Línea mundial

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Relatividad general
$$ GRAMO μ ν+Λ gramo μ ν= 8 π GRAMO C 4 T μ ν {\ Displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ sobre c ^ {4}} T _ {\ mu \ nu}}
Introducción Historia Formulación matemática Pruebas
Conceptos fundamentales Principio de equivalencia Relatividad especial Línea mundial Variedad pseudo-riemanniana
Fenómenos Problema de Kepler Lente gravitacional Ondas gravitacionales Arrastrar fotogramas Efecto geodésico Horizonte de eventos Singularidad Calabozo Tiempo espacial Diagramas de espacio-tiempo Espacio-tiempo de Minkowski Puente Einstein-Rosen
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La línea del mundo (o línea del mundo) de un objeto es el camino que traza un objeto en el espacio -tiempo de 4 dimensiones. Es un concepto importante en la física moderna y, en particular, en la física teórica.

El concepto de "línea del mundo" se distingue de conceptos como " órbita " o " trayectoria " (p. Ej., La órbita de un planeta en el espacio o la trayectoria de un automóvil en una carretera) por la dimensión del tiempo, y generalmente abarca una gran área de espacio-tiempo en la que las trayectorias perceptualmente rectas se recalculan para mostrar sus estados de posición ( relativamente ) más absolutos , para revelar la naturaleza de la relatividad especial o las interacciones gravitacionales.

La idea de las líneas del mundo se origina en la física y fue pionera en Hermann Minkowski. El término se usa ahora con mayor frecuencia en las teorías de la relatividad (es decir, relatividad especial y relatividad general ).

• 1 Uso en física
• 2 líneas del mundo como herramienta para describir eventos
  • 2.1 Ejemplos triviales de curvas espaciotemporales
  • 2.2 Vector tangente a una línea universal: cuatro velocidades
• 3 líneas del mundo en relatividad especial
  • 3.1 Hiperplano simultáneo
• 4 líneas del mundo en la relatividad general
• 5 líneas del mundo en la teoría cuántica de campos
• 6 líneas mundiales en la literatura
• 7 Véase también
• 8 referencias
• 9 Enlaces externos

Uso en física

En física, una línea del mundo de un objeto (aproximado como un punto en el espacio, por ejemplo, una partícula u observador) es la secuencia de eventos espaciotemporales correspondientes a la historia del objeto. Una línea de mundo es un tipo especial de curva en el espacio-tiempo. A continuación se explicará una definición equivalente: Una línea de mundo es una curva similar al tiempo en el espacio-tiempo. Cada punto de una línea del mundo es un evento que se puede etiquetar con el tiempo y la posición espacial del objeto en ese momento.

Por ejemplo, la órbita de la Tierra en el espacio es aproximadamente un círculo, una curva tridimensional (cerrada) en el espacio: la Tierra regresa cada año al mismo punto en el espacio en relación con el sol. Sin embargo, llega allí en un momento diferente (posterior). La línea del mundo de la Tierra es helicoidal en el espacio-tiempo (una curva en un espacio de cuatro dimensiones) y no regresa al mismo punto.

El espacio-tiempo es la colección de eventos, junto con un sistema de coordenadas continuo y uniforme que identifica los eventos. Cada evento se puede etiquetar con cuatro números: una coordenada de tiempo y tres coordenadas de espacio; por tanto, el espacio-tiempo es un espacio de cuatro dimensiones. El término matemático para el espacio-tiempo es una variedad de cuatro dimensiones. El concepto también se puede aplicar a un espacio de dimensiones superiores. Para visualizar fácilmente cuatro dimensiones, a menudo se suprimen dos coordenadas espaciales. Luego, el evento se representa mediante un punto en un diagrama de Minkowski, que es un plano generalmente trazado con la coordenada temporal, digamos, hacia arriba y la coordenada espacial, digamos horizontalmente. Como expresó FR Harvey $$

t {\ Displaystyle t}$$X {\ Displaystyle x}

Una curva M en [espacio-tiempo] se llama línea de mundo de una partícula si su tangente es similar al tiempo futuro en cada punto. El parámetro de longitud de arco se denomina tiempo adecuado y generalmente se denota como τ. La longitud de M se denomina tiempo adecuado de la partícula. Si la línea de mundo M es un segmento de línea, entonces se dice que la partícula está en caída libre.

