Para un tratamiento más amplio y menos matemático relacionado con este tema, consulte Espacio. "Tridimensional" vuelve a dirigir aquí. Para otros usos, consulte 3D (desambiguación). Una representación de un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional con el eje x apuntando hacia el observador.
El espacio tridimensional (también: el espacio 3D, 3-espacio o, raramente, tri-dimensional espacio) es una configuración geométrica en la que tres valores (llamados parámetros son necesarios) para determinar la posición de un elemento (es decir, punto ). Este es el significado informal del término dimensión.
En matemáticas, una secuencia de n números puede entenderse como una ubicación en un espacio n -dimensional. Cuando n = 3, el conjunto de todas esas ubicaciones se llama espacio euclidiano tridimensional (o simplemente espacio euclidiano cuando el contexto es claro). Suele estar representado por el símbolo ℝ 3. Esto sirve como un modelo de tres parámetros del universo físico (es decir, la parte espacial, sin considerar el tiempo), en el que existe toda la materia conocida. Si bien este espacio sigue siendo la forma más convincente y útil de modelar el mundo tal como se experimenta, es solo un ejemplo de una gran variedad de espacios en tres dimensiones llamados 3-múltiples. En este ejemplo clásico, cuando los tres valores se refieren a mediciones en diferentes direcciones ( coordenadas ), se pueden elegir tres direcciones cualesquiera, siempre que los vectores en estas direcciones no se encuentren todos en el mismo 2-espacio ( plano ). Además, en este caso, estos tres valores se pueden etiquetar mediante cualquier combinación de tres elegidos entre los términos ancho, alto, profundidad y largo.
Contenido
1 En geometría euclidiana
1.1 Sistemas de coordenadas
1.2 Líneas y planos
1.3 Esferas y bolas
1.4 Politopos
1.5 Superficies de revolución
1.6 Superficies cuadráticas
2 En álgebra lineal
2.1 Producto escalar, ángulo y longitud
2.2 Producto cruzado
3 En cálculo
3.1 Gradiente, divergencia y rizo
3.2 Integrales de línea, integrales de superficie e integrales de volumen
3.3 Teorema fundamental de las integrales de línea
En matemáticas, la geometría analítica (también llamada geometría cartesiana) describe cada punto en el espacio tridimensional por medio de tres coordenadas. Se dan tres ejes de coordenadas, cada uno perpendicular a los otros dos en el origen, el punto en el que se cruzan. Por lo general, se denominan x, y y z. En relación con estos ejes, la posición de cualquier punto en el espacio tridimensional está dada por un triple ordenado de números reales, cada número indica la distancia de ese punto desde el origen medido a lo largo del eje dado, que es igual a la distancia de ese eje. punto del plano determinado por los otros dos ejes.
Otros métodos populares para describir la ubicación de un punto en el espacio tridimensional incluyen coordenadas cilíndricas y coordenadas esféricas, aunque hay un número infinito de métodos posibles. Para obtener más información, consulte Espacio euclidiano.
A continuación se muestran imágenes de los sistemas mencionados anteriormente.
Siempre dos puntos distintos determinan un (recta) línea. Tres puntos distintos son colineales o determinan un plano único. Por otro lado, cuatro puntos distintos pueden ser colineales, coplanares o determinar todo el espacio.
Dos líneas distintas pueden cruzarse, ser paralelas o estar sesgadas. Dos líneas paralelas, o dos líneas que se cruzan, se encuentran en un plano único, por lo que las líneas oblicuas son líneas que no se encuentran y no se encuentran en un plano común.
Dos planos distintos pueden encontrarse en una línea común o son paralelos (es decir, no se encuentran). Tres planos distintos, ningún par de los cuales es paralelo, pueden encontrarse en una línea común, encontrarse en un punto común único o no tener ningún punto en común. En el último caso, las tres líneas de intersección de cada par de planos son mutuamente paralelas.
Una línea puede estar en un plano dado, cruzar ese plano en un punto único o ser paralela al plano. En el último caso, habrá líneas en el plano que sean paralelas a la línea dada.
