Espacio tridimensional

Para un tratamiento más amplio y menos matemático relacionado con este tema, consulte Espacio. "Tridimensional" vuelve a dirigir aquí. Para otros usos, consulte 3D (desambiguación). Una representación de un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional con el eje x apuntando hacia el observador.

Geometría
Proyectar una esfera a un plano
Esquema Historia
Sucursales Euclidiana No euclidiana Elíptico Esférico Hiperbólico Geometría no arquimediana Descriptivo Afín Sintético Analítico Algebraico Aritmética Diofantino Diferencial Riemanniano Simpléctico Diferencial discreto Complejo Finito Discreto / Combinatorio Digital Convexo Computacional Fractal Incidencia
Conceptos Características Dimensión Construcciones con regla y compás Ángulo Curva Diagonal Ortogonalidad ( perpendicular ) Paralelo Vértice Congruencia Semejanza Simetría
Dimensión cero Punto
Unidimensional Línea segmento rayo Largo
Bidimensional Plano Zona Polígono Triángulo Altitud Hipotenusa Teorema de pitágoras Paralelogramo Cuadrado Rectángulo Rombo Romboidal Cuadrilátero Trapezoide cometa Circulo Diámetro Circunferencia Zona
Tridimensional Volumen Cubo cuboides Cilindro Pirámide Esfera
Cuatro - / otras dimensiones Tesseract Hiperesfera
Geometros
por nombre Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apolonio Arquímedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euclides Euler Gauss Gromov Hilbert Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pitágoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Zhang Lista de geómetras
por período AEC Ahmes Baudhayana Manava Pitágoras Euclides Arquímedes Apolonio 1-1400 Zhang Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400 a 1700 Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700-1900 Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter En la actualidad Atiyah Gromov
v t mi

El espacio tridimensional (también: el espacio 3D, 3-espacio o, raramente, tri-dimensional espacio) es una configuración geométrica en la que tres valores (llamados parámetros son necesarios) para determinar la posición de un elemento (es decir, punto ). Este es el significado informal del término dimensión.

En matemáticas, una secuencia de n números puede entenderse como una ubicación en un espacio n -dimensional. Cuando n = 3, el conjunto de todas esas ubicaciones se llama espacio euclidiano tridimensional (o simplemente espacio euclidiano cuando el contexto es claro). Suele estar representado por el símbolo ℝ ³. Esto sirve como un modelo de tres parámetros del universo físico (es decir, la parte espacial, sin considerar el tiempo), en el que existe toda la materia conocida. Si bien este espacio sigue siendo la forma más convincente y útil de modelar el mundo tal como se experimenta, es solo un ejemplo de una gran variedad de espacios en tres dimensiones llamados 3-múltiples. En este ejemplo clásico, cuando los tres valores se refieren a mediciones en diferentes direcciones ( coordenadas ), se pueden elegir tres direcciones cualesquiera, siempre que los vectores en estas direcciones no se encuentren todos en el mismo 2-espacio ( plano ). Además, en este caso, estos tres valores se pueden etiquetar mediante cualquier combinación de tres elegidos entre los términos ancho, alto, profundidad y largo.

• 1 En geometría euclidiana
  • 1.1 Sistemas de coordenadas
  • 1.2 Líneas y planos
  • 1.3 Esferas y bolas
  • 1.4 Politopos
  • 1.5 Superficies de revolución
  • 1.6 Superficies cuadráticas
• 2 En álgebra lineal
  • 2.1 Producto escalar, ángulo y longitud
  • 2.2 Producto cruzado
• 3 En cálculo
  • 3.1 Gradiente, divergencia y rizo
  • 3.2 Integrales de línea, integrales de superficie e integrales de volumen
  • 3.3 Teorema fundamental de las integrales de línea
  • 3.4 teorema de Stokes
  • 3.5 teorema de divergencia
• 4 En topología
• 5 En geometría finita
• 6 Véase también
• 7 notas
• 8 referencias
• 9 Enlaces externos