Una línea de mundo traza el camino de un solo punto en el espacio-tiempo. Una hoja del mundo es la superficie bidimensional análoga trazada por una línea unidimensional (como una cuerda) que viaja a través del espacio-tiempo. La hoja del mundo de una cuerda abierta (con cabos sueltos) es una tira; el de una cuerda cerrada (un bucle) se asemeja a un tubo.

Una vez que el objeto no se aproxima como un mero punto sino que tiene un volumen extendido, no traza una línea de mundo sino más bien un tubo de mundo.

Las líneas del mundo como herramienta para describir eventos

Línea del mundo, hoja del mundo y volumen del mundo, ya que se derivan de partículas, cadenas y branas.

Una línea o curva unidimensional se puede representar mediante las coordenadas en función de un parámetro. Cada valor del parámetro corresponde a un punto en el espacio-tiempo y al variar el parámetro se traza una línea. Entonces, en términos matemáticos, una curva se define mediante cuatro funciones de coordenadas (donde generalmente denota la coordenada de tiempo) dependiendo de un parámetro. Una cuadrícula de coordenadas en el espacio-tiempo es el conjunto de curvas que se obtiene si tres de las cuatro funciones de coordenadas se establecen en una constante. $$

X a(τ),a=0,1,2,3 {\ Displaystyle x ^ {a} (\ tau), \; a = 0,1,2,3}$$ X 0 {\ Displaystyle x ^ {0}}$$τ {\ Displaystyle \ tau}

A veces, el término línea del mundo se usa libremente para cualquier curva en el espacio-tiempo. Esta terminología genera confusiones. Más propiamente, una línea del mundo es una curva en el espacio-tiempo que traza la historia (temporal) de una partícula, un observador o un objeto pequeño. Por lo general, se toma el tiempo adecuado de un objeto o de un observador como parámetro de la curva a lo largo de la línea del mundo. $$

τ {\ Displaystyle \ tau}

Ejemplos triviales de curvas espaciotemporales

Tres líneas de mundo diferentes que representan viajes a cuatro velocidades constantes diferentes. t es tiempo y x distancia.

Una curva que consta de un segmento de línea horizontal (una línea en un tiempo de coordenadas constante), puede representar una varilla en el espacio-tiempo y no sería una línea del mundo en el sentido correcto. El parámetro rastrea la longitud de la varilla.

Una línea en una coordenada espacial constante (una línea vertical en la convención adoptada anteriormente) puede representar una partícula en reposo (o un observador estacionario). Una línea inclinada representa una partícula con una velocidad constante de coordenadas (cambio constante en las coordenadas espaciales con el aumento de las coordenadas de tiempo). Cuanto más se inclina la línea de la vertical, mayor es la velocidad.

Dos líneas de mundo que comienzan por separado y luego se cruzan, significan una colisión o "encuentro". Dos líneas de mundo que comienzan en el mismo evento en el espacio-tiempo, cada una siguiendo su propio camino después, pueden representar la desintegración de una partícula en otras dos o la emisión de una partícula por otra.

Las líneas del mundo de una partícula y un observador pueden estar interconectadas con la línea del mundo de un fotón (la trayectoria de la luz) y formar un diagrama que represente la emisión de un fotón por una partícula que posteriormente es observada por el observador (o absorbida por otra partícula).).

