∫DφExp⁡ { I ∫ D 4 X [ 1 2 ( ( ∂ φ ) 2 - metro 2 φ 2 ) + J φ ] } {\ Displaystyle Z = \ int D \ varphi \; \ exp \ left \ {i \ int d ^ {4} x \; \ left [{1 \ over 2} \ left (\ left (\ parcial \ varphi \ right) ^ {2} -m ^ {2} \ varphi ^ {2} \ right) + J \ varphi \ right] \ right \}}.

Si integramos por partes y descuidamos los términos de contorno en el infinito, la amplitud de probabilidad se convierte en

$$Z=∫DφExp⁡ { I ∫ D 4 X [ - 1 2 φ ( ∂ 2 + metro 2 ) φ + J φ ] } {\ Displaystyle Z = \ int D \ varphi \; \ exp \ left \ {i \ int d ^ {4} x \; \ left [- {1 \ over 2} \ varphi \ left (\ parcial ^ {2} + m ^ {2} \ right) \ varphi + J \ varphi \ right] \ right \}}.

Con la amplitud en esta forma se puede ver que el propagador es la solución de

$$- ( ∂ 2 + metro 2 )D ( X - y )= δ 4 ( X - y ) {\ Displaystyle - \ left (\ partial ^ {2} + m ^ {2} \ right) D \ left (xy \ right) = \ delta ^ {4} \ left (xy \ right)}.

De esto se puede ver que

$$D ( k ) ∣ k 0 = 0=- 1 k → 2 + metro 2 {\ Displaystyle D \ left (k \ right) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; = \; - {1 \ over {\ vec {k}} ^ {2} + m ^ {2}} }.

La energía debida a las perturbaciones estáticas se convierte en (ver Integrales comunes en la teoría cuántica de campos )

$$ mi=- a 1 a 2 4 π rExp⁡ ( - metro r ) {\ Displaystyle E = - {a_ {1} a_ {2} \ over 4 \ pi r} \ exp \ left (-mr \ right)}

con

$$ r 2= ( X → 1 - X → 2 ) 2 {\ Displaystyle r ^ {2} = \ left ({\ vec {x}} _ {1} - {\ vec {x}} _ {2} \ right) ^ {2}}

que es atractivo y tiene una gama de

$$ 1 metro {\ Displaystyle {1 \ over m}}.

Yukawa propuso que este campo describe la fuerza entre dos nucleones en un núcleo atómico. Le permitió predecir tanto el rango como la masa de la partícula, ahora conocida como pión, asociada con este campo.

Electrostática

El potencial de Coulomb en el vacío

Considere el giro -1 Proca Lagrangiano con una perturbación

$$ L[φ(X)]=- 1 4 F μ ν F μ ν+ 1 2 metro 2 A μ A μ+ A μ J μ {\ Displaystyle {\ mathcal {L}} [\ varphi (x)] = - {1 \ over 4} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu} + {1 \ over 2} m ^ { 2} A _ {\ mu} A ^ {\ mu} + A _ {\ mu} J ^ {\ mu}}

dónde

$$ F μ ν= ∂ μ A ν- ∂ ν A μ {\ Displaystyle F _ {\ mu \ nu} = \ parcial _ {\ mu} A _ {\ nu} - \ parcial _ {\ nu} A _ {\ mu}},

se conserva la carga

$$ ∂ μ J μ=0 {\ Displaystyle \ parcial _ {\ mu} J ^ {\ mu} = 0},

y elegimos el calibre de Lorenz

$$ ∂ μ A μ=0 {\ Displaystyle \ parcial _ {\ mu} A ^ {\ mu} = 0}.

Además, suponemos que solo hay un componente temporal en la perturbación. En lenguaje corriente, esto significa que hay una carga en los puntos de perturbación, pero no hay corrientes eléctricas. $$

J 0 {\ Displaystyle J ^ {0}}

Si seguimos el mismo procedimiento que hicimos con el potencial Yukawa, encontramos que

$$- 1 4∫ D 4X F μ ν F μ ν=- 1 4∫ D 4X ( ∂ μ A ν - ∂ ν A μ ) ( ∂ μ A ν - ∂ ν A μ ) {\ Displaystyle - {1 \ over 4} \ int d ^ {4} xF _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu} = - {1 \ over 4} \ int d ^ {4} x \ left (\ parcial _ {\ mu} A _ {\ nu} - \ parcial _ {\ nu} A _ {\ mu} \ derecha) \ izquierda (\ parcial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ parcial ^ { \ nu} A ^ {\ mu} \ right)}

$$= 1 2∫ D 4X A ν ( ∂ 2 A ν - ∂ ν ∂ μ A μ )= 1 2∫ D 4X A μ ( η μ ν ∂ 2 ) A ν, {\ Displaystyle = {1 \ over 2} \ int d ^ {4} x \; A _ {\ nu} \ left (\ parcial ^ {2} A ^ {\ nu} - \ parcial ^ {\ nu} \ parcial _ {\ mu} A ^ {\ mu} \ right) = {1 \ over 2} \ int d ^ {4} x \; A ^ {\ mu} \ left (\ eta _ {\ mu \ nu} \ parcial ^ {2} \ right) A ^ {\ nu},}

lo que implica

$$ η μ α ( ∂ 2 + metro 2 ) D α ν ( X - y )= δ μ ν δ 4 ( X - y ) {\ Displaystyle \ eta _ {\ mu \ alpha} \ izquierda (\ parcial ^ {2} + m ^ {2} \ derecha) D ^ {\ alpha \ nu} \ izquierda (xy \ derecha) = \ delta _ { \ mu} ^ {\ nu} \ delta ^ {4} \ left (xy \ right)}

y

$$ D μ ν ( k ) ∣ k 0 = 0= η μ ν 1 - k 2 + metro 2. {\ Displaystyle D _ {\ mu \ nu} \ left (k \ right) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; = \; \ eta _ {\ mu \ nu} {1 \ over -k ^ { 2} + m ^ {2}}.}

Esto produce

$$D ( k ) ∣ k 0 = 0= 1 k → 2 + metro 2 {\ Displaystyle D \ left (k \ right) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; = \; {1 \ over {\ vec {k}} ^ {2} + m ^ {2}}}

para el propagador de tiempo y

$$mi=+ a 1 a 2 4 π rExp⁡ ( - metro r ) {\ Displaystyle E = + {a_ {1} a_ {2} \ over 4 \ pi r} \ exp \ left (-mr \ right)}

que tiene el signo contrario al caso Yukawa.