En geometría euclidiana

Sistemas coordinados

Artículo principal: sistema de coordenadas

En matemáticas, la geometría analítica (también llamada geometría cartesiana) describe cada punto en el espacio tridimensional por medio de tres coordenadas. Se dan tres ejes de coordenadas, cada uno perpendicular a los otros dos en el origen, el punto en el que se cruzan. Por lo general, se denominan x, y y z. En relación con estos ejes, la posición de cualquier punto en el espacio tridimensional está dada por un triple ordenado de números reales, cada número indica la distancia de ese punto desde el origen medido a lo largo del eje dado, que es igual a la distancia de ese eje. punto del plano determinado por los otros dos ejes.

Otros métodos populares para describir la ubicación de un punto en el espacio tridimensional incluyen coordenadas cilíndricas y coordenadas esféricas, aunque hay un número infinito de métodos posibles. Para obtener más información, consulte Espacio euclidiano.

A continuación se muestran imágenes de los sistemas mencionados anteriormente.

• 

  sistema de coordenadas Cartesianas

• 

  Sistema de coordenadas cilíndrico

• 

  Sistema de coordenadas esféricas

Lineas y planos

Siempre dos puntos distintos determinan un (recta) línea. Tres puntos distintos son colineales o determinan un plano único. Por otro lado, cuatro puntos distintos pueden ser colineales, coplanares o determinar todo el espacio.

Dos líneas distintas pueden cruzarse, ser paralelas o estar sesgadas. Dos líneas paralelas, o dos líneas que se cruzan, se encuentran en un plano único, por lo que las líneas oblicuas son líneas que no se encuentran y no se encuentran en un plano común.

Dos planos distintos pueden encontrarse en una línea común o son paralelos (es decir, no se encuentran). Tres planos distintos, ningún par de los cuales es paralelo, pueden encontrarse en una línea común, encontrarse en un punto común único o no tener ningún punto en común. En el último caso, las tres líneas de intersección de cada par de planos son mutuamente paralelas.

Una línea puede estar en un plano dado, cruzar ese plano en un punto único o ser paralela al plano. En el último caso, habrá líneas en el plano que sean paralelas a la línea dada.

Un hiperplano es un subespacio de una dimensión menor que la dimensión del espacio completo. Los hiperplanos de un espacio tridimensional son los subespacios bidimensionales, es decir, los planos. En términos de coordenadas cartesianas, los puntos de un hiperplano satisfacen una única ecuación lineal, por lo que los planos en este espacio tridimensional se describen mediante ecuaciones lineales. Una línea se puede describir mediante un par de ecuaciones lineales independientes, cada una de las cuales representa un plano que tiene esta línea como una intersección común.

El teorema de Varignon establece que los puntos medios de cualquier cuadrilátero en ℝ ³ forman un paralelogramo y, por lo tanto, son coplanares.

Esferas y bolas

Artículo principal: Esfera Una proyección en perspectiva de una esfera en dos dimensiones

Una esfera en 3-espacio (también llamado 2-esfera porque es un objeto de 2 dimensiones) consiste en el conjunto de todos los puntos en 3-espacio a una distancia fija r desde un punto central P. El sólido encerrado por la esfera se llama bola (o, más precisamente, 3 bolas). El volumen de la pelota viene dado por

$$V= 4 3π r 3 {\ Displaystyle V = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}}.

Otro tipo de esfera surge de una 4-bola, cuya superficie tridimensional es la 3-esfera: puntos equidistantes al origen del espacio euclidiano ℝ ⁴. Si un punto tiene coordenadas, P ( x, y, z, w), entonces x ² + y ² + z ² + w ² = 1 caracteriza esos puntos en la esfera de la unidad 3 centrada en el origen.

Politopos

Artículo principal: Poliedro

En tres dimensiones, hay nueve politopos regulares: los cinco sólidos platónicos convexos y los cuatro poliedros no convexos de Kepler-Poinsot.