Vector tangente a una línea universal: cuatro velocidades

Las cuatro funciones de coordenadas que definen una línea mundial son funciones reales de una variable real y pueden diferenciarse simplemente en el cálculo habitual. Sin la existencia de una métrica (es importante darse cuenta de esto) se puede hablar de la diferencia entre un punto en la curva en el valor del parámetro y un punto en la curva un poco (parámetro) más alejado. En el límite, esta diferencia dividida por define un vector, el vector tangente de la línea del mundo en el punto. Es un vector de cuatro dimensiones, definido en el punto. Está asociado con la velocidad tridimensional normal del objeto (pero no es lo mismo) y, por lo tanto, se llama cuatro velocidades, o en componentes: $$

X a(τ),a=0,1,2,3 {\ Displaystyle x ^ {a} (\ tau), \; a = 0,1,2,3}$$τ {\ Displaystyle \ tau}$$pag {\ Displaystyle p}$$ τ 0 {\ Displaystyle \ tau _ {0}}$$ τ 0+Δτ {\ Displaystyle \ tau _ {0} + \ Delta \ tau}$$Δτ→0 {\ Displaystyle \ Delta \ tau \ rightarrow 0}$$Δτ {\ Displaystyle \ Delta \ tau}$$pag {\ Displaystyle p}$$pag {\ Displaystyle p} $$ v → {\ Displaystyle {\ vec {v}}}

$$ v →=( v 0, v 1, v 2, v 3)= ( D X 0 D τ , D X 1 D τ , D X 2 D τ , D X 3 D τ ) {\ Displaystyle {\ vec {v}} = (v ^ {0}, v ^ {1}, v ^ {2}, v ^ {3}) = \ left ({\ frac {dx ^ {0}} {d \ tau}} \ ;, {\ frac {dx ^ {1}} {d \ tau}} \ ;, {\ frac {dx ^ {2}} {d \ tau}} \ ;, {\ frac {dx ^ {3}} {d \ tau}} \ right)}

donde las derivadas se toman en el punto, entonces en. $$

pag {\ Displaystyle p}$$τ= τ 0 {\ Displaystyle \ tau = \ tau _ {0}}

Todas las curvas que pasan por el punto p tienen un vector tangente, no solo las líneas del mundo. La suma de dos vectores es nuevamente un vector tangente a alguna otra curva y lo mismo vale para multiplicar por un escalar. Por lo tanto, todos los vectores tangentes en un punto p abarcan un espacio lineal, llamado espacio tangente en el punto p. Por ejemplo, tomando un espacio bidimensional, como la superficie (curva) de la Tierra, su espacio tangente en un punto específico sería la aproximación plana del espacio curvo.

Líneas del mundo en la relatividad especial

Hasta ahora se ha descrito una línea de mundo (y el concepto de vectores tangentes) sin un medio para cuantificar el intervalo entre eventos. Las matemáticas básicas son las siguientes: la teoría de la relatividad especial impone algunas limitaciones a las posibles líneas del mundo. En la relatividad especial, la descripción del espacio-tiempo se limita a sistemas de coordenadas especiales que no se aceleran (y por lo tanto tampoco giran), llamados sistemas de coordenadas inerciales. En tales sistemas de coordenadas, la velocidad de la luz es constante. La estructura del espacio-tiempo está determinada por una forma bilineal η, que da un número real para cada par de eventos. La forma bilineal a veces se denomina métrica del espacio-tiempo, pero dado que los eventos distintos a veces dan como resultado un valor cero, a diferencia de las métricas en los espacios métricos de las matemáticas, la forma bilineal no es una métrica matemática del espacio-tiempo.

Las líneas de mundo de partículas / objetos que caen libremente se denominan geodésicas. En relatividad especial, estas son líneas rectas en el espacio de Minkowski.