En el límite de la masa de fotones cero, el Lagrangiano se reduce al Lagrangiano para el electromagnetismo.

$$ mi= a 1 a 2 4 π r. {\ Displaystyle E = {a_ {1} a_ {2} \ over 4 \ pi r}.}

Por lo tanto, la energía se reduce a la energía potencial para la fuerza de Coulomb y los coeficientes y son proporcionales a la carga eléctrica. A diferencia del caso Yukawa, como los cuerpos, en este caso electrostático, se repelen entre sí. $$

a 1 {\ Displaystyle a_ {1}}$$ a 2 {\ Displaystyle a_ {2}}

Potencial de Coulomb en un simple plasma o gas de electrones

Ondas de plasma

La relación de dispersión de las ondas de plasma es

$$ ω 2= ω pag 2+γ ( ω ) T mi metro k → 2. {\ Displaystyle \ omega ^ {2} = \ omega _ {p} ^ {2} + \ gamma \ left (\ omega \ right) {T_ {e} \ over m} {\ vec {k}} ^ {2 }.}

donde es la frecuencia angular de la onda, $$

ω {\ Displaystyle \ omega}

$$ ω pag 2= 4 π norte mi 2 metro {\ Displaystyle \ omega _ {p} ^ {2} = {4 \ pi ne ^ {2} \ over m}}

es la frecuencia del plasma, es la magnitud de la carga del electrón, es la masa del electrón, es la temperatura del electrón ( la constante de Boltzmann es igual a uno) y es un factor que varía con la frecuencia de uno a tres. A altas frecuencias, del orden de la frecuencia del plasma, la compresión del fluido de electrones es un proceso adiabático y es igual a tres. A bajas frecuencias, la compresión es un proceso isotérmico y es igual a uno. Los efectos de retardo se han descuidado al obtener la relación de dispersión de la onda de plasma. $$

mi {\ Displaystyle e} $$metro {\ Displaystyle m} $$ T mi {\ Displaystyle T_ {e}} $$γ ( ω ) {\ Displaystyle \ gamma \ left (\ omega \ right)} $$γ ( ω ) {\ Displaystyle \ gamma \ left (\ omega \ right)} $$γ ( ω ) {\ Displaystyle \ gamma \ left (\ omega \ right)}

Para bajas frecuencias, la relación de dispersión se vuelve

$$ k → 2+ k → D 2=0 {\ Displaystyle {\ vec {k}} ^ {2} + {\ vec {k}} _ {D} ^ {2} = 0}

dónde

$$ k D 2= 4 π norte mi 2 T mi {\ Displaystyle k_ {D} ^ {2} = {4 \ pi ne ^ {2} \ over T_ {e}}}

es el número de Debye, que es el inverso de la longitud de Debye. Esto sugiere que el propagador es

$$D ( k ) ∣ k 0 = 0= 1 k → 2 + k D 2 {\ Displaystyle D \ left (k \ right) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; = \; {1 \ over {\ vec {k}} ^ {2} + k_ {D} ^ {2 }}}.

De hecho, si no se ignoran los efectos de retardo, entonces la relación de dispersión es

$$- k 0 2+ k → 2+ k D 2- metro T mi k 0 2=0, {\ Displaystyle -k_ {0} ^ {2} + {\ vec {k}} ^ {2} + k_ {D} ^ {2} - {m \ over T_ {e}} k_ {0} ^ {2 } = 0,}

que de hecho produce el propagador adivinado. Este propagador es el mismo que el propagador masivo de Coulomb con la masa igual a la longitud de Debye inversa. Por tanto, la energía de interacción es

$$ mi= a 1 a 2 4 π rExp⁡ ( - k D r ). {\ Displaystyle E = {a_ {1} a_ {2} \ over 4 \ pi r} \ exp \ left (-k_ {D} r \ right).}

El potencial de Coulomb se analiza en escalas de longitud de una longitud de Debye.

Plasmones

En un gas de electrones cuánticos, las ondas de plasma se conocen como plasmones. El cribado Debye se reemplaza por el cribado Thomas-Fermi para obtener

$$ mi= a 1 a 2 4 π rExp⁡ ( - k s r ) {\ Displaystyle E = {a_ {1} a_ {2} \ over 4 \ pi r} \ exp \ left (-k_ {s} r \ right)}

donde la inversa de la longitud de tramado de Thomas-Fermi es

$$ k s 2= 6 π norte mi 2 ϵ F {\ Displaystyle k_ {s} ^ {2} = {6 \ pi ne ^ {2} \ over \ epsilon _ {F}}}

y es la energía de Fermi $$

ϵ F {\ Displaystyle \ epsilon _ {F}}

$$

ϵ F= ℏ 2 2 metro ( 3 π 2 norte ) 2 / 3. {\ Displaystyle \ epsilon _ {F} = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ left ({3 \ pi ^ {2} n} \ right) ^ {2/3} \,. }

Esta expresión se puede derivar del potencial químico de un gas de electrones y de la ecuación de Poisson. El potencial químico de un gas de electrones cerca del equilibrio es constante y está dado por

$$μ=-miφ+ ϵ F {\ Displaystyle \ mu = -e \ varphi + \ epsilon _ {F}}

donde esta el potencial electrico. La linealización de la energía de Fermi al primer orden en la fluctuación de la densidad y la combinación con la ecuación de Poisson produce la longitud del tramado. El portador de fuerza es la versión cuántica de la onda de plasma. $$

φ {\ Displaystyle \ varphi}

Dos cargas lineales incrustadas en un gas de plasma o de electrones

Consideramos una línea de carga con eje en la dirección z incrustado en un gas de electrones

$$ J 1 ( X )= a 1 L B 1 2 π r δ 2 ( r ) {\ Displaystyle J_ {1} \ left (x \ right) = {a_ {1} \ over L_ {B}} {1 \ over 2 \ pi r} \ delta ^ {2} \ left (r \ right)}

donde es la distancia en el plano xy desde la línea de carga, es el ancho del material en la dirección z. El superíndice 2 indica que la función delta de Dirac tiene dos dimensiones. El propagador es $$

r {\ Displaystyle r}$$ L B {\ Displaystyle L_ {B}}

$$D ( k ) ∣ k 0 = 0= 1 k → 2 + k D s 2 {\ Displaystyle D \ left (k \ right) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; = \; {1 \ over {\ vec {k}} ^ {2} + k_ {Ds} ^ {2 }}}

donde es la longitud de cribado Debye-Hückel inversa o la longitud de cribado Thomas-Fermi inversa. $$

k D s {\ Displaystyle k_ {Ds}}

La energía de interacción es

$$mi= ( a 1 a 2 2 π L B ) ∫ 0 ∞ k D k k 2 + k D s 2 J 0 ( k r 12 )= ( a 1 a 2 2 π L B ) K 0 ( k D s r 12 ) {\ Displaystyle E = \ left ({a_ {1} \, a_ {2} \ over 2 \ pi L_ {B}} \ right) \ int _ {0} ^ {\ infty} {{k \; dk \ ;} \ over k ^ {2} + k_ {Ds} ^ {2}} {\ mathcal {J}} _ {0} \ left (kr_ {12} \ right) = \ left ({a_ {1} \, a_ {2} \ over 2 \ pi L_ {B}} \ right) K_ {0} \ left (k_ {Ds} r_ {12} \ right)}