Politopos regulares en tres dimensiones

Clase	Sólidos platónicos					Poliedros de Kepler-Poinsot
Simetría	T d	O h		Yo h
Grupo Coxeter	A 3, [3,3]	B 3, [4,3]		H 3, [5,3]
Pedido	24	48		120
Poliedro regular	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}	{5 / 2,5}	{5,5 / 2}	{5 / 2,3}	{3,5 / 2}

Superficies de revolución

Artículo principal: Superficie de revolución

Una superficie generada al hacer girar una curva plana alrededor de una línea fija en su plano como eje se llama superficie de revolución. La curva plana se llama generatriz de la superficie. Una sección de la superficie, hecha al cruzar la superficie con un plano que es perpendicular (ortogonal) al eje, es un círculo.

Los ejemplos simples ocurren cuando la generatriz es una línea. Si la línea de la generatriz se cruza con la línea del eje, la superficie de revolución es un cono circular recto con el vértice (vértice) el punto de intersección. Sin embargo, si la generatriz y el eje son paralelos, entonces la superficie de revolución es un cilindro circular.

Superficies cuadráticas

Artículo principal: superficie cuádrica

En analogía con las secciones cónicas, el conjunto de puntos cuyas coordenadas cartesianas satisfacen la ecuación general de segundo grado, a saber,

$$A X 2+B y 2+C z 2+FXy+GRAMOyz+HXz+JX+Ky+Lz+METRO=0, {\ displaystyle Ax ^ {2} + By ^ {2} + Cz ^ {2} + Fxy + Gyz + Hxz + Jx + Ky + Lz + M = 0,}

donde A, B, C, F, G, H, J, K, L y M son números reales y no todos los de A, B, C, F, G y H son cero, se llama superficie cuádrica.

Hay seis tipos de superficies cuádricas no degeneradas :

1. Elipsoide
2. Hiperboloide de una hoja
3. Hiperboloide de dos hojas
4. Cono elíptico
5. Paraboloide elíptico
6. Paraboloide hiperbólico

Las superficies cuadráticas degeneradas son el conjunto vacío, un solo punto, una sola línea, un solo plano, un par de planos o un cilindro cuadrático (una superficie que consta de una sección cónica no degenerada en un plano π y todas las líneas de ℝ ^{3 a} través de esa cónica que son normales a π). Los conos elípticos a veces también se consideran superficies cuádricas degeneradas.

Tanto el hiperboloide de una hoja como el paraboloide hiperbólico son superficies regladas, lo que significa que pueden estar formadas por una familia de líneas rectas. De hecho, cada uno tiene dos familias de líneas generadoras, los miembros de cada familia son disjuntos y cada miembro de una familia se cruza, con una sola excepción, con cada miembro de la otra familia. Cada familia se llama regulus.

En álgebra lineal

Otra forma de ver el espacio tridimensional se encuentra en el álgebra lineal, donde la idea de independencia es crucial. El espacio tiene tres dimensiones porque la longitud de una caja es independiente de su ancho o ancho. En el lenguaje técnico del álgebra lineal, el espacio es tridimensional porque cada punto en el espacio puede describirse mediante una combinación lineal de tres vectores independientes.

Producto escalar, ángulo y longitud

Artículo principal: Producto escalar

Un vector se puede representar como una flecha. La magnitud del vector es su longitud y su dirección es la dirección que señala la flecha. Un vector en ℝ ³ se puede representar mediante un triple ordenado de números reales. Estos números se denominan componentes del vector.

El producto escalar de dos vectores A = [ A 1, A 2, A 3 ] y B = [ B 1, B 2, B 3 ] se define como:

$$ A⋅ B= A 1 B 1+ A 2 B 2+ A 3 B 3. {\ Displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B} = A_ {1} B_ {1} + A_ {2} B_ {2} + A_ {3} B_ {3}.}

La magnitud de un vector A se denota por || A ||. El producto escalar de un vector A = [ A 1, A 2, A 3 ] consigo mismo es

$$ A⋅ A=‖ A ‖ 2= A 1 2+ A 2 2+ A 3 2, {\ Displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {A} = \ | \ mathbf {A} \ | ^ {2} = A_ {1} ^ {2} + A_ {2} ^ {2} + A_ { 3} ^ {2},}

lo que da

$$‖ A‖= A ⋅ A= A 1 2 + A 2 2 + A 3 2, {\ Displaystyle \ | \ mathbf {A} \ | = {\ sqrt {\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {A}}} = {\ sqrt {A_ {1} ^ {2} + A_ {2} ^ {2} + A_ {3} ^ {2}}},}

la fórmula para la longitud euclidiana del vector.