A menudo, las unidades de tiempo se eligen de modo que la velocidad de la luz esté representada por líneas en un ángulo fijo, generalmente a 45 grados, formando un cono con el eje vertical (tiempo). En general, las curvas útiles en el espacio-tiempo pueden ser de tres tipos (los otros tipos serían en parte uno, en parte otro tipo):

• curvas parecidas a la luz, que tienen en cada punto la velocidad de la luz. Forman un cono en el espacio-tiempo, dividiéndolo en dos partes. El cono es tridimensional en el espacio-tiempo, aparece como una línea en los dibujos con dos dimensiones suprimidas y como un cono en los dibujos con una dimensión espacial suprimida.

Un ejemplo de un cono de luz, la superficie tridimensional de todos los posibles rayos de luz que llegan y salen de un punto en el espacio-tiempo. Aquí, se representa con una dimensión espacial suprimida. Los fotogramas inerciales que se mueven conjuntamente momentáneamente a lo largo de la trayectoria ("línea del mundo") de un observador que acelera rápidamente (centro). La dirección vertical indica el tiempo, mientras que la horizontal indica la distancia, la línea punteada es el espacio-tiempo del observador. Los pequeños puntos son eventos específicos en el espacio-tiempo. Observe cómo cambia el marco inercial que se mueve conjuntamente momentáneamente cuando el observador acelera.

• curvas similares al tiempo, con una velocidad menor que la velocidad de la luz. Estas curvas deben caer dentro de un cono definido por curvas similares a la luz. En nuestra definición anterior: las líneas del mundo son curvas temporales en el espacio-tiempo.
• curvas espaciales que caen fuera del cono de luz. Tales curvas pueden describir, por ejemplo, la longitud de un objeto físico. La circunferencia de un cilindro y la longitud de una varilla son curvas espaciales.

En un evento dado en una línea del mundo, el espacio-tiempo ( espacio de Minkowski ) se divide en tres partes.

• El futuro del evento dado está formado por todos los eventos a los que se puede llegar a través de curvas temporales que se encuentran dentro del cono de luz futuro.
• El pasado del evento dado está formado por todos los eventos que pueden influir en el evento (es decir, que pueden estar conectados por líneas de mundo dentro del cono de luz pasado al evento dado).
  • El cono de luz en el evento dado está formado por todos los eventos que se pueden conectar a través de rayos de luz con el evento. Cuando observamos el cielo por la noche, básicamente vemos solo el cono de luz pasado dentro de todo el espacio-tiempo.
• En otra parte está la región entre los dos conos de luz. Los puntos en el otro lugar de un observador son inaccesibles para ellos; sólo los puntos del pasado pueden enviar señales al observador. En la experiencia ordinaria de laboratorio, utilizando unidades y métodos de medición comunes, puede parecer que miramos el presente, pero de hecho siempre hay un tiempo de retraso para que la luz se propague. Por ejemplo, vemos el Sol como era hace unos 8 minutos, no como es "ahora mismo". A diferencia del presente en la teoría galileana / newtoniana, el resto es espeso; no es un volumen tridimensional, sino una región espaciotemporal de 4 dimensiones.
  • Incluido en "otro lugar" está el hiperplano simultáneo, que se define para un observador dado por un espacio que es hiperbólico-ortogonal a su línea de mundo. Es realmente tridimensional, aunque sería un 2-plano en el diagrama porque tuvimos que descartar una dimensión para hacer una imagen inteligible. Aunque los conos de luz son los mismos para todos los observadores en un evento espacial-temporal dado, diferentes observadores, con velocidades diferentes pero coincidentes en el evento (punto) en el espacio-tiempo, tienen líneas de mundo que se cruzan entre sí en un ángulo determinado por sus velocidades relativas, y así tienen diferentes hiperplanos simultáneos.
  • El presente a menudo significa que se está considerando el evento único del espacio-tiempo.