dónde

$$ J norte ( X ) {\ Displaystyle {\ mathcal {J}} _ {n} \ left (x \ right)}

y

$$ K 0 ( X ) {\ Displaystyle K_ {0} \ left (x \ right)}

son funciones de Bessel y es la distancia entre las dos cargas de línea. Para obtener la energía de interacción hicimos uso de las integrales (ver Integrales comunes en la teoría cuántica de campos ) $$

r 12 {\ Displaystyle r_ {12}}

$$ ∫ 0 2 π D φ 2 πExp⁡ ( I pag porque ⁡ ( φ ) )= J 0 ( pag ) {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {d \ varphi \ over 2 \ pi} \ exp \ left (ip \ cos \ left (\ varphi \ right) \ right) = {\ mathcal {J }} _ {0} \ left (p \ right)}

y

$$ ∫ 0 ∞ k D k k 2 + metro 2 J 0 ( k r )= K 0 ( metro r ). {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {{k \; dk \;} \ over k ^ {2} + m ^ {2}} {\ mathcal {J}} _ {0} \ left (kr \ right) = K_ {0} \ left (mr \ right).}

Porque tenemos $$

k D s r 12≪1 {\ Displaystyle k_ {Ds} r_ {12} \ ll 1}

$$ K 0 ( k D s r 12 )→-en⁡ ( k D s r 12 2 )+0.5772. {\ Displaystyle K_ {0} \ left (k_ {Ds} r_ {12} \ right) \ rightarrow - \ ln \ left ({k_ {Ds} r_ {12} \ over 2} \ right) +0.5772.}

Potencial de Coulomb entre dos bucles de corriente incrustados en un campo magnético

Energía de interacción para vórtices

Consideramos una densidad de carga en un tubo con eje a lo largo de un campo magnético incrustado en un gas de electrones.

$$ J 1 ( X )= a 1 L B 1 2 π r δ 2 ( r - r B 1 ) {\ Displaystyle J_ {1} \ left (x \ right) = {a_ {1} \ over L_ {b}} {1 \ over 2 \ pi r} \ delta ^ {2} \ left (r-r_ {B1 }\Derecha)}

donde es la distancia desde el centro de guía, es el ancho del material en la dirección del campo magnético $$

r {\ Displaystyle r} $$ L B {\ Displaystyle L_ {B}}

$$ r B 1= 4 π metro 1 v 1 a 1 B= 2 ℏ metro 1 ω C {\ Displaystyle r_ {B1} = {{\ sqrt {4 \ pi}} m_ {1} v_ {1} \ over a_ {1} B} = {\ sqrt {2 \ hbar \ over m_ {1} \ omega _{C}}}}

donde la frecuencia del ciclotrón es ( unidades gaussianas )

$$ ω C= a 1 B 4 π metro 1 C {\ Displaystyle \ omega _ {c} = {a_ {1} B \ over {\ sqrt {4 \ pi}} m_ {1} c}}

y

$$ v 1= 2 ℏ ω C metro 1 {\ Displaystyle v_ {1} = {\ sqrt {2 \ hbar \ omega _ {c} \ over m_ {1}}}}

es la velocidad de la partícula sobre el campo magnético y B es la magnitud del campo magnético. La fórmula de la velocidad proviene de establecer la energía cinética clásica igual al espacio entre los niveles de Landau en el tratamiento cuántico de una partícula cargada en un campo magnético.

En esta geometría, la energía de interacción se puede escribir

$$mi= ( a 1 a 2 2 π L B ) ∫ 0 ∞ k D k D ( k ) ∣ k 0 = k B = 0 J 0 ( k r B 1 ) J 0 ( k r B 2 ) J 0 ( k r 12 ) {\ Displaystyle E = \ left ({a_ {1} \, a_ {2} \ over 2 \ pi L_ {B}} \ right) \ int _ {0} ^ {\ infty} {k \; dk \; } D \ left (k \ right) \ mid _ {k_ {0} = k_ {B} = 0} {\ mathcal {J}} _ {0} \ left (kr_ {B1} \ right) {\ mathcal { J}} _ {0} \ left (kr_ {B2} \ right) {\ mathcal {J}} _ {0} \ left (kr_ {12} \ right)}

donde es la distancia entre los centros de los bucles actuales y $$

r 12 {\ Displaystyle r_ {12}}

$$ J norte ( X ) {\ Displaystyle {\ mathcal {J}} _ {n} \ left (x \ right)}

es una función de Bessel del primer tipo. Para obtener la energía de interacción utilizamos la integral

$$ ∫ 0 2 π D φ 2 πExp⁡ ( I pag porque ⁡ ( φ ) )= J 0 ( pag ). {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {d \ varphi \ over 2 \ pi} \ exp \ left (ip \ cos \ left (\ varphi \ right) \ right) = {\ mathcal {J }} _ {0} \ left (p \ right).}

Campo eléctrico debido a una perturbación de densidad.

El potencial químico cercano al equilibrio viene dado por

$$μ=-miφ+norteℏ ω C= norte 0ℏ ω C {\ Displaystyle \ mu = -e \ varphi + N \ hbar \ omega _ {c} = N_ {0} \ hbar \ omega _ {c}}

donde es la energía potencial de un electrón en un potencial eléctrico y y son el número de partículas en el gas de electrones en ausencia y en presencia de un potencial electrostático, respectivamente. $$

-miφ {\ Displaystyle -e \ varphi} $$ norte 0 {\ Displaystyle N_ {0}}$$norte {\ Displaystyle N}

La fluctuación de la densidad es entonces

$$δnorte= mi φ ℏ ω C A METRO L B {\ Displaystyle \ delta n = {e \ varphi \ over \ hbar \ omega _ {c} A_ {M} L_ {B}}}

donde es el área del material en el plano perpendicular al campo magnético. $$

A METRO {\ Displaystyle A_ {M}}

La ecuación de Poisson produce

$$ ( k 2 + k B 2 )φ=0 {\ Displaystyle \ left (k ^ {2} + k_ {B} ^ {2} \ right) \ varphi = 0}

dónde

$$ k B 2= 4 π mi 2 ℏ ω C A METRO L B. {\ Displaystyle k_ {B} ^ {2} = {4 \ pi e ^ {2} \ over \ hbar \ omega _ {c} A_ {M} L_ {B}}.}