Sin referencia a las componentes de los vectores, el producto escalar de dos vectores euclidianos A y B distintos de cero viene dado por

$$ A⋅ B=‖ A‖‖ B‖porque⁡θ, {\ Displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B} = \ | \ mathbf {A} \ | \, \ | \ mathbf {B} \ | \ cos \ theta,}

donde θ es el ángulo entre A y B.

Producto cruzado

Artículo principal: producto cruzado

El producto cruzado o producto vectorial es una operación binaria sobre dos vectores en un espacio tridimensional y se denota con el símbolo ×. La cruz producto un × b de los vectores a y b es un vector que es perpendicular a ambos y por lo tanto, lo normal al plano que las contiene. Tiene muchas aplicaciones en matemáticas, física e ingeniería.

El espacio y el producto forman un álgebra sobre un campo, que no es conmutativo ni asociativo, pero es un álgebra de Lie con el producto cruzado como el corchete de Lie.

Se puede tomar en n dimensiones el producto de n - 1 vectores para producir un vector perpendicular a todos ellos. Pero si el producto se limita a productos binarios no triviales con resultados vectoriales, existe solo en tres y siete dimensiones.

El producto cruzado con respecto a un sistema de coordenadas diestro

En cálculo

Artículo principal: cálculo vectorial

Gradiente, divergencia y rizo

En un sistema de coordenadas rectangular, el gradiente viene dado por

$$∇F= ∂ F ∂ X I+ ∂ F ∂ y j+ ∂ F ∂ z k {\ Displaystyle \ nabla f = {\ frac {\ parcial f} {\ parcial x}} \ mathbf {i} + {\ frac {\ parcial f} {\ parcial y}} \ mathbf {j} + {\ frac {\ parcial f} {\ parcial z}} \ mathbf {k}}

La divergencia de un campo vectorial continuamente diferenciable F = U i + V j + W k es igual a la función escalar :

$$div F=∇⋅ F= ∂ U ∂ X+ ∂ V ∂ y+ ∂ W ∂ z. {\ Displaystyle \ operatorname {div} \, \ mathbf {F} = \ nabla \ cdot \ mathbf {F} = {\ frac {\ U parcial} {\ parcial x}} + {\ frac {\ parcial V} { \ y parcial}} + {\ frac {\ W parcial} {\ z parcial}}.}

Expandido en coordenadas cartesianas (ver Del en coordenadas cilíndricas y esféricas para representaciones de coordenadas esféricas y cilíndricas ), el rizo ∇ × F es, para F compuesto de [ F x, F y, F z ]:

$$ | I j k ∂ ∂ X ∂ ∂ y ∂ ∂ z F X F y F z| {\ Displaystyle {\ begin {vmatrix} \ mathbf {i} y \ mathbf {j} y \ mathbf {k} \\\\ {\ frac {\ partial} {\ partial x}} y {\ frac {\ partial } {\ y parcial}} amp; {\ frac {\ parcial} {\ parcial z}} \\\\ F_ {x} amp; F_ {y} amp; F_ {z} \ end {vmatrix}}}

donde i, j y k son los vectores unitarios para los ejes x, y y z, respectivamente. Esto se expande de la siguiente manera:

$$ ( ∂ F z ∂ y - ∂ F y ∂ z ) I+ ( ∂ F X ∂ z - ∂ F z ∂ X ) j+ ( ∂ F y ∂ X - ∂ F X ∂ y ) k {\ estilo de visualización \ izquierda ({\ frac {\ parcial F_ {z}} {\ parcial y}} - {\ frac {\ parcial F_ {y}} {\ parcial z}} \ derecha) \ mathbf {i} + \ izquierda ({\ frac {\ parcial F_ {x}} {\ parcial z}} - {\ frac {\ parcial F_ {z}} {\ parcial x}} \ derecha) \ mathbf {j} + \ izquierda ( {\ frac {\ parcial F_ {y}} {\ parcial x}} - {\ frac {\ parcial F_ {x}} {\ parcial y}} \ derecha) \ mathbf {k}}