Hiperplano simultáneo

Dado que una línea del mundo determina un 4-vector de velocidad que es similar al tiempo, la forma de Minkowski determina una función lineal por Sea N el espacio nulo de este funcional lineal. Entonces N se llama hiperplano simultáneo con respecto a v. La relatividad de la simultaneidad es una afirmación de que N depende de v. De hecho, N es el complemento ortogonal de v con respecto a η. Cuando dos líneas mundo U y W están relacionados por entonces ellos comparten la misma hiperplano simultánea. Este hiperplano existe matemáticamente, pero las relaciones físicas en relatividad implican el movimiento de información por la luz. Por ejemplo, la fuerza electrostática tradicional descrita por la ley de Coulomb puede representarse en un hiperplano simultáneo, pero las relaciones relativistas de carga y fuerza involucran potenciales retardados. $$

w(τ)∈ R 4 {\ Displaystyle w (\ tau) \ en R ^ {4}}$$v= D w D τ {\ Displaystyle v = {\ frac {dw} {d \ tau}}}$$η(v,X) {\ Displaystyle \ eta (v, x)}$$ R 4→R {\ displaystyle R ^ {4} \ rightarrow R}$$X↦η(v,X). {\ Displaystyle x \ mapsto \ eta (v, x).} $$ D tu D τ= D w D τ, {\ Displaystyle {\ frac {du} {d \ tau}} = {\ frac {dw} {d \ tau}},}

Líneas del mundo en la relatividad general

El uso de líneas del mundo en la relatividad general es básicamente el mismo que en la relatividad especial, con la diferencia de que el espacio-tiempo puede ser curvo. Existe una métrica y su dinámica está determinada por las ecuaciones de campo de Einstein y depende de la distribución de masa-energía en el espacio-tiempo. Una vez más, la métrica define curvas ligeras (nulas), espaciales y temporales. Además, en la relatividad general, las líneas del mundo son curvas temporales en el espacio-tiempo, donde las curvas temporales caen dentro del cono de luz. Sin embargo, un cono de luz no está necesariamente inclinado a 45 grados con respecto al eje del tiempo. Sin embargo, esto es un artefacto del sistema de coordenadas elegido y refleja la libertad de coordenadas ( invariancia de difeomorfismo ) de la relatividad general. Cualquier curva de tipo temporal admite un observador comovivo cuyo "eje de tiempo" corresponde a esa curva y, dado que ningún observador es privilegiado, siempre podemos encontrar un sistema de coordenadas local en el que los conos de luz están inclinados a 45 grados con respecto al eje de tiempo. Consulte también, por ejemplo , las coordenadas de Eddington-Finkelstein.

Las líneas de mundo de partículas u objetos en caída libre (como planetas alrededor del Sol o un astronauta en el espacio) se llaman geodésicas.

Líneas del mundo en la teoría cuántica de campos

La teoría cuántica de campos, el marco en el que se describe toda la física de partículas moderna, generalmente se describe como una teoría de campos cuantificados. Sin embargo, aunque no es muy apreciado, se sabe desde Feynman que muchas teorías cuánticas de campos pueden describirse de manera equivalente en términos de líneas del mundo. La formulación de la línea mundial de la teoría cuántica de campos ha demostrado ser particularmente fructífera para varios cálculos en las teorías de gauge y para describir los efectos no lineales de los campos electromagnéticos.

Líneas del mundo en la literatura

En 1884, CH Hinton escribió un ensayo "¿Qué es la cuarta dimensión?", Que publicó como un romance científico. El escribio

¿Por qué, entonces, los seres tetradimensionales no deberían ser nosotros mismos, y nuestros sucesivos estados el paso de ellos a través del espacio tridimensional en el que está confinada nuestra conciencia?

JC Fields, de la Universidad de Toronto, dio una descripción popular de las líneas del mundo humano en los primeros días de la relatividad. Como lo describió el abogado de Toronto Norman Robertson:

Recuerdo que [Fields] dio una conferencia en una de las conferencias del sábado por la noche en el Royal Canadian Institute. Se anunció que era una "fantasía matemática", ¡y lo fue! La sustancia del ejercicio fue la siguiente: Postuló que, a partir de su nacimiento, todo ser humano tenía algún tipo de aura espiritual con un largo filamento o hilo que viajaba detrás de él a lo largo de su vida. Luego procedió con la imaginación a describir el complicado enredo en el que cada individuo se involucraba en su relación con otros individuos, comparando los simples enredos de la juventud con los complicados nudos que se desarrollan en la vida posterior.