El propagador es entonces

$$D ( k ) ∣ k 0 = k B = 0= 1 k 2 + k B 2 {\ Displaystyle D \ left (k \ right) \ mid _ {k_ {0} = k_ {B} = 0} = {1 \ over k ^ {2} + k_ {B} ^ {2}}}

y la energía de interacción se vuelve

$$mi= ( a 1 a 2 2 π L B ) ∫ 0 ∞ k D k k 2 + k B 2 J 0 ( k r B 1 ) J 0 ( k r B 2 ) J 0 ( k r 12 )= ( 2 mi 2 L B ) ∫ 0 ∞ k D k k 2 + k B 2 r B 2 J 0 2 ( k ) J 0 ( k r 12 r B ) {\ Displaystyle E = \ left ({a_ {1} \, a_ {2} \ over 2 \ pi L_ {B}} \ right) \ int _ {0} ^ {\ infty} {{k \; dk \ ;} \ over k ^ {2} + k_ {B} ^ {2}} {\ mathcal {J}} _ {0} \ left (kr_ {B1} \ right) {\ mathcal {J}} _ {0 } \ left (kr_ {B2} \ right) {\ mathcal {J}} _ {0} \ left (kr_ {12} \ right) = \ left ({2e ^ {2} \ over L_ {B}} \ derecha) \ int _ {0} ^ {\ infty} {{k \; dk \;} \ over k ^ {2} + k_ {B} ^ {2} r_ {B} ^ {2}} {\ mathcal {J}} _ {0} ^ {2} \ left (k \ right) {\ mathcal {J}} _ {0} \ left (k {r_ {12} \ over r_ {B}} \ right)}

donde en la segunda igualdad ( unidades gaussianas ) asumimos que los vórtices tenían la misma energía y carga de electrones.

En analogía con los plasmones, el portador de fuerza es la versión cuántica de la oscilación híbrida superior, que es una onda de plasma longitudinal que se propaga perpendicularmente al campo magnético.

Corrientes con momento angular

Corrientes de función delta

Figura 1. Energía de interacción frente a r para estados de momento angular de valor uno. Las curvas son idénticas a estas para cualquier valor de. Las longitudes están en unidades y la energía está en unidades de. Aquí. Tenga en cuenta que existen mínimos locales para valores grandes de.$$ l= l ′ {\ Displaystyle {\ mathit {l}} = {{\ mathit {l}} ^ {\ prime}}}$$ r l {\ Displaystyle r _ {\ mathit {l}}}$$ ( mi 2 L B ) {\ Displaystyle \ left ({e ^ {2} \ over L_ {B}} \ right)}$$r= r 12 {\ Displaystyle r = r_ {12}}$$ k B {\ Displaystyle k_ {B}} Figura 2. Energía de interacción frente a r para estados de momento angular de valor uno y cinco. Figura 3. Energía de interacción frente a r para varios valores de theta. La energía más baja es para o. La energía más alta trazada es para. Las longitudes están en unidades de.$$θ= π 4 {\ Displaystyle \ theta = {\ pi \ over 4}}$$ l l ′=1 {\ Displaystyle {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {\ prime}} = 1}$$θ=0,90 π 4 {\ Displaystyle \ theta = 0.90 {\ pi \ over 4}}$$ r l l ′ {\ Displaystyle r _ {{\ mathit {l}} {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}} Figura 4. Energías del estado fundamental para valores pares e impares de momentos angulares. La energía se traza en el eje vertical y r se traza en la horizontal. Cuando el momento angular total es par, el mínimo de energía se produce cuando o. Cuando el momento angular total es impar, no hay valores enteros de momentos angulares que se encuentren en el mínimo de energía. Por lo tanto, hay dos estados que se encuentran a ambos lados del mínimo. Porque, la energía total es mayor que en el caso de un valor dado de.$$ l = l ′ {\ Displaystyle {{\ mathit {l}} = {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}}$$ l l ∗= 1 2 {\ Displaystyle {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {*}} = {1 \ over 2}}$$ l ≠ l ′ {\ Displaystyle {{\ mathit {l}} \ neq {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}}$$ l = l ′ {\ Displaystyle {{\ mathit {l}} = {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}}$$ l ∗ {\ Displaystyle {{\ mathit {l}} ^ {*}}}

A diferencia de las corrientes clásicas, los bucles de corriente cuántica pueden tener varios valores del radio de Larmor para una energía determinada. Los niveles de Landau, los estados de energía de una partícula cargada en presencia de un campo magnético, están multiplicados por degeneración. Los bucles de corriente corresponden a estados de momento angular de la partícula cargada que pueden tener la misma energía. Específicamente, la densidad de carga alcanza su punto máximo alrededor de los radios de

$$ r l= l r B l=0,1,2,... {\ Displaystyle r _ {\ mathit {l}} = {\ sqrt {\ mathit {l}}} \; r_ {B} \; \; \; {\ mathit {l}} = 0,1,2, \ ldots}

donde es el número cuántico del momento angular. Cuando recuperamos la situación clásica en la que el electrón orbita el campo magnético en el radio de Larmor. Si las corrientes de dos momentos angulares e interactúan, y asumimos que las densidades de carga son funciones delta en el radio, entonces la energía de interacción es $$

l {\ Displaystyle {\ mathit {l}}} $$ l=1 {\ Displaystyle {\ mathit {l}} = 1} $$ l gt;0 {\ Displaystyle {\ mathit {l}} _ {} ^ {}gt; 0}$$ l ′≥ l {\ Displaystyle {\ mathit {l}} ^ {\ prime} \ geq {\ mathit {l}} _ {} ^ {}}$$ r l {\ Displaystyle r _ {\ mathit {l}}}

$$mi= ( 2 mi 2 L B ) ∫ 0 ∞ k D k k 2 + k B 2 r l 2 J 0 ( k ) J 0 ( l ′ l k ) J 0 ( k r 12 r l ). {\ Displaystyle E = \ left ({2e ^ {2} \ over L_ {B}} \ right) \ int _ {0} ^ {\ infty} {{k \; dk \;} \ over k ^ {2 } + k_ {B} ^ {2} r _ {\ mathit {l}} ^ {2}} \; {\ mathcal {J}} _ {0} \ left (k \ right) \; {\ mathcal {J }} _ {0} \ left ({\ sqrt {{{\ mathit {l}} ^ {\ prime}} \ over {\ mathit {l}}}} \; k \ right) \; {\ mathcal { J}} _ {0} \ left (k {r_ {12} \ over r _ {\ mathit {l}}} \ right).}

La energía de interacción para se da en la Figura 1 para varios valores de. La energía para dos valores diferentes se da en la Figura 2. $$

l= l ′ {\ displaystyle {\ mathit {l}} = {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}$$ k B r l {\ Displaystyle k_ {B} r _ {\ mathit {l}}}

Cuasipartículas

Para valores grandes de momento angular, la energía puede tener mínimos locales a distancias distintas de cero e infinito. Se puede verificar numéricamente que los mínimos ocurren en

$$ r 12= r l l ′= l + l ′ r B. {\ Displaystyle r_ {12} = r _ {{\ mathit {l}} {\ mathit {l}} ^ {\ prime}} = {\ sqrt {{\ mathit {l}} + {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}} \; r_ {B}.}