Integrales de línea, integrales de superficie e integrales de volumen

Para algún campo escalar f  : U ⊆ R ⁿ → R, la integral de línea a lo largo de una curva suave a trozos C ⊂ U se define como

$$ ∫ CFDs= ∫ a BF( r(t)) | r ′(t) |Dt. {\ Displaystyle \ int \ limits _ {C} f \, ds = \ int _ {a} ^ {b} f (\ mathbf {r} (t)) | \ mathbf {r} '(t) | \, dt.}

donde r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C tal que r ( a) y r ( b) dan los puntos finales de C y. $$

alt;B {\ Displaystyle a lt;b}

Para un campo vectorial F  : U ⊆ R ⁿ → R ⁿ, la integral de línea a lo largo de una curva suave a trozos C ⊂ U, en la dirección de r, se define como

$$ ∫ C F( r)⋅D r= ∫ a B F( r(t))⋅ r ′(t)Dt. {\ Displaystyle \ int \ limits _ {C} \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) \ cdot \, d \ mathbf {r} = \ int _ {a} ^ {b} \ mathbf {F} ( \ mathbf {r} (t)) \ cdot \ mathbf {r} '(t) \, dt.}

donde es el producto escalar y r: [a, b] → C es un biyectiva parametrización de la curva C de tal manera que r ( una) y r ( b) dar a los puntos finales de C.

Una integral de superficie es una generalización de múltiples integrales para la integración sobre superficies. Se puede considerar como el análogo integral doble de la integral de línea. Para encontrar una fórmula explícita para la integral de superficie, necesitamos parametrizar la superficie de interés, S, considerando un sistema de coordenadas curvilíneas en S, como la latitud y la longitud en una esfera. Sea dicha parametrización x ( s, t), donde ( s, t) varía en alguna región T en el plano. Entonces, la integral de superficie está dada por

$$ ∬ SF DS= ∬ TF( X(s,t)) ‖ ∂ X ∂ s × ∂ X ∂ t ‖ Ds Dt {\ Displaystyle \ iint _ {S} f \, \ mathrm {d} S = \ iint _ {T} f (\ mathbf {x} (s, t)) \ left \ | {\ partial \ mathbf {x} \ sobre \ parcial s} \ veces {\ parcial \ mathbf {x} \ sobre \ parcial t} \ derecha \ | \ mathrm {d} s \, \ mathrm {d} t}

donde la expresión entre barras en el lado derecho es la magnitud del producto cruzado de las derivadas parciales de x ( s, t), y se conoce como elemento de superficie. Dado un campo vectorial v en S, que es una función que asigna a cada x en S un vector v ( x), la integral de superficie se puede definir en componentes de acuerdo con la definición de la integral de superficie de un campo escalar; el resultado es un vector.

Una integral de volumen se refiere a una integral sobre un dominio tridimensional.

También puede significar una integral triple dentro de una región D en R ³ de una función y generalmente se escribe como: $$

F(X,y,z), {\ Displaystyle f (x, y, z),}

$$ ∭ DF(X,y,z)DXDyDz. {\ Displaystyle \ iiint \ límites _ {D} f (x, y, z) \, dx \, dy \, dz.}

Teorema fundamental de las integrales de línea

Artículo principal: Teorema fundamental de las integrales de línea

El teorema fundamental de las integrales de línea dice que una integral de línea a través de un campo de gradiente se puede evaluar evaluando el campo escalar original en los puntos finales de la curva.