Casi todas las historias de ciencia ficción que utilizan este concepto de forma activa, como para permitir el viaje en el tiempo, simplifican demasiado este concepto a una línea de tiempo unidimensional para adaptarse a una estructura lineal, que no se ajusta a los modelos de la realidad. Estas máquinas del tiempo a menudo se describen como instantáneas, con su contenido partiendo en un momento y llegando en otro, pero en el mismo punto geográfico literal en el espacio. Esto a menudo se lleva a cabo sin tener en cuenta un marco de referencia, o con la suposición implícita de que el marco de referencia es local; como tal, esto requeriría una teletransportación precisa, ya que un planeta en rotación, al estar bajo aceleración, no es un marco inercial, o que la máquina del tiempo permanezca en el mismo lugar, su contenido "congelado".

El autor Oliver Franklin publicó una obra de ciencia ficción en 2008 titulada World Lines en la que relataba una explicación simplificada de la hipótesis para profanos.

En el cuento Life-Line, el autor Robert A. Heinlein describe la línea del mundo de una persona:

Se acercó a uno de los reporteros. "Supongamos que te tomamos como ejemplo. Tu nombre es Rogers, ¿no? Muy bien, Rogers, eres un evento espacio-temporal que tiene una duración de cuatro formas. No mides un metro ochenta de altura, tienes unas veinte pulgadas de ancho y tal vez diez pulgadas de grosor. Con el tiempo, se extiende detrás de ti más de este evento espacio-temporal, llegando a quizás diecinueve dieciséis, de los cuales vemos una sección transversal aquí en ángulo recto con el eje del tiempo, y tan gruesa como el presente. En el otro extremo hay un bebé que huele a leche agria y babea su desayuno en su babero, en el otro extremo, quizás, un anciano en algún lugar de los años ochenta.

"Imagina este evento de espacio-tiempo que llamamos Rogers como un gusano rosado largo, continuo a través de los años, un extremo en el útero de su madre y el otro en la tumba..."

De Heinlein Niños de Matusalén utiliza el término, al igual que James Blish 's La disposición al tresbolillo de Tiempo (ampliado de 'bip').

Una novela visual llamada Steins; Gate, producida por 5pb., cuenta una historia basada en el cambio de líneas del mundo. Steins; Gate es parte de la serie " Science Adventure ". Las líneas del mundo y otros conceptos físicos como el mar de Dirac también se utilizan a lo largo de la serie.

La novela Anathem de Neal Stephenson implica una larga discusión sobre las líneas del mundo durante una cena en medio de un debate filosófico entre el realismo platónico y el nominalismo.

Absolute Choice representa diferentes líneas del mundo como un sub-diagrama y un dispositivo de configuración.

Una armada espacial que intenta completar un camino temporal (casi) cerrado como una maniobra estratégica forma el telón de fondo y el dispositivo principal de la trama de "Singularity Sky" de Charles Stross.

Ver también

• Tipos específicos de líneas mundiales
  • Geodésicas
  • Curvas cerradas en forma de tiempo
  • Estructura causal, curvas que representan una variedad de diferentes tipos de línea del mundo.
  • Línea isotrópica
• Diagrama de Feynman
• Geografía del tiempo

Referencias

• Minkowski, Hermann (1909), "Raum und Zeit" , Physikalische Zeitschrift, 10: 75–88

• Varias traducciones al inglés en Wikisource: Space and Time

• Ludwik Silberstein (1914) Teoría de la relatividad, p 130, Macmillan and Company.

enlaces externos

• Artículo de World Lines sobre h2g2.

• texto en profundidad sobre las líneas del mundo y la relatividad especial