Esto sugiere que el par de partículas que están unidas y separadas por una distancia actúan como una sola cuasipartícula con momento angular. $$

r l l ′ {\ Displaystyle r _ {{\ mathit {l}} {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}} $$ l+ l ′ {\ Displaystyle {\ mathit {l}} + {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}

Si escalamos las longitudes como, entonces la energía de interacción se convierte en $$

r l l ′ {\ Displaystyle r _ {{\ mathit {l}} {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}}

$$mi= ( 2 mi 2 L B ) ∫ 0 ∞ k D k k 2 + k B 2 r l l ′ 2 J 0 ( porque ⁡ θ k ) J 0 ( pecado ⁡ θ k ) J 0 ( k r 12 r l l ′ ) {\ Displaystyle E = \ left ({2e ^ {2} \ over L_ {B}} \ right) \ int _ {0} ^ {\ infty} {{k \; dk \;} \ over k ^ {2 } + k_ {B} ^ {2} r _ {{\ mathit {l}} {\ mathit {l}} ^ {\ prime}} ^ {2}} \; {\ mathcal {J}} _ {0} \ left (\ cos \ theta \; k \ right) \; {\ mathcal {J}} _ {0} \ left (\ sin \ theta \; k \ right) \; {\ mathcal {J}} _ { 0} \ left (k {r_ {12} \ over r _ {{\ mathit {l}} {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}} \ right)}

dónde

$$broncearse⁡θ= l l ′. {\ Displaystyle \ tan \ theta = {\ sqrt {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}}.}

El valor de al en el que la energía es mínima, es independiente de la relación. Sin embargo, el valor mínimo de la energía depende de la relación. El mínimo de energía más bajo ocurre cuando $$

r 12 {\ Displaystyle r_ {12}}$$ r 12= r l l ′ {\ Displaystyle r_ {12} = r _ {{\ mathit {l}} {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}}$$broncearse⁡θ= l l ′ {\ Displaystyle \ tan \ theta = {\ sqrt {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}}}

$$ l l ′=1. {\ Displaystyle {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {\ prime}} = 1.}

Cuando la relación difiere de 1, entonces el mínimo de energía es mayor (Figura 3). Por lo tanto, para valores pares de cantidad de movimiento total, la energía más baja ocurre cuando (Figura 4)

$$ l= l ′=1 {\ displaystyle {\ mathit {l}} = {\ mathit {l}} ^ {\ prime} = 1}

o

$$ l l ∗= 1 2 {\ Displaystyle {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {*}} = {1 \ over 2}}

donde el momento angular total se escribe como

$$ l ∗= l+ l ′. {\ Displaystyle {{\ mathit {l}} ^ {*}} = {\ mathit {l}} + {{\ mathit {l}} ^ {\ prime}}.}

Cuando el momento angular total es impar, los mínimos no pueden ocurrir para Los estados de energía más bajos para el momento angular total impar ocurren cuando $$

l = l ′. {\ Displaystyle {{\ mathit {l}} = {\ mathit {l}} ^ {\ prime}}.}

$$ l l ∗= l ∗ ± 1 2 l ∗ {\ Displaystyle {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {*}} = \; {{\ mathit {l}} ^ {*} \ pm 1 \ over 2 {\ mathit { l}} ^ {*}}}

o

$$ l l ∗= 1 3, 2 5, 3 7, etc., {\ displaystyle {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {*}} = {1 \ over 3}, {2 \ over 5}, {3 \ over 7}, {\ mbox {etc.,}}}

y

$$ l l ∗= 2 3, 3 5, 4 7, etc., {\ displaystyle {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {*}} = {2 \ over 3}, {3 \ over 5}, {4 \ over 7}, {\ mbox {etc.,}}}

que también aparecen como series para el factor de relleno en el efecto Hall cuántico fraccional.

Densidad de carga distribuida sobre una función de onda

La densidad de carga no se concentra realmente en una función delta. La carga se distribuye sobre una función de onda. En ese caso, la densidad de electrones es

$$ 1 π r B 2 L B 1 norte ! ( r r B ) 2 lExp⁡ ( - r 2 r B 2 ). {\ Displaystyle {1 \ over \ pi r_ {B} ^ {2} L_ {B}} {1 \ over n!} \ left ({r \ over r_ {B}} \ right) ^ {2 {\ mathit {l}}} \ exp \ left (- {r ^ {2} \ over r_ {B} ^ {2}} \ right).}

La energía de interacción se vuelve

$$mi= ( 2 mi 2 L B ) ∫ 0 ∞ k D k k 2 + k B 2 r B 2METRO ( l + 1 , 1 , - k 2 4 )METRO ( l ′ + 1 , 1 , - k 2 4 ) J 0 ( k r 12 r B ) {\ Displaystyle E = \ left ({2e ^ {2} \ over L_ {B}} \ right) \ int _ {0} ^ {\ infty} {{k \; dk \;} \ over k ^ {2 } + k_ {B} ^ {2} r_ {B} ^ {2}} \; M \ left ({\ mathit {l}} + 1,1, - {k ^ {2} \ over 4} \ right) \; M \ left ({\ mathit {l}} ^ {\ prime} +1,1, - {k ^ {2} \ over 4} \ right) \; {\ mathcal {J}} _ {0 } \ left (k {r_ {12} \ over r_ {B}} \ right)}

donde es una función hipergeométrica confluente o función de Kummer. Para obtener la energía de interacción hemos utilizado la integral (ver Integrales comunes en la teoría cuántica de campos ) $$

METRO {\ Displaystyle M}

$$ 2 norte ! ∫ 0 ∞ D r r 2 norte + 1Exp⁡ ( - r 2 ) J 0 ( k r )=METRO ( norte + 1 , 1 , - k 2 4 ). {\ displaystyle {2 \ over n!} \ int _ {0} ^ {\ infty} {dr} \; r ^ {2n + 1} \ exp \ left (-r ^ {2} \ right) J_ {0 } \ left (kr \ right) = M \ left (n + 1,1, - {k ^ {2} \ over 4} \ right).}

Al igual que con las cargas de la función delta, el valor de en el que la energía es un mínimo local solo depende del momento angular total, no de los momentos angulares de las corrientes individuales. Además, al igual que con las cargas de la función delta, la energía en el mínimo aumenta a medida que la relación de los momentos angulares varía de uno. Por tanto, la serie $$

r 12 {\ Displaystyle r_ {12}}

$$ l l ∗= 1 3, 2 5, 3 7, etc., {\ displaystyle {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {*}} = {1 \ over 3}, {2 \ over 5}, {3 \ over 7}, {\ mbox {etc.,}}}

y

$$ l l ∗= 2 3, 3 5, 4 7, etc., {\ displaystyle {{\ mathit {l}} \ over {\ mathit {l}} ^ {*}} = {2 \ over 3}, {3 \ over 5}, {4 \ over 7}, {\ mbox {etc.,}}}

aparecen también en el caso de cargas propagadas por la función de onda.