Deja. Luego $$

φ:U⊆ R norte→ R {\ Displaystyle \ varphi: U \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}

$$φ ( q )-φ ( pag )= ∫ γ [ pag , q ]∇φ( r)⋅D r. {\ Displaystyle \ varphi \ left (\ mathbf {q} \ right) - \ varphi \ left (\ mathbf {p} \ right) = \ int _ {\ gamma [\ mathbf {p}, \, \ mathbf {q }]} \ nabla \ varphi (\ mathbf {r}) \ cdot d \ mathbf {r}.}

Teorema de Stokes

Artículo principal: teorema de Stokes

El teorema de Stokes relaciona la integral de superficie de la curva de un campo vectorial F sobre una superficie Σ en tres espacios euclidianos con la integral de línea del campo vectorial sobre su límite ∂Σ:

$$ ∬ Σ∇× F⋅ D Σ= ∮ ∂ Σ F⋅ D r. {\ Displaystyle \ iint _ {\ Sigma} \ nabla \ times \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {\ Sigma} = \ oint _ {\ parcial \ Sigma} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r}.}

Teorema de divergencia

Artículo principal: teorema de divergencia

Suponga que V es un subconjunto de (en el caso de n = 3, V representa un volumen en el espacio 3D) que es compacto y tiene un límite suave a trozos S (también indicado con ∂ V = S). Si F es un campo vectorial continuamente diferenciable definido en una vecindad de V, entonces el teorema de divergencia dice: $$

R norte {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}  

$$ ∭ V ( ∇ ⋅ F )DV= {\ Displaystyle \ iiint _ {V} \ left (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {F} \ right) \, dV =} $$S {\ Displaystyle \ scriptstyle S} $$( F⋅ norte)DS. {\ Displaystyle (\ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {n}) \, dS.}

El lado izquierdo es una integral de volumen sobre el volumen V, el lado derecho es la integral de superficie sobre el límite del volumen V. El colector cerrado ∂ V es bastante general, el límite de la V orientada hacia el exterior por-apuntando normales, y n es el campo normal unidad apuntando hacia afuera de la frontera ∂ V. ( d S puede usarse como una abreviatura de n dS).

En topología

Logotipo del globo terráqueo de Wikipedia en 3-D

El espacio tridimensional tiene una serie de propiedades topológicas que lo distinguen de los espacios de otros números de dimensión. Por ejemplo, se requieren al menos tres dimensiones para atar un nudo en un trozo de cuerda.

En geometría diferencial, los espacios tridimensionales genéricos son 3-variedades, que se asemejan localmente. $$

R 3 {\ Displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {3}}

En geometría finita

Muchas ideas de dimensión pueden probarse con geometría finita. La instancia más simple es PG (3,2), que tiene planos de Fano como subespacios bidimensionales. Es una instancia de la geometría de Galois, un estudio de geometría proyectiva utilizando campos finitos. Así, para cualquier campo de Galois GF ( q), hay un espacio proyectivo PG (3, q) de tres dimensiones. Por ejemplo, cualesquiera tres líneas sesgadas en PG (3, q) están contenidas exactamente en un regulus.

Ver también

• Análisis dimensional
• Distancia desde un punto a un plano
• Espacio de cuatro dimensiones
• Inclinar líneas § Distancia
• Gráfico tridimensional
• Geometria solida
• Espacio bidimensional

Notas

Referencias

• Anton, Howard (1994), Álgebra lineal elemental (7a ed.), John Wiley amp; Sons, ISBN   978-0-471-58742-2
• Arfken, George B. y Hans J. Weber. Métodos matemáticos para físicos, Academic Press; 6a edición (21 de junio de 2005). ISBN   978-0-12-059876-2.
• Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1999), Geometría, Cambridge University Press, ISBN   978-0-521-59787-6

enlaces externos

Wikiquote tiene citas relacionadas con: Espacio tridimensional

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con 3D.

• La definición del diccionario de tridimensional en Wikcionario
• Weisstein, Eric W. "Geometría de cuatro dimensiones". MathWorld.
• Álgebra lineal elemental - Capítulo 8: Geometría tridimensional Keith Matthews de la Universidad de Queensland, 1991