Un hiperplano es un subespacio de una dimensión menor que la dimensión del espacio completo. Los hiperplanos de un espacio tridimensional son los subespacios bidimensionales, es decir, los planos. En términos de coordenadas cartesianas, los puntos de un hiperplano satisfacen una única ecuación lineal, por lo que los planos en este espacio tridimensional se describen mediante ecuaciones lineales. Una línea se puede describir mediante un par de ecuaciones lineales independientes, cada una de las cuales representa un plano que tiene esta línea como una intersección común.
El teorema de Varignon establece que los puntos medios de cualquier cuadrilátero en ℝ 3 forman un paralelogramo y, por lo tanto, son coplanares.
Una esfera en 3-espacio (también llamado 2-esfera porque es un objeto de 2 dimensiones) consiste en el conjunto de todos los puntos en 3-espacio a una distancia fija r desde un punto central P. El sólido encerrado por la esfera se llama bola (o, más precisamente, 3 bolas). El volumen de la pelota viene dado por
.
Otro tipo de esfera surge de una 4-bola, cuya superficie tridimensional es la 3-esfera: puntos equidistantes al origen del espacio euclidiano ℝ 4. Si un punto tiene coordenadas, P ( x, y, z, w), entonces x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1 caracteriza esos puntos en la esfera de la unidad 3 centrada en el origen.
Una superficie generada al hacer girar una curva plana alrededor de una línea fija en su plano como eje se llama superficie de revolución. La curva plana se llama generatriz de la superficie. Una sección de la superficie, hecha al cruzar la superficie con un plano que es perpendicular (ortogonal) al eje, es un círculo.
Los ejemplos simples ocurren cuando la generatriz es una línea. Si la línea de la generatriz se cruza con la línea del eje, la superficie de revolución es un cono circular recto con el vértice (vértice) el punto de intersección. Sin embargo, si la generatriz y el eje son paralelos, entonces la superficie de revolución es un cilindro circular.
Las superficies cuadráticas degeneradas son el conjunto vacío, un solo punto, una sola línea, un solo plano, un par de planos o un cilindro cuadrático (una superficie que consta de una sección cónica no degenerada en un plano π y todas las líneas de ℝ 3 a través de esa cónica que son normales a π). Los conos elípticos a veces también se consideran superficies cuádricas degeneradas.
Tanto el hiperboloide de una hoja como el paraboloide hiperbólico son superficies regladas, lo que significa que pueden estar formadas por una familia de líneas rectas. De hecho, cada uno tiene dos familias de líneas generadoras, los miembros de cada familia son disjuntos y cada miembro de una familia se cruza, con una sola excepción, con cada miembro de la otra familia. Cada familia se llama regulus.
En álgebra lineal
Otra forma de ver el espacio tridimensional se encuentra en el álgebra lineal, donde la idea de independencia es crucial. El espacio tiene tres dimensiones porque la longitud de una caja es independiente de su ancho o ancho. En el lenguaje técnico del álgebra lineal, el espacio es tridimensional porque cada punto en el espacio puede describirse mediante una combinación lineal de tres vectores independientes.
Un vector se puede representar como una flecha. La magnitud del vector es su longitud y su dirección es la dirección que señala la flecha. Un vector en ℝ 3 se puede representar mediante un triple ordenado de números reales. Estos números se denominan componentes del vector.
El producto escalar de dos vectores A = [ A 1, A 2, A 3 ] y B = [ B 1, B 2, B 3 ] se define como:
La magnitud de un vector A se denota por || A ||. El producto escalar de un vector A = [ A 1, A 2, A 3 ] consigo mismo es
Se puede tomar en n dimensiones el producto de n - 1 vectores para producir un vector perpendicular a todos ellos. Pero si el producto se limita a productos binarios no triviales con resultados vectoriales, existe solo en tres y siete dimensiones.
El producto cruzado con respecto a un sistema de coordenadas diestro