La función de onda de Laughlin es un ansatz para la función de onda de cuasipartícula. Si el valor esperado de la energía de interacción se toma sobre una función de onda de Laughlin, estas series también se conservan.

Magnetostática

Interacción de Darwin en el vacío

Una partícula cargada en movimiento puede generar un campo magnético que afecta el movimiento de otra partícula cargada. La versión estática de este efecto se llama interacción de Darwin. Para calcular esto, considere las corrientes eléctricas en el espacio generadas por una carga en movimiento.

$$ J → 1 ( X → )= a 1 v → 1 δ 3 ( X → - X → 1 ) {\ Displaystyle {\ vec {J}} _ {1} \ left ({\ vec {x}} \ right) = a_ {1} {\ vec {v}} _ {1} \ delta ^ {3} \ izquierda ({\ vec {x}} - {\ vec {x}} _ {1} \ right)}

con una expresión comparable para. $$

J → 2 {\ Displaystyle {\ vec {J}} _ {2}}

La transformada de Fourier de esta corriente es

$$ J → 1 ( k → )= a 1 v → 1Exp⁡ ( I k → ⋅ X → 1 ). {\ Displaystyle {\ vec {J}} _ {1} \ left ({\ vec {k}} \ right) = a_ {1} {\ vec {v}} _ {1} \ exp \ left (i { \ vec {k}} \ cdot {\ vec {x}} _ {1} \ right).}

La corriente se puede descomponer en una parte transversal y una longitudinal (ver descomposición de Helmholtz ).

$$ J → 1 ( k → )= a 1 [ 1 - k ^ k ^ ]⋅ v → 1Exp⁡ ( I k → ⋅ X → 1 )+ a 1 [ k ^ k ^ ]⋅ v → 1Exp⁡ ( I k → ⋅ X → 1 ). {\ Displaystyle {\ vec {J}} _ {1} \ left ({\ vec {k}} \ right) = a_ {1} \ left [1 - {\ hat {k}} {\ hat {k} } \ right] \ cdot {\ vec {v}} _ {1} \ exp \ left (i {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {x}} _ {1} \ right) + a_ {1 } \ left [{\ hat {k}} {\ hat {k}} \ right] \ cdot {\ vec {v}} _ {1} \ exp \ left (i {\ vec {k}} \ cdot { \ vec {x}} _ {1} \ right).}

El sombrero indica un vector unitario. El último término desaparece porque

$$ k →⋅ J →=- k 0 J 0→0, {\ Displaystyle {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {J}} = - k_ {0} J ^ {0} \ rightarrow 0,}

que resulta de la conservación de la carga. Aquí se desvanece porque estamos considerando fuerzas estáticas. $$

k 0 {\ Displaystyle k_ {0}}

Con la corriente en esta forma, la energía de interacción se puede escribir

$$mi= a 1 a 2∫ D 3 k ( 2 π ) 3D ( k ) ∣ k 0 = 0 v → 1⋅ [ 1 - k ^ k ^ ]⋅ v → 2Exp⁡ ( I k → ⋅ ( X 1 - X 2 ) ) {\ Displaystyle E = a_ {1} a_ {2} \ int {d ^ {3} k \ over (2 \ pi) ^ {3}} \; \; D \ left (k \ right) \ mid _ { k_ {0} = 0} \; {\ vec {v}} _ {1} \ cdot \ left [1 - {\ hat {k}} {\ hat {k}} \ right] \ cdot {\ vec { v}} _ {2} \; \ exp \ left (i {\ vec {k}} \ cdot \ left (x_ {1} -x_ {2} \ right) \ right)}.

La ecuación del propagador para el Proca Lagrangiano es

$$ η μ α ( ∂ 2 + metro 2 ) D α ν ( X - y )= δ μ ν δ 4 ( X - y ). {\ Displaystyle \ eta _ {\ mu \ alpha} \ izquierda (\ parcial ^ {2} + m ^ {2} \ derecha) D ^ {\ alpha \ nu} \ izquierda (xy \ derecha) = \ delta _ { \ mu} ^ {\ nu} \ delta ^ {4} \ left (xy \ right).}

La solución similar a un espacio es

$$D ( k ) ∣ k 0 = 0=- 1 k → 2 + metro 2, {\ Displaystyle D \ left (k \ right) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; = \; - {1 \ over {\ vec {k}} ^ {2} + m ^ {2}},}

cuyos rendimientos

$$mi=- a 1 a 2∫ D 3 k ( 2 π ) 3 v → 1 ⋅ [ 1 - k ^ k ^ ] ⋅ v → 2 k → 2 + metro 2Exp⁡ ( I k → ⋅ ( X 1 - X 2 ) ) {\ Displaystyle E = -a_ {1} a_ {2} \ int {d ^ {3} k \ over (2 \ pi) ^ {3}} \; \; {{\ vec {v}} _ {1 } \ cdot \ left [1 - {\ hat {k}} {\ hat {k}} \ right] \ cdot {\ vec {v}} _ {2} \ over {\ vec {k}} ^ {2 } + m ^ {2}} \; \ exp \ left (i {\ vec {k}} \ cdot \ left (x_ {1} -x_ {2} \ right) \ right)}

que evalúa (ver Integrales comunes en la teoría cuántica de campos )

$$mi=- 1 2 a 1 a 2 4 π r mi - metro r { 2 ( metro r ) 2 ( mi metro r - 1 ) - 2 metro r } v → 1⋅ [ 1 + r ^ r ^ ]⋅ v → 2 {\ Displaystyle E = - {1 \ over 2} {a_ {1} a_ {2} \ over 4 \ pi r} e ^ {- mr} \ left \ {{2 \ over \ left (mr \ right) ^ {2}} \ left (e ^ {mr} -1 \ right) - {2 \ over mr} \ right \} {\ vec {v}} _ {1} \ cdot \ left [1 + {\ hat { r}} {\ hat {r}} \ right] \ cdot {\ vec {v}} _ {2}}

que se reduce a

$$ mi=- 1 2 a 1 a 2 4 π r v → 1⋅ [ 1 + r ^ r ^ ]⋅ v → 2 {\ Displaystyle E = - {1 \ over 2} {a_ {1} a_ {2} \ over 4 \ pi r} {\ vec {v}} _ {1} \ cdot \ left [1 + {\ hat { r}} {\ hat {r}} \ right] \ cdot {\ vec {v}} _ {2}}

en el límite de la pequeña m. La energía de interacción es el negativo de la interacción lagrangiana. Para dos partículas similares que viajan en la misma dirección, la interacción es atractiva, que es lo opuesto a la interacción de Coulomb.

Interacción de Darwin en un plasma

En un plasma, la relación de dispersión de una onda electromagnética es () $$

C=1 {\ Displaystyle c = 1}

$$ k 0 2= ω pag 2+ k → 2, {\ Displaystyle k_ {0} ^ {2} = \ omega _ {p} ^ {2} + {\ vec {k}} ^ {2},}

lo que implica

$$D ( k ) ∣ k 0 = 0=- 1 k → 2 + ω pag 2. {\ Displaystyle D \ left (k \ right) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; = \; - {1 \ over {\ vec {k}} ^ {2} + \ omega _ {p} ^ {2}}.}

Aquí está la frecuencia de plasma. Por tanto, la energía de interacción es $$

ω pag {\ Displaystyle \ omega _ {p}}

$$ mi=- 1 2 a 1 a 2 4 π r v → 1⋅ [ 1 + r ^ r ^ ]⋅ v → 2 mi - ω pag r { 2 ( ω pag r ) 2 ( mi ω pag r - 1 ) - 2 ω pag r }. {\ Displaystyle E = - {1 \ over 2} {a_ {1} a_ {2} \ over 4 \ pi r} {\ vec {v}} _ {1} \ cdot \ left [1 + {\ hat { r}} {\ hat {r}} \ right] \ cdot {\ vec {v}} _ {2} \; e ^ {- \ omega _ {p} r} \ left \ {{2 \ over \ left (\ omega _ {p} r \ right) ^ {2}} \ left (e ^ {\ omega _ {p} r} -1 \ right) - {2 \ over \ omega _ {p} r} \ right \}.}

Interacción magnética entre bucles de corriente en un simple plasma o gas de electrones

La energía de interacción

Considere un tubo de corriente que gira en un campo magnético incrustado en un simple plasma o gas de electrones. La corriente, que se encuentra en el plano perpendicular al campo magnético, se define como

$$ J → 1 ( X → )= a 1 v 1 1 2 π r L B δ 2 ( r - r B 1 ) ( B ^ × r ^ ) {\ Displaystyle {\ vec {J}} _ {1} \ left ({\ vec {x}} \ right) = a_ {1} v_ {1} {1 \ over 2 \ pi rL_ {B}} \; \ delta ^ {2} \ left (r-r_ {B1} \ right) \; \ left ({{\ hat {b}} \ times {\ hat {r}}} \ right)}

dónde

$$ r B 1= 4 π metro 1 v 1 a 1 B {\ Displaystyle r_ {B1} = {{\ sqrt {4 \ pi}} m_ {1} v_ {1} \ over a_ {1} B}}

y es el vector unitario en la dirección del campo magnético. Aquí indica la dimensión del material en la dirección del campo magnético. La corriente transversal, perpendicular al vector de onda, impulsa la onda transversal. $$

B ^ {\ Displaystyle {\ hat {b}}}$$ L B {\ Displaystyle L_ {B}}

La energía de interacción es

$$mi= ( a 1 a 2 2 π L B ) v 1 v 2 ∫ 0 ∞ k D k D ( k ) ∣ k 0 = k B = 0 J 1 ( k r B 1 ) J 1 ( k r B 2 ) J 0 ( k r 12 ) {\ Displaystyle E = \ left ({a_ {1} \, a_ {2} \ over 2 \ pi L_ {B}} \ right) v_ {1} \, v_ {2} \, \ int _ {0} ^ {\ infty} {k \; dk \;} D \ left (k \ right) \ mid _ {k_ {0} = k_ {B} = 0} {\ mathcal {J}} _ {1} \ left (kr_ {B1} \ right) {\ mathcal {J}} _ {1} \ left (kr_ {B2} \ right) {\ mathcal {J}} _ {0} \ left (kr_ {12} \ right) }

donde es la distancia entre los centros de los bucles actuales y $$

r 12 {\ Displaystyle r_ {12}}

$$ J norte ( X ) {\ Displaystyle {\ mathcal {J}} _ {n} \ left (x \ right)}

es una función de Bessel del primer tipo. Para obtener la energía de interacción utilizamos las integrales

$$ ∫ 0 2 π D φ 2 πExp⁡ ( I pag porque ⁡ ( φ ) )= J 0 ( pag ) {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {d \ varphi \ over 2 \ pi} \ exp \ left (ip \ cos \ left (\ varphi \ right) \ right) = {\ mathcal {J }} _ {0} \ left (p \ right)}

y

$$ ∫ 0 2 π D φ 2 πporque⁡ ( φ )Exp⁡ ( I pag porque ⁡ ( φ ) )=I J 1 ( pag ). {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {d \ varphi \ over 2 \ pi} \ cos \ left (\ varphi \ right) \ exp \ left (ip \ cos \ left (\ varphi \ right) \ right) = i {\ mathcal {J}} _ {1} \ left (p \ right).}

Consulte Integrales comunes en la teoría cuántica de campos.

Una corriente en un plasma confinada al plano perpendicular al campo magnético genera una onda extraordinaria. Esta onda genera corrientes Hall que interactúan y modifican el campo electromagnético. La relación de dispersión para ondas extraordinarias es

$$- k 0 2+ k → 2+ ω pag 2 ( k 0 2 - ω pag 2 ) ( k 0 2 - ω H 2 )=0, {\ Displaystyle -k_ {0} ^ {2} + {\ vec {k}} ^ {2} + \ omega _ {p} ^ {2} {\ left (k_ {0} ^ {2} - \ omega _ {p} ^ {2} \ right) \ over \ left (k_ {0} ^ {2} - \ omega _ {H} ^ {2} \ right)} = 0,}

que da para el propagador

$$D ( k ) ∣ k 0 = k B = 0=- ( 1 k → 2 + k X 2 ) {\ Displaystyle D \ left (k \ right) \ mid _ {k_ {0} = k_ {B} = 0} \; = \; - \ left ({1 \ over {\ vec {k}} ^ {2 } + k_ {X} ^ {2}} \ right)}

dónde

$$ k X≡ ω pag 2 ω H {\ Displaystyle k_ {X} \ equiv {\ omega _ {p} ^ {2} \ over \ omega _ {H}}}

en analogía con el propagador de Darwin. Aquí, la frecuencia híbrida superior viene dada por

$$ ω H 2= ω pag 2+ ω C 2, {\ Displaystyle \ omega _ {H} ^ {2} = \ omega _ {p} ^ {2} + \ omega _ {c} ^ {2},}

la frecuencia del ciclotrón está dada por ( unidades gaussianas )

$$ ω C= mi B metro C, {\ Displaystyle \ omega _ {c} = {eB \ over mc},}

y la frecuencia de plasma ( unidades gaussianas )

$$ ω pag 2= 4 π norte mi 2 metro. {\ Displaystyle \ omega _ {p} ^ {2} = {4 \ pi ne ^ {2} \ over m}.}

Aquí n es la densidad del electrón, e es la magnitud de la carga del electrón y m es la masa del electrón.

La energía de interacción se convierte, para corrientes similares,

$$ mi=- ( a 2 2 π L B ) v 2 ∫ 0 ∞ k D k k → 2 + k X 2 J 1 2 ( k r B ) J 0 ( k r 12 ) {\ Displaystyle E = - \ left ({a ^ {2} \ over 2 \ pi L_ {B}} \ right) v ^ {2} \, \ int _ {0} ^ {\ infty} {k \; dk \ over {\ vec {k}} ^ {2} + k_ {X} ^ {2}} {\ mathcal {J}} _ {1} ^ {2} \ left (kr_ {B} \ right) { \ mathcal {J}} _ {0} \ left (kr_ {12} \ right)}

Límite de pequeña distancia entre bucles de corriente

En el límite de que la distancia entre los bucles de corriente es pequeña,

$$ mi=- mi 0 I 1 ( μ ) K 1 ( μ ) {\ Displaystyle E = -E_ {0} \; I_ {1} \ left (\ mu \ right) K_ {1} \ left (\ mu \ right)}

dónde

$$

mi 0= ( a 2 2 π L B ) v 2 {\ Displaystyle E_ {0} = \ left ({a ^ {2} \ over 2 \ pi L_ {B}} \ right) v ^ {2}}

y

$$μ= ω pag 2 r B ω H= k X r B {\ Displaystyle \ mu = {\ omega _ {p} ^ {2} r_ {B} \ over \ omega _ {H}} = k_ {X} \; r_ {B}}

y I y K son funciones de Bessel modificadas. hemos asumido que las dos corrientes tienen la misma carga y velocidad.

Hemos hecho uso de la integral (ver Integrales comunes en la teoría cuántica de campos )

$$ ∫ o ∞ k D k k 2 + metro 2 J 1 2 ( k r )= I 1 ( metro r ) K 1 ( metro r ). {\ Displaystyle \ int _ {o} ^ {\ infty} {k \; dk \ over k ^ {2} + m ^ {2}} {\ mathcal {J}} _ {1} ^ {2} \ left (kr \ right) = I_ {1} \ left (mr \ right) K_ {1} \ left (mr \ right).}

Para mr pequeño, la integral se convierte en

$$ I 1 ( metro r ) K 1 ( metro r )→ 1 2 [ 1 - 1 8 ( metro r ) 2 ]. {\ Displaystyle I_ {1} \ left (mr \ right) K_ {1} \ left (mr \ right) \ rightarrow {1 \ over 2} \ left [1- {1 \ over 8} \ left (mr \ right) ^ {2} \ right].}

Para mr grande, la integral se convierte en

$$ I 1 ( metro r ) K 1 ( metro r )→ 1 2 ( 1 metro r ). {\ Displaystyle I_ {1} \ left (mr \ right) K_ {1} \ left (mr \ right) \ rightarrow {1 \ over 2} \; \ left ({1 \ over mr} \ right)}.

Relación con el efecto Hall cuántico

El número de onda de tramado se puede escribir ( unidades gaussianas )

$$μ= ω pag 2 r B ω H C= ( 2 mi 2 r B L B ℏ C ) ν 1 + ω pag 2 ω C 2=2α ( r B L B ) ( 1 1 + ω pag 2 ω C 2 )ν {\ Displaystyle \ mu = {\ omega _ {p} ^ {2} r_ {B} \ over \ omega _ {H} c} = \ left ({2e ^ {2} r_ {B} \ over L_ {B } \ hbar c} \ right) {\ nu \ over {\ sqrt {1 + {\ omega _ {p} ^ {2} \ over \ omega _ {c} ^ {2}}}}} = 2 \ alpha \ left ({r_ {B} \ over L_ {B}} \ right) \ left ({1 \ over {\ sqrt {1 + {\ omega _ {p} ^ {2} \ over \ omega _ {c} ^ {2}}}}} \ right) \ nu}

donde es la constante de estructura fina y el factor de llenado es $$

α {\ Displaystyle \ alpha}

$$ν= 2 π norte ℏ C mi B A {\ Displaystyle \ nu = {2 \ pi N \ hbar c \ over eBA}}

y N es el número de electrones en el material y A es el área del material perpendicular al campo magnético. Este parámetro es importante en el efecto Hall cuántico y el efecto Hall cuántico fraccional. El factor de llenado es la fracción de estados de Landau ocupados en la energía del estado fundamental.

Para los casos de interés en el efecto Hall cuántico, es pequeño. En ese caso, la energía de interacción es $$

μ {\ Displaystyle \ mu}

$$ mi=- mi 0 2 [ 1 - 1 8 μ 2 ] {\ Displaystyle E = - {E_ {0} \ over 2} \ left [1- {1 \ over 8} \ mu ^ {2} \ right]}

donde ( unidades gaussianas )

$$ mi 0= 4 π mi 2 L B v 2 C 2= 8 π mi 2 L B ( ℏ ω C metro C 2 ) {\ Displaystyle E_ {0} = {4 \ pi} {e ^ {2} \ over L_ {B}} {v ^ {2} \ over c ^ {2}} = {8 \ pi} {e ^ { 2} \ over L_ {B}} \ left ({\ hbar \ omega _ {c} \ over mc ^ {2}} \ right)}

es la energía de interacción para el factor de llenado cero. Hemos fijado la energía cinética clásica a la energía cuántica.

$$ 1 2metro v 2=ℏ ω C. {\ Displaystyle {1 \ over 2} mv ^ {2} = \ hbar \ omega _ {c}.}

Gravitación

El tensor de tensión-energía genera una perturbación gravitacional ; en consecuencia, el lagrangiano para el campo gravitacional es spin -2. Si las perturbaciones están en reposo, entonces el único componente del tensor de tensión-energía que persiste es el componente. Si usamos el mismo truco de darle al gravitón algo de masa y luego llevar la masa a cero al final del cálculo, el propagador se convierte en $$

T μ ν {\ Displaystyle T ^ {\ mu \ nu}} $$00 {\ displaystyle 00}

$$D ( k ) ∣ k 0 = 0=- 4 3 1 k → 2 + metro 2 {\ Displaystyle D \ left (k \ right) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; = \; - {4 \ over 3} {1 \ over {\ vec {k}} ^ {2} + m ^ {2}}}

y

$$ mi=- 4 3 a 1 a 2 4 π rExp⁡ ( - metro r ) {\ Displaystyle E = - {4 \ over 3} {a_ {1} a_ {2} \ over 4 \ pi r} \ exp \ left (-mr \ right)},

que vuelve a ser atractivo en lugar de repulsivo. Los coeficientes son proporcionales a las masas de las perturbaciones. En el límite de la masa del gravitón pequeño, recuperamos el comportamiento del cuadrado inverso de la ley de Newton.

Sin embargo, a diferencia del caso electrostático, tomar el límite de masa pequeña del bosón no da el resultado correcto. Un tratamiento más riguroso produce un factor de uno en la energía en lugar de 4/3.

Referencias